ảnh hưởng của thăng giáng nhiệt lên mật độ mức trong hạt nhân

Đối với hệ hạt nhân nguyên tử, thăng giáng nhiệt ảnh hưởng rất mạnh tới cấu trúc hạt nhân tại nhiệt độ hữu hạn hay năng lượng kích thích lớn, đặc biệt là tới tính chất kết cặp và mật độ

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

ẢNH HƯỞNG CỦA THĂNG GIÁNG NHIỆT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

T.S NGUY ỄN QUANG HƯNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2014

L ỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng

dẫn, giúp đỡ, dạy bảo tận tình của quý thầy cô của trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và những thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn đến quý thầy cô trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là những thầy cô đã tận tình dạy bảo tôi trong suốt thời gian qua

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến Tiến Sĩ Nguyễn Quang Hưng đã dành nhiều

thời gian và tâm huyết để hướng dẫn nghiên cứu và giúp tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Nhân đây, tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh cùng các thầy cô trong khoa Vật Lý đã tạo điều kiện để tôi học tập

và hoàn thành tốt khóa học

Mặc dù tôi đã có nhiều cố gắng để hoàn thành tốt luận văn của mình, tuy nhiên không tránh khỏi còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được những đóng góp quý báu của của quý thầy cô và các bạn

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

LỜI MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 7

1.1 Hamiltonian k ết cặp 7

1.2 Lý thuy ết BCS tại nhiệt độ hữu hạn (FTBCS) 9

1.2.1 Lý thuyết BCS tại nhiệt độ bằng không 9

1.2.2 Lý thuyết FTBCS 10

1.3 Lý thuy ết FTBCS có tính tới ảnh hưởng của các thăng giáng nhiệt (lý thuyết FTBCS1) 11

1.4 M ật độ mức 13

1.4.1 Mật độ mức tính theo lý thuyết FTBCS 13

1.4.2 Mật độ mức tính theo lý thuyết FTBCS1 16

CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ THẢO LUẬN 18

2.1 Các s ố liệu đầu vào cho tính toán 18

2.2 K ết quả tính toán và phân tích 19

2.2.1 Khe năng lượng kết cặp 19

2.2.2 Năng lượng kích thích toàn phần 23

2.2.3 Nhiệt dung riêng 25

2.2.4 Entropy 29

2.2.5 Mật độ mức 32

K ẾT LUẬN 35

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 37

L ỜI MỞ ĐẦU

Hạt nhân nguyên tử bất kỳ được tạo bởi các neutron và proton hay gọi chung là các nucleon Các nucleon này là các hạt Fermion phân bố trên các mức năng lượng đơn hạt khác nhau tuỳ thuộc vào từng hạt nhân khác nhau Các mức năng lượng này là rời rạc Tuy nhiên

số mức trên một đơn vị năng lượng sẽ tăng khi hạt nhân bị kích thích, tức là không còn ở

trạng thái cơ bản nữa Do vậy, khi hạt nhân càng rời xa trạng thái cơ bản thì khoảng cách

giữa các mức năng lượng càng nhỏ.Đại lượng phổ biến dùng để mô tả tính chất thống kê này của hạt nhân là mật độ mức [26].Mật độ mứctheo định nghĩa là số mức trên một đơn vị năng lượng tại một giá trị năng lượng kích thích xác định Các mức năng lượng kích thích trong hạt nhân có thể phân chia theo vùng kích thích năng lượng thấp và vùng kích thích năng lượng cao và sự phân bố các mức theo hai vùng này là khác nhau Khoảng cách giữa các mức nằm ở vùng năng lượng kích thích thấp khá nhỏ Các mức này nằm tách biệt hẳn so

với các mức khác và chúng có cấu trúc đơn giản Tại vùng năng lượng kích thích cao, khoảng cách giữa các mức giảm và do vậy bản chất của sự kích thích trong vùng này trở nên

rất phức tạp[9]

Mật độ mứcđược biểu diễn như hàm của năng lượng kích thích, moment góc, số hạt,

chẵn lẻ, spin đồng vị…Các số liệu về mật độ mức có đóng góp rất quan trọng không những trong cácnghiên cứuvề cấu trúc của hạt nhân như xác định tiết diện phản ứng, tốc độ phản ứng, mà còn trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu cũng như ứng dụng khác, cụ thể [26, 1]:

a) Thi ết kế các máy gia tốc chùm hạt nhân phóng xạ: Thông tin về mật độ mức

rất cần thiết cho việc tối ưu hoá các điều kiện thực nghiệm trong quá trình thiết kế các máy gia tốc chùm hạt nhân phóng xạ, đặc biệt là các máy gia tốc chùm hạt nhân phóng xạ không bền

b) Ph ản ứng phân hạch: Chiều cao của rào thế phân hạch cũng như phân bố của

hạt nhân tạo thành trong quá trình phân hạch phụ thuộc vào mật độ mức c) T ổng hợp hạt nhân: Để mô tả được quá trình tổng hợp hạt nhân, đặc biệt là

các hạt nhân không bền tạo thành trong môi trường vũ trụ thì chúng ta phải

biết được cấu trúc các hạt nhân trước và sau khi tham gia vào quá trình phản ứng Mật độ mức là một trong các thông số quan trọng giúp chúng ta hiểu biết

về cấu trúc của các hạt nhân này

d) Y h ạt nhân: Các số liệu chính xác về mật độ mức giúp chúng ta tính toán được

tiết diện của các phản ứng dùng để sản xuất các đồng vị phóng xạ sử dụng

trong chữa bệnh, từ đó giúp cho chúng ta có thể tối ưu hoá các sản phẩm đồng

vị phóng xạ tạo thành

Thăng giáng đóng vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu các hệ hữu hạn như

hạt nhân nguyên tử, các hạt kim loại siêu dẫn rất nhỏ hay các hệ có kích cỡ nano Do vậy, các lý thuyết đã áp dụng tốt cho hệ nhiều hạt phải được hiệu chỉnh để tính tới các thăng giáng khi áp dụng cho các hệ nhỏ Đối với hệ hạt nhân nguyên tử, thăng giáng nhiệt ảnh hưởng rất mạnh tới cấu trúc hạt nhân tại nhiệt độ hữu hạn hay năng lượng kích thích lớn, đặc biệt là tới tính chất kết cặp và mật độ mức trong hạt nhân

Lý thuyết đầu tiên về kết cặp trong hạt nhân đã được Aage Bohr và Ben Mottelson (Nobel Vật lý năm 1975) đưa ra lần đầu tiên từ những năm 1950s [4] Lý thuyết này dựa trên giả thuyết rằng sự kết cặp trong hạt nhân tương tự như kết cặp của các electron trong quá trình siêu dẫn theo lý thuyết của Bardeen, Cooper, và Schrieffer (BCS) (Nobel Vật lý năm 1972) về tính siêu dẫn của kim loại [3] Lý thuyết BCS sau này được sử dụng rộng rãi trong việc mô tả tương quan kết cặp trong hạt nhân.Tại nhiệt độ khác không, lý thuyết BCS

tại nhiệt độ hữu hạn (FTBCS) cũng được áp dụng phổ biến trong việc mô tả tính chất kết

cặp của hệ hạt nhân nguyên tử.Một ví dụ tiêu biểu là lý thuyết FTBCS đã tiên đoán rằng tương quan kết cặp của hệ giảm dần theo sự thăng của nhiệt độ và biến mất tại một nhiệt độ

tới hạn T c có giá trị gần bằng 0.568 lần giá trị của khe năng lượng kết cặp tại nhiệt độ T = 0

[3] Hệ quả là trong hệ xuất hiện sự chuyển pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thông

thường và nhiệt độ T c còn được gọi là nhiệt độ chuyển pha Tiên đoán này khá phù hợp với

kết quả thực nghiệm được tìm thấy trong các hệ vĩ mô như các chất bán dẫn kim loại Tuy nhiên, khi áp dụng vào các hệ nhỏ như hạt nhân nguyên tử thì lý thuyết FTBCS không mô tả

tốt tính chất nhiệt động học của các hệ này.Đó là bởi vì lý thuyết FTBCS bỏ qua các thăng giáng nhiệt gây bởi sự hữu hạn của các hệ nhỏ này

Nghiên cứu ảnh hưởng của các thăng giáng nhiệt lên tính chất nhiệt động học của hạt nhân là chủ đề của rất nhiều nghiên cứu trong suốt ba thập kỷ qua Ngay từ những năm 70,

bằng việc áp dụng lý thuyết vĩ mô về chuyển pha của Landau vào mô hình đồng nhất (uniform model), Moretto đã chỉ ra rằng các thăng giáng nhiệt đã làm xóa nhoà sự dịch chuyển pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thông thường [20] Khe năng lượng kết cặp

của các hệ này theo đó sẽ giảm dần nhưng không bị biến mất tại nhiệt độ T = T c như tiên

đoán của lý thuyết FTBCS và luôn hữu hạn (có giá trị khác không) tại T > T c Tới những năm 80, bằng việc áp dụng lý thuyết Hartree-Fock-Bogoliubov tại nhiệt độ hữu hạn

(FTHFB) có tính đến ảnh hưởng của thăng giáng nhiệt cho hệ hạt nhân nguyên tử, Goodman cũng đã tìm thấy hiện tượng tương tự như phát hiện của Moretto [10] Các lý thuyết được xây dựng trong thập niên 90 sau này như lý thuyết gần đúng quãng đường tĩnh (static-path approximation – SPA) [24], tính toán Monte-Carlo theo mẫu vỏ (shell model Monte-Carlo calculation – SMMC) [8] cũng khẳng định hiện tượng xoá nhoà của chuyển pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thông thường trong hệ hạt nhân nguyên tử Giá trị bán thực nghiệm của khe năng lượng kết cặp rút ra được từ mật độ mức đo được từ các thực nghiệm

gần đây nhất cho hạt nhân nặng 184W cũng khẳng định sự không biến mất của khe năng

lượng kết cặp tại T > T c, giống như tiên đoán của các lý thuyết trên [18] Tuy nhiên các lý thuyết như của Moretto và Goodman cũng như các lý thuyết khác (FTHFB, SPA, SMMC,…) đều chưa chỉ ra được nguồn gốc vi mô của các thăng giáng nhiệt gây nên sự xoá nhòa của dịch chuyển pha trong hệ hạt nhân nguyên tử

Gần đây, hai lý thuyết vi mô đã được xây dựng, đó là lý thuyết BCS đã được cải biên (modified BCS – MBCS) [7] và FTBCS1 [6] Lý thuyết MBCS được xây dựng dựa trên

việc cải biên ma trận mật độ và tensor kết cặp đơn hạt để đưa vào thăng giáng số giả hạt (quasiparticle-number fluctuation – QNF) Trong khi đó, lý thuyết FTBCS1 được xây dựng

dựa trên sự rút gọn theo phương pháp trường trung bình (mean-field contraction) mà theo đó thăng giáng số giả hạt xuất hiện một cách tự nhiên Lý thuyết này cho kết quả giống với các

lý thuyết trước đó về sự không biến mất và hữu hạn của khe nặng lượng kết cặp tại tại T ≥

T c Ngoài ra, hai lý thuyết này đã lần đầu tiên chỉ ra rằng nguồn gốc vi mô gây nên sự không

biến mất của khe năng lượng kết cặp tại T > T ccũng như tác nhân gây nên sự xoá nhoà của

dịch chuyển pha từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thông thường trong các hệ hữu hạn như hạt nhân nguyên tử chính là do thăng giáng số giả hạt

Mục tiêu của luận văn này là áp dụng lý thuyết FTBCS1 như đã đề cập ở trên vào

việc tính toán mật độ mức cũng như các đại lượng nhiệt động học như khe năng lượng kết

cặp, nhiệt dung riêng, entropy, và năng lượng toàn phần cho một số hạt nhân chẵn-chẵn (số proton và neutron là chẵn) như 56

Fe, 60Ni,96Mo,98Mo, và116Sn Bằng việc so sánh các kết quả thu được từ lý thuyết FTBCS1 với FTBCS và với các số liệu thực nghiệm đo được gần đây

bởi trung tâm máy gia tốc (Cyclotron center) của trường Đại học Oslo, Nauy [19, 11], chúng

ta sẽ thấy được tầm quan trọng cũng như ảnh hưởng của các thăng giáng nhiệt, cụ thể là thăng giáng số giả hạt lên mật độ mức cũng như các đại lượng nhiệt động họccủa các hạt nhân trên

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Hamiltonian k ết cặp

Hamiltonian kết cặp sử dụng trong luận văn này bao gồm hai phần, phần mô tả

trường trung bình (mean field) H0 và phần mô tả kết cặp Hpair [22]

thức phản giao hoán của các Fermion có dạng

�𝑎𝑘 , 𝑎𝑘†′� = 𝛿𝑘𝑘′ ; {𝑎𝑘, 𝑎𝑘′} = �𝑎𝑘†, 𝑎𝑘†′� = 0 (1.1.5) Các toán tử số hạt và kết cặp trong các phương trình (1.1.3) và (1.1.4) tuân theo một cách chính xác các định luật về giao hoán tử

[𝑃�𝑘 , 𝑃�𝑘†′] = 𝛿𝑘𝑘′�1 − 𝑁�𝑘 �; [𝑁�𝑘 , 𝑃�𝑘†′] = 2𝛿𝑘𝑘′𝑃�𝑘†′ ,

[𝑁�𝑘 , 𝑃�𝑘′ ] = −2𝛿𝑘𝑘′𝑃�𝑘′

(1.1.6)

Chỉ số k ở đây dùng để biểu thị trạng thái đơn hạt |𝑘, 𝑚𝑘 > với hình chiếu spin đơn

hạt dươngm k, trong khi đó chỉ số -kbiểu thị trạng thái nghịch đảo thời gian |𝑘, −𝑚𝑘 >, tức là

trạng thái với hình chiếu đơn hạt m k âm Hamiltonian k ết cặp (1.1.1) mô tả một hệ có N neutron và Z proton phân bố trên các mức đơn hạt với năng lượng 𝜖𝑘và tương tác với nhau thông qua một lực tương tác cặp đơn cực G Biến đổi Bogoliubov từ các toán tử sinh và huỷ

hạt 𝑎𝑘† và 𝑎𝑘thành các toán tử sinh và huỷ giả hạt 𝛼𝑘† và 𝛼𝑘 có dạng

𝑎𝑘† = 𝑢𝑘𝛼𝑘†+ 𝑣𝑘𝛼−𝑘 ; 𝑎−𝑘 = 𝑢𝑘𝛼−𝑘 − 𝑣𝑘𝛼𝑘† , (1.1.7)

𝑎−𝑘† = 𝑢𝑘𝛼−𝑘† − 𝑣𝑘𝛼𝑘 ; 𝑎𝑘 = 𝑢𝑘𝛼𝑘+ 𝑣𝑘𝛼−𝑘† , (1.1.8)

với𝑢𝑘 và 𝑣k là hệ số của biến đổi Bogoliubov.Thông qua phép biến đổi Bogoliubov (1.1.7)

và (1.1.8), Hamiltonian (1.1.1) biến đổi thành Hamiltonian giả hạt (quasiparticle Hamiltonian)có dạng [5, 13]

1.2 Lý thuy ết BCS tại nhiệt độ hữu hạn (FTBCS)

1.2.1 Lý thuy ết BCS tại nhiệt độ bằng không

Tương tự như lý thuyết BCS dùng để xác định trạng thái cơ bản của các chất bán dẫn [12], lý thuyết BCS dùng trong hạt nhân sử dụng hàm sóng cho hạt nhân chẵn-chẵn (hạt nhân có số neutron và proton đều là chẵn) có dạng[23]

Cũng tương tự như phương trình BCS cho các chất bán dẫn, phương trình BCS cho

hạt nhân tại nhiệt độ bằng không thu được bằng cách lấy biến phân của Hamiltonian

𝐻𝐵𝐶𝑆 = 𝐻 − 𝜆𝑁�để xác định được giá trị trung bình cực tiểu của H BCStrong trạng thái cơ bản (ground state) của hàm sóng (1.2.1)

trong đó, H là Hamiltonian kết cặp cho bởi phương trình (1.1.1),𝑁� là toán tử số hạt cho bởi phương trình (1.1.3), vàλ là nhân Lagrange (Lagrange multiplier) hay còn được gọi là thế

hoá (chemical potential) cần được xác định Từ (1.2.2) kết hợp với một số phép biến đổi đơn

giản, ta thu được phương trình có dạng [23, 2]

2(𝜖𝑘 − 𝜆 − 𝐺𝑣𝑘2)𝑢𝑘𝑣𝑘 − Δ(𝑢𝑘2− 𝑣𝑘2) = 0, (1.2.3) trong đó, khe năng lượng kết cặp Δcho bởi

𝑁 = 〈𝐵𝐶𝑆�𝑁��𝐵𝐶𝑆〉 = 2 � 𝑣𝑘2

𝑘

Hệ các phương trình phi tuyến tính (nonlinear equations) từ (1.2.4) – (1.2.7) được gọi

là các phương trình BCS tại nhiệt độ bằng không và được giải bằng phương pháp lặp với các giá trị ban đầu là số hạt (N hoặc Z), năng lượng đơn hạt 𝜖𝑘, và hằng số lực tương tác cặp

G

1.2.2 Lý thuy ết FTBCS

Tại nhiệt độ hay năng lượng kích thích khác không, hạt nhân ban đầu ở trạng thái

phức hợp (compound nucleus) Sau khoảng thời gian 10-23 giây hạt nhân sẽ đạt trạng thái cân bằng nhiệt và bắt đầu phát các tia gamma để trở về trạng thái cơ bản Do vậy, khái niệm

trạng thái cơ bản của hạt nhân lúc này không còn nữa mà thay vào đó là một tập hợp của rất nhiều trạng thái cơ bản và kích thích nằm trong một môi trường nhiệt bên ngoài Để mô tả được tính chất này của hạt nhân, các lý thuyết về thống kê nhiệt động học thường được sử

dụng.Trong số các lý thuyết thống kê nhiệt động học thì lý thuyết về tập hợp đại chính tắc (grand canonical ensemble – GCE) được sử dụng rộng rãi nhất.GCE mô tả các hệ đồng nhất

nằm trong một môi trường nhiệt bên ngoài.Các hệ này trao đổi với nhau năng lượng và số

hạt Theo GCE, giá trị trung bình của mọi toán tử 𝒪� tại nhiệt độ hữu hạn được tính bằng [6, 12]

trong đó, 𝛽 = 1/𝑇 là nghịch đảo của nhiệt độ

Giống như tại nhiệt độ bằng không, lý thuyết FTBCS cũng được xây dựng dựa trên phương pháp biến phân để cực tiểu hóa giá trị trung bình của Hamiltonian 𝐻𝐵𝐶𝑆 = 𝐻 − 𝜆𝑁� Tuy nhiên giá trị trung bình này được tính trong GCE (1.2.8) thay cho trạng thái cơ bản (1.2.1)

Biến đổi một cách chi tiết từ phương trình biến phân (1.2.9) để tìm giá trị trung bình

cực tiểu của H BCStrong GCE chúng ta thu được phương trình [6, 12]

2(𝜖𝑘′ − 𝐺𝑣𝑘2− 𝜆)𝑢𝑘𝑣𝑘 − ∆𝑘(𝑢𝑘2− 𝑣𝑘2) = 0 , (1.3.1) trongđó

𝜖𝑘′ = 𝜖𝑘+ 𝐺

〈𝐷𝑘 〉�(𝑢𝑘′ 𝑘′2 − 𝑣𝑘′2)�〈𝒜̂𝑘†𝒜̂𝑘′≠𝑘† 〉 + 〈𝒜̂𝑘†𝒜̂𝑘′〉�, (1.3.2)

với 𝐷�𝑘 = 1 − 𝒩�𝑘 ;𝒩�𝑘 là toán tử số giả hạt;𝒜̂𝑘†và 𝒜̂𝑘 tương ứng là các toán tử sinh và hủy

giả hạt cho bởi công thức (1.1.10) Từ phương trình (1.3.1) ta thu được khe năng lượng kết

cặp có dạng

số hạng này vào thì việc tính toán mật độ mức sẽ rất phức tạp Do vậy, từ phương trình (1.3.2) chúng ta sẽ thu được𝜖𝑘′ = 𝜖𝑘

Trong phương trình (1.3.3), giá trị trung bình của 〈𝐷𝑘𝐷𝑘′〉được tính một cách chính xác bởi

trong đó

Số hạng𝛿𝒩𝑘𝑘′trong phương trình (1.3.7)có chứa các chuỗi khai triển boson vô hạn

của các toán tử boson, do vậy không thể tính chính xác được [25] Do đó, để tính được giá

trị trung bình này, chúng tôi sử dụng phương pháp khai triển gần đúng trong trường trung

trong đó

Hệ các phương trình (1.3.3) – (1.3.13) cùng với phương trình số hạt [có dạng giống

hệt phương trình (1.2.11)] được gọi là các phương trình FTBCS1.Điểm khác biệt cơ bản

giữa lý thuyết FTBCS và FTBCS1 nằm ở chỗ phương trình cho khe năng lượng kết cặp của FTBCS1 có chứa số hạng 𝛿∆𝑘 [phương trình (1.3.13)] phụ thuộc vào các thăng giáng số giả

hạt

Theo lý thuyết FTBCS1, các phương trình tính toán cho năng lượng toàn phầnE,

nhiệt dung riêng C, và entropy S của hệ có dạng giống hệt các phương trình (1.2.15) –

(1.2.17) của FTBCS Do vậy chúng tôi không viết lại các phương trình ở phần này

1.4 M ật độ mức

1.4.1 M ật độ mức tính theo lý thuyết FTBCS

Theo mô hình thống kê nhiệt động học dựa trên lý thuyết FTBCS của Moretto đề

xuất từ những năm 1970s và được sử dụng rộng rãi trong các tính toán mật độ mức sau này,

mật độ mức của hạt nhân có N neutron,Z proton, và năng lượng Eđược tính thông qua

logarithm của hàm phân chia lớn Ω (the grand partition function)có dạng [21]

trong đó 𝑆 = Ω − 𝛼𝑁𝑁 − 𝛼𝑍𝑍 − 𝛽𝐸là entropy tổng (neutron + proton) của hệ, thu được từ

các lý thuyết FTBCS[phương trình (1.2.16)] Tích phân (1.4.3) được tính thông qua phương

pháp gần đúng điểm yên ngựa (the saddle point approximation) với các điều kiện

Lấy đạo hàm riêng phần bậc nhất và bậc hai của 𝛺(𝛼, 𝛽) theo α N , α Z, và β chúng ta

dễ dàng tìm được biểu thức cụ thể của các đạo hàm trong định thức (1.4.5) như sau [21]

𝑎𝑘

(1.4.8)

𝑎𝑘 = 12𝐸𝑘2sech21

1.4.2 M ật độ mức tính theo lý thuyết FTBCS1

Theo lý thuyết FTBCS1 hàm phân chia lớn có dạng giống như hàm phân chia lớn của FTBCS [phương trình (2.4.6)] Do đó các đạo hàm bậc nhất và hai của hàm phân chia lớn trong FTBCS1 cũng giống như trong FTBCS [phương trình (1.4.7) – (1.4.10)] Sự khác biệt

chỉ đến từ các đạo hàm bậc nhất của khe năng luợng theoα và β [phương trình (1.4.12) và

(1.4.13)] bởi vì phương trình của khe năng lượng kết cặp theo FTBCS1 [phương trình (1.3.11)] không còn đơn giản như trong FTBCS nữa Trong số hai đạo hàm 𝜕∆𝑘/𝜕𝛼 và

𝜕∆𝑘/𝜕𝛽 thì 𝜕∆𝑘/𝜕𝛽 có thể được tính bằng số một cách dễ dàng bằng cách sử dụng định nghĩa của đạo hàm bậc nhất

lấy đạo hàm bậc nhất của bên trái và bên phải phương trình (1.3.11) theoα Từ đó chúng ta

sẽ thu được một hệ phương trình phi tuyến cho 𝜕∆𝑘/𝜕𝛼 có dạng như sau [15]

Trong phương trình (1.4.14), năng lượng kích thích E* được tính bằng năng lượng

toàn phần E(T) trừ cho năng lượng của trạng thái cơ bản tại nhiệt độ T = 0[27]

trong đó, năng lượng trạng thái cơ bản E g.s được tính bằng năng lượng toàn phần tính theo FTBCS hoặc FTBCS1 tại nhiệt độ T = 0cộng với hiệu chỉnh năng lượng trạng thái cơ bản

E 0

𝐸𝑔.𝑠(𝑇 = 0) = 𝐸𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆(𝐹𝑇𝐵𝐶𝑆1)(𝑇 = 0) − 𝐸0(𝑇 = 0) (1.4.23)

Hiệu chỉnh năng lượng trạng thái cơ bản E 0 được thêm vào trong phương trình (1.4.23) nhằm mục đích mô tả một cách chính xác năng lượng trạng thái cơ bản (ground-state energy) hay năng lượng liên kết (binding energy) của hạt nhân bởi vì trong luận văn này chúng tôi chỉ sử dụng Hamiltonian kết cặp có dạng khá đơn giản [Phương trình (1.1.1)], trong đó các số hạng tương tác bậc cao hơn như tương tác lưỡng cực (dipole), tức cực (quadrupole), bát cực (octupole) chưa được tính tới

CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ THẢO

LU ẬN

2.1 Các s ố liệu đầu vào cho tính toán

Tính toán số được thực hiện với một số hạt nhân có số khối trung bình và nặng như

56Fe, 60Ni, 96Mo, 98Mo, và116Sn Các mức năng lượng đơn hạt của các hạt nhân này được

tính từ phương pháp trường trung bình Hartree-Fock (Hartree-Fock mean field) với lực tương tác nucleon-nucleon (NN) hiệu dụng cho bởi lực Skyrme MSk7 [27] Lực MSk7 có

10 tham số (phương trình (1) của [27]), cùng với 4 tham số của hàm delta dùng cho lực tương tác cặp (phương trình (2) của [27]), và hai tham số hiệu chỉnh Wigner cho các hạt

nhân có N = Z (số neutron bằng số proton) (phương trình (3) của [27]) Lực MSk7 đã mô tả khá tốt khối lượng của 9200 hạt nhân, bao gồm cả những hạt nhân nằm rất xa đường bền

vững.Kết quả tính toán khối lượng của 1888 hạt nhân theo phương pháp Hartree-Fock kết

hợp với lực MSk7 khá tốt với sai số bình phương trung bình so với dữ số liệu thực nghiệm

là khoảng 0.738 MeV

Đối với mỗi hạt nhân, số mức đơn hạt được lấy từ mức năng lượng thấp nhất tới mức năng lượng có giá trị âm cuối cùng, nghĩa là tất cả các mức năng lượng đơn hạt có giá trị âm (bound states) đều được xét tới trong tính toán của chúng tôi.Các hằng số tương tác cặp của

neutron (G N ) và proton (G Z) được điều chỉnh sao cho khe năng lượng kết cặp tại nhiệt độ T

=0trùng v ới giá trị thực nghiệm [23] Giá trị của G N , G Z, và khe năng lượng kết cặp tương

ứng tại T=0(∆ N , ∆ Z) cho các hạt nhân 56Fe, 60Ni, 96Mo,98Mo,và 116Sn được trình bày trong

Bảng 1 Các giá trị này là giống nhau cho cả lý thuyết FTBCS1 cũng như FTBCS

G N (MeV) G Z (MeV) ∆ N (MeV) ∆ Z (MeV)