Lôgarit tự nhiên (đổi hướng từ logarit tự nhiên

Logarit được định nghĩa cho cơ số dương khác 1, không chỉ làsố e; tuy nhiên,logarit của các cơ số khác chỉ khác nhau bởi hàm số nhân liên tục từ logarit tự nhiên và thường được định nghĩ

Lôgarit tự nhiên (đổi hướng từ Logarit tự

nhiên

Mục lục

1.1 Lịch sử 1

1.2 Nguồn gốc của thuật ngữ logarit tự nhiên 1

1.3 Những định nghĩa 2

1.4 Tính chất 2

1.5 Logarit tự nhiên trong giải tích 2

1.6 Giá trị số 3

1.6.1 Độ chính xác cao 3

1.7 Xem thêm 3

1.8 am khảo 3

1.9 Liên kết ngoài 3

2 Sốe 4 2.1 Lịch sử 4

2.2 Ứng dụng 4

2.2.1 Bài toán lãi suất kép 4

2.2.2 Phép thử Bernoulli 4

2.2.3 Derangement 5

2.3 Số e trong giải tích 5

2.3.1 Các đặc điểm khác 5

2.4 Tính chất 6

2.4.1 Hàm tựa-mũ 6

2.4.2 Lý thuyết số 6

2.4.3 Số phức 6

2.5 Biểu diễn của số e 6

2.5.1 Biểu diễn số e dưới dạng liên phân số 6

2.5.2 Số chữ số thập phân đã biết 6

2.6 Số e trong văn hóa máy tính 6

2.7 Xem thêm 6

2.8 Ghi chú 6

2.9 am khảo 6

2.10 Liên kết ngoài 6

2.11 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh 7

i

ii MỤC LỤC

2.11.1 Văn bản 7 2.11.2 Hình ảnh 7

Chương 1

Lôgarit tự nhiên

- 6

- 4

- 2

2

Đồ thị hàm số của logarit tự nhiên.

Logarit tự nhiên (còn gọi là logarit Nêpe) làlogaritcơ

số edo nhà toán họcJohn Napiersáng tạo ra Ký hiệu là:

ln(x), logₑ(x) đôi khi còn viết là log(x)Logarittự nhiên

của một số x là bậc củasố eđểsố elũy thừa lên bằng

x Tức là ln(x)=a <=> ea=x Ví dụ, ln(7,389) bằng 2 vì

e2=7.389… Trong đó logarit tự nhiên của e bằng 1 và

logarit tự nhiên của 1 bằng 0

Logarit tự nhiên được xác định với mọisố thựca (trừ số

0) là vùng dướiđồ thịy=1/x từ 1 đến a Sự đơn giản của

định nghĩa được sánh với cáccông thứckhác kéo theo

logarit tự nhiên, dẫn đến thuật ngữ “tự nhiên” Định

nghĩa có thể được mở rộng đếnsố phức, được giải thích

dưới đây

Hàm số của logarit tự nhiên, nếu được coi là hàm số có

nghĩa của biến thực, làhàm sốcủahàm mũ Điều này

dẫn đến sự đồng nhất:

e ln(x) = x khi x > 0

ln(e x ) = x.

Như tất cả cáclogarit, logarit tự nhiên biến nhân thành

cộng:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

Do đó, hàm số logarit là mộthàm số đơn điệuđi từ tập

số thựcdương dưới phép nhân vào tập số thực dưới phép cộng Được miêu tả:

ln :R+→ R.

Logarit được định nghĩa cho cơ số dương khác 1, không chỉ làsố e; tuy nhiên,logarit của các cơ số khác chỉ khác nhau bởi hàm số nhân liên tục từ logarit tự nhiên

và thường được định nghĩa bằngthuật ngữsau cùng Logarit được sử dụng để tính cácphương trìnhcó số mũ

là biến số Ví dụ, Logarit được sử dụng để tínhchu kì bán rã,hằng số phân rã, hoặc thời gian chưa biết trong những vấn đề phân rã chứa mũ Logarit rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực củatoán họcvà khoa học và được

sử dụng trongtài chínhđể giải quyết những vấn đề liên quan đến lãi suất kép

1.1 Lịch sử

Người đầu tiên đề cập đến logarit tự nhiên làNicholas Mercatortrong tác phẩm Logarithmotechnia được công

bố vào năm1668, mặc dù giáo viên toán John Speidell

đã biên soạn một bản về logarit tự nhiên Ban đầu nó được gọi làlogarit hyperbol, vì nó tương ứng vớidiện tích của một hyperbol Nó cũng đôi khi được gọi là logarit Nêpe, mặc dù ý nghĩa ban đầu của thuật ngữ này là hơi khác nhau

1.2 Nguồn gốc của thuật ngữ

logarit tự nhiên

Ban đầu, logarit tự nhiên được coi là logarit cơ số 10, cơ

số này “tự nhiên” hơn cơ số e Nhưng theo toán học, số

10 không có ý nghĩa đặc biệt Ứng dụng của nó vềvăn hóa- làm cơ sở cho nhiều hệ thống đánh số xã hội, có khả năng phát sinh từ đặc trưng các ngón tay của con

1

2 CHƯƠNG 1 LÔGARIT TỰ NHIÊN

người Cácnền văn hóakhác đã dựa trên hệ thống số

đếm của họ cho sự lựa chọn chẳng hạn như 5, 8, 12, 20,

và 60

Logₑ là logarit tự nhiên bởi vì nó được bắt nguồn và

xuất hiện thường xuyên trong toán học Ví dụ hãy xem

xét các vấn đề phân biệt một hàm lôgarit:

d

dxlogb (x) = d

dx

( 1

ln(b) ln x

)

ln(b)

d

dx ln x = 1

x ln(b)

Nếu cơ số b bằng e, thì đạo hàm chỉ đơn giản là 1/x, và

tại x=1 thì đạo hàm bằng 1 Một hướng khác cho rằng

logarit cơ số e là logarit tự nhiên nhất vì nó có thể được

định nghĩa khá dễ dàng trong thuật ngữ của tích phân

đơn giản hay dãy Taylor và điều này lại không đúng

đối với logarit khác

Những chiều hướng sau của sự tự nhiên không có ứng

dụng trong tính toán Như ví dụ sau, có một số dãy số

đơn giản liên quan đến logarit tự nhiên.Pietro Mengoli

và Nicholas Mercatorgọi nó là logarithmus naturalis

trong vài thập kỷ trước khiIsaac NewtonvàGofried

Leibnizphát triển phép tính

1.3 Những định nghĩa

1

0

ln(x)

1/x

ln (x) được định nghĩa là diện tích dưới đường cong f (x) = 1 /

x từ 1 đến x

ln(a) được định nghĩa chính thức là diện tích dưới

đường cong f (x) = 1 / x từ 1 đến x, gần giống nhưtích

phân

ln(a) =

∫ a

1

1

x dx.

Điều này định nghĩa một logarit vì nó đáp ứng các đặc

tính cơ bản của một logarit:

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

Điều này có thể được chứng minh bằng cách cho phép:

t = x a như sau:

Số esau đó được định nghĩa là số thực duy nhất để ln (a) = 1

Ngoài ra, nếuhàm số mũđược định nghĩa bằng cách

sử dụngchuỗi vô hạn, thì logarit tự nhiên được nghĩa

làhàm ngượccủa nó, tức là, ln là một hàm số sao cho

e ln(x) = x Vì phạm vi của hàm mũ trên những đối

số thực là tất cả các số thực dương và vì hàm số mũ là

hàm luôn tăng, nên hàm log được xác định cho tất cảsố dương x.

1.4 Tính chất

• ln(1) = 0

• ln(−1) = iπ

• ln(x) < ln(y) for 0 < x < y

1+h ≤ ln(1 + h) ≤ h for h > −1

• lim x →0 ln(1+x) x = 1.

1.5 Logarit tự nhiên trong giải tích

Logarit tự nhiên thừa nhậnhàm sốcủagiải tíchđơn giản theo dạng: g(x) = f '(x)/f(x): một nguyên hàm của g(x) được cho bởi ln(|f(x)|) Đó là một trường hợp bởi vì những quy tắc của chuỗi và thực tế sau đây:

d

dx(ln|x|) = 1

x .

cách khác

∫ 1

x dx =ln|x| + C

và

∫

f ′ (x)

f (x) dx =ln|f(x)| + C.

Đây là một ví dụ trong trường hợp của g(x) = tan(x):

∫

tan(x) dx =

∫ sin(x)

cos(x) dx

∫

tan(x) dx = ∫ − d

dx cos(x) cos(x) dx.

Đặt f (x) = cos(x) và f'(x)= - sin(x):

∫

1.7 XEM THÊM 3

∫

tan(x) dx = ln |sec(x)| + C

với C là mộthằng số tùy ý của tích phân

Logarit tự nhiên có thể được tích hợp bằng cách sử dụng

tích phân của các bộ phận:

∫

ln(x) dx = x ln(x) − x + C.

1.6 Giá trị số

Để tính giá trị số logarit tự nhiên của một số, dãy số

Taylor mở rộng có thể được viết lại như sau:

ln(1+x) = x

(

1

1− x

( 1

2− x

( 1

3 − x

( 1

4 − x

( 1

5 − · · ·

)))))

for |x| < 1.

Để đạt được tốc độ tốt hơn của độ hội tụ, tính đồng nhất

sau đây có thể được sử dụng:

với y=(x-1)/(x+1) và x>0

Cho ln(x) vào x>1, giá trị của x càng gần 1, tốc độ của

sự hội tụ càng nhanh Những sự đồng nhất kết hợp với

logarit tự nhiên có thể được đẩy lên để khai thác điều

này:

Kỹ thuật này đã được sử dụng trướcmáy tính, bằng

cách tham khảo bảng số và thực hiện các thao tác như

trên

1.6.1 Độ chính xác cao

Để tính logarit tự nhiên với nhiều chữ số chính xác,

hướng tiếp cận của dãy số Taylor không có hiệu quả

vì sự hội tụ rất chậm Vì vậy, các nhà toán học đã thay

thế hướng này và sử dụng phương phápNewtonđể đảo

ngược hàm mũ để có sự hội tụ của dãy nhanh hơn

Cách tính khác cho một kết quả có độ chính xác khá

cao là công thức:

2M (1, 4/s) − m ln 2

với M là dãy truy hồi giữatrung bình cộngvàtrung

bình nhâncủa 1 và 4/s và:

s = x 2 m > 2 p/2 ,

với m chọn sao cho p đạt đến sự chính xác (Đối với hầu hết các kết quả, giá trị 8 của m là đúng.) Trong thực tế, nếu phương pháp này được sử dụng, phép nghịch đảo Newtonđối với logarit tự nhiên có thể được tính toán hàm mũcó hiệu quả (Hằng số ln 2 vàpicó thể được tính toán trước với độ chính xác mong muốn để sử dụng nhiềudãy sốcho trước một cách nhanh chóng.)

1.7 Xem thêm

• John Napier- nhà phát minh ra logarit

• Lôgarit

• hàm số

• số e

• Nicholas Mercator- người đầu tiên sử dụng thuật ngữ lôgarit tự nhiên

• Leonhard Euler

1.8 Tham khảo 1.9 Liên kết ngoài

• Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BeerExplained

Chương 2

Sốe

Hằng số toán họce làcơ sốcủalogarit tự nhiên ỉnh

thoảng nó được gọi là số Euler, đặt theo tênnhà toán

học ụy Sĩ Leonhard Euler, hoặc hằng số Napier để

ghi công nhà toán họcScotland John Napierngười đã

phát minh ralogarit (e không được nhầm lẫn với γ

-hằng số Euler-Mascheroni, đôi khi được gọi đơn giản là

hằng số Euler) Số e là một trong những số quan trọng

nhất trong toán học[1] Nó có một số định nghĩa tương

đương, một số trong chúng sẽ được đưa ra dưới đây

Số này có tham gia vàođẳng thức Euler

Do e làsố siêu việt, và do đó làsố vô tỉ, giá trị của nó

không thể được đưa ra một cách chính xác dưới dạngsố

thập phân hữu hạnhoặc vô hạn tuần hoàn hoặcphân

số liên tục hữu hạnhay tuần hoàn Nó là mộtsố thực

và do đó có thể được biểu diễn bởi một phân số liên tục

vô hạn không tuần hoàn Giá trị số của e tới 20chữ số

thập phânlà:

2,71828 18284 59045 23536…

2.1 Lịch sử

Chỉ dẫn tham khảo đầu tiên tới hằng số này được xuất

bản vào 1618 trong bảng phụ lục của một công trình

về logarit củaJohn Napier ế nhưng, công trình này

không chứa hằng số e, mà đơn giản chỉ là một danh

sách các logarit tự nhiên được tính toán từ hằng số e.

Có thể là bảng này được soạn bởiWilliam Oughtred

Chỉ dẫn đầu tiên cho biết về hằng số e được phát hiện

bởiJacob Bernoulli, trong khi tìm giá trị của biểu thức:

lim

n →∞

(

1 + 1

n

)n

Việc sử dụng đầu tiên ta từng biết của hằng số, biểu

diễn bởi chữ cái b, là trong liên lạc thư từ giữaGofried

Leibniz và Christiaan Huygens giữa 1690 và 1691

Leonhard Eulerbắt đầu sử dụng chữ cái e cho hằng số

vào 1727, và việc sử dụng e lần đầu tiên trong một ấn

bản là cuốn Mechanica của Euler (1736) Trong những

năm sau đó một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ cái c,

e trở nên phổ biến và cuối cùng trở thành tiêu chuẩn.

Lý do chính xác cho việc sử dụng chữ cái e vẫn chưa

được biết, nhưng có thể đó là chữ cái đầu tiên của từ

exponential (tiếng Anh: nghĩa thông thường là tăng nhanh chóng, nghĩa trong toán học làhàm mũ) Một khả năng khác đó là Euler sử dụng nó bởi vì nó là nguyên âmđầu tiên sau a, chữ cái mà ông đã sử dụng

cho một số khác, nhưng tại sao ông lại sử dụng nguyên

âm thì vẫn chưa rõ Dường như không phải Euler sử dụng chữ cái đó bởi vì nó là chữ cái đầu trong tên của ông, do ông là một người rất khiêm tốn, luôn cố gắng tuyên dương đúng đắn công trình của người khác.[2]

2.2 Ứng dụng

2.2.1 Bài toán lãi suất kép

Jacob Bernoulliđã khám phá ra hằng số này khi nghiên cứu vấn đề vềlãi suất kép

Một ví dụ đơn giản là một tài khoản bắt đầu với $1.00

và trả 100% lợi nhuận mỗi năm Nếu lãi suất được trả một lần, thì đến cuối năm giá trị là $2.00; nhưng nều lãi suất được tính và cộng hai lần trong năm, thì $1 được nhân với 1.5 hai lần, ta được $1.00×1.52= $2.25 Lãi kép hàng quý ta được $1.00×1.254 = $2.4414…, và lãi kép hàng tháng ta được $1.00×(1.0833…)12= $2.613035… Bernoulli để ý thấy dãy này tiến tới một giới hạn với

kì lãi kép càng ngày nhỏ dần Lãi kép hàng tuần ta được $2.692597… trong khi lãi kép hàng ngày ta được

$2.714567…, chỉ thêm được hai cent Gọi n là số kì lãi kép, với lãi suất 1/n trong mỗi kì, giới hạn của n rất lớn là một số mà bây giờ ta gọi là số e; với lãi kép liên tục, giá trị tài khoản sẽ tiến tới $2.7182818… Tổng quát

hơn, một tài khoản mà bắt đầu bằng $1, và nhận được

(1+R) đô-la lãi đơn, sẽ nhận được e R đô-la với lãi kép liên tục

2.2.2 Phép thử Bernoulli

Số e cũng có ứng dụng tronglý thuyết xác suất, trong

đó nó phát triển theo cách mà không hiển nhiên liên quan đến độ tăng hàm mũ Giả sử rằng một con bạc chơi slot machine, một triệu lần,kỳ vọngđược thắng

2.3 SỐ E TRONG GIẢI TÍCH 5

một lần Khi đóxác suấtmà con bạc không thắng được

gì là (xấp xỉ) 1/e.

Đây là một ví dụ vềphép thử Bernoulli Mỗi lần con

bạc chơi một lượt, có thêm một trong một triệu cơ hội

thắng Việc chơi một triệu lần được mô hình hóa qua

phân phối nhị thức, có liên hệ mật thiết vớiđịnh lý nhị

thức Xác suất thằng k lần và thua các lần còn lại là

(

106

k

) (

10−6)k

(1− 10 −6)10 6−k .

Đặc biệt, xác suất không thắng lần nào (k=0) là

(

1− 1

106

)106

.

Số này rất gần với giới hạn sau ho 1/e

1

e = lim

n →∞

(

1− 1

n

)n

2.2.3 Derangement

2.3 Số e trong giải tích

Lý do chính để đưa ra số e, đặc biệt tronggiải tích, là

để lấyvi phânvàtích phâncủahàm mũvàlogarit.[3]

Một hàm mũ tổng quát y=a xcó đạo hàm dưới dạnggiới

hạn:

d

dx a

x= lim

h →0

a x+h − a x

h →0

a x a h − a x

x

( lim

h →0

a h − 1 h

)

.

Giới hạn ở bên phải độc lập với biến x: nó chỉ phụ thuộc

vào cơ số a Khi cơ số là e, giới hạn này tiến tới một, và

do đó e được định nghĩa bởi phương trình:

d

dx e

x = e x

Do đó, hàm mũ với cơ số e trong một số trường hợp

phù hợp để làm giải tích Chọn e, không như một số số

khác, là cơ số của hàm mũ làm cho tính toán chủ yếu

về đạo hàm đơn giản hơn rất nhiều

Một lý do khác đến từ việc xét cơ sốlogarita.[4] Xét

định nghĩa của đạo hàm của logₐx bởi giới hạn:

d

dxloga x = lim

h →0

loga (x + h) − log a (x)

1

x

( lim

u →0

1

uloga (1 + u)

)

.

Một lần nữa, có một giới hạn chưa xác định mà chỉ phụ

thuộc vào cơ số a, và nếu cơ số đó là e, giới hạn là một.

Vậy

d

dxloge x = 1

x .

Logarit trong trường hợp đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên(thường được ký hiệu là “ln”), và nó cũng dễ dàng lấy vi phân vì không có giới hạn chưa xác định nào phải thực hiện trong khi tính toán

Do đó có hai cách để chọn một số đặc biệt a=e Một cách là đặt sao cho đạo hàm của hàm số axlà ax Một

cách khác là đặt sao cho đạo hàm của logarit cơ số a

là 1/x Mỗi trường hợp đều đi đến một lựa chọn thuận

tiện để làm giải tích ực tế là, hai cơ số có vẻ rất khác

nhau này lại chỉ là một, số e.

2.3.1 Các đặc điểm khác

Một số đặc điểm khác của số e: một là vềgiới hạn dãy, một cái khác là vềchuỗi vô hạn, và vẫn còn một số khác

vềtích phân Trên đây ta đã giới thiệu hai tính chất:

1 Số e làsố thựcdương duy nhất mà

d

dt e t = e t :Đạo hàmcủahàm số mũcơ số e chính là hàm số đó

2 Số e là số thực dương duy nhất mà

d

dtloge t = 1

t .

Các tính chất khác sau đây cũng được chứng minh là tương đương:

3 Số e làgiới hạn

e = lim

n →∞

(

1 + 1

n

)n

4 Số e là tổng củachuỗi vô hạn

e =

∞

∑

n=0

1

n! =

1 0!+

1 1!+

1 2!+

1 3!+

1 4!+· · · trong đó n! làgiai thừacủa n.

5 Số e là số thực dương duy nhất mà

∫ e

1

1

t dt = 1 (nghĩa là, số e là số mà diện tích dướihyperbolf (t) = 1/t từ 1 tới e là bằng một)

6 CHƯƠNG 2 SỐE

2.4 Tính chất

2.4.1 Hàm tựa-mũ

2.4.2 Lý thuyết số

Chứng minh e là số vô tỉ

Giả sử e là số hữu tỉ, suy ra

e = p

q

Dựa vào công thức:

e =

∞

∑

n=0

1

n! =

1

0!+

1 1!+

1 2!+

1 3!+

1 4!+· · ·

e.q! = (1

0!+

1

1!+

1 2!+· · · ).q! = (1

0!+

1 1!+

1 2!+· · ·+1

q! ).q!+

1

q + 1+

1

(q + 1)(q + 2)+

1

(q + 1)(q + 2)(q + 3)+· · ·

e.q! là số nguyên dương, suy ra: 1

q+1 + (q+1)(q+2)1 + 1

(q+1)(q+2)(q+3)+· · · là số nguyên dương.

Mặt khác: 1

q+1+(q+1)(q+2)1 +(q+1)(q+2)(q+3)1 +· · · <

1

q+1+q+11 − 1

q+2 +q+21 − 1

q+3 + ≤ 2

q+1 ≤ 1

Suy ra điều mâu thuẫn

Vậy e là số vô tỉ

2.4.3 Số phức

2.5 Biểu diễn của số e

2.5.1 Biểu diễn số e dưới dạng liên phân số

e = [[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, , 1, 2n, 1, ]],

4 + 1

Như vây mặc dù e là số vô tỉ nhưng trong biểu diễnliên

phân sốlại phân phối theo quy luật tuyến tính:

2;1-2-1;1-4-1;1-6-1;1-8-1;…

2.5.2 Số chữ số thập phân đã biết

2.7 Xem thêm

Số Pi

2.8 Ghi chú

[1] Howard Whitley Eves (1969) An Introduction to the History of Mathematics Holt, Rinehart & Winston

[2] O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; e MacTutor History

of Mathematics archive: “e number e"; University of

St Andrews Scotland (2001)

[3] See, for instance, Kline, M (1998) Calculus: An intuitive

and physical approach, Dover, section 12.3 “e Derived

Functions of Logarithmic Functions.”

[4] is is the approach taken by Klein (1998)

[5] New Scientist, 21-7-2007, tr 40

[6] Byte Magazine, yển 6, số 6 (tháng 6 năm 1981) tr 392)

“e Impossible Dream: Computing e to 116,000 places with a Personal Computer”

[7] Notable Large Computations: EAlexander J Yee Cập nhật 7/3/2011

2.9 Tham khảo

• Maor, Eli; e: e Story of a Number,ISBN 0-691-05854-7

2.10 Liên kết ngoài

• Số e tới 1 triệu chữ số thập phânvà2 và 5 triệu chữ số thập phân

• Những cách sử dụng ban đầu cho ký hiệu của các hằng số

of GROWTH - Keith Tognei, University of Wollongong, NSW, Australia

• An Intuitive Guide To Exponential Functions & e

• Euler’s constanttrên PlanetMath

• E trên MathWorld

• e Approximations: giá trị gần đúng của số e

2.11 NGUỒN, NGƯỜI ĐÓNG GÓP, VÀ GIẤY PHÉP CHO VĂN BẢN VÀ HÌNH ẢNH 7

2.11 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh

2.11.1 Văn bản

• Lôgarit tự nhiên Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/L%C3%B4garit_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn?oldid=26578603 Người đóng góp: VolkovBot, Ptbotgourou, Tnt1984, TuHan-Bot, Cheers!-bot, MerlIwBot, Le Cam Van, GrouchoBot, Alphama, Makecat-bot,

AlphamaBot, Hugopako, AlphamaBot2, Addbot, Jimmy Jefferson, Tuanminh01, TuanminhBot, Trantrongnhan100YHbot, Huỳnh Nhân-thập và 11 người vô danh

• Số e Nguồn:https://vi.wikipedia.org/wiki/S%E1%BB%91_e?oldid=26351041Người đóng góp: aisk, Newone, JAnDbot, Nguyễn Kim

Vỹ, VolkovBot, TXiKiBoT, Hoang448, Synthebot, SieBot, TVT-bot, Loveless, OKBot, PixelBot, Alexbot, Meotrangden, ieungu1nam, Luckas-bot, Future ahead, Ptbotgourou, Hihahihuc, Darkicebot, Xqbot, TobeBot, Tnt1984, TuHan-Bot, Wild Lion, DSisyphBot, FoxBot, Mjbmrbot, Cheers!-bot, MerlIwBot, Greenknight dv, GrouchoBot, AlphamaBot, Rotlink, Hugopako, Addbot, OctraBot, Tuanminh01, TuanminhBot, Én bạc AWB và 9 người vô danh

2.11.2 Hình ảnh

• Tập_tin:Log-pole-x.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/55/Log-pole-x.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: own work (based on raster image uploaded on polish wiki.) Nghệ sĩ đầu tiên:Wojciech Muła

• Tập_tin:Log.svg Nguồn:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Log.svgGiấy phép: Public domain Người đóng góp:

en wikipedia, uploaded by Elmextube who claims to be the author Nghệ sĩ đầu tiên:Elmextube

• Tập_tin:Question_book-new.svg Nguồn:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Question_book-new.svgGiấy phép:

CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Chuyển từen.wikipedia sang Commons Created from scratch in Adobe Illustrator Based on Image: Question book.png created by User:EquazcionNghệ sĩ đầu tiên:Tkgd2007

2.11.3 Giấy phép nội dung

• Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0