.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Trang 1CHƯƠNG VIII: TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Lực tương tác Culông giữa hai điện tích điểm:
2 0
2 1
q q F
πεε
r là khoảng cách giữa hai điện tích điểm, ε0=8,86.10-12C2/N.m2 là hằng số điện, ε là hằng số điện môi của môi trường
2 Véc tơ cường độ điện trường:
q
F E
r r
với là lực điện trường tác dụng lên điện tích q Fr
Cường độ điện trường gây bởi một điện tích điểm q:
2 0
q E
πεε
3 Véc tơ cảm ứng điện:
E
Dr r
0
εε
4 Cường độ điện trường gây bởi một sợi dây thẳng dài vô hạn mang điện đều tại một điểm cách dây một khoảng r:
r
E
0
2πεε
λ
với λ là mật độ điện dài của dây
5 Cường độ điện trường gây bởi một mặt phẳng mang điện đều:
0
2εε
σ
=
với σ là mật độ điện mặt
6 Định lý Oxtrôgratxki - Gaox:
Thông lượng cảm ứng điện gửi qua một mặt kín (S) bất kỳ:
=
=
= Φ
)
0
S
n
i i q S
d
Dr r
(8-7)
với ∑ là tổng đại số các điện tích có trong mặt kín
=
n
i
i
q
1
7 Công của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích điểm q0 từ điểm A đến điểm B trong điện trường:
A = q0(VA - VB) B (8-8)
Trang 2với VAvà VB là điện thế tại điểm A và điểm B trong điện trường B
8 Tính chất thế của trường tĩnh điện:
∫Erd lr = 0
(8-9)
9 Hiệu điện thế giữa hai điểm A và B:
∫
=
−
B
A B
A V E d l
(8-10)
10 Liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế:
dt
V
E =−∂ hay E r = − grad V (8-11)
Đối với điện trường đều:
d
U
với U = V1-V2 là hiệu điện thế, d là khoảng cách giữa 2 mặt đẳng thế tương ứng
11 Điện thế gây bởi một điện tích điểm q tại một điểm cách nó một khoảng r:
r
q V
0
4πεε
12 Hiệu điện thế giữa hai mặt cầu đồng tâm mang điện đều, bằng nhau trái dấu:
2 1 0
1 2 2
1
4
) (
R R
R R Q V V
πεε
−
=
R1 là bán kính của mặt cầu trong, R2 là bán kính của mặt cầu ngoài, Q là độ lớn điện tích trên mỗi mặt cầu
13 Hiệu điện thế giữa hai mặt trụ đồng trục dài vô hạn mang điện đều, bằng nhau trái dấu:
2
1 0 2
R V
V
πεε
λ
=
R1 là bán kính của mặt trong, R2 là bán kính của mặt ngoài, λ là mật điện dài trên mặt trụ
B BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
8.1 Cho 3 điện tích bằng nhau q = 10-6C đặt tại ba đỉnh của một tam giác đều cạnh a = 5cm
a Tính lực tác dụng lên mỗi điện tích
Trang 3b Nếu 3 điện tích đó không được giữ cố định thì phải đặt thêm một điện tích thứ 4 q0 có dấu và độ lớn như thế nào và đặt ở đâu để hệ 4 điện tích nằm cân bằng?
Giải
a Các điện tích cùng dấu và cùng độ lớn đặt tại 3 đỉnh của một tam giác đều nên hợp lực tác dụng lên mỗi điện tích như nhau, do đó ta chỉ xác định hợp lực tác dụng lên điện tích đặt tại C Áp dụng định luật Culông ta biểu diễn các lực F r1
do điện tích đặt tại A
và F r2
do điện tích đặt tại B tác
dụng lên điện tích đặt tại C như
hình vẽ Lực F rC
do
O ⊕
C
F r
2
F r
1
F r
B ⊕
C
⊕
A
⊕
C
F r
2
F r
1
F r
B ⊕
C
⊕
A
⊕
Hình 8-1
1
F r
và F r2
tác dụng lên q đặt tại C có
phương chiều như hình vẽ, độ
lớn:
FC = 2F1cos300
trong đó:
2
2 1
a
q k
F =
suy ra:
( )
( ) 2 6,23( )
3 10 5
10 10 9
2
2 6 9
N
−
−
b Muốn điện tích q0 nằm cân bằng với 3 điện tích kia thì tổng hợp lực do 3 điện tích kia tác dụng lên q0 phải bằng không, do đó q0 phải nằm tại trọng tâm của tam giác ABC và để cho hệ nằm cân bằng thì q0 phải là điện tích
âm Độ lớc của q0 đượcxác định:
2 2
0
a
q k OC
q q
trong đó:
3
3 3
2 2
a
Trang 4Từ đó suy ra: 5 , 77 10 ( )
3
Vậy q0 = -5,77.10-7 C
8.2 Cho 2 điện tích dương q1=q và q2=4q đặt cố định trong không khí cách nhau một khoảng a=30cm Phải chọn một điện tích thứ 3 q0 như thế nào
và đặt ở đâu để nó cân bằng với 2 điện tích kia
Giải
GọiF r1
và F r2
là các lực điện do q1 và q2 tác dụng lên q0 Điều kiện để
q0 nằm cân bằng là:
1
F r
+ F r2
= 0 muốn vậy q0 phải nằm trên đường thẳng AB nối hai điện tích q1 và q2 Vị trí
q 0
q 2
⊕
B
q 1
⊕
A
Hình 8-2
F1 = F2 (1) Đặt AM = x, theo định luật Culông ta có:
2 0 1 1
x
q q k
F =
2 0 2 2
)
q q k F
−
=
Thay vào (1) ta được:
2 0 1
x
q q
)
q q k
−
Biểu thức (2) thỏa mãn với mọi dấu và độ lớn của q0 Thay q1 = q và q2 = 4q
ta suy ra:
(a – x)2 = 4x2
) ( 10 3
30
a
x = = =
⇒
8.3 Một điện tích q=10-7C đặt trong điện trường của một điện tích điểm Q, chịu tác dụng của lực F= 3.10-3N Tìm cường độ điện trường E tại điểm đặt điện tích q và độ lớn của điện tích Q Biết rằng hai điện tích đặt cách nhau r =30cm
Trang 5Giải
Theo biểu thức về mối liên hệ giữa lực điện và cường độ điện trường, ta có:
F = qE
) / ( 10 3 10
10
7
3
m V q
F
Từ công thức:
2
r
Q k
E =
10 9
) 10 30 (
10
9
2 2 4
2
C k
Er
−
=
=
=
8.4 Tại các đỉnh A và C của một hình vuông ABCD có đặt các điện tích dương q1=q3=q Hỏi phải đặt tại đỉnh B một điện tích bằng bao nhiêu để cường độ điện trường tại đỉnh D bằng 0 Tìm cường độ điện trường tại tâm của hình vuông ABCD khi đó
Giải
a Hai điện tích q1 và q3 gây ra tại D các véc tơ cường độ điện trường E r1
và
2
E r
như hình vẽ, độ lớn:
2 3
1
a
q k E
Véc tơ tổng hợpE r13
có phương chiều như hình vẽ, độ lớn:
2 1
2 3
2
1
a
q k E
E E
Để véc tơ cường độ điện trường tại D
bằng không thì q2 phải gây ra tại D véc tơ cường độ điện trường Er2
sao cho:
0
Er
O
D
13
Er
1
Er
⊕ C
q 3
A ⊕
q 1
B
q 2
3
Er
Hình 8-4
13
E r r
−
=
suy ra q2<0 , về độ lớn:
q q
a
q k a
q
Vậy: q2 = − 2 2 q
Trang 6b Tại O, véc tơ cường độ điện trường do q1 và q3 gây ra tại O bằng không,
do đó E r0tại O chỉ do q
2 gây ra E r0
có phương chiều như hình vẽ, độ lớn:
2 2
2
2
2
2 2 2
a
kq a
q k
a
q k
8.5 Cho 4 điện tích điểm q1=q2= 6.10-6C, q3= q4= -6.10-6C đặt tại 4 đỉnh của
1 hình vuông cạnh a=50cm Hãy xác định:
a Véc tơ cường độ điện trường do 4 điện tích gây ra tại tâm O của hình vuông
b Lực điện tác dụng lên điện tích q0=-910-6C đặt tại tâm O của hình vuông
Giải
a Ta xét trường hợp hai điện tích cùng dấu
nằm cạnh nhau:
Er
24
Er
⊕ B
q 2
0
Er
O
D
q 4
13
Er
C C
q 3
A ⊕
q 1
Hình 8-5a
Hai điện tích ở điểm A và C gây ra tại O các
véc tơ cường độ điện trường:
3
1 E
E r r
=
Tổng hợp của hai véc tơ này là E r13
có phương chiều như hình vẽ, có độ lớn:
2
OA
q k
với
2
2
a
OA=
) / ( 10 64 , 8 ) 10 50 (
10 6 10
2 2
6 9
tương tự hai điện tích ở điểm B và D gây ra tại O các véc tơ cường độ điện trường
4
2 E
E r r
=
Tổng hợp của hai véc tơ này là E r24
có phương chiều như hình vẽ, có độ lớn:
) / ( 10 64 , 8
13 2
OB
q k
Trang 7Véc tơ Er
do 4 điện tích gây ra tại O có phương chiều như hình vẽ, có độ lớn:
) / ( 10 15 , 12 10
64 , 8 2
E
Lực điện tác dụng lên q0 đặt tại O là véc tơ F r
cùng phương và ngược chiều với E r(do q
0<0), có độ lớn:
F = q0E = 12,15.105.9.10-6 = 10,9(N)
b Ta xét trường hợp hai điện tích khác dấu nằm cạnh nhau:
Hai điện tích ở điểm A và C gây ra tại O các véc tơ cường độ điện trường:
2
E r r
−
=
Tổng hợp của hai véc tơ này là E r12 = 0
Hai điện tích ở điểm B và D gây ra tại O các
véc tơ cường độ điện trường:
4
E r r
−
=
Tổng hợp của hai véc tơ này là E r34 = 0
Do
đó véc tơ Er’ do 4 điện tích gây ra tại O bằng 0
⊕ C
q 2
0
Er
O
D
q 4
B C
q 3
A ⊕
q 1
Hình 8-5b Lực điện tác dụng lên q0 đặt tại O cũng bằng 0
8.6 Cho hai quả cầu nhỏ giống hệt nhau, đặt cách nhau một đoạn r=10cm trong không khí Đầu tiên hai quả cầu tích điện trái dấu, chúng hút nhau với lực F1=1,6.10-2N Cho hai quả cầu tiếp xúc với nhau, rồi lại đưa ra vị trí cũ thì thấy chúng đẩy nhau với một lực F2=9.10-3N Tìm điện tích của mỗi quả cầu trước khi chúng tiếp xúc với nhau
Giải
Gọi q1 và q2 là điện tích tương ứng của mỗi quả cầu trước khi chúng tiếp xúc nhau Độ lớn của lực tương tác giữa chúng xác định theo định luật Culông:
2 2 1 1
r
q q k
F =
2 2 2
2 1 2
9
6 , 1 10
9
) 10 10 (
10 6 ,
−
=
−
=
k
r F q
Sau khi tiếp xúc nhau, điện tích của mỗi quả cầu có độ lớn là:
2
2
q +
do đó lực đẩy giữa chúng là:
Trang 8
k
r F q
q r
q q k F
2 2 2
2 1 2
2 2 1 2
4 ) (
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
Thay các giá trị vào ta được:
14 2
2
1 ) 4 10
hay ( q1 + q2) = ± 2 10−7 (2)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
=
−
−
) ( 10 67 , 2
) ( 10 67 , 0
7 2
7 1
C q
C q
và:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
=
−
−
) ( 10 67 , 2
) ( 10 67 , 0
7 2
7 1
C q
C q
8.7 Cho hai quả cầu nhỏ giống hệt nhau, cùng có khối lượng m = 0,1g, điện tích q=10-8C được treo tại cùng một điểm bằng hai sợi dây mảnh Do lực đẩy tĩnh điện, hai quả cầu tách ra xa nhau một đoạn a=3cm Xác định góc lệch của các sợi dây so với phương thẳng đứng Cho g=10m/s2 Giải
Mỗi quả cầu chịu tác dụng của 3 lực:
- Trọng lực: P = mg
- Lực điện: 2
2 1
a
q k
F =
- Lực căng dây T
Phương chiều của các lực như hình
vẽ
Khi quả cầu cân bằng
0
= + + T F
Theo hình vẽ suy ra:
1 ) 10 3 (
10 10 1 , 0
) 10 (
10 9
2 2 3
2 8 9 2
2
=
=
=
mga
kq P
F
tgα
a/2
Tr
α
Pr
Pr
Fr
Fr
Tr
⊕
⊕
Hình 8-7
Ö α = 450
Trang 98.8 Giữa hai bản kim loại song song đặt nằm ngang, tích điện bằng nhau và trái dấu, có một hiệu điện thế U1=1000V Khoảng cách giữa hai bản là d=1cm ở đúng giữa khoảng cách hai bản có một giọt thủy ngân nằm lơ lửng Đột nhiên hiệu điện thế giữa hai bản giảm xuống chỉ còn
U2=995V Hỏi sau bao lâu giọt thủy ngân rơi xuống đến bản dưới Cho g=10m/s2
Giải
Khi giọt thủy ngân nằm lơ lửng, các lực tác dụng vào giọt thủy ngân gồm trọng lực và lực điện trường, hai lực này cân bằng nhau:
d
U q qE
Khi hiệu điện thế giảm còn U2, lực điện trường không đủ lớn để cân bằng với trọng lực, giọt thủy ngân chịu tác dụng của hợp lực hướng thẳng đứng xuống dưới và có độ lớn:
F r
d
U q qE mg
F = − 2 = 2
Giọt thủy ngân sẽ rơi xuống với gia tốc:
d
U m
q g m
F
Từ (1) và (2) suy ra:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
1
2
1
U
U g
a
Phương trình chuyển động của giọt thủy ngân:
2
2
1
at
S = trong đó
2
d
S =
Suy ra:
) ( 45 , 0 1000
995 1
10
10 1
2
1 2
s
U
U g
d a
d
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
8.9 Cho hai điện tích q và 2q đặt cách nhau 10cm Hỏi tại điểm nào trên đường nối hai điện tích ấy điện trường triệt tiêu
Trang 10Hướng dẫn
Gọi M là điểm mà tại đó điện trường tổng hợp bằng 0, AB = a, vì hai
điện tích cùng dấu nên điểm M chỉ có thể nằm trong đoạn AB để cho hai véc
tơ do q gây ra và Er1 do 2q gây ra cùng phương ngược chiều
2
Er
2q
A
Hình 8-9
2 1
x
q k
2 2
) (
2
x a
q k E
−
= Điều kiện về độ lớn:
2 2
2 1
) (
2
x a
q k x
q k E E
−
=
⇔
=
Ö x2 + 2ax – a2 = 0 Kết quả: x = 4,12 cm
8 10 Một êlectrôn điện tích e, khối lượng m chuyển động trên một quỹ đạo
tròn bán kính r quanh hạt nhân nguyên tử hyđrô Xác định vận tốc
chuyển động của êlectrôn trên quỹ đạo Cho biết e = -1,6.10-19C,
m = 9,1.10-31kg, khoảng cách trung bình từ êlectrôn đến hạt nhân là
r = 10-8cm
Hướng dẫn
Lực tương tác Culông giữa êlectrôn và hạt nhân đóng vai trò là lực
hướng tâm, êlectrôn chuyển động xung quanh hạt nhân theo quỹ đạo tròn
dưới tác dụng của lực này Ta có:
r
v m r
e k F
2 2
2
=
=
Suy ra:
r m
k e v
= Kết quả: v ≈ 1,6.106 m/s
8.11 Một mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều với mật độ σ Tại khoảng
giữa của mặt phẳng có một lỗ hổng bán kính a nhỏ so với kích thước của
mặt Tính cường độ điện trường tại một điểm nằm trên đường thẳng
Trang 11vuông góc với mặt phẳng và đi qua tâm lỗ hổng, cách tâm của lỗ hổng
một đoạn b
Hướng dẫn
Áp dụng nguyên lý chồng chất điện trường: coi mặt phẳng không có lỗ hổng
tích điện đều với mật độ điện mặt σ, mặt phẳng này gây ra tại điểm M véc tơ
cường độ điện trường là Er1 có phương chiều như hình vẽ, độ lớn:
ξ ξ
σ 0 1
2
=
E
Tại vị trí của lỗ hổng ta đặt
một đĩa tròn bán kính a
tích điện đều với mật độ
điện mặt -σ, đĩa tròn này
gây ra tại điểm M véc tơ
cường độ điện trường là
có phương chiều như
hình vẽ, độ lớn:
2
Er
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
2
2 0
2
1
1 1
2
b a
E
ξ ξ σ
b
Er
2
Er
1
Er
M
P
a O
Hình 8-11
vì và cùng phương ngược chiều nên véc tơ cường độ điện trường tổng
hợp tại M là
2
Er
Er cùng phương với hai véc tơ thành phần, có chiều là chiều của véc tơ Er1, độ lớn được xác định bởi:
2
1 E E
Kết quả
2
2
0 1
2
b a
E
+
= ξ ξ σ
8.12 Một quả cầu khối lượng m = 0,1g treo trên một sợi dây mảnh, được đặt
vào trong một điện trường đều có phương nằm ngang cường độ
Trang 12E= 1000V/m khi đó dây treo bị lệch một góc 450 so với phương thẳng đứng Tìm điện tích của quả cầu
Hướng dẫn
Quả cầu chịu tác dụng của 3 lực:
- Trọng lực: P = mg
Tr
450
Pr
Fr
⊕
- Lực điện: 2
2 1
a
q k
F =
- Lực căng dây T
Phương chiều của các lực như hình vẽ
Khi quả cầu cân bằng:
0
= + + T F
Theo hình vẽ ta có:
F = Ptg450 Hình 8-12
=> mg = F = qE Suy ra:
E
mg
q =
Kết quả ⏐q⏐ = 10-6C
8.13 Một đĩa tròn bán kính R tâm O tích điện đều với mật độ σ Hãy tính:
a Điện thế do đĩa gây ra tại một điểm nằm trên trục của đĩa cách tâm O của đĩa một khoảng là h
b Điện thế do đĩa gây ra tại tâm của đĩa
dϕ dS
r
M
O R
Hướng dẫn
a.Chia nhỏ diện tích của đĩa tròn thành những
phần tử diện tích dS như hình vẽ (dS = dxdl),
điện tích trên phần tử dS là dq:
dq = σdS = σxdxdϕ trong đó x là khoảng cách từ O đến dS, dϕ là
góc chắn cung dl dq gây ra tại M điện thế dV
được xác định bởi:
Hình 8-13
r
dq dV
ξ
4
=
r
xdxd
ξ πξ
ϕ σ
0
4
=
Trang 13Điện thế do toàn bộ đĩa gây ra tại M là:
∫
∫
xdx d
dV V
2 0 0 )
π
ϕ ξ πξ
σ
Lấy tích phân rồi thay cận vào ta được:
V = ( R2 + h2 − h )
0
2 ξ ξ
σ
(*)
b Điện thế do đĩa gây ra tại tâm của đĩa:
Từ (*) cho h→0 ta được điện thế do đĩa gây ra tại tâm O, ta được kết quả cần tìm:
Kết quả: a V = ( R2 + h2 − h )
0
2 ξ ξ σ
b
ξ ξ
σ 0
2
R
VO =
8.14 Hai mặt phẳng song song rộng vô hạn tích điện đều với mật độ bằng nhau nhưng trái dấu, khoảng cách giữa hai mặt phẳng là 5mm Cường độ điện trường giữa chúng là 104 V/m Tính:
a Hiệu điện thế giữa hai mặt phẳng đó
b Mật độ điện mặt của chúng
Hướng dẫn
a Từ công thức tính công:
d
A = qEd = q(VA – VB) B Suy ra công thức tính hiệu điện thế giữa hai mặt
phẳng:
UAB = Ed
b Cường độ điện trường giữa hai mặt phẳng mang
điện là đều và được xác định từ công thức:
ξ ξ
σ
0
=
E
Hình 8-14 suy ra σ = ξ0ξ E
Kết quả: σ = 9.10-8C/m2
Trang 148.15 Một điện tích điểm q đặt tại tâm O của hai đường tròn đồng tâm bán kính lần lượt là r và R
a Tính công của lực điện trường khi dịch
chuyển một điện tích q0 đi từ:
- B đến A và từ C đến D
- B đến C và từ A đến D
b So sánh công của lực điện trường khi
dịch chuyển một điện tích q0 đi từ: A đến
C và từ D đến C
Hướng dẫn
a Công của lực điện trường khi dịch chuyển một điện tích q0 đi từ:
- B đến A và từ C đến D
Áp dụng công thức tính công:
A = q0(V1 – V2)
Ta có:
ABA = q0(VB – VA) Và:
ACD = q0(VC – VD) nhưng VB = VB C và VA = VD nên ABA = ACD
- B đến C và từ A đến D
Ta có:
ABC = q0(VB – VC) Và:
AAD = q0(VA – VD) nhưng VB = VB C và VA = VD nên ABA = ACD = 0
b Ta cũng có:
AAC = q0(VA – VC) Và:
ADC = q0(VD – VC)
Do VA = VD nên AAC = ADC
Kết quả: a ABA = ACD = 0
b AAC = ADC
D
A B O C
q
D
A B O C
q
Hình 8-15
