Cho hình bình hành , hai điểm cố định, tâm di động trên đường tròn . Khi đó quỹ tích trung điểm của cạnh : A. là đường tròn là ảnh của qua là trung điểm của . B. là đường tròn là ảnh của qua là trung điểm của . C. là đường thẳng . D. là đường tròn tâm bán kính .
Trang 1Câu 1: Kết luận nào sau đây là sai?
A.
( )
u
T Ar = ⇔B uuur rAB u=
B
(A) B
AB
Tuuur =
C 0
( )
T Br =B
D 2
AB
Tuuur M = ⇔N uuurAB= MNuuuur
Lời giải:
Đáp án D
Ta có 2
AB
Tuuur M = ⇔N MNuuuur= uuurAB
Vậy D sai
Câu 2: Giả sử
T Mr =M T Nr =N
Mệnh đề nào sau đây sai?
A M Nuuuuuur uuuur' '=MN
B MMuuuuur uuuur'=NN'
C.MM'=NN'
D MNM N' ' là hình bình hành
Lời giải:
Đáp án D
Theo tính chất của một phép tịnh tiến thì các đáp án A, B, C là đúng
' '
MNM N
không theo thứ tự các đỉnh của hình bình hành nên D sai
Câu 3: Cho hình vuông ABCD tâm I Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm
,
AD DC
Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến tam giác AMI thành INC
A AM
uuuur
uur
uuur
uuuur
Ví dụ 1: Lời giải:
Đáp án D
MN
MN =AI =IC⇒Tuuuur ∆AMI = ∆INC
uuuur uur uur
Câu 4: Trong các đối tượng: con cá (hình A), con bướm (hình B), con mèo (hình C), con ngựa (hình D), hình nào có phép tịnh tiến?
Trang 2
Đáp án D
Trong hình D đối tượng con ngựa này là ảnh của con ngựa kia qua một phép tịnh tiến theo một hướng xác định
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, hai điểm
,
A B
cố định, tâm I di động trên đường tròn
( )C
Khi đó quỹ tích trung điểm M của cạnh
DC
:
A là đường tròn
( )C′
là ảnh của
( )C
qua
,
KI
Tuuur K
là trung điểm của BC
B là đường tròn
( )C′
là ảnh của
( )C
qua
,
KI
Tuuur K
là trung điểm của AB
C là đường thẳng BD
D là đường tròn tâm I bán kính ID
Lời giải:
Đáp án B.
Gọi K là trung điểm của AB ⇒K
cố định
Ta có
Tuuur I =M ⇒M∈ C′ =Tuuur C
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hai điểm
( ) (0;2 , 2;1)
và véctơ
( )1;2
vr=
Ơ Phép tịnh tiến theo véctơ v
r biến
,
M N
thành hai điểm
,
M N′ ′
tương ứng Tính độ dài M N′ ′
.
A
5
M N′ ′ =
7
M N′ ′ =
C M N′ ′ =1
D M N′ ′ =3
Trang 3
Lời giải:
Đáp án A
Ta có
( )
v v
T M M
MN M N
T N N
′
=
r r
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho ∆ABC
biết
( )2; 4
A
,
( )5;1
B
,
( 1; 2)
C − −
Phép tịnh tiến theo véctơ BC
uuur biến ∆ABC
thành ∆A B C′ ′ ′
tương ứng các điểm Tọa độ trọng tâm G′
của
A B C′ ′ ′
∆
là:
A
( 4; 2)
G′ − −
( )4; 2
G′
(4; 2)
G′ −
( 4;4)
G′ −
Lời giải:
Đáp án A.
Ta có tọa độ trọng tâm ∆ABC
là
( )2;1
G
;
( 6; 3)
BC= − − uuur
( ) ( G; G )
BC
Tuuur G =G x′ ′ y ′ ⇔GGuuuur uuur′=BC 4 ( 4; 2)
2
G
uuur uuur
Câu 8: Cho vectơ
( );
v= a b
r
sao cho khi tịnh tiến đồ thị
y= f x = + +x x
theo vectơ v
r ta nhận được đồ thị hàm số
y g x= = −x x + x−
Tính P a b= +
.
A P=3
B.P= −1
C P=2
D P= −3
Lời giải:
Đáp án A.
g x = f x a− + ⇔b x − x + x− = x a− + x a− + + b
Đồng nhất thức ta được:
1
3 2
a
P a b b
=
⇒ = + =
=
Câu 9:
Trang 4Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hai điểm
( 5;2)
A −
,
( 1;0)
C −
Biết
B T A C T B= r = r
Tìm tọa độ của vectơ u vr r+
để có thể thực hiện phép tịnh tiến u v
Tr r+ biến điểm A
thành điểm C.
A
(−6;2)
(2; 4− )
(4; 2− )
( )4;2
Lời giải:
Đáp án C.
Ta có:
( )
u
T Ar = ⇔B uuur rAB u=
( )
v
T Br = ⇔C BC vuuur r=
Mà uuur uuur uuur r rAC=AB BC u v+ = +
Do đó:
u v
Tr r+ A = ⇔C uuur r rAC u v= + = −
.
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho phép biến hình F
xác định như sau: Với mỗi điểm
( );
M x y
ta có điểm
( )
'
M =F M
sao cho
' '; '
M x y
thỏa mãn:
x = +x y'= −y 3
Mệnh đê nào sau đây đúng:
A F
là phép tịnh tiến theo
( )2;3
vr=
B F
là phép tịnh tiến theo
( 2;3)
v= −
r
C F
là phép tịnh tiến theo
(2; 3)
v= − r
D F
là phép tịnh tiến theo
( 2; 3)
v= − − r
Đáp án C.
Thật vậy theo biểu thức tọa độ của T M vr( ) =M′ 2 (2; 3)
3
v
′
r
Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho
( 2;1)
v= − r
và đường thẳng
: 2 3 3 0
d x− y+ =
,
1: 2 3 5 0
d x− y− =
Tìm tọa độ
( )a; b
w= ur
có phương vuông góc với đường thẳng d để
1
d
là ảnh
của d qua phép tịnh tiến w
Tur Khi đó a b+
bằng:
Trang 56
13
B
16 13
8 13
−
D
5 13
Đáp án C.
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là
(2; 3)
nr= − ⇒ =wur (2 ; 3m m− ) ( ) (2 ;1 3 )
w
T Mur =M′ m − m
, với M d∈
( )
w
T dur = ⇒d′ d′
có dạng
2x−3y+ =β 0
Vì d′
qua M ⇒4m− +3 9m+ = ⇔ = −β 0 β 3 13m
Để
1
8
3 13 5
13
d ≡ ⇒ −d′ m= − ⇔ =m ⇒ = − ⇒ + = −
;
Câu 12: Cho hai đường thẳng cắt nhau và d′
có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng này thành đường thẳng kia?
A Không có B Một C Hai D Vô số.
Lời giải:
Đáp án C.
Có 2 phép đối xứng trục với các trục là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai
đường thẳng cắt nhau d và d′
Câu 13: Hình nào dưới đây có một tâm đối xứng?
d
Trang 6Lời giải:
Đáp án C.
Hình C có một tâm đối xứng tại giao điểm của hai đường chéo
Câu 14: Cho đường thẳng và hai điểm nằm cùng phía với Gọi đối xứng với ,
đối xứng với qua là điểm trên thỏa mãn nhỏ nhất Chọn mệnh đề sai:
A Góc giữa và bằng góc giữa và
B là giao điểm của và
C là giao điểm của và
D là giao điểm của và
Lời giải:
Đáp án D
Đẳng thức xảy ra khi Vậy
Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ , cho Tìm ảnh của qua phép đối xứng tâm
:
N d A N BN A B
∀ ∈ + ≥ A N1 = AN A M, 1 = AM
AN BN A N BN A B A M MB AM MB
M ≡N A B d1 ∩
Trang 7A B C D
Lời giải:
Đáp án C
Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm và .Phép đối xứng trục
biến điểm thành ta có trục có phương trình:
Lời giải:
Đáp án D
Ta có: là trung trực của
Gọi
' 1; 3
A − − A' 1;3(− ) A' 1; 3( − ) A' 1;3( )
( ) ' ' 1 ' 1; 3( )
3
O
x
y
= −
2 0
2 0
x y+ − =
A x y ∈ ⇔a AM =AM
Trang 8Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ , ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng
Lời giải:
Đáp án A.
Sử dụng phương pháp quỹ tích, ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Câu 18: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm , góc quay
A Không có B Một C Hai D Vô số.
Lời giải:
Đáp án B.
khi tâm quay
Câu 19: Chọn giờ làm mốc, khi kim giờ chỉ một giờ đúng thì kim phút đã quay được một góc bao nhiêu độ?
( )4;3
I
2 17 0
x+ y− = x+2y+17 0= x+2y− =7 0
2 15 0
x+ y− =
d
Ð M x y M x
′= − = − ′
′ ′ ′
′= − = − ′
d 8− +x′ 2 6( −y′)− = ⇔ − −3 0 x′ 2y′+17 0= ⇔ +x′ 2y−17 0.=
O α ≠k2 ,π k∈¢
12
Trang 9A B C D
Lời giải:
Đáp án B.
Khi kim giờ chỉ đến một giờ đúng thì kim phút quay được đúng một vòng theo chiêu
âm và được một góc là
Câu 20: Cho hình vuông tâm , là trung điểm của , là trung điểm của Tìm
ảnh của tam giác qua phép quay tâm góc quay
A với lần lượt là trung điểm của
B với lần lượt là trung điểm của
C với lần lượt là trung điểm của
D với lần lượt là trung điểm của
Lời giải:
Đáp án D.
là trung điểm
là trung điểm
Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ , Qua phép quay tâm , góc quay biến điểm
thành điểm nào?
360
− °
BM N′ ′
CM N′ ′
DM N′ ′
DM N′ ′
Q ° A =D
Trang 10Lời giải:
Đáp án B
Cách 1: Dùng biểu thức tọa độ
Cách 2: Vẽ biễu diễn tọa độ của điểm trên hệ trục
Cách 3: Ta có
Nhận xét: Độc giả vận dụng cách 1 nhanh hơn, các cách 2 và cách 3 khá dễ hiểu
nhưng dài hơn
Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm Hỏi điểm nào sau đây là ảnh của điểm
qua phép quay tâm , góc quay ?
Lời giải:
Đáp án A
Cách 1: Theo biểu thức tọa độ
' : ; ' '; '
'
O
x y
Q M x y M x y
y x
= −
' 5 ' :
' 3
x M y
= −
⇒ = −
' 5;3
Oxy⇒M −
;90
'
' 3 ' 0 3 ' 5 ' 0
O
y
=
= ⇔uuuuruuuuur= ⇔− + = ⇒ = −
Oxy M( )1;1
' 0;
M M'( 2;0) M' 0;( )1 M' 1;( −1)
' cos ysin : ; ' '; '
' sin y cos
O
x x
Q M x y M x y
y x
( )
' 0
' 2
x
M y
=
=
Trang 11Góc giữa 2 vecto:
Cách 2:
Giải hệ trên
Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình đường tròn là ảnh của
qua phép quay
Lời giải:
Đáp án A
Cách 1: Đường tròn có tâm , bán kính
' ' cos
' '
xx yy
x y x y
+
=
ϕ
'
; ' '; '
, ' 45
O
OM OM
Q M x y M x y
OM OM
=
0
' ' 2 ' '
2 ' '
x y
x y
x y
x y
x y
+ =
⇒ M' 0;( 2)
( )C :x2+y2−2x+4y− =4 0
, 2
O
Q π
−
x− + y− =
x− + y+ =
,
2
' ' 2; 1
O
Q I I I
−
= ⇒ − − π
Trang 12Đường tròn có tâm , bán kính có phương trình:
Cách 2: Phương pháp quỹ tích
Từ biểu thức tọa độ
Thế vào
Câu 24: Gọi là tâm hình vuông (thứ tự các đỉnh theo chiều dương lượng giác) Kết luận nào sau đây sai ?
Đáp án D.
Câu 25: Cho phép dời hình: Xác định ảnh của đường tròn
qua phép dời hình
( )C' I' 2; 1(− − ) R'= =R 3
, 2
: ; ' '; '
O
Q π M x y M x y
−
→ ∀ ∈M ( )C ⇒M'∈( )C'
= − =
( ) ( ) ( )2 2 : y' x' 2 ' 4 ' 4 0y x
( ) ( )
' ' 4 ' 2 ' 4 ' 2 ' 1 9
0
x
+ + +
+
(I,90 0)( )
Q ∆IBC = ∆ICD Q(I, 90− 0)(∆IBC)= ∆IAB
(I,180 0)( )
Q ∆IBC = ∆IDA Q(I,360 0)(∆IBC)= ∆IDA
F : M x; y ®M ' x 3; y 1 - +
Trang 13A B
Đáp án C
Ta có F : M x; y( )®M ' x '; y '( )
x ' x 3 x x ' 3
y ' y 1 y y ' 1
ì = - ì = +
ï = + ï =
M x; y Î C : x 1+ + -y 2 =2 ( )2 ( )2
x ' 4 y ' 3 2
Vậy phương trình ( )C '
là: ( )2 ( )2
x 4+ + -y 3 =2
Câu 26 : Cho ∆ABC có cạnh 3,5, 7 Phép đồng dạng tỉ số k=2 biến ∆ABC thành ∆A B C′ ′ ′ có diện tích là:
A
15 3
15 3
15 3
8 .
Lời giải::
Đáp án B.
Ta có:
15 3 4
ABC
S∆ =
Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng
A B C
A B C ABC
S
S S
′ ′ ′
∆
′ ′ ′
∆
∆
Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( )3; 2
Ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số 1
k= − là:
A ( )3;2
B ( )2;3
C (− −2; 3). D (− −3; 2).
Lời giải::
Đáp án D.
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự: ( , 1)( )
3 :
2
O
x
y
−
′ = −
′ ′
= ⇒ ′ = − Câu 28: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A( ) (0;3 ,B 2; 1 ,− ) (C −1;5 ) Phép vị tự tâm A tỉ
số k biến B thành C Khi đó giá trị k là:
A
1 2
k = −
B k= −1. C
1 2
k=
D k=2. Đáp án A
x+2 + -y 1 =2
x 2- + +y 1 =2
Trang 14Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M( )2; 4
Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
1 2
k=
và phép quay tâm O góc quay − °90 sẽ biến điểm M thành
điểm nào sau đây?
A (2; 1− ). B ( )2;1
C (−1; 2). D ( )1;2
Đáp án A
Lời giải:
Ta có
1
; 2
1
2
O
V M M x y OM OM M
÷
= ⇔uuuur= uuuur⇒ −
2
1
O
x y
y x
− °
′′= =′
′ = ′′ ′′ ′′ ⇒ ′′ = − = −′ ⇒ ′′ −
Câu 30: Trong mặt phẳng
,
Oxy
cho đường thẳng
: 2 0
d x y− =
thỏa mãn phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện llieen tiếp phép vị tự tâm
O
tỉ số k = −2
và phép đối xứng trục
Oy
sẽ biến đường thẳng d thành đường thẳng nào sau đây?
A
2x y 0
− − =
2x y+ =0
4x y− =0
2x y+ − =2 0
Đáp án A
Lời giải:
Ta có:
V − d = ⇒d′ d d′P
d′
⇒
có dạng:
2x y c− + =0
Chọn
N ∈d V − N =N′ − − ∈ ⇒ − + + = ⇒ =d′ c c
+ phương trình đường thẳng
d′ x y− =
Qua phép đối xứng trục
Oy
: Đ
( )
oy d′ =d′′
Suy ra phương trình ảnh
d′′
cần tìm là:
2x y 0
− − =
Trang 15Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
Phép đồng dạng là phép thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2
và phép quay tâm O góc quay
0 180
sẽ biến đường tròn
( )C
thành đường tròn nào sau đây? (
O
là gốc tọa độ)
A
x +y − x− y− =
B
x +y + x+ y+ =
C.
D.
Đáp án D.
Đường tròn
( )C
có tâm
( )1; 2
J
bán kính R=2
V − J =J x y′ ′ ⇒J − −
, bán kính
R = R=
⇒
Phương trình
O
Q J =J x y′′ ′′ ⇒J
, bán kính
R =R =
Vậy phương trình đường tròn cẩn tìm là:
Câu 32: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho điểm
( )0;1
M
Phép đồng dạng là phép thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm
( )4;2
I
tỉ số
3
k= −
và phép đối xứng qua trục
: 2 4 0
d x− y+ =
sẽ biến M thành điểm nào sau đây?
A
(16;5)
B
(14;9)
C
(12;13)
D
(18;1)
Đáp án C.
Ta có:
V − M =M x y′ ⇔IMuuuur′= − uuurIM ⇒M′
Đ
d M′ =M x y′′ ′′ ′′ ⇒d
là trung trực của M M′ ′′ ⇒M M′ ′′
có dạng:
2x y c+ + =0
đi qua M′
Trang 1637 : 2 37 0
c M M′ ′′ x y
Gọi H là trung điểm của M M′ ′′
⇒
tọa độ H là nghiệm của hệ
2 37 0
14;9 12;13
2 4 0
x y
x y
+ − =
− + =