CHỦ ĐỀ : KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN

CHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁNCHỦ ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN

CHỦ ĐỀ 1:

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

I, SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số:Cho hàm số yf x 

+) f ' x 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy

+) f ' x 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy

Quy tắc:

+) Tính f ' x , giải phương trình f ' x 0 tìm nghiệm

+) Lập bảng xét dấu f ' x 

+) Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Bài toán 2: Tìm m để hàm số yf x, m  đơn điệu trên khoảng (a,b)

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng  a, b thì f ' x   0 x  a, b

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng  a, b thì f ' x   0 x  a, b

xc

xc

yax bx cx d đơn điệu trên R

+) Tính y '3ax22bx c là tam thức bậc 2 có biệt thức 

+) thay nghiệm vừa tìm vào f " x  và kiểm tra dấu f " x  từ đó suy kết luận

Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3

Cho hàm số: 3 2

yax bx cx d có đạo hàm 2

y '3ax 2bx c

1 Để hàm số có cực đại, cực tiểu y '0 có 2 nghiệm phân biệt   0

2 Để hàm số có không cực đại, cực tiểu y '0hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép   0

3 Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu

+Cách 1:Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B.Viết phương trình đường thẳng qua A, B + Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: ymxn y ' AxB Phần dư trong phép chia này là

yAxB chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu

Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương

 hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu

2 hàm số có 3 cực trị khi ab0 (a và b trái dấu)

3 Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và AOy,A 0;c , B x , y ,C x , y , H 0; y   B B  C C  B

+) Tam giác ABC luôn cân tại A

+) B, C đối xứng nhau qua Oy và xB x , yC B yC yH

+) Để tam giác ABC vuông tại A: AB.AC0

+) Tam giác ABC đều: ABBC

+) Tam giác ABC có diện tích S: S 1AH.BC 1 xB x yC A yB

4 Trường hợp thường gặp: Cho hàm số 4 2

yx 2bx c +) Hàm số có 3 cực trị khi b0

+) A, B, C là các điểm cực trị

A 0;c , B b, c b , C  b;c b

+) Tam giác ABC vuông tại A khi b 1

+) Tam giác ABC đều khi b 33

+) Tam giác ABC có 0

A 120 khi

3

1b3

+) Tam giác ABC có diện tích S0 khi 2

0

S b b+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R0 khi

2

br



 

III, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa: Cho hàm số yf x  xác định trên D

+) M là GTLN của hàm số trên D nếu:  

*) Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng)

- Tính f ' x , giải phương trình f ' x 0 tìm nghiệm trên D

- Lập BBT cho hàm số trên D

- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN

*) Quy tắc riêng: (Dùng cho  a; b ) Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên  a; b

- Tính f ' x , giải phương trình f ' x 0 tìm nghiệm trên  a, b

- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x , x1 2 a, b

- Tính 4 giá trị f a , f b , f x , f x       1 2 So sánh chúng và kết luận

y

x

AB=AC= b 4 +b AH=b 2 HB=HC= b

b 2

C

H A

O

3 Chú ý:

1 GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn

2 Hàm số liên tục trên đoạn  a, b thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này

3 Nếu hàm sồ f x  đồng biến trên  a, b thì max f x   f b , min f x   f a

4 Nếu hàm sồ f x  nghịch biến trên  a, b thì max f x   f a , min f x   f b

5 Cho phương trình f x m với yf x  là hàm số liên tục trên D thì phương trình có

+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng

+) Hàm phân thức mà bậc của tử  bậc của mẫu có TCN

y

x O

x O

y

x O

y

x O

x O

cx d







- Nếu ad bc 0hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4

- Nếu ad bc 0hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 1 và +) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x d

VI, SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Phương pháp:

Cho 2 hàm số yf x , y  g x  có đồ thị lần lượt là (C) và (C’)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x   g x

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm

+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’)

BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x, m 0(phương trình ẩn x tham số m)

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng mf x 

+) Lập BBT cho hàm số yf x 

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x, m 0

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử xx0 là 1 nghiệm của phương trình

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2 g x 0

- Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R 

hàm số không có cực trị y '0 hoặc vô

nghiệm hoặc có nghiệm kép   y' 0

yF x, m cắt trục hoành tại 3 điểm phân

biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu và

yF x, m cắt trục hoành tại 2 điểm phân

biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu và

Bài toán: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng:

1 Định lí vi ét:

*) Cho bậc 2: Cho phương trình ax2bx c 0 có 2 nghiệm x , x1 2 thì ta có:

*) Các câu hỏi thường gặp:

1 Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  1 có 2 nghiệm phân biệt khác d

+) Tam giác ABC vuông

+) Tam giác ABC có diện tích S0

A x ; y , B x ; y : AB x x  y y

BÀI TOÁN 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: 4 2

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t1 2 thỏa mãn: 0 t1 t2

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t1 2 thỏa mãn: 0 t1 t2

VII, TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M x ; y 0 0 thuộc đồ thị hàm số:

Cho hàm số  C : yf x  và điểm M x ; y 0 0   C Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M

- Tính đạo hàm f ' x  Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f ' x 0

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: yf ' x xx0y0

Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi   là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Giả sử M x ; y 0 0 là tiếp điểm Khi đó x0 thỏa mãn: f ' x 0 k(*)

- Giải (*) tìm x0 Suy ra y0 f x 0

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: yk x x0y0

Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho hàm số  C : yf x  và điểm A a; b  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến

đi qua A

- Gọi   là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Khi đó   : yk x a   b(*)

- Để   là tiếp tuyến của (C)      

+) Khi a0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất

Câu 24 Hàm số y2x36x26x7 đồng biến trên các khoảng:

Câu 9 Điểm cực đại của đồ thị hàm số y3x4x3là:

A x1 B x 3 C x 1, x=3 D x3

III, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ:

Câu 1 Cho hàm số yx33x2, chọn phương án đúng trong các phương án sau:

y

Câu 23 Cho hàm số 1 3 2

43

y  x x  Chọn phương án đúng trong các phương án sau

A

  0;2

7max

A Maxy = 258 , miny = 0B Maxy = 238 , miny = 0

C Maxy = 258 , miny = -1 D Maxy = 278 , miny = 0

Câu 37 Gọi M là GTLN và m là GTNN của hàm số y 2x2 24x 5

x 1



 , chọn phương án đúng trong các phương án sau:

C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= 1 D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là 1





1





1

D

x

x x y







2

23

21







1

22

2

D

x

x y





2

x y

y Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai Chọn 1 câu sai

A Đồ thị hàm số trên có tiệm cận đứng x = 2 B Đồ thị hàm số trên có tiệm cận ngang y = 1

C Tâm đối xứng là điểm I(2 ; 1) D Các câu A, B, C đều sai

Câu 9 Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số x

y x

A 0 B 2 C 3 D 1

Câu 3: Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y x 1 và đường cong 2 4

1

x y x





 Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng:

Câu 11

Câu 12

Câu 13

Câu 14

Câu 15

Câu 16

Câu 17

Câu 18

Câu 19

Câu 20

Câu 21

Câu 27

Câu 28

Câu 29

Câu 30

Câu 31

Câu 32

Câu 33

Câu 34

Câu 35

CÂU HỎI TỔNG HỢP CHƯƠNG 1

Câu 1: Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 3x + 1, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số luôn nghịch biến; B Hàm số luôn đồng biến;

C Hàm số đạt cực đại tại x = 1; D Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Câu 2: Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số 2 1

x là đúng?

A Hàm số luôn nghịch biến trên \ 1 ;

B Hàm số luôn đồng biến trên \ 1 ;

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–; –1) và (–1; +);

D Hàm số đồng biến trên các khoảng (–; –1) và (–1; +)

Câu 3: Trong các khẳng định sau về hàm số 2 4

x , hãy tìm khẳng định đúng?

A Hàm số có một điểm cực trị;

B Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu;

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định;

D Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

Câu 4: Trong các khẳng định sau về hàm số 1 4 1 2

3

y x x , khẳng định nào là đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; B Hàm số đạt cực đại tại x = 1;

C Hàm số đạt cực đại tại x = -1; D Cả 3 câu trên đều đúng

Câu 5: Cho hàm số 1 3 2  

2 1 1 3

Câu 6: Kết luận nào là đúng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x x 2 ?

A Có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất;

B Có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất;

C Có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất;

D Không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

C Một cực đại và không có cực tiểu D Một cực tiểu và một cực đại

Câu 20: Cho hàm số 3 2

2

x y





 Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng

Câu 28: Cho hàm số y = f(x)= ax3+bx2+cx+d,a0 Khẳng định nào sau đây sai ?

A Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành B Hàm số luôn có cực trị

y  x x  x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số luôn nghịch biến; B Hàm số luôn đồng biến;

C Hàm số đạt cực đại tại x = 1; D Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1;

Câu 37: Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên:

Câu 38: Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị:

Câu 44: Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số 4 2

yx  x  :

A Đạt cực tiểu tại x = 0 B Có cực đại và cực tiểu

C Có cực đại và không có cực tiểu D Không có cực trị

A y+16 = -9(x + 3) B y-16= -9(x – 3) C y-16= -9(x +3) D y = -9(x + 3)

x là:

A Hàm số đồng biến trên các khoảng (–;3) và (3; +)

B Hàm số luôn luôn đồng biến trên \ 3 ;

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–; 3) và (3; +);

D Hàm số luôn luôn nghịch biến trên \ 3

Câu 59 Hàm số y  x3 3x21 đồng biến trên các khoảng:

Câu 70 Hàm số y  x3 3x21 đồng biến trên các khoảng:

x



 (C) Chọn phát biểu đúng :

A Hs Nghịch biến trên   ; 2 4; B Điểm cực đại là I4;11

C Hs Nghịch biến trên 2;1   1; 4 D Hs Nghịch biến trên 2; 4

Câu 77 Hàm số y xlnx nghịch biến trên:

A e; B 0 4;  C 4; D  0;e

Câu 78 Cho sàm số 2 3

1

x y x

 



 (C) Chọn phát biểu đúng :

A Hs luôn nghịch biến trên miền xác định B Hs luôn đồng biến trên R

C Đồ thị hs có tập xác định DR\ 1  D Hs luôn đồng biến trên miền xác định

x (C) Chọn phát biểu đúng?

A Hàm số nghịch biến trên \ 1 ; B Hàm số đồng biến trên \ 1 ;

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–; 1) và (1; +);

D Hàm số đồng biến trên các khoảng (–; 1) và (1; +)

Câu 80: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị như hình vẽ Với giá trị nào của m phương trình

|x3 - 3x2 +2| - m = 0 có 6 nghiệm phân biệt

A m < 2

B -2 < m < 2

C 0 < m  2

D 0 < m < 2