Ebook mật độ mức hạt nhânphần 2

phonon tứ cực với λ = ng những năm g Vị trí của bài toán: Trong công trình Djinber và Cameron [26], bài toán được giải như sau : Dựa trên những thông tin thực nghiệm trực tiếp, cần thu

Ch g 4 mô tả hiện tượng luận mật độ mức hạt nhân nguyên tử

4.1 Mô tả hiện tượ luận ảnh g chuyển ng tập thể ật độ mức

g những n gần đây ng a chú ý nhiề đến sự tăng tập thể của mật độ mức [43] Đơn giản nhất là ưởng của chuyển động tập thể lên mật

độ mứ ợc khảo sá rong khuôn ẫu suy rộn Để mô tả ộ trạng thái ω ong mẫu s rộng người ta giả thiết rằng xảy ra gần đúng gián đoạn (1.74) và Hamilton ng hàm són nó có thể v t ở dạng (1 (1.76) tức là:

vib

) 1 J (

2

) 2

1 ( E

ℑ + + ν +

men quán tính đối với trục vuông góc với trục đối xứn của hạt nhâ

Hˆexp

Spexp

SpHˆ

exp

HˆHˆ

Hˆe

SpHˆ

expSp

rot vib

in

rot

rot v

in

ββ

=

ư

ưβ

ư

=+

+β

=β

=

HˆvibβSp

= β

rot ( ) ( 2 J 1 ) exp ( J 1 )

là tổng thống kê của chuyển động quay Trong công thức (4.4), thừa số (2J+1)

Chúng ta quay lại tính mật độ trạng thái Chúng ta nhận thấy rằng tích phân

⊥

ℑ J2

β

2

h

0 J

(1.10) và (1.11) Sử dụng phương pháp đường yên ngựa đối với ω(E) chúng ta thu được:

( )

2 1 2 2 0

0

β β

Qln2

)(SxpE

β

∂

∂

eπ

β

=ω

5) (4

còn toạ độ điểm yên ngựa β0 thì thu từ phương trình:

0 /

∂

∂

ư β

( )E = ωin( )E Kvib( t ) Krot( t )

ở đây ωin(E) - mật độ trạng thái bậc tự do nội tại thường được đồng nhất với mật

độ trạng thái của mẫu các giả hạt độc lập [59]:

)t(Q

)t(Q

Các hệ số tăng của mật độ trạng thái dao động và quay được tính ở nhiệt độ t =

β0-1 mà nhiệt độ này là nghiệm của phương trình trạng thái:

⊥

ℑ

h << t Trong trường hợp này đóng góp chính vào tổng (4.4) là do các thành phần có J lớn Thay tổng (4.4) bằng tích phân ta thu được [10]:

2 0

t 2 exp ) 1 J 2 ( ) t (

Cũng đơn giản như vậy để thu được hệ số tăng của dao động Kvib(t) = Qvib(t)

Đối với hệ có một bậc tự do với tần số ω, tổng thống kê Qvib(t) có dạng (4.3) Chúng ta không tính năng lượng dao động của tần số thấp nhất (ν = 0) của mức dao động tức là đưa đại lượng h

2

h

ω/ 2 vào Ein(4.1) Khi đó ta sẽ có [10]:

( )

= ν

có thể xuất hiện các lượng tử dao động hoặc phonon của các đa

ω

ư

ư

0 vib

t exp

Trong hạt nhân

= ων

ư

) t (

cực khác nhau Các phonon được đặc trưng bằng mômen góc λ, độ chẵn lẻ (~1)λ, thông số khối lượng Bλ và độ cứng Cλ, mà nó liên quan trực tiếp với tần

số của phonon ωλ bằng hệ thức ωλ = Cλ/ Bλ Đối với hạt nhân, Kvib( t ) ở gần

đúng đoạn nhiệt có thể viết:

Từ biểu thức (4.13) ta suy ra rằng các phonon với tần số thấp nhất đóng góp chủ yếu trong phương trình dao động của mật độ trạng thái Trong các tính toán Kvib(t) thường được giới hạn bằng việc khảo sát các 2

và bát cực λ = 3

Trong phần kết luận, chúng ta cần nhớ rằng tro ần đây nhất đã phát triển các lý thuyết [43, 60, 61] mà trong đó đã tiến hành thử nghiệm khảo sát ảnh hưởng của chuyển động tập thể của bản chất dao động tới các đặc trưng thống kê của hệ mà không bổ sung tính toán gần đúng đoạn nhiệt

4.2 Công thức Djinber - Cameron đối với mật độ mức hạt nhân

phonon tứ cực với λ =

ng những năm g

Vị trí của bài toán: Trong công trình Djinber và Cameron [26], bài toán

được giải như sau : Dựa trên những thông tin thực nghiệm trực tiếp, cần thu

được sự mô tả mật độ mức với nhóm lớn hạt nhân có 22 ≤ A ≤245 trong vùng năng lượng kích thích đủ rộng Để làm điều này, hai tổ hợp c

đ c sử dụng ở vùng năng lượng kích thích thấp các tác giả đã sử dụng mẫu nhiệt độ không đổi với các công thức sau để tính số mức toàn phần N(E) với năng lượng E đã cho và mật độ mức hạt nhân ρ(E):

[( E E ) / T]

exp ) E (

[( E E ) / T]/ T

e p dE / dN ) E

~ ) E (

s Bài toán thực tế là trên cơ sở phân tích số liệu thực nghiệm theo kiểu quan hệ loại (4.14) – (4.16) x h

nhỏ thông tin

Xác định các thông số của mẫu khí Fermi Các hệ thức thu được trong

t độ mức trong mẫu này đối với hạt nhân có năng lượng kích thích U và mômen góc J có

Đ2.3 đã được sử dụng để xác định các thông số của mẫu khí Fermi Mậ

+

=

2 4

4

2/1JaU2

expUa224

1J2J

,U

và mật độ mức toàn phần ρ(U) biểu thị bằng công thức (2.48):

4 5 4 1

Ua212

)aU2exp(

)U(

σ

=ρ

ở đây thông số phụ thuộc spin σ2 thoả mãn công thức (2.45) Khi đó mật độ mức

được xác định bằng năng lượng kích thích U và hai thông số của mẫu: thông số mật độ mức a và trung bình bình phương hình chiếu mô men m hạt ột m2 mà nó

sau trong [26]:

được tính như

3 / 2

được biểu diễn trong bảng 4.1

lẻ hệ thống đã biết trong thông số mật độ mức Để làm vậy trong các hệ thức (2.45), (2.47), (2.48) cần sử dụng đại lượng sau làm năng lượng kích thích:

Từ bảng 4.1 thấy rằng P(Z) và P(N) bằng 0 đối với Z lẻ hoặc N lẻ Công thức (4.18) được luận giải như sau : trước khi coi khí proton hoặc nơtron là khí các hạt độc lập, cần thiết tách cặp các nucleon và phải tốn mất năng lương P(Z) + P(N) Đánh giá này mang tính bổ chính thực nghiệm vì nó giảm khác biệt chẵn

lẻ hệ thống trong các giá trị a Sau khi lựa chọn dạng phụ thuộc (4.17) đối với

hiệu chỉnh lại bằng biểu thức (4.18), có thể chuyển sang xác định thông số chưa biết duy nhất của mẫu - thông số mật độ mức a Điều này được làm bằng cách làm khớp trực tiếp mật độ mức tính được theo (2.47) với các khoảng cách trung

ợng

có số liệu thực nghiệm về mật độ cộng hưởng nơtron

lư liên kết nơtron Sn, spin của hạt nhân bia được chỉ ra trong bảng II.1 phần phụ lục Các giá trị a thu được là cơ sở để xác định các thông số mô tả phân

đoạn đối với tất cả các hạt nhân mà trong số đó có cả những hạt nhân mà không

N vµ Z P(Z),MeV P(N),MeV S(Z),MeV S(N),MeV

Theo đánh giá bán cổ điển của Bette [24, 25] đối với mẫu hạt nhân như hệ gồm

A hạt chuyển động trong hố thế đối xứng cầu có bán kính R = r , thông số mật ức a ù hợp i hệ (2.40 ức là

o vậy ông sẽ tuyến nh theo số khối A Nếu biểu diễn trên

đồ thị sự phụ thuộc của a vào A thì ta thu đư c tr như ở hình 2.2 Rõ ràng rằng các giá trị a thu đư ăng c ệ thố i A g, son ó lệc ỏi quy tắc đơn giản nói trên Sự sai lệch nói trên không liên quan gì tới hiệu ứng chẵn lẻ Sự ph thuộ a n ột h của ể hiệ sự c ặt c ệu ứng lớp: a giảm trong vùng hạt nhân hai lần magic có Z = 82 và N = 126 Các lớp với N = 50 và N = 82 cũng cho thấy hiệu ứng như vậy Trong mẫu của Bete,

kh h đế hiệu ứ lớp h hưởng của cấu trúc lớp của phổ một hạt lên thôn a lần ầu ti ợc ơn kh sát tr [28] Niutơn đã thay thế phổ rời rạc của trạng thái một hạt bằng phổ trung bình đã làm khớp của mẫu lớp khi

sử dụng hàm trọng số Fermi - Đirắc đối với số lấp đầy trung bình Trong mẫu lớp, men toàn ần trạn hái mộ ạt là ượng tử tốt Đối với

hố t uông c bá R A1/3, mật độ trạng thái một hạt của mẫu lớp đối với A lớn thay đổi theo A Mỗi trạng thái phân tách (2j+1) lần theo hình chiếu mô mem góc và do vậy mật độ trạng thái một hạt thay đổi dạng (jZ+jN+1)A2/3 ở

đây jZ và JN là số spin của thành phần proton và nơtron của mẫu lớp [63] Khi

0.A1/3 độ m ph vớ thức ) t :

lấy tdao động bình jZ và jN ở gần năng l ợng Fermi, Niutơn thu đư u thức cho thông số a [28]

phát hiện trong thí nghiệm Với kết luận đó, các tác giả [26] đã gắn ảnh hưởng của

cấ lớp a phổ ột h với g

S(Z)+S(N) Tạm thời chỉ sử dụng trong chương này ký hiệu S để ký hiệu bổ chính lớp chứ không phải entrôpy Trên hình 4.1 chỉ ra sự phụ thuộc của a/A vào S mà các giá trị S(N) và S(Z) được lấy từ bảng 4.1 hình cho ự khác nhau rõ rệt giữa a/A đối với các t nhâ n d à kh biế

x Đối với hạt nhân không biến dạng

• Đối với hạt nhân biến dạng

Hạt nhân không thuộc vào loại biến dạng nếu nó có các lớp vỏ kín hoặc gần như kín Người ta coi tất cả các hạt nhân nặng là biến dạng nếu Z hoặc N của chúng khác số magic hơn 3 đơn vị Mặc dù có một vài gượng ép khi đánh giá hạt nhân như vậy nhưng điều đó không tỏ ra là lớn trong các kết quả

Nếu sử dụng hệ thức (4.21) và (4.22) để xác định thông số a và tính mật

độ ρc của các cộng hưởng nơtron sóng s theo công thức (2.50) thì có thể đánh giá độ chính xác của hệ thông số a thu được Để làm điều đó trước hết đối với mỗi một hạt nhân ta cần tính l = ln(ρc/ρcbs) với ρcbs = D1 Sau đó đối với tập

hợp n hạt nhân ta thu được ∑

=

ố a Trong trường hợp này F

n thấy rằng đánh giá phức tạp hơn của Cameron [64]

ượng thấp Đối với đa số hạt

tới các

1 i

2

i / n l exp Đại lượng F có thể dùng làm thước

đo độ chính xác của phép tính gần đúng của thông s

ó số Np ở năng lượng Up Mức này được gọi là điểm

0 E T ln N

Trong vùng năng lượng thấp mật độ mức được mô tả bằng hệ thứ

được ký hiệu là ρ1, còn ở vùng năng lượng cao mật độ mức được mô tả bằng

hi làm khớp cả hai hàm này đã sử dụng biểu diễn

ượng E) để quay về gần điểm uốn

ước hết cần kiểm

ốt các mức thấp và có thể kể cả những mức đầu thì đường thẳng đi qua toàn bộ hoặc hầu hết các mức thấp, khi đó sẽ không có

ức và đạo hàm

Do vậy ρ1 và ρ2 được làm khớp một

c (4.15) và nó

(2.48) và ký hiệu là ρ2 K

tuyến tính N(E) (số mức dưới năng l

Bởi vì việc làm khớp ρ và ρ được thực hiện đồng thời nên tr1 2

tra N(E) có thực sự biểu diễn t

tiên hay không Nếu không cần chọn điểm uốn khác Nếu thu được kết quả tốt sai khác lớn do mức nào được chọn làm điểm uốn

Khi làm khớp hai đường cong người ta giả thiết rằng mật độ m

bậc một của nó theo năng lượng là liên tục

cách tiếp tuyến, và ở điểm nối Ex phải thoả mãn các hệ thức:

τ

= ρ

=

ở đây nhiệt độ τ được xác định như sau:

( )U /dU a/U 3/( )2Uln

d

ể làm điều đó tất nhiên đã sử dụng các phương trình (4.21) và (4.22) mà chúng thể hiện mối quan

số a và bổ chính lớp S Chú

mức dưới đã biết, toạ độ

ng tính toán mật độ mức hạt nhân ở vùng năng lượng E < Ex, các thông số σ được coi là hằng

σ đã được đưa ra, và khi E > Ex, giá trị σ đư

Chúng ta khảo sát dạng biểu diễn của T, Eo và Ex theo số khối A Đường

hích tương tự Bởi vì nhìn chung, khi không có hiệu ứng lớp, thông số a

Bởi vì T = const đối với đường cong thấp ρ1 và τ là hàm tăng theo U đối với

đường cong ρ2 nên nhiệt độ hạt nhân luôn không giảm Trên cơ sở đó có thể lựa chọn giá trị năng lượng Ex của điểm tiếp tuyến hoặc cao hơn hoặc thấp hơn năng lượng liên kết của nơtron Sn Trong [26] đã thảo luận khá kỹ các trường hợp khác nhau của làm khớp các đường cong ở điểm tiếp tuyến

Các hệ thức (4.25) là đủ để xác định toạ độ của điểm tiếp tuyến E và các thông số T và Eo ở đây đã thu được các giá trị Ex, T và Eo không chỉ đối với các hạt nhân có số liệu về mật độ cộng hưởng proton hoặc nơtron mà còn cả với những hạt nhân cho đến nay mới biết được một số mức thấp Đ

hệ giữa thông ng ta nhận thấy rằng các bổ chính lớp

và năng lượng cặp được đưa ra trong bảng 4.1 là đối với các hạt nhân với A ≥

22 Các giá trị thu được a, T, E0, Ex, σ và cả N1 - số

mức chuyển p ở năng lượng trong [26] được đưa trong bảng 2 trong

lục Các thông số phụ thuộc spin σ mà chúng cũng được đưa ra trong phụ lục

được tính theo công thức (2.45) ở tại điểm tiếp tuyến E = Ex Tro

số và bằng giá trị ợc coi là phù hợp với (2.45)

cong T(A) được đưa ra trên hình 4.2 Dễ dàng thấy được hai xu hướng: Thứ nhất

T giảm khi A tăng, thứ 2 : có sự tham dự của hiệu ứng lớp đặc biệt khi ở gần hạt nhân hai lần magic208Pb Dễ dàng giải thích dạng thể hiện T = f(A) như vậy khi

đã phân tích sự phụ thuộc của thông số mật độ mức vào số khối A Nghịch đảo năng lượng T-1 trong công thức (4.15) đóng vai trò như thông số mật độ mức a trong các công thức (2.47) và (2.48): Các giá trị này xác định dạng logarit của mật độ mức Bởi vì thông số a rất nhỏ với hạt nhân có các lớp vỏ kín nên T-1 cũng phải nhỏ và do vậy T sẽ rất lớn T giảm có hệ thống khi A tăng cũng được giải t

tăng tỷ lệ với A (xem 4.19) nên T-1 tỷ lệ với A và do vậy T tỷ lệ với A-1

Hình 4.2 Sự phụ thuộc của nhiệt độ hạt nhân vào số khối A [26]

Trên hình 4.3 là các giá trị Eo thay đổi theo A Trên hình này thấy rõ hiệu ứng

o đối với các hạt nhân chẵn chẵn và lẻ lẻ chẵn lẻ: Sự sai khác giữa các giá trị E

à giá trị trung bình của P(Z) và P(N):

c đường cong P có một vài chỗ bị phá vỡ

Trường hợp như vậy là bình thường vì

trong mẫu nhiệt độ không đổi mà ở mẫu này như trong mẫu khí Fermi có sự xuất hiện của hiệu ứng chẵn lẻ

Để tính đến hiệu ứng chẵn lẻ, cần khảo sát dạng đại lượng Ux = E x- P(z) - P(N) như một hàm của A mà không phải của toạ độ điểm tiếp tuyến Ex Trên hình 4.4 biểu diễn sự phụ thuộc này Rõ ràng đại lượng Ux giảm khi A tăng và

sự thăng giáng của Ux ở mỗi giá trị A cũng gi

U (A) có thể đưa ra ba đường cong:

Ux = 2,5 + 150/A đường cong 1 (4.27a)

Ux = 2,6 + 200/A đường cong 2 4.27b)

Ux = 2,1 +120/A đường cong 3 (4.27c)

Hình 4.3: Sự phụ thuộc Eo vào số khối [26]

Mặc dù là độ bất định ở các giá trị Ux là khá lớn nhưng vẫn không phải là quan trọng Vấn đề là nếu xây dựng ρ(U) gần điểm tiếp tuyến Ex thì cả ρ (U) ở

2(U) khi U > Ux chỉ cách nh

= Ux

+ - Đối với hạt nhân chẵn lẻ

x - Đối với hạt nhân lẻ – lẻ

• - Đối với hạt nhân A lẻ

1

U < Ux lẫn ρ au một lượng khoảng 1MeV ở gần U

Hình 4.4 Năng lượng Ux của điểm tiếp tuyến như một hàm của A [26]

Những kết luận chính : Dựa trên sự phân tích của Djinbert - Cameron, người

ta đã đưa ra sơ đồ tính toán mật độ mức mà chúng hữu dụng ngay cả trong những trường hợp không có số liệu thực nghiệm trực tiếp

Điểm tiếp tuyến chia khoảng năng lượng ra làm 2 miền : E>Ex và E <

Ex Giá trị Ex được xác định như sau:

( ) ( )Z P N P

U

ở đây Ex được lấy từ (4.27a)

Trong vùng năng lượng cao E > Ex mật độ mức được tính từ biểu thức (2.47) trong đó năng lượng kích thích được tính theo (4.18), còn đối với σ2 và

4.28)

2

m thì theo công thức (2.45) và (4.17) Khi đó các giá trị của năng lượng tạo cặp P(z) và P(N) được lấy từ bảng 4.1 Mật độ mức toàn phần ρ(U) được tính theo (2.48) Trong vùng năng lượng E < Ex mật độ mức được tính theo (4.15)

Tất cả các thông số cần cho việc tính toán mật độ mức trong khoảng năng lượng rộng đối với một số lớn hạt nhân được đưa ra trong bảng 2 phụ lục

Để kết luận, chúng ta nhớ rằng sơ đồ tính toán phân đoạn không phải bao giờ cũng tốt, chúng ta đã thấy rằng đối với một loạt hạt nhân không thể làm khớp ρ1 và ρ2 Cụ thể là sơ đồ này không áp dụng được cho hai miền là A < 40

và đối với hạt nhân có N hoặc Z khác số magic một hoặc hai đơn vị Các tác giả [26] giải thích là do những hạt nhân đó có số mức rất nhỏ Vì vậy sự liên hệ giữa các mức thấp nhất và các mức năng lượng gần năng lượng liên kết của nơtron với hạt nhân không đơn giản như được đưa ra trong sơ đồ làm khớp Sử dụng sự mô tả chung có thể cho sai số lớn hơn đối với các hạt nhân ở vùng nói trên so với các hạt nhân không có lớp vỏ lấp đầy Djinbert và Cameron đã thảo luận kỹ những khó khăn khác liên quan tới việc làm khớp các thông số của công thức chung cho những nhóm hạt nhân khác nhau

Hình 4.5 Số mức N(E) của hạt

148

X - Điểm tiếp tuyến

Đường đứt nét - Hàm ρ1 (đối với E > Ex) gần điểm tiếp tuyến;

p - điểm nối ; Đường nhẩy bậc - số liệu thực nghiệm

số liệu thực nghiệm về mật độ cộng hưởng nơtron sóng s Các hệ thức của

ẫu khí Fermi (2.45) – (2.48) cũng được xem xét như ở trong [26] Đối với hạt hân có 24 ≤ A ≤ 247 các thông số mật độ mức a phụ thuộc spin có dạng (2.45)

à (4.17) Khi đó năng lượng hiệu dụng U* ở (2.51) được chọn làm năng lượng ích thích U Năng lượng cặp dùng để tìm U được tính theo công thức trong 5]:

A

N 89 Z 2 A 3 1 A 3 A

691 0 17 A 9

1 ⎢⎣⎡ ư ư ư ⎥⎦⎤+

ư ε

=

3 / 1 n n

A

Z 89 1 Z Z A

38 1 17 A 9

1 ⎢⎣⎡ ư ư ⎥⎦⎤+

ư ε

ε 1 ư 1) (+ E Z , N ư 2) ] (4.30b)

là năng lượng cặp trên một nucleon [29] E[Z,N] - khối lượng của hạt nhân tương ứng tính bằng đơn vị MeV Các thành phần bổ chính trong (4.29) được dẫn giải từ các hiệu chỉnh năng lượng culông, năng lượng bề mặt và năng lượng

đối xứng của hạt nhân bên cạnh

Sau khi lựa chọn hàm (4.17) đối với trung bình bình phương hình chiếu mô men một hạt và tính bằng hệ thức (2.51) hiệu ứng chẵn lẻ, dễ dàng xác định được thông số mật độ mức a duy nhất còn lại Có thể làm được điều đó bằng cách làm khớp trực tiếp mật độ mức - tính theo công thức (2.47) với các giá trị khoảng cách trung bình D giữa các cộng hưởng nơtron sóng s (2.50) Số liệu thực nghiệm của đa số hạt nhân có 24 ≤ A ≤ 250 được đưa ra trong bảng 1 phần phụ lục

Các giá trị thông số a thu được thăng giáng tuỳ thuộc vào A (xem hình 2.2), kèm theo quy luật tăng chung của a = f(A) còn quan sát được sự suy giảm

≈

đột biến ở vùng hạt nhân A 210 - liên quan tới cấu trúc lớp của phổ một hạt

Để mô tả dạng phụ thuộc a = f(A) A.V Malưsep đã dùng hệ thức (4.20) do Niutơn thu được trong [28] trong đó giả thiết rằng α không phụ thuộc A:

ch hệ thức (4.20) Malưsep đã sử dụng sơ đồ mức một hạt trong [66] Các giá trị trung bình 2

Khi giả thiết rằng sự nhóm lại các mức lấp đầy trong sơ đồ lớp đối với proton và nơtron có thể mô tả được bằng hàm tuần hoàn, thì Malưsep đã đưa ra biểu thức bán thực nghiệm như sau đối với hệ số a:

0 0

0

2

A120cos2

AA120sin

ở đây các thông số α0 = 0,0380; β = 0,0125; γ = 0,0067 đối vớ

(với A < 80 thì γ = 0) được lựa chọn để giá trị thực nghiệm atn phù hợp nhất với các giá trị a tính theo công thức (4.20)

được sử dụng khi mô tả mật độ mức g n năng c thông số được hệ thống hóa và trong trường hợp đã cho là năng lượng liên kết của nơtron với hạt nhân

gược

Các tác giả [33] đã đưa ra phương pháp phân đoạn đơ

quả để mô tả mật độ mức hạt nhân trong khoả

MeV Các hệ thức của mẫu khí Fermi với dịch chuyển ngược được dùng làm cơ

⎥

⎢ ⎜⎛ γư ⎟⎞ ưπ

⎥ 1 A20 (N Z)A

sở của

sau:

phương pháp Mật độ mức của hạt nhân có năng lượng kích thích U và mômen góc J được viết như

4 ( U t ) a

2 12

U

+

∆

ư σ

=

ương trình:

(4.34) Thông số phụ thuộc spin σ2 được xác định như sau:

) U ( a 2

Nhiệt độ t lấy từ ph

t at

U ư ∆ = 2 ư

2 2

2

2 6 a m t = ℑ / h π

bởi vì giá trị tích phân khi đó phụ thuộc vào bậc tích phân Các công thức (4.32)

- (4.34) cũng không thuận tiện hơn khi sử dụng vì chúng dù khác rất ít so với

∆,

4.35)

đây ℑ là mômen quán tính của hạt nhân

Nói một cách chặt chẽ, các biểu thức (4.32) - (4.35) ngay cả khi giả thiết = 0 cũng không phải là các biểu thức của mẫu khí Fermi: chúng khác với các biểu thức thu được trong Đ2.3 [xem các công thức (2.47) và (2.48)] Trong khi

đó các biểu thức (4.32) - (4.35) thường được sử dụng để mô tả mật độ mức Chúng thu được trong [67] dụng trực tiếp

ℑcác hệ thức bình phương a, trong (4.32) - (4.35) là các thông số được xác

ốt nhất và khoảng cách trung bình D

định từ sự mô tả t giữa các cộng hưởng nơtron sóng s ở năng lượng liên kết S của nơtron trong hạt nhân được sử dụng nlàm thông tin thực nghiệm trong [37] Số liệu D được đưa ra trong bảng 1 phần phụ lục Vì không có số liệu đáng tin cậy về mô men quán tính nên việc xác

định các thông số a và ∆ được thực hiện ở hai giá trị mômen quán tính ℑtbvà ℑ

= /2 ở đây = 2/5 MR2 - mô men quán tính vật rắn Nếu giả thiết rằng bán kính hạt nhân R = 1,25A1/2 φm thì σ2 có thể thu được như sau :

Hệ thức thứ 2 để xác định a và ∆ được rút ra từ (2.50) có dạng sau:

; 2

0 2

1

; 2 2

1

; 2 2

0

0 0

0

I S

I I

S I

S

D

n

n n

ρ

ρρ

(4.38)

ở đây Sn- năng lượng liên kết của nơtron, I - spin của hạt nhân bia, ∆E <<S - 0 ngiới hạn trên của khoảng năng lượng nơtron mà trong đó D được xác định ở các giá trị đã cho D

giải bằng số trên máy tính để tìm a và

, A, No, S, ∆E và Io, hệ phương trình (4.37) và (4.38) được

∆ khi ℑ = ℑvr và ℑ = vr/2 Các bước làm khớp được mô tả trong [68] ở đó đã sử dụng chúng để xác định a và ∆ đối với hạt nhân có A < 65 Các giá trị a và ∆ thu được được đưa ra trong bảng 3 hần phụ lục Các kết quả cơ bản của việc phân tích vừa qua có t

sau:

1 Các giá trị ∆ thể hiện rõ hiệu ứng chẵn - lẻ Chúng có giá trị âm và khá lớn đối với hạt nhân lẻ - lẻ, âm nhưng nhỏ với A lẻ, dương nhưng không lớn với hạt nhân chẵn - chẵn Các giá trị ∆ như vậy làm thành cơ sở để gọi tên mẫu - mẫu Fermi với dịch chuyển ngược bởi vì trong mẫu truyền thống năng lượng

được thấy rất rõ khi làm

3 Nếu so sánh a và ∆ thu được với

ℑ = ℑvr và ℑTBcả hai giá trị ℑ với hạt nhân nhẹ khác nhau không hơn 0,4 MeV,

ℑ

ng hạt nhân A < 100; đối với các hạt nhân nặng hơn thì khó có kết luận cụ thể về sự lựa chọn giá trị mômen quán tính Vì thế, độ bất định hệ thống chủ yếu trong các thông số của hạt nhân nặng

do sự bất định trong việc lưạ chọn mômen q

4 Các giá trị a và ∆ như là một hàm của số khối A nằm gần một đường ong trơ ng lớn hơn 10%, còn của ∆ vào khoảng 0,5 MeV Điều này cho phép đủ tin cậy để tiên đoán các giá trị a và ∆

trường hợp như vậy, các thông số a và ∆ có thể được xác định nhanh và đơn giản nhờ phép nội suy giữa các giá trị tương ứng của các hạt nhân bên cạnh Cụ thể, đối với những hạt nhân có 40 < A < 63 không có số liệu thực nghiệm, có thể sử ụng bộ thông số sau để mô tả mật độ mức:

Trên các hình 4.6 đến 4.9 là các kết quả tính toán mật độ mức đối với các hạt

ó chẵn lẻ khác nhau 41Ca, 55Mn, 56Fe và 60Co so với các giá trị thực nghiệm trong vùng 0 đến 20 MeV Ngoại trừ một vài sai khác trong việc mô tả ρ(U) đối với 55Mn, mẫu khí Fermi hai thông số có sự dịch chuyển ngược đã cho

ự phù ρ(U) tốt giữa lý

năng lượng Trong các trường hợp khác sự phù hợp nói chung không kém hơn so

men quán tính của vật rắn đối với nhữ

c n Độ lệch của a khỏi a = f(A) khô

đối với những hạt nhân mà chưa có số liệu thực nghiệm Trong những

d

+

= 2,40 0,067 Aa

0 tb

⎪

⎭+

nhân c

s hợp thuyết và số liệu thực nghiệm trong tất cả các vùng với việc sử dụng công thức tổ hợp phức tạp Djinber – Cameron

Hình 4.6: Mật độ mức hạt nhân 41 Ca [33]:

Hình 4.7: Mật độ mức hạt nhân 55Mn [33]

Hình 4.8: Mật độ mức hạt nhân 56 Fe [33] Hình 4.9: Mật độ mức hạt nhân 60 Co.

kích thíc 5.1 Khí

Chúng ta khảo sát mật độ trạng thái hạt nhân khi cố định số giả hạt kích thích Nói một cách chặt chẽ, từ c

hạt kích thích là tích phân chuyển động Tuy nhiên có thể đưa vào một đại lượng

Chương 5 Mật độ trạng thái khi cố định số giả hạt

h các hạt Bolzman

ác định luật bảo toàn không thể suy ra số giả

vật lý (ký hiệu là n) của các mẫu hạt độc lập và mẫu hạt nhân siêu chảy mà giá trị của nó được xác định bằng số giả hạt kích thích, toán tử của nó giao hoán với Hamilton của hệ Với quan điểm này có thể gọi đại lượng vật lý n đó là tích phân chuyển động Điều khẳng định này cho phép phân loại trạng thái theo số kích thích tức là chúng ta có quyền tách ra và tính lại chỉ những t

số hạt và lỗ trống bị kích thích còn trong mẫu siêu chảy

kích thích tư

trạng thái hạt - lỗ trống xuất hiện do phát tri

bằng các hạt [74, 75]

Bolzman Mẫu này không tính đến nguyên lý Pauli đối với số trạng thái một hạt

bị lấp đầy được sử dụng rộng rãi khi mô tả các quá trình tiền cân bằng Vấn đề

là chỉ trong mẫu này mới thu được các biểu thức phân tích đơn giản thuận tiện

đối với các đặc trưng thống kê khi cố định n

Chúng ta khảo sát mật độ trạng thái của hệ gồm n hạt Bolzman Để làm vậy, chúng ta phải th

)(Q

ở đây việc lấy tổng được hực ện th rạng thái i có năng lượng Eicủa hệ Khi viết năng lượng Ei dưới dạng tổng các năng l ng m hể thay việc lấy tổng các trạng thái của hệ thành lấy tổng theo tất cả các trạng thái

c gi trị εn trong trường hợp khí Bolzman được giả thiết là khác nhau Khi viết exp(-βEi) dưới dạng tích các thừa số exp(-βEν) đối

h t và ổng eo c trạn thái hả dĩ một cách riêng iệt chúng ta thu được biểu thức:

Bộ các giá trị khả dĩ εν đối với tất cả các hạt giống nhau là như nhau và tổng

ν exp( ν)cũng như vậy Tất cả các bộ n giá trị εν khác nhau chỉ ở phân bố các hạt theo trạng thái εν khác nhau tương ứng với chỉ một trạng thái lượng tử của hệ Vì thế cần chia biểu thức (5.1) theo số chuyển hoá khả dĩ n hạt với nhau tức là n! Như vậy ta có:

n

! n

) (

n

nd

eg

!n

i với hệ Fermi vừa tạo thành mà cnhư là các hạt Bolzman, tổng năn

( )

!1hp(h

!p

Ugg)U(

1 h p

=ω

ư +

(5.4)

ph

ư+

thức (5.4) vừa nhận được một cách chính xác nhờ lý thuyết tổ hợp [5, 6] mà không sử dụng phương pháp đường yên ngựa Nếu sử dụng phương pháp đường yên ngựa, đối với ωph

Chúng ta nhận thấy rằng công

(v) ta sẽ có : ( )

=ω

p(12

11

!1hp(h

!p)U(ph

Do vậy trong trường hợp này đối với mật độ trạng thái, phương pháp

⎛

ư +Ug

g p h 1

đường yên ngựa cho độ chính xác đủ cao

Đối với hệ như trên cũng có thể khảo sát sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào mômen góc [77] Đối với p hạt có thể viết:

! p

1 ,

Q β à = ⎢⎣⎡∑ ưβε +à ⎥⎦⎤

ν

.6)

ở đây mν - hình chiếu mômen góc của trạng thái một hạt thứ ν Thế hoá

ác định từ điều kiện bảo toàn giá trị hìnhNếu giả thiết phổ một hạt của hệ là rời rạc và các trạng thái bị phân tách theo dấu hình chiếu nhưng giá trị tuyệt đối của hình chiếu của các trạng thái là như

υ

học à được x chiếu mômen góc của hệ

thể nhau tức là đối với tất cả các hình chiếu mν = ± m, tổng thống kê (5.6) có

=à

β

=

ư à

p 0 k

) k p ( m k p

2

g

!p

1,

p h

p

1 h p

h i

i

i i

p M U ph

)gU(g

),(Q),(Qe

dd

)i2(

1)

M,U(

∞ + β

∞

ư β

∞ + à

∞

ư à

(5.8)

C

!1hp(h

!p2

ư + +

=

Rõ ràng là trong mẫu này mỗi hình chiếu mô men góc suy biến bậc m (có

m giá trị) và thay đổi với bước ∆M = 2m Trong tổng (5.8), theo các giá trị khả

dĩ M ta thu được biểu thức như đối với mật độ trạng thái (5.4) Ngoài ra từ (5.8)

ta suy ra rằng hình chiếu M bị giới hạn:

)hp(m

maxTrong gần đúng mô men nhỏ M << M theo công thức Stirling đối với các giai thừa, biểu thức (5.8) có thể chuyển sang dạng đơn giản hơn như sau:

ưω

+π

=

)hp(m2

)1hp(Mexp

)U()hp(

2)

M,U

Mexp

2

)U()

)hp(

2 2

2

ư+

trạng thái với tổng n của p hạt bị kích thích và h lỗ trống (n = p + h) Đối với hệ Fermi của một loại hạt, toán tử số kích thích có dạng [78]:

ở đây là toán tử số hạt

ε+

ư

=

khi1

q

là các toán tử lấp đầy trạng thái một hạt thứ ν Sử dụng các biểu thức (2.1a)

và (2.1b) đối với toán tử Hamilton

Chúng ta khảo sát đặc trưng hạt - lỗ trống trong mẫu các hạt độc lập Trước hết là tính mật độ

nˆ

∑+

=

ν qνnˆνNˆ

H ˆ và số hạt N ˆ dễ dàng chứng minh rằng toán

tử nˆ giao hoán với H ˆ và N ˆ và như vậy nó là tích phân chuyển động Khi đó tương tự ở Đ 2.1 đối với mật độ trạng thái ω(E, N, M, n) tương ứng với (1.102) ta

=γκα

β

N),,,(

Q

2 / 1

2

0 0 0

S

n,N,M,

ưβ

=

ν qν nνN

nN

nE

(5.18)

qm

exp1

nν = + βεν ưαưκ ν ư γ ν ư (5.19)

là trung bình số giả hạt lấp đầy của trạng thái một hạt thứ ν Chúng ta không đưa vào các đạo hàm bậc hai để tính định thức D Chúng sẽ được tính dễ dàng trong các bước tính ω đã được đưa ra trong mục Đ1.4

Chúng ta hãy khảo sát kỹ hơn các đặc trưng hạt lỗ trống của hệ có phổ các mức một hạt, mật độ g/2 suy biến bậc 2 theo dấu hình chiếu mômen quỹ đạo một hạt

m Trong trường hợp này khi lấy tổng theo ν, rất dễ dàng tách tổng theo dấu của hình chiếu m và cả khi xác định qν theo (5.14), tổng theo ν được thực hiện từ 0

đến εF với qν= -1 và từ εF đến ∞ với qν=1 Khi đó trong gần đúng liên tiếp với hệ phương trình (5.18) ta có:

ε

dnnd

nn2

gN

ư

ư ε

+

n2

ư ε

+ +

ư + ε

+

ư +

gmM

dnnd

nn2

gN

dnnd

2nn2

gEE

U

F

F F

F F

0

0 0

x

2 0 0

e1ln

U2

S= β0 ưγ0 ưκ0 (5.23)

Hệ các phương trình (5.22) có thể làm hệ cơ bản cho các tính toán khác Chúng ta xem xét gần đúng mômen nhỏ Giả thiết κm << 1 và phương trình (5.22) được khả triển theo chuỗi κm chúng ta sẽ có:

2 2

0

)(exp1

mdx

xexp1lng2g6U

(5.24a)

)(exp1

gm2M

0 0

2 0

γ

ư+

0 2

2 0 0

)(expmgexp

1lng2

n

γ

ư+

β

γ

ưκ

+γ+β

dxxexp1lng2g6

2 0

γ

ư+

ư

(5.25b) m

4

x0

γ

Mật độ trạng thái ω(U, M,n) trong gần đúng này thu được như sau [79]:

eMexp

1lng

2

2 0

β+γ+β

=

n

2 n 2

n2

2

Mexp

n,Un

,M,

ưω

n

exp1

gm2

γ

ư+

Ugn,Ug

n,

/ 3 0 1

/

exp1exp

1lnn

2

exp11U

g/n

⎢⎣ π

nU

2

lượng β0 và γ0 trong (5.27) - (5.30) được xác định bằng hệ phương trình

(5.30) đối với mật độ các trạng thái

hạt-g tính đến mômen hạt-góc được đưa ra tronhạt-g

ộ trạng thái không cố định số kích thí

các đại

(5.25) khi M = 0 Các hệ thức (5.28) -

lỗ trống khôn [78] Cũng như trong bài toán về mật đ ch, trong trường hợp này

chúng ta có thể đưa vào khái niệm mômen quán tính mà nó được xác định như sau:

( 0 )

2 0

0

exp1

gm2

γ

ư+

=βσ

Ug08,12lntg2

Khi M = 0 tỷ số của các đặc trưng thống kê Sn n, Jn với các đặc trưng tương tự khi γ = 0 phụ thuộc chỉ vào

số của hệ được khảo sát Trên hình 5.1 biểu thị tỷ số Sn/

dạng chung không phụ thuộc vào các thông

S,

σ

σn2,

toàn số hạt và lỗ trống kích thích n Rõ ràng rằng khi n <<

hế hoá học γ tương ứng với quy luật bảo

định được tính ở nhiệt độ t = εF/15 đối với

ị γ khác nhau.

Chúng tồn tại các đặc trưng xác định khi

rm số kích thích xác các giá tr

ta nhận thấy trong hệ với n cố định

biểu thị số lấp đầy trung bình n theo năng lượng trạng thái một hạt ε Trên hình 5.2 chỉ ra sự phụ thuộc n(ε/ε ) Trên hình vẽ thấy rõ sự thay đổi ngột ngột khi ε

= εF mà giá trị của chúng không phụ thu

ưε

ưδ+

e1

ln0

2 x

(5.33)

Chúng ta khảo sát trường hợp ngưỡng của sự phụ thuộc của đặc trưng hạt lỗ trống vào n/n Như đã nhận thấy khi n /n = 1, đại lượng γ = 0, entropy Sn, thông

số phụ thuộc spin σn2, mômen quán tính ℑTB bằng các giá trị tương ứng của mẫu

khi Fermi không cố định số kích thích n/n << 1 tương ứng với trường hợp γ→

- ∞ Một cách gần đúng có thể coi là thay thế (5.33) vào (5.25) khi M = 0 ta thu

được:

08,1

;

nln2Ug2

nln

2

≈λ

n2

M'

hơn nữa giới hạn này đạt được khi γ → - ∞ tức là khi n/n << 1 Từ (5.37) suy

ra rằng hình chiếu mô men góc M của hệ không thể lớn hơn tổng các hình chiếu mô men một hạt và lỗ trống bị kích thích

Chúng ta khảo sát trường hợp khi n/n >> 1 Khi đó γ → ∞ và có thể viết một cách gần đúng:

γ

x 0

2 2

26dxe1

Thay thế (5.38) vào (5.25) khi M = 0 ta thu được:

(4gU n2 )

3/

tổ hợp Trên hình 5.3 là sơ đồ kích thích của hệ Fermi với phổ một hạt phân bố

đều của mật độ g Bên dưới εF xuất hiện các lỗ trống, bên trên εF là các hạt, hơn nữa trong trường hợp kích thích có năng lượng cực tiểu, các hạt và lỗ trống được sinh ra gần năng lượng Fermi εF Rõ ràng là năng lượng cực tiểu để kích thích p hạt và h lỗ trống trong hệ (p = h = n/2) bằng:

g4

ng

1k2g

gg

U

1 k

=

1n2

Hình 5.3 Phân bố hạt trong hệ Fermi với n cố định khi t = 0

ở trên đã nghiên cứu đặc trưng thống kê đối với các trường hợp ngưỡng ở gần

đúng mômen nhỏ Bây giờ chúng ta cần xem xét vấn đề mômen cực đại mà nó

có thể xuất hiện trong hệ và cả vùng giá trị M mà các gần đúng mômen nhỏ đủ

để mô tả các đặc trưng hạt – lỗ trống của hệ Ta đã thu được hệ thức (5.37) đối

β+

=

2 2

2

gm4g

4

g3U

ở giới hạn t = 0 (β → ∞) từ phương trình cuối cùng của (5.43) ta thu được:

⎪⎪

⎬

⎫β

=γ

β

=

g2

n

;mg2

M

(5.43)

U = n2 /( )4g + M2 /(4gm2 ) (5.44)

từ đó suy ra rằng trong trường hợp này năng lượng kích thích phân bố như sau:

Umin = n2/4g - năng lượng cực tiểu để kích thích n hạt và lỗ trống trong hệ;

M2/ (2ℑn ) = U - n2/4g - năng lượng quay khi các hạt và lỗ trống chiếm các

trạng thái một hạt khả dĩ thấp nhất khi đó ℑT = 2gm2 = 2ℑtb phù hợp với biểu

thức (5.42c) mà ta đã thu được Ngoài ra từ 44) suy ra rằng giá trị khả dĩ cực

đại của mômen trong hệ bằng:

(5

4/nUgm2

Do vậy khi n < n mômen cực đại bằng Mmax, còn khi n > thì mômen n

cực đại bằng M”max Chúng ta hãy tìm giá trị n/n sao cho cả hai biểu thức (5.37)

và (5.45) bằng nhau Thay thế chỗ M”max trong (5.45) bằng giá trị M ' max = mn ta

có:

31,1n/

Như vậy, ta thu được vùng tác động của các hệ thức (5.37) và (5.45) chính

xác hơn với n/n < 1,31 giới hạn của Mmax được tính bằng (5.37), còn với

n/n>1,31 thì bằng biểu thức (5.45) Cuối cùng từ (5.37) và (5.45) suy ra rằng

giá trị cực đại khả dĩ của hình chiếu mômen góc trong hệ bằng:

nm31,1

) Rõ ràng rằng gần đúng mômen nhỏ mô tả chính xác entrôpy của hệ ở

n bất kỳ, kể cả vùng mômen lớn đối với n > n tức là khi M gần bằng

entrôpy S vào tích phân chuyển động nên có thể giả thiết rằng mật độ trạng thái

Phần mô tả dạng đặc trưng hạt lỗ trống của hệ Fermi với phổ rời rạc chúng ta xem hình 5.5

Hình 5.5 Sự phụ thuộc năng lượng của mật

độ trạng thái và thông số phụ thuộc spin

được tính cho mẫu khí Fermi theo công thức 5.27 ; 5.28 (đường cong liền nét) và

đối với mẫu khí Bolzman theo công thức (5.4) và (5.12) (đường đứt nét) khi số hạt kích thích cố định Các con số ở các đường cong là n = p+h - số hạt và lỗ trống bị kích thích Các đường cong được tính với hệ có g=12,2MeV -1 , m 2 =1

Trên hình là sự phụ thuộc năng lượng của lnωn và σ2

n Rõ ràng là mẫu khí các hạt Bolzman mô tả khá tốt ωn và σ2

n ở n nhỏ Sự khác biệt rõ xuất hiện ở vùng năng lượng kích thích nhỏ đối với n lớn là do ảnh hưởng của nguyên lý cấm Pauly còn có tác dụng Để xem vai trò nguyên lý Pauly đến đâu, thường sử dụng công thức gần đúng thu được trong [80] để tính ω(U,n):

(p h 1 )!

!h

!p

Ugg)

U(

1 h p

* ph

ư+

=ω

ư +

i xuống đặc biệt gần ngưỡng xuất hiện n kích thích

Chúng ta xem xét ảnh hưởng của cấu trúc lớp của

trưng thống kê của hạt nhân nguyên tử khi số giả hạt kích thích cố định ở đây

sẽ không tìm cách đưa ra các hệ thức cần thiết ể tín hống kê này vì rất dễ dàng thu được chúng Chúng ho toà c (2.53) - (2.60) Chỉ

ất bổ sung một phương trình để xác định toạ độ điểm yên ngựa γ và tư

hiệu ứng lớp xuất hiện mạnh nhất ở các tính chất của hạt nhân hai lần magic Trên hình 5.6 và 5.7 là các đặc trưng hạt - lỗ trống của hạt nhân Pb208

không cố định số kích thích và với mẫu khí Fermi ảnh hưởng của cấu trúc lớp

uộc nhiều vào năng lượng kích thích Khi tăng năng lượng kích thích, ảnh hưởng của hiệu ứng lớp giảm yếu và các đường cong sẽ

ễ nhận thấy sự suy yếu của hiệu ứ

được với phổ một hạt của thế Xăcxon - Wud [16], khi so sánh với các tính toán

tỏ ra rất mạnh khi so sánh với các tính toán các đặc trưng trong mẫu có phổ một hạt phân bố rời rạc (hình 5.7) Rõ ràng là đối với phổ cấu trúc lớp, dạng các

đường cong trên hình phụ th

gần với dạng tính cho mẫu khí Fermi Tuy nhiên d

ng lớp xuất hiện chủ yếu với n ≤ n tức là khi sự suy biến lớp không áp

đặt các giới hạn lên sự phân bố năng lượng kích thích của hệ theo các trạng thái khả dĩ của các hạt và lỗ trống Đối với n > n các hiệu ứng lớp luôn tồn tại và sự khác biệt với các đường cong của khí Fermi là lớn cả khi năng lượng kích thích cao Trong [81] đã chứng minh rằng nếu đưa vào các đại lượng a , m 2 tương ứng với (2.63), (2.62) mà trong mẫu khí Fermi chúng là hằng số thì sự phụ thuộc năng lượng của chúng còn tỏ ra mạnh hơn so với trong giải pháp không cố định

Chúng ta khảo sát mật độ trạng thái của hệ gồm N hạt Fermi có năng lượng kích thích U đã cho, hình chiếu mômen góc M và số giả hạt kích thích đã biết n Các toán tử hình chiếu mômen góc Mˆ và số giả hạt kích thích có dạng:

=

+ ν

Hình 5.6 Sự phụ thuộc năng lượng của các

σ σ

và γ vào n/n đối với Pb 208 [77, 81] ở các năng lượng kích thích khác nhau U(đường liền nét) Sự phụ thuộc tương tự trong mẫu khí Fermi được thể hiện bằng các đường

đứt nét

viết các hệ thức tổng quát để tính toán mật độ trạng thái của hệ với N, U, M và n

đã biết Để mô tả chính xác nhất ảnh h

ạc

gần đúng nhiệt độ thấp t << εF và gần đúng phổ liên tục Các tính toán sẽ bớt phức tạp hơn rất nhiều khi giả thiết như vậy vì điều kiện bảo toàn số hạt toàn phần sẽ tự động thoả mãn do tính đối xứng của phổ một hạt đối với λ và các đặc trưng khác của hệ được tính đến trong hàm mật độ trạng thái thông qua các thông số g, m và ∆0

ới

ưởng của các hiệu ứng cặp tới các đặc trưng thống kê, chúng ta giả thiết rằng hệ có mật độ g/2 và phổ một hạt rời rsuy biến bậc 2 theo hình chiếu của mômen góc m Ngoài ra chúng ta sẽ sử dụng

Trong các gần đúng này, tương ứng với phân tích trong chương 3, đối ventrôpi S của hệ có thể viết [77]:

∆+εβ

ư++κ+γ+

∆+εβ

lnmexp

ln

nmn

mg

S

~

2 2 2

2 0

2 2 2

2

11

n n g

U

0

2 0

2 2

2 2

2

1 (5.53a)

( ) ε

=gω n+ nư dn

n± = + β ε+∆ ưγ m κ ư (5.54)

là trung bình số lấp đầy các trạng thái giả hạt ; ∆0và ∆ - hàm tương quan của trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích mà chúng được xác định từ các phương trình:

∫

∆+ε

εω

ư+

∆

ư

∆ + ε +

2 2

2 0

0

∆ + ε

ngưỡng Giả thiết rằng t = 0 (

thấp nhất với U, M, n và U từ hai trường hợp ngưỡng

Từ phương trình (5.56c) suy ra rằng trong hệ không thể có mômen góc

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình (5.56) đối với một loạt các trường hợp

β→∞) Trong trường hợp này hệ nằm ở trạng thái

đã biết Chúng ta tìm ∆

M = mn và M = 0