Một số toán tử chuẩn hợp nhất trong logic mờ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ……… NGUYỄN THANH XUÂN MỘT SỐ TOÁN TỬ CHUẨN HỢP NHẤT TRONG LOGIC MỜ Chuyên ngành: Toán tin – Toán ứng dụng LUẬN VĂN THẠC SĨ KHO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

………

NGUYỄN THANH XUÂN

MỘT SỐ TOÁN TỬ CHUẨN HỢP NHẤT

TRONG LOGIC MỜ

Chuyên ngành: Toán tin – Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN TIN – TOÁN ỨNG DỤNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 PGS.TSKH BÙI CÔNG CƯỜNG

Hà nội - 2012

………

NGUYỄN THANH XUÂN

MỘT SỐ TOÁN TỬ CHUẨN HỢP NHẤT

TRONG LOGIC MỜ

Chuyên ngành: Toán tin – Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN TIN – TOÁN ỨNG DỤNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 PGS.TSKH BÙI CÔNG CƯỜNG

Hà nội - 2012

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 3

LỜI NÓI ĐẦU 4

CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

I T- chuẩn và T- đối chuẩn 7

1.1 Toán tử t - chuẩn 7

1.2 Toán tử t – đối chuẩn 8

II Phép phủ định mạnh và một số tính chất 9

1.3 Phép phủ định mạnh 9

III Chuẩn hợp nhất 10

1.4 Chuẩn hợp nhất 10

1.5 Tính chất biểu diễn được của chuẩn hợp nhất 14

IV Phép kéo theo 14

1.6 Toán tử kéo theo 14

1.7 Một số phép kéo theo quan trọng được sử dụng rộng rãi 15

1.8 Điều kiện Lipschits 16

CHƯƠNG II: PHÉP QL-KÉO THEO TỪ CHUẨN HỢP NHẤT 17

2.1 Phép QL – kéo theo 17

2.2 Điều kiện cần để là toán tử kéo theo 18

2.3 Phép lũy đẳng: 21

2.4 Điều kiện đủ để là toán tử kéo theo 22

3.1 Mối quan hệ giữa QL - kéo theo và D - kéo theo 26

3.2 Tính chất của phép D – kéo theo 27

3.3 Một vài tính chất của QL-kéo theo và D-kéo theo 31

Kết luận 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

Tiếng Việt 36

Tiếng Anh 36

3

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TSKH.Bùi Công Cường

đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình tìm kiếm tài liệu cũng như hoàn thành của mình Sự chỉ bảo tận tình của thầy trong suốt quá trình từ những ý tưởng ban đầu cho đến khi luận văn được hoàn thành là trợ giúp lớn nhất đối với em

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo đã giảng dạy em, đặc biệt là các thầy, cô giáo của khoa Toán Tin ứng dụng Những kiến thức thu nhận được từ các thầy, cô đã hỗ trợ em rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn này

Em cũng xin cảm ơn các bạn học cùng lớp Toán Tin, Đại học Bách Khoa

Hà Nội, các anh chị và các bạn thuộc Seminar Lý thuyết mờ và Mạng Nơron, những đóng góp của mọi người đã giúp em có thể hoàn chỉnh được luận văn này

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới cha mẹ, chị gái của em, sự cổ vũ động viên của mọi người là động lực rất lớn giúp em có thể hoàn thành được luận văn này

Do hạn chế về trình độ, kiến thức cũng như tài liệu tham khảo, luận văn của em còn rất nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy, cô, cũng như từ các bạn để có thể hoàn thiện kiến thức của mình, cũng như tiếp tục hướng nghiên cứu này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội - 2012

LỜI NÓI ĐẦU

Con người giao tiếp bằng ngôn ngữ tự nhiên, mà bản chất của ngôn ngữ tự nhiên là mơ hồ và không chính xác Tuy vậy, trong hầu hết tình huống, con người vẫn hiểu những điều mà người khác muốn nói với mình Khả năng hiểu và sử dụng đúng ngôn ngữ tự nhiên, thực chất là hiểu và xử lý đúng thông tin không chính xác chứa trong đó, có thể coi là thước đo mức độ hiểu biết, thông minh của con người Con người cũng luôn mơ ước máy tính, người bạn, người giúp việc đắc lực của mình, ngày càng thông minh và hiểu biết hơn Vì vậy, nhu cầu làm cho máy tính hiểu và xử lý được những thông tin không chính xác, xấp xỉ, áng chừng là một nhu cầu bức thiết

Logic mờ ra đời đã cung cấp một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và xây dựng các hệ thống có khả năng xử lý thông tin không chính xác Nhờ có logic mờ

mà con người xây dựng được những hệ điều khiển có tính linh động rất cao Chúng

có thể hoạt động tốt ngay trong điều kiện có nhiều nhiễu hoặc những tình huống chưa được học trước Nhờ có logic mờ mà con người xây dựng được những hệ chuyên gia có khả năng suy luận như những chuyên gia hàng đầu và có khả năng tự hoàn thiện thông qua việc thu nhận tri thức mới

Chuẩn hợp nhất là một dạng đặc biệt của toán tử gộp, nó đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của hệ chuyên gia, mang nơ ron, mà các hệ mờ Nó đặc biệt bởi cấu trúc của nó là một sực kết hợp đặc biệt của hai toán tửt – chuẩn và t – đối chuẩn Trong lý thuyết tập mờ, hàm kéo theo thường được xây dựng từ những toán tử t – chuẩn và t – đối chuẩn theo những cách khác nhau như: phép kéo theo mạnh, QL – Kéo theo, D – Kéo theo Các phép QL – Kéo theo, D – Kéo theo gần đây được nghiên cứu trong các công trình [11,17,16] Sự quan trọng của phép kéo theo không chỉ thể hiện ở chỗ nó biểu diễn cho giá trị chân lý của các mệnh đề mờ dạng IF-THEN trong hệ mờ, mà nó còn biểu diễn cho giá trị chân lý của các suy

, với mọi x,y [0,1] ở đây N là phép phủ định mạnh, U và U’

lần lượt là phép hội và phép tuyển hợp nhất Lớp thứ hai là D – kéo theo dạng

, với mọi x,y [0,1] Tuy nhiên với cách định

nghĩa như vậy thì không phải lúc nào toán tử và cũng là toán tử kéo theo Vì vậy trọng tâm của luận văn là nghiên cứu những điều kiện cần và đủ để các toán

tử và định nghĩa như trên là toán tử kéo theo

Bằng các chứng minh toán học chặt chẽ chúng tôi chỉ ra rằng toán tử là

QL – Kéo theo nếu và chỉ nếu toán tử là D – Kéo theo và điều kiện cần cho những khẳng định này là chuẩn hợp nhất U’ phải là một t – đối chuẩn, hơn nữa U’ phải là phép lũy đẳng liên kết với phép phủ định mạnh trong trường hợp liên tục

Luận văn dài 30 trang, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 3chương

Chương I: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi đưa ra những khái niệm cơ bản về t-chuẩn và t-đối chuẩn, phép phủ định mạnh và toán tử binary Đặc biệt khái niệm chuẩn hợp nhất được giới thiệu trong chương này và được sử dụng xuyên suốt nội dung của bản luận văn

Chương II: Nghiên cứu phép QL-kéo theo từ chuẩn hợp nhất

Chương III: Nghiên cứu về phép D-kéo theo từ chuẩn hợp nhất.Một vài tính chất của QL-kéo và D-kéo theo

Tác giả

Nguyễn Thanh Xuân

7

CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về một số lớp

toán tử thường được sử dụng trong logic mờ: lớp toán tử t - chuẩn, t - đối chuẩn

I T- chuẩn và T- đối chuẩn 1.1 Toán tử t - chuẩn Định nghĩa 1.1 Hàm hai biến được gọi là t-chuẩn nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1) , ,

2) , ,

3) nếu , ,

4)

Ví dụ 1.1 Chúng ta thường gặp một số t chuẩn có dạng như sau: 1 Lớpt-chuẩn tích đại số

2 Lớpt-chuẩn min

3 Lớpt-chuẩn Einstein

4 Lớp t-chuẩn Yager { }

5 Lớp t-chuẩn Dubois – Prade

6 Lớpt-chuẩn Dombi

( ) ⁄ ,

1.2 Toán tử t – đối chuẩn Định nghĩa 1.2 Hàm hai biến s được gọi là s-chuẩn (hoặc t-đối chuẩn) nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1)

2)

3) Nếu

4)

Ví dụ 1.2: 1 Lớp s-chuẩn tổng đại số:

2 Lớp s-chuẩn tổng Enstein

3 Lớp -chuẩn max

4 Lớp s-chuẩn Yager ⁄ với

5 Lớp s- chuẩn Dubois –prade với

6 Lớp s-chuẩn Dombi

9

( ) ⁄

II Phép phủ định mạnh và một số tính chất 1.3 Phép phủ định mạnh Định nghĩa 1.3 Hàm là một phép phủ định mạnh nếu thỏa mãn: I

II ( )

Ví dụ Trong ví dụ này ta chọn

Xét

Suy ra:

Hơn nữa: ( )

( )

Do đó, là một phép phủ định mạnh Mệnh đề 1.1 Cho là một song ánh, tăng Khi đó ( )

là một phép phủ định mạnh

Định nghĩa 1.4

Cho là một song ánh, tăng, là một hàm

hai biến Khi đó toán tử cho bởi

( ) được gọi là - biến đổi của F

Hơn nữa, cho ta kí hiệu là một song ánh

tăng

III Chuẩn hợp nhất

Trong phần sau, chúng tôi xin giới thiệu khái niệm chuẩn hợp nhất (uninorm) Chuẩn hợp nhất là một sự tổng quát hóa của các t – chuẩn và t – đối chuẩn Chuẩn này là một sự biến thiên trơn, liên tục giữa hai toán tử gộp “and” và

“or”, tùy theo sự biến thiên của phần tử trung lập (Identity element)

1.4 Chuẩn hợp nhất

Định nghĩa 1.5 Hàm số hai biến được gọi là chuẩn hợp

nhất(uninorm) nếu bốn tiên đề sau được thỏa mãn:

1 Tiên đề giao hoán:

Giả sử T là toán tử t – chuẩn và S là toán tử t – đối chuẩn, ta có hai lớp toán

tử chuẩn hợp nhất thường gặp như sau:

ƣ á

}

{

ƣ á } Từ đó ta có , với mọi x,y [0,1] -) Tính đơn điệu:

{

ƣ á } {

ƣ á } Nếu thì ta có: ;

Nên

-) Tính chất kết hợp: ( ) ( {

ƣ á }) ({

ế

ế

ƣờ ợ á } )

Suy ra: ( )

-) Tồn tại sao cho: { ế

ế }

Vậy từ đó ta suy ra theo công thức (3) là một chuẩn hợp nhất

13

Tương tự ta cũng chứng minh được các ví dụ sau là một chuẩn hợp nhất

Ví dụ 1.4:

Trong ví dụ này chúng ta chọn

Áp dụng vào công thức (1.1) ta có:

{ ( )

(

)

ư á } sau khi rút gọn ta có

{

ư á } là một chuẩn hợp nhất Ví dụ 1.5:

Áp dụng vào công thức (1.1) ta có:

{ { }

}

{

}

1.5 Tính chất biểu diễn được của chuẩn hợp nhất

Định nghĩa 1.6.Chuẩn U v i phần tử trung lập được gọi là biểu diễn

được nếu tồn tại một hàm liên tục v tăng chặt sao cho:

( )

và thỏa một trong hai điều kiện sau:

1)

2)

IV Phép kéo theo

Các phép toán kéo theo có vai trò quan trọng trong logic mờ Chúng tạo nên

các luật mờ để thực hiện các phép suy diễn trong tất cả các hệ mờ

1.6 Toán tử kéo theo

Định nghĩa 1.7Ánh xạ được gọi là một toán tử kéo theo

nếu nó thỏa mãn:

I.1) I giảm theo biến thứ nhất v tăng theo biến thứ hai,

I.2)

15

Chú ý rằng từ định nghĩa ta có v i mọi

Nhận xét 1.2:

Hai tính chất quan trọng của phép kéo theo là:

 Tính đối xứng tương phản đối với phép phủ định mạnh

( )

 Nguyên lý trao đổi:

( ) ( )

1.7 Một số phép kéo theo quan trọng được sử dụng rộng rãi

Trong lô-gíc mờ, khi biểu diễn giá trị của mệnh đề IF – THEN người ta hay

sử dựng phép kéo theo được xây dựng như sau

Giả sử ta có mệnh đề mờ: IF A THEN B, với A là tập mờ có hàm thuộc A

(x) và B là tập mờ có hàm thuộc B(y).Dùng phép kéo theo I(A(x), B(y)) để đánh giá giá trị của mệnh đề như sau:

A B A B (1.4) A B A A B (1.5)

trong đó S là toán tử t – đối chuẩn, T là toán tử t – chuẩn còn N là phép phủ định mạnh

a Phép kéo theo Dienes – Rescher

Nếu áp dụng công thức (1.4) với t – đối chuẩn max và là hàm

bù chuẩn, ta có phép kéo theo Dienes – Rescher

b Phép kéo theo Lukasiewicz

Nếu áp dụng công thức (1.4) với t – đối chuẩn Yager với

là hàm bù chuẩn cho ta có phép kéo theo Lukasiewicz:

c Phép kéo theo Zadeh

Nếu áp dụng công thức (1.5) với t – đối chuẩn max, t – chuẩn min hoặc tích

và ta có phép kéo theo Zadeh:

d Phép kéo theo Mamdani

Hơn nữa tăng theo biến thứ 2

Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ chỉ ra những điều kiện cần và đủ để IQ là toán tử kéo theo Cụ thể là đƣa ra các điều kiện để IQ giảm theo biến thứ nhất Sau đây, chúng ta chứng minh một số điều kiện cần để IQ là toán tử kéo theo:

2.2 Điều kiện cần để là toán tử kéo theo

Chú ý rằng điều kiện (2.2) chỉ là một điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ.Sau đây chúng tôi sẽ chỉ ra điều đó qua ví dụ 2.1

Ví dụ 2.1

Giả sử U’ là toán tử t – đối chuẩn Lukasiewicz

19

Khi đó:

Mặt khác ta có

ọ

lạikhông phải là một phép kéo theo

Mệnh đề 2.2 Cho : [0,1] [0,1] là một song ánh tăng V i mọi , ta

định nghĩa toán tử như sau:

( ( ( ) ))

{ ế

( ( )) ế (2.3)

Cho là chuẩn hợp nhất liên kết v i phần tử trung lập là và là song

ánh tăng sao cho toán tử l h m kéo theo Khi đó U l h m không liên tục trên

v do đó nó không biểu diễn được

Chứng minh:

Giả sử cho bởi (2.3) là phép kéo theo Trong chứng minh này ta sử dụng kết quả của bổ đềsau:

Bổ đề 2.1Giả sử U là chuẩn hợp nhấtliên tục trên v i phần tử trung hòa là

Khi đó mộttrong hai trường hợp sau thỏa mãn:

a) Tồn tại , hai t-chuẩn liên tục và chuẩn hợp nhấtbiểudiễn được U R , sao cho U được biểu diễn như sau:

Bây giờ ta đi chứng minh mệnh đề

Áp dụng Bổ đề 2.1 ta có: nếu liên tục trên thì có biểu diễn (2.4) hoặc (2.5) Giả sử có biểu diễn (2.4), chọn sao cho , khi đó:

(

) (

) Bởi vậy:

Hơn nữado là song ánh tăng chặt nên , do đó

I ,U ,x = (U( ,x)) = (U( ,x)) =U ,x =

21

Do đó mâu thuẫn với tính giảm của theo biến thứ nhất

Trường hợp U có biểu diễn (2.5) ta chứng minh tương tự

Do đó, U không liên tục trên

Cuối cùng, bởi vì một chuẩn hợp nhấtbiểu diễn được thì phải liên tục trên [0,1]2, cho nên U là không thể biểu diễn được.Điều phải chứng minh

}

l lũy đẳng trên tập (x,y), sao cho y=g(x) với x=g(g(x))

Cho một chuẩn hợp nhất lũy đẳng U, h m g được biểu diễn như trên thường được gọi là hàm liên kết của U.

2.4 Điều kiện đủ để là toán tử kéo theo

Mệnh đề 2.3

Giả sử U là chuẩn hợp nhấtlũy đẳng liên kết v i phần tử trung tính

là một song ánh tăng Khi đó là một phép kéo theo nếu và chỉ nếu U thuộc l p Tức là

Đầu tiên ta chứng minh Thật vậy, giả sử ngƣợc lại rằng

và lấy y sao cho Khi đó và do đó

( ) Trong khi đó

( ) ( ) vì

Do đó mâu thuẫn với tính giảm của theo biến thứ nhất Từ đó suy ra

Vì g là hàm giảm nên với mọi Từ Định lý 2.1 ta có

Từ đó suy ra U có biểu diễn (2.6)

Ngƣợc lại, giả sử U đã có biểu diễn (2.6) Khi đó:

{ ế ặ

ườ ợ

Biểu diễn trên thỏa mãn những đòi hỏi của phép kéo theo

Biểu diễn của phép kéo theo này đƣợc mô tả bởi Hình 1

Hình 1: Biểu diễn của phép kéo theo

Mệnh đề 2.4

Giả sử là chuẩn hợp nhất trong l p v i

là một song ánh tăng Kí hiệu là

hạn chế của hàm trên đoạn Khi đó là một phép kéo theo nếu và chỉ nếu biến đổi của T thỏa mãn điều kiện Lipschitz v i Hơn nữa, trong trường hợp này được cho bởi công thức: