Suy diễn trong logic ngôn ngữ1

Kể từ năm đó, các hình thức logic đa trị như logic mờ hay logic ngôn ngữ đã trở thành những phương án thay thế cho logic truyền thống và các phương pháp suy diễn, cụ thể là các nguyên tắ

SUY DIỄN TRONG LOGIC NGÔN NGỮ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là nghiên cứu của chính bản thân Các nghiên cứu trong luận văn này dựa trên những tổng hợp lý thuyết và hiểu biết thực tế của mình, không sao chép từ bất kỳ một luận văn nào khác Mọi thông tin trích dẫn đều được tuân theo luật sở hữu trí tuệ, liệt kê rõ ràng các tài liệu tham khảo Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm với những nội dung được viết trong luận văn này

Trần Ngọc Minh

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng của mình tới TS Trần Đức Khánh – người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi trong quá trình tìm hiểu học tập và nghiên cứu đề tài này

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy, các Cô Viện Công nghệ thông tin

và truyền thông, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện cho tôi được học hỏi thông qua các môn học cũng như hoàn thành khoá học

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến gia đình, người thân và bạn bè đồng nghiệp đã khích lệ và động viên tôi hoàn thành luận văn này.!

Tác giả

MỤC LỤC Trang

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Danh mục các chữ viết tắt 5

Danh mục các hình vẽ 6

Lời Mở đầu 7

Chương 1: Logic mờ và phương thức hợp giải mờ 10

1.1 Giới thiệu 10

1.2 Logic mờ 10

1.3 Hợp giải mờ cho mệnh đề logic 21

1.4 Tính đầy đủ của hợp giải mờ 24

1.5 Cài đặt thuật toán hợp giải mờ 24

Chương 2: Đại số gia tử 29

2.1 Giới thiệu 29

2.2 Tập giá trị của các biến ngôn ngữ từ quan điểm đại số 30

2.3 Tiên đề của đại số gia tử mịn hóa và các thuộc tính của nó 35

2.4 Cấu trúc dàn của đại số gia tử mịn hóa (RHA) 41

2.5 Đại số gia tử mịn hóa đối xứng 42

2.6 Cấu trúc đại số của đại số gia tử mịn hóa hữu hạn 43

2.7 Kết luận 46

Chương 3: Logic ngôn ngữ 47

3.1 Cú pháp 47

3.2 Ngữ nghĩa 48

3.2.1 Đại số gia tử đối xứng 48

3.2.2 Thông dịch 51

3.2.3 Giá trị chân lí của các công thức 52

3.2.4 Đưa các công thức về dạng tuyển chính quy (CNF) 53

3.2.5 Thỏa được, mâu thuẫn, sai 53

3.3 Suy diễn 54

3.3.1 Luật suy diễn 54

3.3.2 Độ tin cậy của công thức 54

3.4 Hợp giải trên logic ngôn ngữ 55

3.4.1 Định nghĩa hợp giải 55

3.4.2 Tính đúng đắn của hợp giải 56

3.4.3 Chứng minh tính đầy đủ dựa trên phương pháp cây ngữ nghĩa 58

3.4.4 Cài đặt ví dụ minh họa hợp giải trên logic ngôn ngữ 62

Kết Luận 76

Tài liệu tham khảo 77

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Trang

Hình 1.2 Cấu trúc file dữ liệu cho chương trình hợp giải mờ 27

LỜI MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, chúng ta có những bước tiến lớn trong kỹ thuật thiết kế cách giải quyết vấn đề và hệ thống giải đáp Cách tiếp cận mới có thể được gọi là cách tiếp cận tiên đề mà điều kiện và thông tin được lưu lại như các tiên đề và vấn đề nguyên bản được giải quyết hoặc các câu hỏi được trả lời và được phát biểu như các định lý

Cách tiếp cận này có một hạn chế Đó là khi chúng ta lưu trữ thông tin như các tiên đề, ta giả sử tất cả các thông tin là hoàn toàn đúng và điều không chắc chắn

là không có liên quan Tuy nhiên trong thế giới thực có rất nhiều những điều không chắc chắn và những máy móc làm việc trong thế giới thực này, chẳng hạn robot được thiết kế để khám phá bề mặt mặt trăng chẳng hạn, phải có khả năng đưa ra những quyết định thông minh trong một môi trường “mờ” như vậy

Trong bối cảnh đó, khi mà logic truyền thống (hai trị) không còn đáp ứng được những đòi hỏi của thực tiễn, thì năm 1965 được xem như một cột mốc trong lịch sử tư duy loài người kể từ thời Aristotle Trong năm này, có hai đột phá quan trọng, thứ nhất là của J A Robinson, người đã giới thiệu cái gọi là nguyên tắc hợp giải (resolution principle) và thứ hai là của L A Zadeh, người đã đề xuất khái niệm tập mờ và logic mờ Kể từ năm đó, các hình thức logic đa trị như logic mờ hay logic ngôn ngữ đã trở thành những phương án thay thế cho logic truyền thống và các phương pháp suy diễn, cụ thể là các nguyên tắc hợp giải, sử dụng cho các logic này

đã được nghiên cứu ngày càng sâu rộng và thu được nhiều thành tựu quan trọng như các công trình của T Lee (1972) và M Mukaidono (1982, 1983)

Đặc biệt, việc nghiên cứu xây dựng logic ngôn ngữ và các phương pháp suy diễn trên nó vẫn là đề tài rất “nóng” cho tới ngày nay, bởi vì, ngôn ngữ là công cụ chính để con người chúng ta tư duy, để lấy làm lý do và để đưa ra quyết định nhưng ngôn ngữ tự nhiên lại thường mơ hồ, bất định

Suy diễn trong logic ngôn ngữ, mục đích chính của công việc này là tạo điều kiện cho việc diễn giải và lý luận các kiến thức được thể hiện trong ngôn ngữ tự nhiên, khi mà các câu mơ hồ thường được dùng để đánh giá mức độ chân lý của của

các sự kiện Các gia tử được sử dụng để chỉ các cấp độ khác nhau của sự nhấn mạnh các giá trị chân lý Nó cũng được sử dụng để mô hình hóa kiến thức được thể hiện trong ngôn ngữ tự nhiên Chúng ta thường sử dụng hai mặt của gia tử ngôn ngữ ví

dụ như việc tạo ra các giá trị ngôn ngữ và trong sửa đổi vị từ Do đó, việc sử dụng các giá trị chân lý của ngôn ngữ và các gia tử như là bổ ngữ, để nhấn mạnh hoặc giảm bớt các giá trị chân lý đó Chính xác hơn, trong một chương trình suy diễn logic mờ ngôn ngữ, mỗi một sự kiện hoặc một quy tắc được đánh giá bằng một số mức độ xác định trong miền giá trị chân lý của ngôn ngữ và sử dụng các gia tử để liên kết các sự kiện và các quy tắc lại với nhau

Có thể nói việc suy diễn ngôn ngữ sử dụng logic mờ và các gia tử làm cho ngôn ngữ trở nên mềm mại hơn, không còn cứng nhắc như trong logic truyền thống chỉ có hoặc đúng hoặc sai Kiến thức của chúng ta đã gần hơn với các kiến thức tự nhiên hơn Lợi thế của việc sử dụng logic mờ để đánh giá giá trị chân lý của một sự kiện là kiến thức được tổng hợp lại của các chuyên gia, các nhà nghiên cứu nên sẽ trở nên chính xác hơn trong việc đánh giá mức độ đúng đắn của một sự kiện.Các ứng dụng như là mô hình cơ sở dữ liệu mờ cho ngôn ngữ truy vấn linh hoạt, tính toán ngưỡng và điều khiển mờ … đã được xây dựng dựa trên lý thuyết về suy diễn ngôn ngữ và logic mờ

Xuất phát từ thực tế đó tôi đã quyết định lựa chọn đề tài “Suy diễn trong logic ngôn ngữ” làm đề tài tốt nghiệp cá nhân

Mục tiêu chính của luận văn gồm hai vấn đề như sau :

+ Thứ nhất, tìm hiểu lý thuyết về logic mờ gồm các vấn đề như : cú pháp, ngữ nghĩa và suy diễn, cụ thể là phương thức hợp giải Đồng thời cài đặt thử nghiệm hợp giải mờ cho mệnh đề logic

+ Thứ hai, tìm hiểu lý thuyết về logic ngôn ngữ gồm các vấn đề như :

cú pháp, ngữ nghĩa, phương pháp suy diễn và phương thức hợp giải trên logic ngôn ngữ Đồng thời cài đặt thử nghiệm hợp giải trên logic ngôn ngữ

Để hoàn thành luận văn này, bên cạnh việc tìm hiểu, tham khảo và sử dụng lại một số kết quả từ các bài báo đã được nêu trong mục tài liệu tham khảo, tôi còn

tham khảo và kế thừa một số kết quả từ hai đồ án tốt nghiệp của bạn Nguyễn Ngọc Đức (lớp Hệ thống thông tin – K50) và bạn Đỗ Khắc Phúc (lớp : KSTN-CNTT-

K51) Cấu trúc luận văn được chia thành 3 chương như sau :

Chương 1 : Tìm hiểu lý thuyết về logic mờ như cú pháp, ngữ nghĩa, suy diễn, đặt biệt là phương thức hợp giải mờ với một số tính chất thú vị Đồng thời, qua thuật toán hợp giải mờ, tiến hành cài đặt thử nghiệm hợp giải mờ cho mệnh đề logic bằng ngôn ngữ C#

Chương 2 : Tìm hiểu cấu trúc đại số gia tử, cấu trúc được xây dựng xuất phát từ các thuộc tính ngữ nghĩa của gia tử và các giá trị ngôn ngữ Và dựa vào cấu trúc này, kết hợp với logic mờ để tạo thành logic ngôn ngữ (sẽ được tìm hiểu kĩ trong chương 3)

Chương 3 : Tìm hiểu lý thuyết về logic ngôn ngữ như cú pháp, ngữ nghĩa, suy diễn và phương thức hợp giải trên logic ngôn ngữ Đồng thời, tiến hành cài đặt thử nghiệm phương thức hợp giải trên logic ngôn ngữ bằng ngôn ngữ C#

Do hiểu biết, thời gian nghiên cứu hạn chế kính mong các Thầy, Cô và các bạn giúp đỡ đóng góp ý kiến để luận văn này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 02 năm 2012

CHƯƠNG 1 LOGIC MỜ VÀ PHƯƠNG THỨC HỢP GIẢI MỜ

1.1 Giới thiệu

Trong những năm gần đây, chúng ta có những bước tiến lớn trong kỹ thuật thiết kế cách giải quyết vấn đề và hệ thống giải đáp Cách tiếp cận mới có thể được gọi là cách tiếp cận tiên đề mà điều kiện và thông tin được lưu lại như các tiên đề và vấn đề nguyên bản được giải quyết hoặc các câu hỏi được trả lời và được phát biểu như các định lý

Cách tiếp cận này có một hạn chế Đó là khi chúng ta lưu trữ thông tin như các tiên đề, ta giả sử tất cả các thông tin là hoàn toàn đúng và điều không chắc chắn

là không có liên quan Tuy nhiên trong thế giới thực có rất nhiều những điều không chắc chắn và những máy móc làm việc trong thế giới thực này, chẳng hạn robot được thiết kế để khám phá bề mặt mặt trăng chẳng hạn, phải có khả năng đưa ra những quyết định thông minh trong một môi trường “mờ” như vậy

Đương nhiên chúng ta có thể giải quyết vấn đề này bằng cách kết hợp lý thuyết xác suất với logic biểu tượng (symbolic logic) Tuy nhiên, chúng ta sẽ đề xuất một giải pháp khác đó là thay vì sử dụng logic hai trị (true, fasle) cổ điển chúng ta sẽ sử dụng logic mờ (fuzzy logic) là dạng đặc biệt của logic đa trị Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày một số tính chất thú vị của logic mờ, những tính chất này giải thích tại sao logic mờ lại phù hợp khi kết hợp nó vào hệ thống giải quyết vấn đề Các kết quả (các định nghĩa, định lý, hệ quả, bổ đề, thừa nhận) đều được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [15]

1.2 Logic mờ

Logic mờ có thể được định nghĩa như là một hệ số học <[0, 1], , , > với khoảng đóng [0, 1] là tập các giá trị chân lý, và các phép toán logic AND (),

OR () và NOT () được định nghĩa như sau :

T(S) = T(A) nếu S = A, A là công thức ground atomic (1.4)

T(S) = 1 – T(R) nếu S = R (NOT R) (1.5)

T(S) = min [T(S1), T(S2)] nếu S = S1 S2 (S1 AND S2) (1.6)

T(S) = max [T(S1), T(S2)] nếu S = S1  S2 (S1 OR S2) (1.7)

T(S) = inf[T(B(x)) | xD] nếu S = (x)B và D là miền của x (1.8)

T(S) = sup[T(B(x)) | xED] nếu S = (Ex)B và D là miền của x (1.9)

Ví dụ 1:Tính giá trị chân lý của biểu thức : S = (PQ)  R

Chú ý rằng T((Ey)P(x,y)) = T(P(x, )  P(x, ))

Từ đó ta có T(S) = T((x)(Ey)P(x,y))

= T( (P( , )P( , )) (P( , )P( , )) )

= min [max[P( , ), P( , )], max[P( , ), P( , )]]

= min [max[0.1,0.3], max[0.2,0.7]]

= min [0.3,0.7]

= 0.3

Định nghĩa 1.2.1: (i=1,…,n) hoặc phủ định của nó ¬ được gọi là các

biến và và ¬ được gọi là phần bù của của nhau hoặc cặp biến bổ sung Mệnh đề

là sự tách ra của các biến hoặc là công thức gồm phép OR () của một vài biến

Để thuận tiện, chúng ta sẽ coi tập các biến như là đồng nghĩa với mệnh đề

Ví dụ : tập {x1, x2, x3} = x1 x2 x3 Mệnh đề bao gồm n biến được gọi là mệnh đề n-ngôi Mệnh đề 1 ngôi được gọi là mệnh đề đơn vị Khi mệnh đề không bao gồm biến nào, ta gọi là mệnh đề rỗng Mệnh đề rỗng thõa mãn mọi thông dịch, mệnh đề rỗng thì luôn luôn sai Ta ký hiệu nó bởi [ ] và T([ ]) = 0 với mọi thông dịch Tập S các mệnh đề được coi như là sự kết hợp của tất cả các mệnh đề trong S

mà mọi biến trong S được coi như là bị chi phối bởi phép lượng hóa phổ biến

Định nghĩa 1.2.2: Công thức mờ được định nghĩa như sau

1 Biến là 1 công thức mờ

2 Nếu F là công thức mờ thì ¬F cũng là công thức mờ

3 Nếu F, G là công thức mờ thì FG và FG cũng là công thức mờ

4 Những điều trên chỉ là công thức mờ

Đưa ra thông dịch I, giá trị chân lý của mệnh đề C được xác định duy nhất bằng cách thay 1 giá trị của khoảng đóng [0,1] xác định bởi thông dịch I cho tất cả các biến của mệnh đề Thông dịch I sẽ ánh xạ mỗi biến tới tập các giá trị chân lý [0,1] Chúng ta sẽ ký hiệu giá trị chân lý của mệnh đề C dưới thông dịch I là (C) Đối với tập các mệnh đề S, chúng ta sẽ ký hiệu giá trị chân lý của S dưới thông dịch

I là (S), nếu S = { , ,…, } thì :

TI(S) = TI(    )

= min ( ( ), ( ),…, ( )) (1.10)

Trong logic mờ (T(x)  T(x)) =1 và (T(x)  T(x)) = 0 với mọi thông

dịch Do đó, mệnh đề trong đó cả xi và ¬xi đồng thời tham gia là quan trọng trong

logic mờ Ta sẽ gọi đó là mệnh đề bổ sung

Định nghĩa 1.2.3:

Cho cặp biến bổ sung và ¬ dưới 1 thông dịch I được gọi là

mâu thuẫn dưới thông dịch I Nếu ( = 0 được gọi là mẫu thuẫn hoàn

chỉnh, nếu ( thì được gọi là phi mâu thuẫn, nếu ( thì được gọi là mâu thuẫn không hoàn chỉnh

Định nghĩa 1.2.4:

Ta định nghĩa độ mâu thuẫn của là cd( ) = max( ( , ( )) –

min( ( , ( )) dưới thông dịch I (1.11) Với cd( )  [0, 1] với mọi thông

dịch

Một mâu thuẫn là mâu thuẫn hoàn chỉnh ( hoặc phi mâu thuẫn) khi và chỉ khi

độ mâu thuẫn của nó bằng 1 ( hoặc bằng 0) với mọi thông dịch Chúng ta xem xét

mâu thuẫn trong logic hai trị, trong đó độ mâu thuẫn có thể bỏ qua khi nó luôn luôn

là mâu thuẫn hoàn chỉnh, trong logic mờ, nếu độ mâu thuẫn bằng 0, nó là vô nghĩa

trong suy luận phản chứng bởi vì nó là phi mâu thuẫn

Định nghĩa 1.2.5:

Giá trị chân lý của mâu thuẫn bằng giá trị chân lý của độ mâu

thuẫn cd( ) được định nghĩa như sau T(cd( )) = (-cd( )) 0.5 + 0.5 (1.12)

=T ( với mọi thông dịch I

Trong đó ( với mọi thông dịch

Định nghĩa 1.2.6:

Xét 2 mệnh đề C1, C2 với C1 = xi L1, C2 = ¬xiL2 với L1, L2 không chứa hoặc ¬ như các chỉ số và không có cặp biến bổ sung được gọi là hợp giải của và với từ khóa là và độ mâu thuẫn của từ khóa là cd( Hợp giải của

và được viết là R( , , và hợp giải mờ của và được viết là

với cd= cd( ) là độ mâu thuẫn của từ khóa hoặc độ tin cậy của phép hợp giải R( ,

Định nghĩa 1.2.7:

Giá trị chân lý của hợp giải mờ là

T( = T(R( , ) T(cd) với mọi thông dịch (1.13)

Trong logic hai trị, độ tin cậy của hợp giải cd luôn luôn bằng 1 và T(cd) luôn luôn bằng 0 T(cd) có thể bỏ qua, do đó T( = T(R( , )

Với A, B, C, D [0,1] ta có các luật suy diễn sau:

Module ponens: nếu A và A → B thì B

Module tollens: nếu ¬B và A → B thì ¬A

Nếu A  B và ¬A thì B

Nếu A → B và B → C thì A → C

Nếu (A→B)(C→D) và AC thì B  D

Nếu (A→B)  (C→D) và ¬B ¬D thì ¬A ¬C

cd = cd(A)= max(A,¬A) – min(A,¬A)

Nếu logic hai trị được sử dụng trong hệ thống giải quyết vấn đề, một biểu thức A được lưu trữ lại nếu giá trị chân lý của A bằng 1 ( nếu giá trị chân lý của A bằng 0 thì ta lưu trữ ¬A) Trong logic mờ, ta lưu trữ A nếu giá trị chân lý của A lớn hơn hoặc bằng giá trị chân lý của ¬A Do đó, ta lưu trữ A nếu T(A) ≥ 1 – T(A), trong trường hợp này T(A) ≥ 0.5

Định nghĩa 1.2.8:

Một thông dịch I được gọi là thỏa mãn công thức S nếu (S) ≥ 0.5 và thông dịch I được gọi là làm sai lệch công thức S nếu (S) ≤ 0.5.Nếu (S) = 0.5 thì I vừa thỏa mãn, vừa làm sai lệch S Do đó trong tập giá trị chân lý [0,1] thì 0 và 1 có thông tin khác nhau rõ ràng và mức không rõ ràng lớn nhất là 0.5 Vì vậy, điểm 0.5

là điểm vô nghĩa trong suy diễn mờ

Định nghĩa 1.2.9:

Một công thức được gọi là không thỏa mãn được nếu và chỉ nếu nó bị làm sai lệch bởi tất cả các thông dịch

Thừa nhận 1.2.1: Chúng ta thừa nhận hệ quả logic Q từ giả thuyết P là có ý nghĩa

chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn:

T(P) ≤ T(Q) do đó T(P) = T(P  Q) với mọi thông dịch (1.15)

Thừa nhận trên là hợp lý, bởi vì mọi hệ quả logic trong logic hai trị đều thỏa mãn điều kiện trên Trong thực tế, hợp giải R( , của và có thể được xem như là hệ quả logic của giả thuyết và trong logic hai trị Do đó, các điều kiện sau thỏa mãn trong logic hai trị:

Chứng minh: Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử , với

Hệ quả 1.2.1:

Cho và là 2 mệnh đề và là hợp giải mờ của và với từ khóa

là , ta có

(1) Nếu T( ≤ T( ) thì ) (1.19)

Chứng minh:

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử , với = 

 với không chứa hoặc ¬ và không chứa một literal

bổ sung Sử dụng chứng minh ở trên ta có

Từ hệ quả 1.2.1, ta biết nếu sử dụng duy nhất khái niệm hợp giải thì nó phụ

thuộc vào giá trị chân lý của từ khóa

Cho S là tập các mệnh đề, tập hợp bao gồm tất cả các phần tử của S và tất cả các hợp giải mờ được suy ra từ các cặp mệnh đề của S ký hiệu là

(1.21) Được gọi là lớp hợp giải đầu tiên của tập S với được gọi là lớp đầu tiên độ tin cậy của hợp giải và với cd1 là độ tin cậy tối thiểu của hợp giải của do

đó =min( ’, ’’,…, ) Lớp hợp giải thứ n của S ký hiệu là được định nghĩa là

T(  ) = T(  ) (1.24) Chứng minh:

không chứa hoặc ¬ và không chứa một literal bổ sung Sử dụng chứng minh ở trên ta có

T( = T(G1)  T(cd’)

T( = T(G2)  T(cd’’)

T(  ) = T(G1  G2) T(G1)  T(cd’’)  T(G2)  T(cd’)  T(cd’)  T(cd’’)

Cho S là tập các mệnh đề và là mệnh đề của Với mọi mệnh đề của , ta có T(S) ≤ T( )

Chứng minh: Nếu là 1 phần tử của S, thì hiển nhiên (trong trường hợp này) cd=1 và T(cd) = 0 )

Giả sử là phần tử của - S do đó là hợp giải mờ từ

2 mệnh đề và của S với từ khóa là Trong đó cd1’ là phần tử của tập của lớp độ tin cậy của hợp giải đầu tiên và cd0’ và cd0’’ là phần tử của tập của lớp thứ 0 độ tin cậy của hợp giải

Ta có cd1’ = min ( , cd( )) và hiển nhiên cd0’ và cd0’’ đều lớn hơn hoặc bằng

Do đó, bằng định nghĩa tập các lớp hợp giải mờ thứ n và bổ đề 1.2.1 ta có

Tiếp theo, là phần tử của -

Tương tự ta có thể chỉ ra 2 mệnh đề và trong sao cho là hợp giải mờ của và với từ khóa Trong đó cdi’ là phần tử của tập của lớp độ tin cậy của hợp giải thứ i và cd(i-1)’

và cd(i-1)’’ là phần tử của tập của lớp thứ (i-1) độ tin cậy của hợp giải, do đó cdi’ = min( , cd( ))

Hệ quả 1.2.2:

Cho S là tập các mệnh đề và , ,…, là các mệnh đề trong S max(T( ),T( ),…,T( ))=b và min(T( ),T( ),…,T( ))=a > 0.5 là ký hiệu tất cả các mệnh đề trong tập (S) Với mọi n≥0 ta có a ≤ T( ) ≤ b

Chứng minh:

Bởi vì T(S) = min(T( ),T( ),…,T( )) và từ định lý 2.2, ta có T(S)≤T( ) = T( )T(cdn’) và bởi vì T(S) = a > 0.5, T(cdn’) ≤ 0.5 do đó a ≤ T( ) Mặt khác, nếu là hợp giải của và , ta luôn luôn có max( , ) ≥ do đó T( ) ≤ b Ta có điều phải chứng minh

Từ bổ đề 1.2.2, ta biết rằng, nếu 1 tập mệnh đề S là không thỏa mãn được, thì

ta có thể có những suy luận quan trọng trong logic mờ Rõ ràng, điều này chỉ ra không thể sử dụng suy diễn mờ để chứng minh tính không thỏa mãn được của tập

các mệnh đề S Tuy nhiên, từ bây giờ, bằng định lý 1.2.2 ta có thể chứng minh tính

không thỏa mãn được Đây là một trong những định lý quan trọng nhất

1.3 Hợp giải mờ cho mệnh đề logic

Ý tưởng chính của hợp giải mờ là kiểm tra tập các mệnh đề S có chứa mệnh

đề rỗng [ ] hay không Nếu S chứa mệnh đề rỗng [ ] thì S là không thỏa mãn được Nếu S không chứa mệnh đề rỗng [ ] thì tiếp theo ta kiểm tra mệnh đề rỗng [ ] có thể được suy ra từ S hay không Nếu chỉ chứa 1 mệnh đề rỗng [ ] ( với độ tin cậy của hợp giải cd) thì suy diễn của mệnh đề rỗng từ S được gọi là sự phản chứng mờ hoặc sự chứng minh mờ của S với độ tin cậy của hợp giải cd Rõ ràng, 1

≥ cd ≥ 0 Nếu cd = 0, thì kết quả suy diễn là vô nghĩa.T( ) = 0.5 hoặc đó là phi mâu thuẫn Nếu cd = 1, thì kết quả suy diễn là có ý nghĩa, T( ) = 0, hoặc đó là mâu thuẫn hoàn chỉnh Nhưng thông thường thì kết quả suy diễn thì không có nghĩa

và cũng không vô nghĩa, 0.5 > T( ) > 0, đó là mâu thuân không hoàn chỉnh Quá trình suy diễn cho thấy đó là sự bác bỏ không hoàn chỉnh ( hoặc sự bác bỏ mờ) Hợp giải mờ phụ thuộc vào cái gọi là sự rút gọn đến chỗ vô lý

Nếu ta có 1 số các nguyên lý mờ, và công thức mờ F đưa ra kết luận, thì ta có thể đưa ra công thức mờ mới từ sự tách các nguyên lý với ¬F Ta có thể chuyển các công thức đó thành tập các mệnh đề S Sử dụng ý tưởng đó của hợp giải mờ, ta có thể lặp lại nhiều lần việc suy ra các tập mệnh đề mới như là hệ quả logic của những cái có sẵn Nếu công thức mờ là có thể suy ra được từ các nguyên lý thì ta có thể suy ra mệnh đề rỗng [ ] bằng các thuộc tính quan trọng của hợp giải đó là tính bác

bỏ mờ hoàn chỉnh Ta có độ tin cậy mờ cd = min(cd1,…,cdn) có thể chỉ ra công thức mờ nguyên bản F có thể đúng được bao nhiêu và có thể suy ra từ các nguyên lý như thế nào

Ví dụ 1.3.1: Chứng minh rằng công thức A→C có thể suy ra từ nguyên lý A→B và

Hợp giải với logic hai trị là trường hợp đặc biệt ( = 1) của hợp giải mờ

Trong trường hợp muốn thay đổi vị từ trong một mệnh đề, mỗi biến riêng của vị từ phải bị rằng buộc Có 2 cách, cách thứ nhất là gán cho các biến riêng giá

trị cụ thể Cách thứ 2 là sử dụng phép lượng hóa của các biến Trong đó có 2 phép lượng hóa là phép lượng hóa phổ biến và phép lượng hóa tồn tại

Ví dụ 1.3.2: Giả sử có các nguyên tắc sau: nếu 1 người đàn ông hy vọng vào việc

kết hôn với 1 người phụ nữ và 1 người phụ nữ hy vọng vào việc kết hôn với 1 người đàn ông thì việc kết hôn sẽ tổ chức giữa người đàn ông và người phụ nữ Ta sẽ tìm khả năng xảy ra đám cưới dưới Mr A( người không hy vọng nhiều vào đám cưới khoảng 60%) và Miss B( người hy vọng nhiều hơn, khoảng 80%)

(1) Ký hiệu marry(x,y) biểu diễn hy vọng của người x vào việc kết hôn với y (2) Ký hiệu marriage(x,y) biểu diễn khả năng kết hôn giữa x và y

(3) T(marry(A,B)) = 0.6 biểu diễn vào hy vọng của Mr A kết hôn với Miss B là 60%

T(marry(B,A)) = 0.8 biểu diễn vào hy vọng của Miss B kết hôn với Mr A là 80%

(4) Ta có các luật sau

 marry(x,y) marry(y,x) → marriage(x,y)

 marry(A,B) and T(marry(A,B)) = 0.6

 marry(B,A) and T(marry(B,A)) = 0.8

ta phải chứng minh

 marriage(A,B) and T(marriage(A,B)) = 1

(5) Như ví dụ 2.3.1 ta có tập các luật sau

S={marry(A,B),marry(B,A),not(marry(A,B)),not(marry(x,y))

not(marry(y,x))  marriage(x,y)}

(6) Giống như hợp giải mờ, mệnh đề rỗng [ ] với độ tin cậy của hợp giải = 0.2

có thể được suy ra Có nghĩa là ta có thể suy ra marriage(A,B) là đúng với

độ tin cậy hợp giải bằng 0.2

1.4 Tính đầy đủ của hợp giải mờ

Trước khi nêu và chứng minh tính đầy đủ của hợp giải mờ, ta có 1 số kết quả quan trọng

Bổ đề 1.4.1 (Lee, 1972): Tập các mệnh đề S là không thỏa mãn được trong

logic mờ khi và chỉ khi nó không thỏa mãn được trong logic hai trị

Bổ đề 1.4.2 (Robinson, 1965): Tập các mệnh đề S là không thỏa mãn được

trong logic hai trị khi và chỉ khi có thể suy ra mệnh đề rỗng [ ] từ S

Định lý 1.4.1 (Tính đầy đủ của hợp giải mờ): Tập các mệnh đề mờ S là

không thỏa mãn được khi và chỉ khi có thể suy ra được mệnh đề rỗng [ ] từ S với độ tin cậy của hợp giải cd ≠ 0 từ S

Chứng minh: Giả sử S là không thỏa mãn được Từ bổ đề 1.4.1 ta có nó không thỏa mãn được trong logic hai trị, từ bổ đề 1.4.2 ta có 1 mệnh đề rỗng được suy diễn từ S Rõ ràng từ định nghĩa 1.2.3 và định nghĩa 1.2.4 ta có cd ≠ 0 hoặc

T( ) < 0.5 bởi vì cd = 0 là điểm vô nghĩa cho suy diễn phản chứng

Ngược lại, giả sử có và cd ≠ 0 Giả sử S là thỏa mãn được Ta có T(S) ≥ 0.5 > T( ) Tuy nhiên, theo định lý 1.2.2 ta có 0.5 > T( ) ≥ T(S) Mâu thuẫn, vậy S là không thỏa mãn được

Bằng định lý 1.4.1, chúng ta thấy rằng nếu điểm vô nghĩa T(S) = 0.5 được bỏ

qua thì thủ tục bác bỏ mờ dựa vào nguyên tắc hợp giải mờ là đầy đủ

1.5 Cài đặt thuật toán hợp giải mờ

Với thuật toán hợp giải mờ ta nghiên cứu được ở trên, ta sẽ tiến hành cài đặt cho thuật toán đó

Bài toán đặt ra của chúng ta là, cho đầu vào là tập các mệnh đề, mỗi mệnh đề

là dạng hội ( phép OR) của các biến Mỗi biến có 1 giá trị chân lý cho sẵn Ta sẽ tiến hành hợp giải cho từng cặp mệnh đề ( nếu có thể hợp giải được ) trong tập mệnh đề ban đầu Tập mệnh đề mới sẽ bao gồm toàn bộ các mệnh đề của tập mệnh

đề ban đầu và các mệnh đề có được từ hợp giải của các cặp mệnh đề

Quá trình hợp giải mờ sẽ kết thúc khi tập hợp giải cấp n xuất hiện mệnh đề rỗng Nếu quá trình hợp giải mà không xuất hiện mệnh đề rỗng thì sẽ dừng ở bước thứ n nếu số phần tử của hợp giải cấp n bằng số phần tử của hợp giải cấp n+1

Ý tưởng: Do mệnh đề là dạng hội của các biến Một biến x icó thể xuất hiện trong mệnh đề hoặc không xuất hiện trong mệnh đề, nếu xuất hiện trong mệnh đề thì có thể xuất hiện là x i hoặc x i Như vậy một biến chỉ có 1 trong 3 trạng thái ở trong mệnh đề

Giả sử số biến là n, ta sẽ chuyển mệnh đề về dạng chuỗi số gồm có n số Xét biến x i, nếu biến x i không xuất hiện trong mệnh đề thì ta sẽ lưu ở vị trí thứ i giá trị

là 0, nếu xuất hiện x i thì ta sẽ lưu là 1, còn nếu xuất hiện x i thì ta sẽ lưu là 2

Ví dụ: giả sử có 4 biến x x x x1, 2, 3, 4 Mệnh đề c = x1x2 x4 thì ta sẽ lưu c = 1102 Mệnh đề rỗng sẽ là mệnh đề bao gồm toàn 0

Nhắc lại khái niệm về hợp giải của 2 mệnh đề : Giả sử 2 mệnh đề , với

=   với không chứa hoặc ¬ như các chỉ số và không có cặp biến bổ sung

Như vậy là điều kiện để tiến hành hợp giải được là 2 mệnh đề phải có 1 cặp biến bổ sung, với cách lưu mệnh đề như trên thì 2 mệnh đề C1và C2 phải tồn tại một vị trí i sao cho C i 1[ ] 1 và C i 2[ ] 2 hoặc ngược lại

Thuật toán kiểm tra, hàm check sẽ trả về 1 nếu 2 mệnh đề hợp giải được, trả về 0 nếu không hợp giải được

int check(clause c1,clause c2,int i=0)

Hình 1.1: Quy tắc hợp giải

Độ tin cậy của hợp giải chính là cd x( )i max( ( ), (T x i T x i)) min(( ( ), ( T x i T x i)),

màT( x i)   1 T x( )i cho nên cd x( ) | 1 2i   T x( ) |i

Sau khi tiến hành hợp giải cho tất cả các cặp mệnh đề của tập mệnh đề thì độ tin cậy của hợp giải của hợp giải cấp 1 mà 1

min{ ( )}i

cd  cd x trong đó {cd x( )}i là tập các độ tin cậy của các hợp giải

Tiến hành đệ quy quá trình hợp giải trên Thuật toán sẽ kết thúc khi ở hợp giải cấp m có xuất hiện mệnh đề rỗng (mệnh đề chứa toàn 0)

Đầu vào của bài toán sẽ là file data.txt có dòng đầu tiên lưu số mệnh đề của tập mệnh đề ban đầu(m), từ dòng thứ 2 đến dòng m+1 sẽ lưu m mệnh đề của tập mệnh đề, dòng thứ m+2 sẽ lưu số biến (n), từ dòng thứ m+3 đến m+n+3 sẽ lưu n giá trị chân lý của các biến T x( )i

Xét bài toán ví dụ 1.3.1: Chứng minh rằng công thức A→C có thể suy ra từ nguyên

lý A→B và B→C với T(A) = 0.8, T(B)=0.7 và T(C)=0.9

Ta có tập mệnh đề ban đầu S = {(¬A  B),(¬B  C), A, ¬C } chuyển về dạng số ta

có S={210,021,100,002} và tập T={0.8,0.7,0.9}

Như vậy ta sẽ có file data.txt có dạng

Hình 1.2 : Cấu trúc file data

Kết quả suy diễn

Hình 1.3: Kết quả chương trình hợp giải

Như vậy, hợp giải dừng ở cấp 2 và =0.4

CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ GIA TỬ 2.1 Giới thiệu

Lý thuyết suy diễn xấp xỉ được giới thiệu và phát triển vào những năm 1970 bởi Zadeh và cơ sở của nó là các biến ngôn ngữ và logic mờ Một cách hình thức, các biến ngôn ngữ là một bộ (X, T(X), U, R, M), với X là tên của biến, T(X) là tập

giá trị(term-set) của X, U là không gian tham chiếu, R là cú pháp sản sinh ra các

phần tử của T(X), M là tập các luật ngữ nghĩa Giá trị của các biến ngôn ngữ được sinh ra bởi các giá trị sơ cấp(primary terms) còn gọi là các phần tử sinh, bởi các gia

tử (như very, approximate, more or less,…) và các từ nối (AND, OR,…)

Theo ý tưởng của Zadeh, các biến ngôn ngữ có hai đặc điểm quan trọng sau:

- Ý nghĩa của các phần tử sinh phụ thuộc vào ngữ cảnh còn các gia tử và từ nối thì không

- Tính phổ biến của cấu trúc, nghĩa là hầu hết các biến ngôn ngữ có cùng cấu trúc cơ bản theo cách hiểu rằng các giá trị ngôn ngữ riêng của chúng

có các biểu thức giống nhau ngoại trừ phần tử sinh

Cũng theo Zadeh, các giá trị chân lí là ngôn ngữ (như “true”, “false”, “very true”,… có thể được xem như là các giá trị của biến ngôn ngữ Truth ) và các luật suy diễn là xấp xỉ hơn là chính xác, những điều này vượt quá phạm vi logic kinh điển Do đó, cần phải đi tìm một nền tảng logic mới cho logic mờ và suy diễn xấp xỉ (ví dụ như các đề xuất của Zadeh hay của Godo và Hajek)

Một trong những ý tưởng quan trọng về vấn đề này là dựa vào mối quan hệ

“đóng” giữa cấu trúc logic và cấu trúc đại số của các giá trị chân lí của logic mà hệ thống suy diễn dựa vào Điều này có nghĩa rằng, nhiều đặc điểm của logic mà hệ

thống suy diễn dựa vào có thể được quyết định bởi cấu trúc đại số của tập các giá trị chân lí của logic này Và một cách tiếp cận đại số đến cấu trúc tự nhiên của các miền của các biến ngôn ngữ đã được đề xuất bởi N Cat Ho và W Wechler, và nó

định nghĩa một lớp các đại số gọi là đại số gia tử (HA) Đại số này có một số hạn

chế là:

- Là dàn đầy đủ nhưng không phân bố

- Vẫn còn “hơi thô” và sẽ được mở rộng thành đại số gia tử mịn hóa

(RHA)

Tuy nhiên, nó cũng có một số ưu điểm sau:

- Nó là một cấu trúc tự nhiên để mô hình các miền ngôn ngữ một cách chính xác

- Tập các giá trị của biến chân lí ngôn ngữ có thể trở thành một cấu trúc đại

số

- Các phần tử của chúng có ngữ nghĩa được quyết định bởi quan hệ thứ tự

Các kết quả (định nghĩa, định lí, hệ quả, bổ đề,…) trong chương này chủ yếu được trích từ tài liệu tham khảo [21]

2.2 Tập giá trị của các biến ngôn ngữ từ quan điểm đại số

2.2.1 Quan hệ thứ tự dựa vào các thuộc tính “trực cảm” của gia tử

Như trên đã đề cập, một cách tiếp cận đại số đến cấu trúc tự nhiên của các miền của các biến ngôn ngữ đã được đề xuất bởi N Cat Ho và W Wechler, và nó

định nghĩa một lớp đại số gọi là đại số gia tử (HA) Một cách hình thức, ta kí hiệu

đại số này là một bộ AX = (X, G, H, ), với X là một tập giá trị của một biến ngôn ngữ (gọi là poset), G là tập các phần tử sinh, H là tập các gia tử (toán tử một ngôi)

và thể hiện quan hệ thứ tự (từng phần) ngữ nghĩa trên X Cấu trúc đại số này

được xây dựng xuất phát từ các thuộc tính ngữ nghĩa của gia tử và các giá trị ngôn ngữ Trong thực tế, về mặt ngữ nghĩa thật khó để đưa ra một định nghĩa toán học

chính xác xem một gia tử là gì, nhưng phân tích ý nghĩa trực cảm của chúng, chúng

ta có thể rút ra một số thuộc tính ngữ nghĩa của gia tử như sau:

- Mỗi gia tử làm mạnh hay yếu ngữ nghĩa của phần tử sinh Ví dụ: very

True < True hay Fery False < False,…

- Mỗi gia tử làm mạnh hay yếu ngữ nghĩa của gia tử khác Nếu gia tử k làm

mạnh ngữ nghĩa gia tử h, ta gọi k là dương theo( positive w.r.t.) h và ngược lại k là âm theo (negative w.r.t.) h Ví dụ: Approximate True <

Very Approximate True < True

- Một gia tử tác động vào một giá trị ngôn ngữ tạo thành giá trị mới “lân cận” nó (thừa kế ngữ nghĩa) Dựa vào quan hệ thứ tự ngữ nghĩa, thuộc tính này có thể được thể hiện như sau: nếu ta có hai giá trị ngôn ngữ là hx

và kx sao cho hx  kx thì h’hx  k’kx, với h’, k’ là các gia tử Nếu ta gọi

tập H(u) là tập tập tất cả các giá trị sinh ra từ u thông qua các gia tử, nghĩa là H(u) = {mu: m là một chuỗi các gia tử} thì quan hệ trên có thể được biểu diễn như sau: H(hx)  H(kx) Ví dụ: ta có Little True 

Approximate True và Possibly Little True  Little Approximate True nên

H(Little True)  H(Approximate True)

Các thuộc tính này sẽ được dùng để phát triển đại số gia tử mịn hóa, gọi tắt là RHA (refined hedge algebra) như là các tiên đề

2.2.2 Tập giá trị (Term-sets) như là các đại số trừu tượng

Xét đại số AX = (X, G, H, ), với X là tập giá trị, G là tập các phần tử sinh

và các hằng đặc biệt (như 1, 0 và W tương ứng với “absolutely true”, “absolutely

false” và “neutral”), H là tập các gia tử và  như là quan hệ thứ tự ngữ nghĩa Và

để thuận tiện, kết quả của việc dùng các toán tử h1, h2,…,hn H tác động đến một phần tử x  X có thể được viết như hnhn-1…h1x

Ngoài các thuộc tính đã nêu trên, chúng ta sẽ xét một số thuộc tính mới của các gia tử, đó là:

- Với h, k  H, h và k được gọi là nghịch đảo (converse) nếu mệnh đề x

 X (x  hx nếu và chỉ nếu x kx) thỏa

- Với h, k  H, h và k được gọi là tương thích (compatible) nếu mệnh đề

x  X (x  hx nếu và chỉ nếu x kx) thỏa

- Với h, k  H, h là dương theo (positive w.r.t.) k nếu mệnh đề (xX)(hoặc kx  x  hkx  kx hoặc kx  x  hkx  kx ) thỏa Ngược lại,

h là âm theo (negative w.r.t.) k

Bên cạnh đó, chúng ta cũng có một số giả định sau:

- Mỗi phần tử h  H là một toán tử thứ tự, nghĩa là mệnh đề (x  X)(hoặc hx  x hoặc hx  x) thỏa với mọi h

- H được tách thành hai tập con khác rỗng là H+ và H- sao cho với bất kì

h H+ và k H- thì h và k là nghịch đảo Để tiện lợi, ta sẽ dùng kí hiệu c

để thay thế cho + hoặc -

- Gọi I là phần tử đơn vị của X, i.e x  X, Ix = x Các tập H+ + I và H+ I là các dàn với các phần tử đơn vị tương ứng là V và S, phần tử không

-là I Vì X, H+ và H- là các tập rời nhau, nên có thể giả định rằng quan hệ thứ tự từng phần trên các tập này sẽ được thể hiện với cùng kí hiệu  Với một số thuộc tính mới của gia tử và một số giả định trên, ta có định nghĩa sau:

Đinh nghĩa 2.1 (Định nghĩa về tính nhất quán ngữ nghĩa)

Cho AX = (X, G, H, ) là một đại số X và H được gọi là nhất quán ngữ

nghĩa (semantically consistent) nếu các điều kiện sau thỏa:

- X được sinh ra từ các phần tử sinh do sự tác động của các gia tử thuộc

H, i.e các phần tử của X có dạng h n …h 1 a với h i H, i= 1, ,n, và a G

- Với bất kì h, k  H c + I, h < k thuộc H c + I nếu và chỉ nếu (x  X)(( hx

> x hoặc kx > x  hx < kx) và (hx < x hoặc kx < x  hx >kx)) Và h và

k là không so sánh được (incomparable) trong H c + I nếu và chỉ nếu (x

 X)(hx x hoặc kx x  hx và kx là không so sánh được)

2.2.3 Cấu trúc đại số tổng quát cho tập giá trị

Với đại số AX = (X, G, H, ) như đã đề cập ở trên, các giá trị thuộc X có

dạng hn…h1a với h1, , hn  H và a G Tuy nhiên, trong thực tế không phải tất cả

các giá trị ngôn ngữ đều có dạng trên, ví dụ giá trị ‘Little Approximate False OR

Little Possibly False’ hoặc có thể được viết lại là ‘Little(Approximate  Possibly) False’, với  là một phép toán trên tập các gia tử Nếu xem biểu thức (Approximate

 Possibly) là một gia tử mới, thì giá trị trên đã trở về dạng hn…h1a như trên Do

đó, ta cần mở rộng tập H đến một tập các toán tử một ngôi mới và là một dàn phân

bố, kí hiệu là LH Lúc này đại số AX trên sẽ trở thành AX = (X, G, LH, ), X là

tập mở rộng của X ở trên, i.e có chứa những giá trị như trong ví dụ và ‘Little

Approximate False’  ‘ Little Possibly False’ = ‘Little(Approximate  Possibly) False’, với là phép nối trong dàn AX

Để xây dựng dàn LH ở trên, chúng ta sẽ dựa vào tập H ban đầu Như chúng

ta đã biết ở trên, H có thể được tách thành hai tập con H+ và H- sao cho H+ + I và H+ I là các dàn hữu hạn với I là phần tử không LH được xây dựng như sau:

Xuất phát từ H+ + I chúng ta sẽ xây dựng được dàn LH+ + I (với L là dàn đồng dư (modular) hữu hạn thỏa điều kiên (Co) sau: với bất kì x Li, yLj và i j, chúng ta có x > y hoặc x < y (Li, Lj là các lớp phân hoạch (graded classes)của L) )

- Xuất phát từ H- + I chúng ta sẽ xây dựng được dàn LH- + I

Vì các tập H+ và H- là các tập rời nhau, nên LH+ và LH- cũng là các tập rời nhau với LH+ = LH+ + I \ {I} và LH- = LH- + I \ {I} Chúng ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1

(LH + + I, , , I, V) và (LH - + I, , , I, S) là các dàn phân bố hữu hạn với

các phần tử đơn vị tương ứng là V và S và phần tử không là I

Với LH được xây dựng như trên, chúng ta xét AX = (X, G, LH, ) là một đại số

thỏa điều kiện sau:

- G là tập các phần tử sinh và các hằng đặc biệt

- X = LH(G)

-  là quan hệ thứ tự ngữ nghĩa trên tập X sao cho X và LH là nhất quán

ngữ nghĩa

2.3 TIÊN ĐỀ CỦA RHA VÀ CÁC THUỘC TÍNH CỦA NÓ

2.3.1 Tiên đề của RHA và các thuộc tính cơ bản

Trước khi tìm hiểu các tiên đề và thuộc tính của RHA, ta cần tìm hiểu qua một số khái niệm và kí hiệu sau:

- Tập H được gọi là có thuộc tính PN – homogeneous (PN là viết tắt của Possitive and Negative) nếu như mọi phần tử trong bất kì lớp được phân hoạch (graded class) Hic nào của Hc có cùng thuộc tính dương hoặc âm(với Hc là H+ hoặc H-)

- Tập SIc (SI+ hoặc SI-) là tập chứa các chỉ số i sao cho các lớp Hic có | Hic|

LH, i = 1 n Một cách tổng quát, bất kì Y X và H’ LH, H’(Y) là tập con của X được sinh ra từ các phần tử thuộc Y bởi các toán tử trong H’

- LH* là tập tất cả các chuỗi gia tử trong LH H’[Y] = {hx: h H’ và x

x

u LH

u LH

c i



= 

LH

hx LH

c i

h

) (

Vậy ta có :

LH(x) = {x}  

} ,



c

{ LH(LHci[x]): i = 1,…,Nc}, với N + = g+(V) và

N- = g-(S), V và S là các phần tử đơn vị tương ứng của H+ + I và H- + I và

g+ và g- là các hàm phân hoạch (graded functions) của H+ + I và H- + I, LH(x) gọi là tập giá trị của x, LH(LHci[x]) gọi là các tập giá trị phân hoạch (graded term-sets) của x

Với các khái niệm và kí hiệu như trên, chúng ta có định nghĩa về RH_algebra như sau:

Định nghĩa 2.2 : Một đại số AX = (X, G, LH, ) được gọi là một đại số gia tử

mịn hóa RHA (refined hedge algebra) nếu X và LH là nhất quán ngữ nghĩa và các

điều kiện sau thỏa (với h, k  LH):

- Mọi toán tử thuộc LH + là nghịch đảo của mỗi toán tử thuộc LH - (A1)

- Toán tử đơn vị V của H + + I là dương hay âm theo các toán tử thuộc H

Hơn nữa, H thỏa mãn thuộc tính PN – homogeneous (A2)

- Nếu u và v là độc lập, i.e u  LH(v) và v  LH(u), thì x  LH(v) với bất

kì x  LH(u) và ngược lại Nếu x  hx thì x  LH(hx) Hơn nữa, nếu hx

 kx thì hx và kx là độc lập (A3)

- Nếu hx và kx là không thể so sánh được thì bất kì phần tử u  LH(hx) và

v  LH(kx) cũng không thể so sánh được Đặc biệt, nếu a, b  G và a <

+ Nếu {h, k}  LH c i với mọi i  SI c hoặc hx = kx, thì h’hx  k’kx,

- Với u  LH(x) và giả sử rằng u  LH(LH c i [x]) = 

LH

hx LH

c i

h

)( , với i I c

Nếu tồn tại v  LH(hx), với h  LH i c sao cho u  v (hoặc u v), thì u 

h’v (hoặc u  h’v ), cho bất kì h’  UOS (A5)

Như ta thấy, RHA là sự mở rộng của HA

Để tiện lợi, chúng ta sẽ nhắc lại một số khái niệm đã được đề cập trong tài liệu tham khảo [8] của bài báo

Định nghĩa 2.3 : Với bất kì h, k  LH, chúng ta sẽ viết hx << kx(hx << Ix) nếu với bất kì h’, k’  UOS và bất kì m, n  Nat, thì V n h’hx  V m k’kx(V n h’hx  Ix) Trong trường hợp bất phương trình cuối luôn ngặt, thì chúng ta viết hx << kx(hx

<< Ix)

Định nghĩa 2.4 : Cho x và u là hai phần tử của RH_algebra AX = (X, G,

LH, ) Biểu thức h n …h 1 u được gọi là một dạng chuẩn tắc (canonical

representation) của x theo u thuộc AX nếu:

- Các toán tử thuộc LH c là tương thích

- Nếu x  X là một “điểm dừng”(fixed point) của một toán tử h  LH, i.e

hx = x, thì nó cũng là một “điểm dừng” của bất cứ toán tử khác k  LH

- Nếu x = h n …h 1 u, thì tồn tại một chỉ số i sao cho hậu tố(suffix) h i …h 1 u của

x là một dạng chuẩn tắc của x theo u và h j x = x, với mọi j > i

- Nếu h  k và hx = kx thì x là một điểm dừng