Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một gĩc a.. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của
Trang 1Bài 14 Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D, AB =
AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ^ (ABCD), SD =a 3 Từ trung điểm E của DC dựng
EK ^ SC (K Ỵ SC) Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a và chứng minh SC ^ (EBK)
Bài 15 Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D Biết
rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0) Cạnh bên SA = 3a và vuơng gĩc với đáy
a) Tính diện tích tam giác SBD
b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a
Bài 16 Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng ở B Cạnh SA vuơng
gĩc với đáy Từ A kẻ các đoạn thẳng AD ^ SB và AE ^ SC Biết AB = a, BC = b, SA =
c
a) Tính thể tích của khối chĩp S.ADE
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB)
Bài 17 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên
BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một gĩc a
Bài 18 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h Mặt phẳng (A¢BD) hợp với
mặt bên ABB¢A¢ một gĩc a Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ
HD: V = h tan a - , S3 2 1 xq =4h tan a - 2 2 1
Bài 19 Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vuơng tại A Khoảng cách từ AA¢ đến mặt
bên BCC¢B¢ bằng a, mp(ABC¢) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy gĩc a
a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢ Chứng minh: AH = a, ·CAC¢ = a, CK = b
Bài 20 Cho lăng trụ đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy bằng a Gĩc giữa đường chéo AC¢ và
đáy là 600 Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ
HD: V = a 3 6 ; S xq = 4a 2 6
Bài 21 Cho lăng trụ tứ giác đều, cĩ cạnh bên là h Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2 mặt
bên kề nhau Gĩc giữa 2 đường chéo ấy là a Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ
HD: S xq = 4h 2 1 cos
cos
a a
-
Bài 22 Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a Mặt phẳng (ABC¢) hợp với
mp(BCC¢B¢) một gĩc a Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC¢
a) Chứng minh · AJI = a
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ
Trang 2Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
a) Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ A¢ Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ là hình chữ nhật
b) Định b theo a để mặt bên ABB¢A¢ hợp với đáy gĩc 600
c) Tính thể tích và diện tích tồn phần theo a với giá trị b tìm được
HD: b) b = a 7
12 c) S tp =
2
7 3 216
Bài 24 Cho hình lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác vuơng cân đỉnh A Mặt
bên ABB¢A¢ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuơng gĩc với đáy Mặt bên ACC¢A¢ hợp với đáy gĩc nhị diện cĩ số đo a (0 < a < 900)
a) Chứng minh: · A AB¢ = a
b) Tính thể tích lăng trụ
c) Xác định thiết diện thẳng qua A Tính diện tích xung quanh lăng trụ
d) Gọi b là gĩc nhọn mà mp(BCC¢B¢) hợp với mặt phẳng đáy
Chứng minh: tanb = 2 tana
HD: b) V = 1
2a
3 sin a c) S xq = a 2 (1 + sin a + 1+sin a2 )
Bài 25 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A¢ lên
mp(ABC) trùng với tâm đường trịn (ABC) Cho · BAA¢ = 450
a) Tính thể tích lăng trụ b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ
HD: a) V = 2 2
8
a b) S xq = a 2 (1 + 2
2 )
Bài 26 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường trịn
tâm O Hình chiếu của C¢ lên mp(ABC) là O Khoảng cách giữa AB và CC¢ là d và số đo nhị diện cạnh CC¢ là 2j
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢
b) Gọi a là gĩc giữa 2 mặt phẳng (ABB¢A¢) và (ABC) (0 < a < 900)
Bài 27 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ cĩ đáy là tam giác vuơng tại A, AB = a, BC = 2a Mặt
bên ABBA¢ là hình thoi, mặt bên BCC¢B¢ nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy, hai mặt này hợp với nhau một gĩc a
Trang 3S S
.-
Bài 29 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD
một gĩc a và hợp với mặt bên BCC¢B¢ một gĩc b
a) Chứng minh: · CAC¢=a và AC B ·¢ = b
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sina.sinb cos(a b+ ).cos(a b- )
c) Tìm hệ thức giữa a, b để A¢D¢CB là hình vuơng Cho d khơng đổi, a và b thay đổi mà A¢D¢CB luơn là hình vuơng, định a, b để V lớn nhất
HD: c) 2(cos 2 a – sin 2 b) = 1 ; V max = 3 2
32
d khi a = b = 30 0 (dùng Cơsi)
Bài 30 Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D’ cĩ đáy là hình thoi ABCD cạnh a, µA = 600 Chân đường vuơng gĩc hà từ B¢ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của đáy Cho BB¢ = a
a) Tính gĩc giữa cạnh bên và đáy
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp
HD: a) 60 0 b) V =
334
a sina ; S ACC ¢ A ¢ = a
2 tana c) a = arctan 17 3
4-
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này
transitung_tv@yahoo.com
Trang 4Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
I Mặt cầu – Khối cầu:
1 Định nghĩa
· Mặt cầu: S O R( ; ) ={M OM R= } · Khối cầu: V O R( ; ) ={M OM R£ }
2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P) Gọi d = d(O; (P))
· Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và
bán kính r= R2-d2
· Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H ((P) đgl tiếp diện của (S))
· Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn
3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D Gọi d = d(O; D)
· Nếu d < R thì D cắt (S) tại hai điểm phân biệt
· Nếu d = R thì D tiếp xúc với (S) (D đgl tiếp tuyến của (S))
· Nếu d > R thì D và (S) không có điểm chung
4 Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều
nằm trên mặt cầu
Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm
trên mặt cầu Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn
đáy của hình nón Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón
5 Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
· Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì
tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó
· Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
– Xác định trục D của đáy (D là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên
– Giao điểm của (P) và D là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Trang 5VẤN ĐỀ 1: Mặt cầu – Khối cầu Bài 1 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B và SA^(ABC)
a) Gọi O là trung điểm của SC Chứng minh: OA = OB = OC = SO Suy ra bốn điểm A,
B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính
2
SC
R= b) Cho SA = BC = a và AB=a 2 Tính bán kính mặt cầu nĩi trên
Bài 2 Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngồi d Một gĩc xAy di
động quanh A, cắt d tại B và C Trên đường thẳng qua A vuơng gĩc với (P) lấy điểm S
Gọi H và K là các hình chiếu vuơng gĩc của A trên SB và SC
a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu
b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3, · BAC 6= 00
Bài 3 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA^(ABCD) và
3
a
SA= Gọi O là tâm hình vuơng ABCD và K là hình chiếu của B trên SC
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một gĩc vuơng Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nĩi trên
Bài 4 Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc
với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CD=a 3
a) Tính AB
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD
Bài 5 Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC, cĩ cạnh đáy bằng a và gĩc hợp bởi mặt bên và
đáy bằng 600 Gọi O là tâm của tam giác ABC Trong tam giác SAO dựng đường trung trực của cạnh SA, cắt SO tại K
a) Tính SO, SA
b) Chứng minh D SMK : D SOA( với M là trung điểm của SA) Suy ra KS
c) Chứng minh hình chĩp K.ABC là hình chĩp đều suy ra: KA = KB +KC
d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC
Bài 6 Cho hình chĩp S.ABC biết rằng cĩ một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh
của hình chĩp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chĩp
a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chĩp đều
b) Tính chiều cao của hình chĩp, biết rằng IS =R 3
Bài 7 Cho tứ diện đều ABCD cĩ cạnh là a
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đĩ
Bài 8 Cho một hình chĩp tứ giác đều cĩ cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một gĩc
600
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đĩ
Bài 9 Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ tất cả các cạnh đều bằng a Xác định tâm và
Trang 6Khối trịn xoay Trần Sĩ Tùng
khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác
Bài 11 Hình chĩp S.ABC cĩ đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
Bài 12 Cho hình chĩp từ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a và gĩc hợp bởi mặt bên và
đáy bằng 600 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
Bài 13 Hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy a và đường cao h Gọi O là tâm của
ABCD và H là trung điểm của BC Đường phân giác trong của gĩc SHO cắt SO tại I Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chĩp Tính bán kính mặt cầu này
Bài 14 Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA ^ (ABC) và tam giác ABC vuơng tại B Gọi AH, AK
lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu
b) Cho AB = 10, BC = 24 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đĩ
Bài 15 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình vuơng cạnh bằng a, SA = a 7 và SA ^ (ABCD) Một mặt phẳng (P) qua A và vuơng gĩc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H,
M, K
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đĩ
VẤN ĐỀ 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ
Bài 1 Cho hình trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm Trên
đường trịn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm Biết rằng thể tích tứ diện OO¢AB bằng 8 cm3 Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ
Bài 2 Cho hình trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm Trên
đường trịn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO¢ hợp với mặt phẳng đáy một gĩc 60 0Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ
Bài 3 Cho hình trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng chiều cao và
bằng a Trên đường trịn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường trịn đáy tâm O¢ lấy điểm B sao cho AB = 2a Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB
Bài 4 Một khối trụ cĩ chiều cao bằng 20 cm và cĩ bán kính đáy bằng 10 cm Người ta kẻ hai
bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một gĩc 300 Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đĩ Hãy tính diện tích của thiết diện
Bài 5 Một hình trụ cĩ bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm Một
thiết diện song song với trục là hình vuơng Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện
Bài 6 Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO¢ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai
đường trịn đáy sao cho độ dài AB = a khơng đổi (h a> < h2+4R2)
a) Chứng minh gĩc giữa hai đường thẳng AB và OO’ khơng đổi
b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ khơng đổi
Bài 7 Trong khơng gian cho hình vuơng ABCD cạnh a Gọi I và H lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và CD Khi quay hình vuơng đĩ xung quanh trục IH ta được một hình trụ trịn xoay
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ trịn xoay được tạo nên
b) Tính thể tích của khối trụ trịn xoay được tạo nên bởi hình trụ trịn xoay đĩ
Trang 7Bài 8 Một hình trụ cĩ bán kính đáy R và cĩ thiết diện qua trục là một hình vuơng
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho
Bài 9 Một hình trụ cĩ bán kính đáy R và đường cao bằng R 3; A và B là hai điểm trên hai đường trịn đáy sao cho gĩc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ
Bài 10 Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên
hai đường trịn đáy (O, R) và (O¢, R) sao cho OA và O¢B hợp với nhau một gĩc bằng x và
và hai đường thẳng AB, O¢O hợp với nhau một gĩc bằng y
a) Tính bán kính R theo h, x, y
b) Tính Sxq, Stp và thể tích V của hình trụ theo h, x, y
Bài 11 Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’ = 2a OA và OB’ là hai bán kính của
hai đường trịn đáy (O), (O’) sao cho gĩc của OA và OB’ bằng 300
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’
b) Tính tang của gĩc giữa AB’ và OO’
c) Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’
Bài 12 Một khối trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O’, bán kính R và cĩ đường cao
Bài 1 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cĩ cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢D¢ và (C) là đường trịn nội tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nĩn cĩ đỉnh O¢ và đáy (C)
Bài 2 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ cĩ cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢ và (C) là đường trịn nội tiếp đáy ABC Tính thể tích khối nĩn cĩ đỉnh O¢ và đáy (C)
Bài 3 Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một
gĩc 60 Gọi (C) là đường trịn ngoại tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nĩn cĩ đỉnh S 0
và đáy (C)
Bài 4 Trong khơng gian cho tam giác OIM vuơng tại I, gĩc IOM bằng 300 và cạnh IM = a
Trang 8Trần Sĩ Tùng Khối trịn xoay
Bài 1 Cho hình chĩp tam giác SABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC) và
SA = a M là một điểm thay đổi trên cạnh AB Đặt ·ACM = a , hạ SH vuơng gĩc với đường thẳng CM
a) Tìm quỹ tích điểm H Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC
b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI
HD: a) Quĩ tích điểm H là một cung trịn MaxV SAHC =
312
a
b) AK =
21
asin
sin
a a
a sin a
3 2
+
Bài 2 Cho DABC cân tại A cĩ AB = AC = a và gĩc ·BAC 2= a Trên đường thẳng d qua A
và vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a Gọi I là trung điểm của
BC Hạ AH ^ SI
a) Chứng minh AH ^ (SBC) Tính độ dài AH theo a, a
b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt AK x
a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng AB và CD b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đĩ
Bài 4 Trong mặt phẳng (P), cho hình vuơng ABCD cạnh a, cĩ tâm là O Trên các nửa
đường thẳng Ax, Cy vuơng gĩc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt hai điểm M, N Đặt AM = x, CN = y
a) Tính độ dài MN Từ đĩ chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để OMN vuơng tại O là: 2xy a= 2
b) Giả sử M, N thay đổi sao cho OMN vuơng tại O Tính thể tích tứ diện BDMN Xác định x, y để thể tích tứ diện này bằng a3
4
HD: a) MN = 2a2+ -(x y)2 b) V =
36
a (x y)+ , (x, y) =
2
a a;
Bài 5 Trong mặt phẳng (P), cho hình vuơng ABCD cạnh a Gọi O là giao điểm của 2
đường chéo của hình vuơng ABCD Trên đường thẳng Ox vuơng gĩc (P) lấy điểm S Gọi
ƠN TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Trang 9a là gĩc nhọn tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chĩp SABCD
a) Tính thể tích và diện tích tồn phần của hình chĩp SABCD theo a và a
b) Xác định đường vuơng gĩc chung của SA và CD Tính độ dài đường vuơng gĩc chung
đĩ theo a và a
HD: a) V =
36
Bài 6 Trên nửa đường trịn đường kính AB = 2R lấy một điểm C tùy ý Dựng CH vuơng
gĩc với AB (H thuộc đoạn AB) và gọi I là trung điểm của CH Trên nửa đường thẳng It vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) tại I lấy điểm S sao cho gĩc ·ASB = 90o
a) Chứng minh tam giác SHC là tam giác đều
b) Đặt AH = h Tính thể tích V của tứ diện SABC theo h và R
2 Rh 2R h–
Bài 7 Cho hình vuơng ABCD cạnh 2a Trên đường thẳng d qua trung điểm I của cạnh AB
và vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm E sao cho IE = a M là điểm thay đổi trên cạnh AB, hạ EH ^ CM Đặt BM = x
a) Chứng minh điểm H di động trên một đường trịn Tính độ dài IH
b) Gọi J là trung điểm của đoạn CE Tính độ dài JM và tìm giá trị nhỏ nhất của JM
HD: a) IH =
24
a x a
+ b) JM =
a khi x =
2
a
Bài 8 Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' và điểm M trên cạnh AD Mặt phẳng (A'BM)
cắt đường chéo AC' của hình hộp tại điểm H
a) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh AD thì đường thẳng MH cắt đường thẳng A'B tại một điểm cố định
b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện tạo bởi mặt phẳng A'BM cắt hình hộp trong trường hợp M là trung điểm của cạnh AD
c) Giả sử AA' = AB và MB vuơng gĩc với AC Chứng minh rằng mặt phẳng A'BM vuơng gĩc với AC' và điểm H là trực tâm của tam giác A'BM
HD: a) MH cắt A¢B tại trung điểm I của A¢B b) 1
2
111
V
V =
Bài 9 Cho hình vuơng ABCD cạnh bằng a I là trung điểm AB Qua I dựng đường vuơng
gĩc với mặt phẳng (ABCD) và trên đĩ lấy điểm S sao cho 2IS = a 3
a) Chứng minh rằng tam giác SAD là tam giác vuơng
b) Tính thể tích khối chĩp S.ACD rồi suy ra khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD)
Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ AB = a, AD = 2a, AA’ = a
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và B’C
b) Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỷ số AM 3
MD = Hãy tính khoảng cách từ điểm
M đến mặt phẳng (AB’C)
c) Tính thể tích tứ diện AB’D’C
Trang 10Trần Sĩ Tùng Khối trịn xoay
kỳ nằm trên đường thẳng At vuơng gĩc với mặt phẳng (P) tại A
a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chĩp S.ABCD khi SA = 2a
b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M Ỵ CB, N Ỵ CD) và đặt
CM = m, CN = n Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một gĩc 45°
HD: a) V = pa 63 b) 2a 2–2 m n a mn( + ) + = 0
Bài 12 Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA^(ABCD)và
2
SA a= Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi Đặt gĩc ·ACM =a Hạ SN ^CM
a) Chứng minh N luơn thuộc một đường trịn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo
a và a
b) Hạ AH ^SC , AK ^SN Chứng minh rằng SC ^(AHK) và tính độ dài đoạn HK
HD: a) N thuộc đường trịn đường kính AC cố định, V = 3 2
26
+
a
Bài 13 Cho hình chĩp S.ABC cĩ các cạnh bên SA, SB, SC đơi một vuơng gĩc Đặt SA = a,
SB = b, SC = c Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c
b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N
i) Chứng minh rằng AB AC 3
AM + AN = ii) Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C cĩ tâm O thuộc mặt phẳng (P) Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a, b, c khi mặt phẳng (P) song song với BC
3 a +b +c b) V = 1
9abc
Bài 14 Cho hình vuơng ABCD cạnh a Gọi O là giao điểm hai đường chéo Trên nửa đường
thẳng Ox vuơng gĩc với mặt phẳng chứa hình vuơng, ta lấy điểm S sao cho gĩc
· 60= °
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD
b) Gọi (a ) là mặt phẳng chứa BC và vuơng gĩc với mặt phẳng (SAD) Tính diện tích
thiết diện tạo bởi (a ) và hình chĩp S.ABCD
HD: a) d(BC, SD) = 6
3
a b) S = 2 6
4
a
Bài 15 Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x
(0 £ x £ a) Trên nửa đường thẳng Ax vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy
điểm S sao cho SA = y (y > 0)
a) Chứng minh rằng (SAB) ^ (SBC)
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC)
c) Tính thể tích khối chĩp S.ABCM theo a, y và x
d) Biết rằng x2 + y2 = a2 Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chĩp S.ABCM
8
a khi x =
2
a
Bài 16 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A; · ABC =300; SBC là tam
Trang 11giác đều cạnh a Mặt bên SAB vuơng gĩc với đáy ABC M là trung điểm SB
a) Chứng minh AM là đoạn vuơng gĩc chung của SB và AC Tính cosin gĩc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (ABC)
do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chĩp
2
112
a
Bài 19 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh
SA vuơng gĩc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một gĩc 60o Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
3
3
a
Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N Tính thể tích khối chĩp S.BCNM
Trang 12Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong khơng gian
1 Định nghĩa và các phép tốn
· Định nghĩa, tính chất, các phép tốn về vectơ trong khơng gian được xây dựng hồn tồn tương tự như trong mặt phẳng
· Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta cĩ: uuur uuur uuur AB BC AC+ =
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta cĩ: uuur uuur uuur AB AD AC+ =
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta cĩ: uuur uuur uuur uuuur AB AD AA+ + '=AC'
+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý
Ta cĩ: IA IB uur uur r+ =0
; OA OB uuur uuur+ =2OI uur
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý
Ta cĩ: GA GB GC uuur uuur uuur+ + =0r; OA OB OC uuur uuur uuur+ + =3OG uuur
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý
Ta cĩ: GA GB GC GD uuur uuur uuur uuur+ + + =0r; OA OB OC OD uuur uuur uuur uuur+ + + =4OG uuur
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: a và b cùng phương a r r (r ¹0r)Û $ Ỵ!k R b ka:r = r
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý
· Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng
· Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a b c r r, ,r
, trong đĩ a và b r r
khơng cùng phương Khi đĩ: a b c r r, ,r
đồng phẳng Û $! m, n Ỵ R: c ma nb r= r+ r
· Cho ba vectơ a b c r r, ,r
khơng đồng phẳng, xr tuỳ ý
Khi đĩ: $! m, n, p Ỵ R: x ma nb pc r = r+ r+ r
3 Tích vơ hướng của hai vectơ
· Gĩc giữa hai vectơ trong khơng gian:
uuur AB u AC v=r,uuur= Þr ( , )u v r r =· BAC (00 £· BAC£1800)
· Tích vơ hướng của hai vectơ trong khơng gian:
+ Cho u v r r, ¹0r
Khi đĩ: u v u v r r r r = cos( , )u v r r
+ Với u r=0r hoặc v r=0r
Qui ước: u v r r =0 + u v r r^ Ûu v r r =0
+ u r = u r2
CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
I VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Trang 131 Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O Gọi
i j k, ,
r r r
là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa
độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz
ï =î
ï =î
· Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
II HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Trang 14Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
c) Ứng dụng của tích có hướng:
· Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b r r,
và c r
đồng phẳng Û [ , ] =a b c r r r 0
· Diện tích hình bình hành ABCD: S Y ABCD = ëéuuur uuur AB AD, ùû
tính góc giữa hai đường thẳng
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối
tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh
các vectơ cùng phương
[ ] [ ]
0
00
· Phương trình x2+y2+z2+2ax+2by+2cz d+ = với 0 a2+b2+c2- > là phương trình d 0
mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a2+b2+c2- d
Trang 15a) A(2 1 7; ; ,- ) ( B 4 5 2; ;- ) b) A( ; ; ), ( ; ; )4 3 2- B 2 1 1- c) 10 9 12A( ; ; ), (B -20 3 4; ; )
d) A( ; ; ), ( ; ; )3 1 2- B1 2 1- e) A( ; ; ), ( ; ; )3 4 7- B -5 3 2- f) A( ; ; ), ( ; ; )4 2 3 B -2 1 1-
Bài 8 Cho bốn điểm A, B, C, D
· Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
· Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
· Tính gĩc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD
· Tính thể tích của khối tứ diện ABCD
· Tính diện tích tam giác BCD, từ đĩ suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A
a) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )2 5 3- B1 0 0 C 3 0 2- D - -3 1 2 b) A(1 0 0; ; ,) ( B 0 1 0; ; ,) ( C 0 0 1; ; ,) ( D -2 1 1; ;- )
c) A(1 1 0; ; ,) ( B 0 2 1; ; ,) ( C 1 0 2; ; ,) ( D 1 1 1; ; ) d) A(2 0 0; ; ,) ( B 0 4 0; ; ,) ( C 0 0 6; ; ,) ( D 2 4 6; ; )
e) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )2 3 1 B 4 1 2- C 6 3 7 D - -5 4 8 f) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )5 7 2- B 3 1 1- C 9 4 4- D1 5 0g) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )2 4 1 B -1 0 1 C -1 4 2 D1 2 1- h) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )-3 2 4 B 2 5 2- C 1 2 2- D 4 2 3i) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 4 8 B -1 2 1 C 5 2 6 D -7 4 3 k) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- -3 2 6 B -2 4 4 C 9 9 1- D 0 0 1
Bài 9 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'
· Tìm toạ độ các đỉnh cịn lại
· Tính thể tích khối hộp
a) A(1 0 1; ; ,) (B 2 1 2; ; ,) (D 1 1 1; ; , ' ; ;- ) (C 4 5 5- b) 2 5 3) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )- B1 0 0 C 3 0 2- A - -3 1 2c) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ;), '( ; ; )0 2 1 B1 1 1- D 0 0 0 A -1 1 0 d) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )0 2 2 B 0 1 2 C -1 1 1 C 1 2 1- -
Bài 10 Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0)
a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB)
b) Chứng minh S.ABC là một hình chĩp đều
c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chĩp Suy ra độ dài đường cao SH
Bài 11 Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4)
a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB)
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh SMNP là tứ diện đều c) Vẽ SH ^ (ABC) Gọi S¢ là điểm đối xứng của H qua S Chứng minh S¢ABC là tứ diện đều
Bài 12 Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG Gọi I là tâm của hình hộp
a) Phân tích các vectơ OI AG uur uuur,
theo các vectơ OA OC ODuuur uuur uuur, ,
b) Phân tích vectơ BI uur
theo các vectơ FE FG FI uuur uuur uur, ,
Bài 13 Cho hình lập phương ABCD.EFGH
a) Phân tích vectơ uuur AE
theo các vectơ uuur uuur uuur AC AF AH, ,
b) Phân tích vectơ uuur AG
theo các vectơ uuur uuur uuur AC AF AH, ,
Bài 14 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB¢ Chứng
minh rằng MN ^ A¢C
Bài 15 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1 Trên các cạnh BB¢, CD, A¢D¢ lần
lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B¢M = CN = D¢P = x (0 < x < 1) Chứng minh AC¢ vuơng gĩc với mặt phẳng (MNP)
Trang 16PP Toạ độ trong khơng gian Trần Sĩ Tùng
Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:
Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) cĩ dạng: x2+y2+z2+2ax+2by+2cz d + = (*) 0
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình
– Giải hệ phương trình đĩ, ta tìm được a, b, c, d Þ Phương trình mặt cầu (S)
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và cĩ tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:
Giải tương tự như dạng 4
Dạng 6: (S) cĩ tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
– Xác định tâm J và bán kính R¢ của mặt cầu (T)
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S)
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngồi)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):
c) x2+y2+z2+2(cosa +1)x-4y-2cos a z+cos2a+ = 7 0
d) x2+y2+z2+2 3 2( - cos2a)x+4(sin2a-1)y+2z+cos4a + = 8 0
e) x2+y2+z2-2ln t x+2y-6z+3lnt+ = 8 0
f) x2+y2+z2+2 2( -ln )t x+4ln t y+2(lnt+1)z+5ln2t+ = 8 0
Bài 3 Viết phương trình mặt cầu cĩ tâm I và bán kính R:
a) 1 3 5I( ; ; ),- R= 3 b) 5 3 7I( ; ; ),- R= c) 1 3 22 I( ; ; ),- R= d) 2 4 35 I( ; ; ),- R= 3
Trang 17Bài 4 Viết phương trình mặt cầu cĩ tâm I và đi qua điểm A:
Bài 7 Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và cĩ tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho
ì
ỵ
VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu
Cho hai mặt cầu S 1 (I 1 , R 1 ) và S 2 (I 2 , R 2 )
· I I1 2 < R R1- 2 Û (S 1 ), (S 2 ) trong nhau · I I1 2 >R R1+ 2 Û (S 1 ), (S 2 ) ngồi nhau
· I I1 2 = R R1- 2 Û (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc trong · I I1 2 =R R1+ 2Û (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc ngồi
· R R1- 2 <I I1 2<R R1+ 2 Û (S 1 ), (S 2 ) cắt nhau theo một đường trịn
Bài 1 Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu:
ïỵe) 22 22 22 2 6 4 5 0
Trang 18PP Toạ độ trong khơng gian Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu
1 Tập hợp điểm là mặt cầu
Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) nào đĩ
– Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M Chẳng hạn cĩ dạng:
ì =
ï =í
ï =ỵ
(*)
– Khử t trong (*) ta cĩ phương trình tập hợp điểm
– Tìm giới hạn quĩ tích (nếu cĩ)
Bài 1 Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2) Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:
d) x2+y2+z2-4 2( +cos )m x-2 5 2( + sin )m y-6z+cos2m+ = 1 0
e) x2+y2+z2+2 3 4( - cos )m x-2 4( sinm+1)y-4z- -5 2sin2m= 0
Trang 191 Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
· Vectơ n ¹ r 0r là VTPT của (a) nếu giá của nr vuơng gĩc với (a)
· Hai vectơ a b r,r khơng cùng phương là cặp VTCP của (a) nếu các giá của chúng song song
hoặc nằm trên (a)
Chú ý: · Nếu nr là một VTPT của (a) thì knr (k ≠ 0) cũng là VTPT của (a)
· Nếu a b r,r là một cặp VTCP của (a) thì n r r=[ ]a b,r là một VTPT của (a)
2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Ax By Cz D+ + + = với A +B +C >
· Nếu (a) cĩ phương trình Ax By Cz D+ + + = thì n0 r=( ; ; )A B C là một VTPT của (a)
· Phương trình mặt phẳng đi qua M x y z0( ; ; ) và cĩ một VTPT n0 0 0 r=( ; ; )A B C là:
4 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (a), (b) cĩ phương trình: (a): A x B y C z D1 + 1 + 1 + 1= 0
Các hệ số Phương trình mặt phẳng (a) Tính chất mặt phẳng (a)
Trang 20PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng (a) ta cần xác định một điểm thuộc (a) và một VTPT của nó
Dạng 1: ( a) đi qua điểm M x ; y ; z có VTPT ( 0 0 0) nr=(A; B;C)
Dạng 4: ( a) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:
Khi đó ta có thể xác định một VTPT của (a) là: n r= ëéuuur uuur AB AC, ùû
Dạng 5: ( a) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M:
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP ur
– Một VTPT của (a) là: n r= ëéuuur AM u,rùû
Dạng 6: ( a) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):
VTCP ur của đường thẳng (d) là một VTPT của (a)
Dạng 7: ( a) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:
– Xác định các VTCP a b r,r
của các đường thẳng d 1 , d 2 – Một VTPT của (a) là: n r r=[ ]a b,r
– Lấy một điểm M thuộc d 1 hoặc d 2 Þ M Î (a)
Dạng 8: ( a) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d 1 , d 2 chéo nhau):
– Xác định các VTCP a b r,r
của các đường thẳng d 1 , d 2 – Một VTPT của (a) là: n r r=[ ]a b,r
– Lấy một điểm M thuộc d 1 Þ M Î (a)
Dạng 9: ( a) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2:
– Xác định các VTCP a b r,r
của các đường thẳng d 1 , d 2 – Một VTPT của (a) là: n r r=[ ]a b,r
Dạng 10: ( a) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (b):
– Xác định VTCP ur của (d) và VTPT n r b của (b)
– Một VTPT của (a) là: n r= ëéu n r r, bùû
– Lấy một điểm M thuộc d Þ M Î (a)
Dạng 11: ( a) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (b), (g):
– Xác định các VTPT n n r r b, g của (b) và (g)
– Một VTPT của (a) là: n r= ëéu n r r b, gùû
Dạng 12: ( a) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
– Giả sử (a) có phương trình: Ax By Cz+D+ + = 0(A2 +B2 +C2 ¹ 0)
– Lấy 2 điểm A, B Î (d) Þ A, B Î (a) (ta được hai phương trình (1), (2))
– Từ điều kiện khoảng cách d M( ,( ))a = , ta được phương trình (3) k
– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại)
Dạng 13: ( a) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:
– Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R
– Một VTPT của (a) là: n IH r=uur
Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở
lớp 11
Trang 21Bài 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cĩ VTPT nr cho trước:
a) M 3;1;1 , n( ) r = -( 1;1;2) b) M 2;7;0 , n(- ) r =(3;0;1) c) M 4; 1; 2 , n( - - ) r =(0;1;3) d) M 2;1; 2 , n( - ) r =(1;0;0) e) M 3;4;5 , n( ) r =(1; 3; 7- - ) f) M 10;1;9 , n( ) r = -( 7;10;1)
Bài 2 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với:
Bài 3 Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và cĩ cặp VTCP a b r,r
cho trước, với:
a) M( ; ; ),1 2 3- a r=( ; ; ),2 1 2 b r =( ; ; )3 2 1
b) M( ; ; ),1 2 3- a r= - -3 1 2; ; ),b r =( ; ; )0 3 4
c) M( ; ; ),-1 3 4 a r =( ; ; ),2 7 2 b r=( ; ; )3 2 4
Bài 7 Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm A và vuơng gĩc với đường thẳng đi qua hai
điểm B, C cho trước, với:
a) 1 2 4A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- B 3 2 1- C -2 1 3- b) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )0 0 0 B - -2 1 3 C 4 2 1
-c) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )-1 2 3 B 2 4 3- C 4 5 6 d) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 5 2- B1 2 0- C 0 3 7
-e) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )2 4 0- B 5 1 7 C - - - 1 1 1 f) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )3 0 0 B 0 5 0- C 0 0 7-
Bài 8 Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua hai điểm A, B và vuơng gĩc với mặt phẳng (b)
cho trước, với:
b
ỵd) ( )3 1 22 2 23 1 25 0
Bài 9 Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và vuơng gĩc với hai mặt phẳng (b), (g)
cho trước, với:
a) M( ; ; ),- -1 2 5 ( )b :x+2y- + =3z 1 0,( )g :2x-3y z+ + = 1 0
b) M( ; ; ),1 0 2- ( )b :2x y z+ - - =2 0,( )g :x y z- - - = 3 0
c) M( ; ; ),2 4 0- ( )b :2x+3y-2z+ =5 0,( )g :3x+4y- - = 8z 5 0
d) M( ; ; ),5 1 7 ( )b :3x-4y+ + =3z 6 0,( )g :3x-2y+5z- = 3 0
Trang 22Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong khơng gian
VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Cho mặt phẳng (a) và mặt cầu (S) cĩ tâm I, bán kính R
· (a) và (S) khơng cĩ điểm chung Û d I( ,( ))a > R
· (a) tiếp xúc với (S) Û d I( ,( ))a = R ((a) là tiếp diện)
Khi đĩ tiếp điểm H của (a) và (S) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)
· (a) cắt (S) theo một đường trịn Û d I( ,( ))a < R
Khi đĩ tâm H của đường trịn giao tuyến là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)
Bán kính r của đường trịn giao tuyến: r = R2-IH2
Bài 1 Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
i) Tiếp xúc với mặt cầu: x2+ y2 +z2 -10x+2y+26z-113=0 và song song với 2 đường
Trang 23Bài tập ơn: Phương trình mặt phẳng
Bài 1 Cho tứ diện ABCD
· Viết phương trình các mặt của tứ diện
· Viết phương trình mặt phẳng chứa một cạnh và song song với cạnh đối diện
· Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và song song với mặt đối diện
· Viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và vuơng gĩc với (BCD)
· Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện
· Tìm toạ độ các điểm A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm A, B, C, D qua các mặt đối diện
· Tính khoảng cách từ một đỉnh của tứ diện đến mặt đối diện
· Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm I và bán kính R của (S)
· Viết phương trình các tiếp diện của (S) tại các đỉnh A, B, C, D của tứ diện
· Viết phương trình các tiếp diện của (S) song song với các mặt của tứ diện
a) A(5 1 3; ; ,) ( B 1 6 2; ; ,) ( C 5 0 4; ; ,) ( D 4 0 6; ; b) ) A(1 1 0; ; ,) ( B 0 2 1; ; ,) ( C 1 0 2; ; ,) ( D 1 1 1; ; )
c) A(2 0 0; ; ,) ( B 0 4 0; ; ,) ( C 0 0 6; ; ,) ( D 2 4 6; ; d) 2 3 1) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )B 4 1 2- C 6 3 7 D - -5 4 8 e) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )5 7 2- B 3 1 1- C 9 4 4- D1 5 0 f) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )0 1 0 B 2 3 1 C -2 2 2 D1 1 2-
Bài 2 Cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt cắt ba trục toạ độ tại các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0),
C(0; 0; –3) và E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1)
a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q)
b) Tính độ dài đường cao của hình chĩp O.ABC
c) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (P), (Q)
Bài 3 Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3)
a) Chứng minh ABCD là một tứ diện đều
b) Chứng minh tứ diện ABCD cĩ các cặp cạnh đối đơi một vuơng gĩc
c) Tìm phương trình tổng quát của các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD)
d) Tính gĩc giữa các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD)
Trang 24Trần Sĩ Tỳng PP Toạ độ trong khừng gian
1 Phương trớnh tham số của đường thẳng
· Phương trớnh tham số của đường thẳng d đi qua điểm M x y z0( ; ; ) vỏ cụ VTCP 0 0 0
a r =( ; ; )a a a :
1 2 3
o o o
2 Vị trợ tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d, dđ cụ phương trớnh tham số lần lượt lỏ:
ủ = +ù
đớ
ù
r r uuuuuur
0 0
00
a a
a M M
,,
· d ã dđ í 00 12 00 12
x ta x t a heồ y ta y t a aổn t t coỳ voó soõ nghieồm
ủ + = đ + đ đù
đớ
ù
r r uuuuuur
Trang 253 Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho mặt phẳng (a): Ax By Cz D+ + + = và đường thẳng d: 0 00 12
ï = +î
Xét phương trình: A x( 0+ta1)+B y( 0+ta2)+C z( 0+ta3)+ = (ẩn t) D 0 (*)
· d // (a) Û (*) vô nghiệm
· d cắt (a) Û (*) có đúng một nghiệm
· d Ì (a) Û (*) có vô số nghiệm
4 Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
ï = +î
(1) và mặt cầu (S): (x a- )2+ -(y b)2+ -(z c)2 =R2 (2)
Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*)
· d và (S) không có điểm chung Û (*) vô nghiệm Û d(I, d) > R
· d tiếp xúc với (S) Û (*) có đúng một nghiệm Û d(I, d) = R
· d cắt (S) tại hai điểm phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt Û d(I, d) < R
5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
Cho đường thẳng d đi qua M 0 và có VTCP ar và điểm M
uuuuur r r
6 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)
Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d 2
d 1 đi qua điểm M 1 và có VTCP ar , d1 2 đi qua điểm M 2 và có VTCP ar 2
7 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (a) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (a)
8 Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt có các VTCP a a r r1, 2
Góc giữa d 1 , d 2 bằng hoặc bù với góc giữa a a r r1, 2
= r r
9 Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP a r=( ; ; )a a a1 2 3 và mặt phẳng (a) có VTPT n r=( ; ; )A B C
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d¢ của
Trang 26Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó
Dạng 1: d đi qua điểm M x y z0( ; ; ) và có VTCP 0 0 0 a r =( ; ; )a a a1 2 3 :
1 2 3
o o o
Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:
Một VTCP của d là uuur AB
Dạng 3: d đi qua điểm M x y z0( ; ; ) và song song với đường thẳng D cho trước: 0 0 0
Vì d // D nên VTCP của D cũng là VTCP của d
Dạng 4: d đi qua điểm M x y z0( ; ; ) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: 0 0 0
Vì d ^ (P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):
· Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP
– Tìm toạ độ một điểm A Î d: bằng cách giải hệ phương trình Pìíî( )( )Q (với việc chọn giá trị cho một ẩn)
– Tìm một VTCP của d: a r = ëén n r r P Q, ùû
· Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó
Dạng 6: d đi qua điểm M x y z0( ; ; ) và vuông góc với hai đường thẳng d0 0 0 1 , d 2 :
Vì d ^ d 1 , d ^ d 2 nên một VTCP của d là:
a r= ëéa a r r, ùû
Dạng 7: d đi qua điểm M x y z0( ; ; ) , vuông góc và cắt đường thẳng D 0 0 0
· Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 0 trên đường thẳng D
· Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d Khi đó d = (P) Ç (Q)
Dạng 8: d đi qua điểm M x y z0( ; ; ) và cắt hai đường thẳng d0 0 0 1 , d 2 :
· Cách 1: Gọi M 1 Î d 1 , M 2 Î d 2 Từ điều kiện M, M 1 , M 2 thẳng hàng ta tìm được M 1 , M 2 Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d
· Cách 2: Gọi (P) = (M d0, ) , (Q) = 1 (M d0, ) Khi đó d = (P) Ç (Q) Do đó, một VTCP của d 2
có thể chọn là a r = ëén n r r P Q, ùû
Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 :
Tìm các giao điểm A = d 1 Ç (P), B = d 2 Ç (P) Khi đó d chính là đường thẳng AB
Dạng 10: d song song với D và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 :
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D và d 1 , mặt phẳng (Q) chứa D và d 2
Khi đó d = (P) Ç (Q)
Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 chéo nhau:
· Cách 1: Gọi M Î d 1 , N Î d 2 Từ điều kiện 1
Trang 27Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng D lên mặt phẳng (P):
· Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M Î D
– Vì (Q) chứa D và vuông góc với (P) nên n r Q = ëéa n r r D, Pùû
Khi đó d = (P) Ç (Q)
Dạng 13: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d 2:
· Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d 2 Từ điều kiện MN ^ d 1 , ta tìm được N
Khi đó, d là đường thẳng MN
· Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d 1
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d 2
Trang 28Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong khơng gian
Bài 6 Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuơng gĩc với hai đường
Bài 8 Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 cho trước:
Bài 10 Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng D và cắt cả hai
đường thẳng d 1 , d 2 cho trước: