Viết phương trình dao động điều hòa –xác định các đặc trưng của một dđđh

Chọn gốc thờigian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo.. chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò xo có độ dài nhỏ nhất.. Hãy lậ phương trình dao động nếu chọn mốc thời

Viết phương trình dao động điều hòa – Xác định các đặc trưng của một

DĐĐH.

I

– Phương pháp 1:(Phương pháp truyền thống)

* Chọn hệ quy chiếu : - Trục Ox ……… - Gốc tọa độ tại VTCB

- Chiều dương ……….- Gốc thời gian ………

* Phương trình dao động có dạng : x Acos(t + φ) cm) cm

* Phương trình vận tốc : v  -Asin(t + φ) cm) cm/s

* Phương trình gia tốc : a  -2Acos(t + φ) cm) cm/s2

1 – Tìm 

* Đề cho : T, f, k, m, g, l0

-   2πf 

2 T



, với T 

t N



, N – Tổng số dao động trong thời gian Δtt

Nếu là con lắc lò xo :

 

k

m, (k : N/m ; m : kg)   0

g l

 , khi cho l0 

mg

k  2

g



Đề cho x, v, a, A :   2 2

v

A  x 

a

x 

max

a

A 

max

v A

2 – Tìm A

* Đề cho : cho x ứng với v  A =

2 v 2

x  ( )



- Nếu v  0 (buông nhẹ))  A x

- Nếu v  vmax  x  0  A 

max

v



* Đề cho : amax  A 

max 2

a

 * Đề cho : chiều dài quĩ đạo

CD  A =

CD

2

* Đề cho : lực Fmax  kA  A =

max F

k * Đề cho : lmax và lmin của lò xo

A =

max min

2



* Đề cho : W hoặc W dmaxhoặc W tmax A =

2W

k Với W  Wđmax 

Wtmax 

2 1

kA

* Đề cho : lCB,lmax hoặc lCB, lmim A = lmax – lCB hoặc A = lCB – lmin.

3 - Tìm  (thường lấy – π < φ) cm ≤ π) : Dựa vào điều kiện ban đầu

* Nếu t  0 :

- x  x0 , v  v0 

0 0

x A cos

v A sin





  

0

0

x cos

A v sin

A



 





  



 φ) cm  ?

- v  v0 ; a  a0 

2 0

0

a A cos

v A sin

   





  



tanφ) cm 

0 0

v

 ?

- x0 0, v v0 (vật qua VTCB) 0

0 Acos

v A sin





  

0

cos 0

v

sin

 







0

2

v

A / /





 





 



- x  x 0, v 0 (vật qua VT biên )

0

x Acos

0 A sin





  

0

x

cos sin 0









  

o

0;

A /x /

  









* Nếu t  t1 :

x A cos( t )

v A sin( t )

   





    

2

a A cos( t )

v A sin( t )

     





    

Lưu ý :– Vật đi theo chiều dương thì v > 0  sinφ) cm < 0; đi theo chiều âm thì v <

0 sin > 0

– Trước khi tính φ) cm cần xác định rõ φ) cm thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác

4 – Bài tập :

1 Một vật dao động điều hòa với biên độ A  4cm và T cm và T  2s Chọn gốc thời

gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo Phương trình dao động của vật là :

A x  4cm và T cos(2πt  π/2)cm B x  4cm và T cos(πt  π/2)cm.C x  4cm và T cos(2πt  π/2)cm

D x  4cm và T cos(πt  π/2)cm

HD :    2πf  π và A  4cm và T cm  loại B và D.

 t  0 : x0  0, v0 > 0 : 0

0 cos

v A sin 0

 





   

2 sin 0



 





  

 chọn φ) cm  π/2  x  4cm và T cos(2πt  π/2)cm. Chọn : A

2 Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 4cm và T cm với f  10Hz Lúc t  0

vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo Phương trình dao động của vật là :

A x  2cos(20πt  π/2)cm B.x  2cos(20πt  π/2)cm C x  4cm và T cos(20t  π/2)cm

D x  4cm và T cos(20πt  π/2)cm

HD :    2πf  π và A  MN /2  2cm  loại C và D

 t  0 : x0  0, v0 > 0 : 0

0 cos

v A sin 0

 





   

2 sin 0





 





  

 chọn φ) cm π/2  x

2cos(20πt  π/2)cm. Chọn : B

3 Một lò xo đầu trên cố định, đầu dưới treo vật m Vật dao động theo phương

thẳng đứng với tần số góc

  10π(rad/s) Trong quá trình dao động độ dài lò xo thay đổi từ 18cm đến 22cm Chọn gố tọa độ tại VTCB chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò

xo có độ dài nhỏ nhất Phương trình dao động của vật là :

A x  2cos(10πt  π)cm B x  2cos(0,4cm và T πt)cm.C x  4cm và T cos(10πt  π)cm D x

 4cm và T cos(10πt + π)cm

HD :   10π(rad/s) và A 

max min

2



 t  0 : x0  2cm, v0  0 :

2 2cos

0 sin





 

cos 0

0 ;

 





  

 chọn φ) cm  π  x  2cos(10πt  π)cm. Chọn : A

4 Một chất điểm dđ đh dọc theo trục ox quanh VTCB với biên độ 2cm chu kỳ 2s.

Hãy lậ phương trình dao động nếu chọn mốc thời gian t0=0 lúc

a Vật đi qua VTCB theo chiều dương

B.Vật đi qua VTCB theo chiều âm

c Vật ở biên dương

d Vật ở biên âm

Giải: ω=

2 π

T =π rad/s

a t0=0 thì { x 0 =0=Acosϕ ¿ } ¿ {}

suy ra { cosϕ=0 ¿} ¿ {}⇒ ϕ=π ta có phương trình

x=2cos( π t+π )

b t0=0 thì { x 0 =0=Acosϕ ¿ } ¿ {}

suy ra { cosϕ=0 ¿} ¿ {}⇒ ϕ=0 ta có x=2.cos( π t)

c t0=0 { x 0 = A=Acosϕ ¿ } ¿ {}⇒ ϕ=0

; d

0 0

cos



 

5 Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Õ quanh VTCB O với biên độ 4cm và T

cm, tần số f=2 Hz hãy lập phương trình dao động nếu chọn mốc thời gian t0=0 lúc

a chất điểm đi qua li độ x0=2 cm theo chiều dương

b chất điểm đi qua li độ x0=-2 cm theo chiều âm

a t0=0 thì { x0=2=4cos ϕ ¿ } ¿ {}⇒ ϕ=− π

3 => x=4cm và T cos(4cm và T π t− π3) cm

b t0=0 thì { x0=−2=4cos ϕ ¿ } ¿ {}⇒ ϕ= 2 π

3

6 Một chất điểm d đ đ hdọc theo trục Ox quanh vị trí cân bằng O với

ω=10 rad/s

a Lập phương trình dao động nếu chọn mốc thời gian t0=0 lúc chất điểm đi qua li

độ x0=-4cm và T cm theo chiều âm với vận tốc 4cm và T 0cm/s

b Tìm vận tốc cực đại của vật

Giải: a t0=0 thì

{ x 0 =−4=Acosϕ ¿ } ¿ {}⇒ ¿ { cosϕ= −4

A ¿ } ¿ {} ¿

suy ra

ϕ=− π

4, A=4√2

b vmax= ω A=10.4.√2=40.√2

II

– Phương pháp 2: Dùng số phức biểu diễn hàm điều hòa

(NHỜ MÁY TÍNH fX 570MS; 570ES; 570ES Plus)

1- Cơ sở lý thuyết:

(0) (0)

0

(0) (0)

cos cos

cos( )

t

v





 













Vậy

(0) 0

(0)

a x

b















2- Phương pháp giải SỐ PHỨC:

Biết lúc t = 0 có:

(0)

(0) (0)

a x

A

v

v



















3.- Thao tác trên máy tính (fx 570MS;570ES): Mode 2, R (radian), Bấm nhập

:

(0)

(0)

v





- Với máy fx 570ES : bấm tiếp SHIFT, 2 , 3, máy sẽ hiệnA , đó là biên độ A

và pha ban đầu 

-Với máy fx 570MS : bấm tiếp SHIFT, + (r  (A )), = (Re-Im) máy hiện A,

sau đó bấm SHIFT, = (Re-Im) máy sẽ hiện 

4 Chú ý các vị trí đặc biệt: (Hình vòng tròn lượng giác)

5 Chọn chế

độ

thực hiện phép tính về

số phức của máy tính:

CASIO fx–

570ES, 570ES Plus

Chỉ định dạng nhập / xuất

Màn hình xuất hiện Math.

Thực hiện phép tính về số

phức

Bấm: MODE 2 Màn hình xuất hiện CMPLX

Hiển thị dạng toạ độ cực:

r

Bấm: SHIFT MODE  3

2

Hiển thị số phức dạng r 

Hiển thị dạng đề các: a +

ib

Bấm: SHIFT MODE  3

1

Hiển thị số phức dạng a+bi

Chọn đơn vị đo góc là độ

(D)

Bấm: SHIFT MODE 3 Màn hình hiển thị chữ D

Chọn đơn vị đo góc là Rad

(R)

Bấm: SHIFT MODE 4 Màn hình hiển thị chữ R

Nhập ký hiệu góc  Bấm SHIFT (-). Màn hình hiển thị 

Vòng Tròn LG

II

IV

-A

M

Vị trí của vật

lúc đầu t=0

Phần thực: a

Phần ảo:

bi

Kết quả:

a+bi = A

Phương trình:

x=Acos(t+

) Biên dương(I):

x0 = A; v0 = 0

Theo chiều âm

(II): x0 = 0 ; v0 <

0

a = 0 bi = Ai A /2 x=Acos(t+

/2)

Biên âm(III):

x0 = - A; v0 = 0

) Theo chiều

dương (IV): x0 =

0 ;v0 > 0

a = 0 bi= -Ai A- /2

x=Acos(t-/2)

Vị trí bất kỳ: a= x0 v0



)

-Thao tác trên máy tính (fx 570MS;570ES): Mode 2, và dùng đơn vị R (radian),

Bấm nhập :

(0) (0)

v





- Với máy fx 570ES : Muốn xuất hiện biên độ A và pha ban đầu : Làm như sau:

-Với máy fx 570MS : bấm tiếp SHIFT + (r  (A )), = (Re-Im): hiện A,

SHIFT = (Re-Im) : hiện 

6- Thí dụ:

Ví dụ 1 Vật m dao động điều hòa với tần số 0,5Hz, tại gốc thời gian nó có li

độ x(0) = 4cm và T cm, vận tốc v(0) = 12,56cm/s, lấy  3,14cm và T Hãy viết phương trình dao động

G iải: Tính = 2f =2.0,5=  (rad/s)

(0) (0)

4cm và T

0 : 4cm và T 4cm và T

4cm và T

a x

b







 



 bấm 4cm và T - 4cm và T i,

23 4cm và T 2 cos )

4cm và T x 4cm và T ( 4cm và T

SHIF T      t  cm

Ví dụ 2 Vật m gắn vào đầu một lò xo nhẹ), dao động điều hòa với chu kỳ 1s người ta kích thích dao động bằng cách kéo m khỏi vị trí cân bằng ngược chiều dương một đoạn 3cm rồi buông Chọn gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian lúc buông vật, hãy viết phương trình dao động

G

iải: Tính = 2/T=2/1= 2 (rad/s)

(0) (0)

3

0

a x

b



 





 



Ví dụ 3 Vật nhỏ m =250g được treo vào đầu dưới một lò xo nhẹ), thẳng đứng k

= 25N/m Từ VTCB người ta kích thích dao động bằng cách truyền cho m một vận tốc 4cm và T 0cm/s theo phương của trục lò xo Chọn gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian lúc m qua VTCB ngược chiều dương, hãy viết phương trình dao động

Nếu bấm tiếp phím 3 = kết quảdạng cực (r )

Nếu bấm tiếp phím 4 = kết quảdạng phức (a+bi )

( đang thực hiện phép tính )

iải :

(0) (0)

0

10 / ; 4cm và T

4cm và T

a x k









 



 ; bấm 4cm và T i,

2 3 4cm và T 4cm và T cos(

2

III–Các bài tập :

Bài 1: Một vật dao động điều hòa có biên độ A = 24cm và T cm ,chu kỳ T= 4cm và T s Tại thời

điểm t = 0 vật có li độ cực đại âm (x = -A) a) Viết phương trình dao động điều hòa x ?

b) Tình x ? v ? a ? ở thời điểm t = 0 ,5s

Hướng dẫn giải:

a)

2

2

T

(rad/s) Tại t = 0

0 0





x = 24cos 2t (cm)







Cách 2 dùng máy tính :

(0) (0)

24cm và T

24cm và T 0

x v

b



  





 



 



Shift Mode 4 (R:radian), Nhập: -24cm và T , SHIF T 2 3 24cm và T x 24cm và T cos(2t )cm



b) x 24cm và T cos 2.0,5 16,9(cm)





24cm và T sin ( 12 )( ) 26,64cm và T /

Bài 2: Một lò xo khối lượng không đáng kể có k = 200 N/m.Đầu trên giữ cố định

đầu dưới treo vật nặng có m = 200g, vật dao động thẳng đứng có vận tốc cực đại 62,8 cm/s viết PT dao động của vật

* m

K





=



 10 10

10 10 2 , 0







rad/s (trong đó m = 200g = 0,2 kg) *vmax= A => A = 10 2

8 , 62

max









v

(cm)

* Điều kiện ban đầu t = 0, x = 0, v > 0

0 = Acos Suy ra  =  /2

v = -Asin  > 0 Suy ra  < 0 =>  = - /2 => x = 2cos(10 t-/2) (cm)

Bài 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm và T cm và T = 2s Chọn gốc thời

gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo Phương trình dao động của vật là :

A x = 4cm và T cos(2πt - π/2)cm B x = 4cm và T cos(πt - π/2)cm.

C x = 4cm và T cos(2πt -π/2)cm D x = 4cm và T cos(πt + π/2)cm

Hướng dẫn giải:  = 2πf = π Và A = 4cm và T cm  loại A và C.

 t = 0 : x0 = 0, v0 > 0 : 0

0 cos

v A sin 0

 





   

2 sin 0





 





  

 chọn φ) cm = - π/2 Chọn : B

Bài 4: Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 4cm và T cm với f = 10Hz Lúc t =

0 vật qua VTCB theo chiều âm của quỹ đạo Phương trình dao động của vật là :

A x = 2cos(20πt  - π/2)cm B.x = 2cos(20πt + π/2)cm

C x = 4cm và T cos(20t -π/2)cm D x = 4cm và T cos(20πt  + π/2)cm

Hướng dẫn giải:  = 2πf = 20π Và A = MN /2 = 2cm  loại C và D.

 t = 0 : x0 = 0, v0 < 0 : 0

0 cos

v A sin 0

 





   

2 sin 0





 





  

 chọn φ) cm =- π/2 Chọn : B

Bài 5: Một lò xo đầu trên cố định, đầu dưới treo vật m Vật dao động theo

phương thẳng đứng với tần số góc  = 10π(rad/s) Trong quá trình dao động độ dài

lò xo thay đổi từ 18cm đến 22cm Chọn gốC tọa độ tại VTCB Chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò xo có độ dài nhỏ nhất Phương trình dao động của vật

là :

A x = 2cos(10πt + π)cm B x = 2cos(0,4cm và T πt)cm.

C x = 4cm và T cos(10πt + π)cm D x = 4cm và T cos(10πt + π)cm

Hướng dẫn giải:  = 10π(rad/s) và A =

max min

2



t = 0 : x0 = -2cm, v0 = 0 :

2 2cos

0 sin





 

cos 0

0 ;

 





  

 chọn φ) cm = π  x = 2cos(10πt +  π)cm Chọn :A

Bài 6: Một con lắc lò xo dao động với biên độ A = 5cm, chu kỳ T = 0,5s Viết

phương trình dao động của con lắc trong các trường hợp:

a) t = 0 , vật qua VTCB theo chiều dương

b) t = 0 , vật cách VTCB 5cm, theo chiều dương

c) t = 0 , vật cách VTCB 2,5cm, đang chuyển động theo chiều dương

HD Giải: Phương trình dao động có dạng : xA co s( t )

Phương trình vận tốc có dạng : v x ' A .sin(  t)

Vận tốc góc :

2 2.

4cm và T ( / )

T

    

a) t = 0 ;

0 0

s sin

x A co



 



0 5 s 5.4cm và T sin 0

co v



 



      / 2 Vậy x 5 s(4cm và T co t 2)





(cm)

b) t = 0 ;

0 0

s sin

x A co



 



5 5 s 5.4cm và T sin 0

co v



 



     0 Vậy: x5 s(4cm và T )co t (cm)

c) t = 0 ;

0 0

s sin

x A co



 



2,5 5 s 5.4cm và T s 0

co



 



3 rad





 

Vậy: x 5 s(4cm và T co t 3)





(cm)

Bài 7: Một con lắc lò xo dao động với chu kỳ T = 1(s) Lúc t = 0, vật qua vị trí

có li độ x 5 2 (cm) với vận tốc v 10 2  (cm/s) Viết phương trình dao động của con lắc

HDGiải:

Phương trình dao động có dạng : xA co s( t )

Phương trình vận tốc có dạng : v x ' A .sin(  t )

Vận tốc góc :

2 2.

2 ( / )

T

    

ADCT :

2

2 2

2

v



 

( 10 2) ( 5 2)

(2 )

v



= 10 (cm)

Điều kiện ban đầu : t = 0 ;

s sin

x A co



 



A co



 tan 1

3.

( ) 4cm và T rad





 

Vậy

3

10 s(2 )

4cm và T

x co  t 

(cm)

Bài 8: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox Lúc vật qua vị trí có li độ

2

x  (cm) thì có vận tốc v  2(cm/s) và gia tốc a 2 2(cm/s2) Chọn gốc toạ độ ở vị trí trên Viết phương trình dao động của vật dưới dạng hàm số cosin

Lời Giải: Phương trình có dạng : x = A.cos(.t )

Phương trình vận tốc : v = - A..sin( t )

Phương trình gia tốc : a= - A.2.cos( t)

Khi t = 0 ; thay các giá trị x, v, a vào 3 phương trình đó ta có :

x A cos v    A  a    Acos

Lấy a chia cho x ta được :   (rad s/ )

Lấy v chia cho a ta được :

3.

4cm và T rad



    

(vì cos < 0 )

2

  Vậy :

3.

2 s( )

4cm và T

x co  t 

(cm)

Bài 9: Vật dao động điều hòa với tốc độ cực đại 4cm và T 0 cm/s Tại vị trí có li độ

0 2 2( )

x  cm vật có động năng bằng thế năng Nếu chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí này theo chiều dương thì phương trình dao động của vật là

4cm và T 0

4cm và T

4cm và T cos 10

2 2

2

A

A

A



















4cm và T 0

4cm và T

4cm và T cos 10

2 2 2

A

A

A

















m

Bài 10: Một vật có khối lượng m = 100g được treo vào đầu dưới của một lò xo có

độ cứng k = 100(N/m) Đầu trên của lò xo gắn vào một điểm cố định Ban đầu vật được giữ sao cho lò xo không bị biến dạng Buông tay không vận tốc ban đầu cho vật dao động Viết phương trình dao động của vật (dạng sin) Lấy g = 10 (m/s2);

2 10

 

HD Giải: Ta có tần số góc :

100 10.

0,1

k m

(Rad/s)

Tại VTCB lò xo dãn ra một đoạn là :

2

0,1.10

100

m g

k



Phương trình dao động có dạng : xA.sin( t )

Điều kiện ban đầu t = 0 , giữ lò xo sao cho nó không biến dạng tức x0 = - l

Ta có :t = 0 ;

0 0

1 sin 0

v A cos



 

   





 

Vậy : x sin(10 .t 2)





(cm)

4 – Trắc nghiệm Vận dụng :

1 Một vật dao động điều hòa với   5rad/s Tại VTCB truyền cho vật một vận

tốc 1,5 m/s theo chiều dương Phương trình dao động là:

A x  0,3cos(5t + /2)cm B x  0,3cos(5t)cm C x  0,3cos(5t 

/2)cm D x  0,15cos(5t)cm

2 Một vật dao động điều hòa với   10 2rad/s Chon gốc thời gian t 0 lúc vật có ly độ x  2 3cm và đang đi về vị trí cân bằng với vận tốc 0,2 2m/s theo chiều dương Lấy g 10m/s2 Phương trình dao động của quả cầu có dạng

A x  4cm và T cos(10 2t + /6)cm B x  4cm và T cos(10 2t + 2/3)cm

C x  4cm và T cos(10 2t  /6)cm D x  4cm và T cos(10 2t + /3)cm