aChứng minh rằng MN là đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng BD và AD’.Tính khoảng cách giữa BD và AD’.. bTính thể tích khối tứ diện D’DMN.. Tính tổng các chữ số tạo ra... Ta thấy đờng
Trang 1Trờng THPT Ngô Gia Tự
Đề thi thử đại học lần IV –môn : toán Thời gian làm bài :180’(không kể thời gian giao đề)
-o0o -Câu 1:
1)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x3-6x2+9x-1 (C) 2)Cho đờng tròn (S) :x2+y2-4mx+2my+5m2-1=0 Tìm m để các điểm cực
đại,cực tiểu của đồ thị (C) nằm về hai phía của đờng tròn (S)
Câu 2:
1)Giải phơng trình :x2+4x= x+ 6
2)Giải bất phơng trình : ( ) ( )
1 2
5
2 2log2 log2 6
>
+ −x x− x+ x
Câu 3:
1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc cho Parabol có phơng trình y2=4x (P).Giả sử A,B là hai điểm thay đổi trên (P) sao cho các tiếp tuyến tại
A và B vuông góc với nhau.Chứng minh rằng đờng thẳng AB luôn đi qua một
điểm cố định
2) Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Trên các đờng chéo của các mặt bên là BD và AD’ta lần lợt lấy hai điểm M,N sao cho BM=2MD và ND’=2AN
a)Chứng minh rằng MN là đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng BD và AD’.Tính khoảng cách giữa BD và AD’
b)Tính thể tích khối tứ diện D’DMN
Câu 4:
1)Tính tích phân I= ∫2 +
1 x 1 x 3 dx
2)Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số có 9 chữ số trong
đó chữ số 1 có mặt ba lần , chữ số 2 có mặt hai lần , các chữ số khác có mặt một lần Tính tổng các chữ số tạo ra
Câu 5:
Cho tam giác ABC , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
C B
1 2
cos 2
1 2
cos 2
1
−
+ +
+ +
Trang 2Đáp án – Thang điểm
Câu
1 1. TXĐ:R
Có y’=3x2-12x+9 ; y’=0
−
=
⇒
=
=
⇒
=
⇔
1 3
3 1
y x
y x
Hàm số đạt CĐ (1;3) ,đạt CT (3;-1)
Có y”=6x-12 ; y”=0 ⇔x= 2 ⇒y= 1
Đồ thị hàm số lồi trên (− ∞ ; 2 ),lõm trên (2 ; +∞) và có điểm uốn (2;1)
Đồ thị hàm số không có tiệm cận
BBT: x − ∞ 1 2 3 + ∞
y’ + 0 - - 0 +
y 3 + ∞
1
− ∞ -1
Đồ thị: y 3 A 1 (C) O 1 2 3 x
-1 B
0.25
0.25
0.25
0.25
2 Đờng tròn (S) có tâm I(2m;-m) ,bán kính R=1
Đồ thị (C) có CĐ là A(1;3) và CT là B(3;-1).Do đó để đồ thị (C) có các
điểm CĐ,CT nằm về hai phía của đờng tròn (S) thì :
(IA2 -1).(IB2 -1)<0 ⇔(5m2+2m+9)(5m2 -14m+9)<0
⇔5m2-14m+9<0 ⇔1 < m <
5 9
0.25
0.5
0.25 Câu
2 1.
Điều kiện :
−≤≤
−
≥
⇔
≥+
≥+
4 6
0 04
06
x x x
x
Đặt x+ 6= t +2 (với t≥ -2) Phơng trình trở thành:
0.25
0.25
0.25 0.25
Trang 352 4
24 62
24
2
2 2
xt
tx xtt
txx xt
txx
Với x=t ta có : x2+4x=x+2 ⇔ x2+3x-2=0 ⇔x=
2
17
−
Với t=-x-5 ta có x2+4x=-x-5+2⇔ x2+5x+3=0⇔x=
2
13
−
Đối chiếu điều kiện ta đợc x=
2
17
− ; x=
2
13
− là nghiệm
2 Điều kiện :x>0
Ta có 2x và 2-x luôn dơng với mọi x nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai
số 2x và 5.2-x ta có :2x + 5 2 −x ≥ 2 2x 5 2 −x = 2 5 > 1
Do đó bất phơng trình tơng đơng với 2 log2x− log2(x+ 6) > 0
−<
<
−
>
⇔
>
+
−
−
⇔
>
+
⇔
>
+
⇔
2 6
3 0 6
6 1
6
0 6 log
2 2
2 2
x
x x
x
x x
x x
x
Đối chiếu điều kiện ta đợc nghiệm bất phơng trình là x>3
0.25
0.5 0.25
Câu
3 1. Giả sử tung độ của các điểm A,B lần lợt là a,b thì Aa4 ;a
2 ,Bb4 ;b
2 với
b
a≠ Phơng trình tiếp tuyến tại A và B là:
0 4
2x−ay+a2 = (d1) ; 0
4
2x−by+b2 = (d2) Vì (d1) vuông góc với (d2) nên a.b= - 4.
Phơng trình AB: 4x-(a+b)y+ab=0⇔4x-(a+b)y-4=0.
Ta thấy đờng thẳng AB luôn đi qua điểm cố định (1;0) chính là tiêu điểm
của (P)
0.25 0.25
0.25 0.25 2a Chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz sao cho
A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;a;0),A’(0;0;a)
(Hình vẽ)
Khi đó D’(0;a;a),M
3
2
; 3
a a
3
; 3
;
0 a a
− −
=
3
; 3
; 3
a a a
MN ,BD =(−a ; a; 0),AD' =(0 ;a;a)
Ta có MN BD=a −a + 0 = 0 ⇒MN ⊥BD
3 3
2 2
= −a2 +a2 = ⇒ ⊥
0.25 0.25 0.25
Trang 4Khoảng cách giữa BD và AD’ là MN=
3
3 9
9 9
2 2
a
= + +
0.25 2b
Ta có DD' =(0 ; 0 ;a),
−
=
3
; 3
2
;
−
3
; 3
a a DN
,'DM DN a3
Vậy thể tích tứ diện D’DMN là
9
2a3
0.25 0.25 0.25 Câu
4 1. Ta có I=∫ =∫ +
+
2
2 2
dx x x
x dx
2 3
1 2
3 1
x
dx x dt x t
+
=
⇒ +
Khi x= 1 ⇒t= 2 ;x= 2 ⇒t= 3
Do đó I=
) 1 2 )(
1 3 (
) 1 2 )(
1 3 ( ln 3
1 1
1 ln 3
1 1
1 1
1 3
1 ) 1 ( 3
2 3
2 3
2
+
−
= +
−
=
+
−
−
=
t t t
dt
0.25
0.25 0.5
2 Coi 9 chữ số của số có 9 chữ số cần lập đợc xếp vào 9 ô vuông
Chọn 3 ô trong 9 ô đó để xếp chữ số 1 có 3
9
C cách ; Chọn 2 ô trong 6 ô còn lại để xếp chữ số 2 có 2
6
C cách;
Bốn ô còn lại xếp 4 chữ số 3,4,5 ,6 có 4! cách
Vậy có tất cả 3
9
C 2 6
C 4!=30240 số thỏa mãn đề bài
*)Tổng các chữ số ở từng hàng đơn vị,hàng chục, của tất cả các chữ số …
trên là 302409 (1.3+2.2+3+4+5+6)=84000
Do đó tổng các chữ số lập đợc ở trên là :
84000.111 111 111
0.25
0.25 0.25
0.25 Câu
5 áp dụng bất dẳng thức Côsi ta có:
2 cos 2
1 2
cos 2
1 2
cos 2
−
+ +
+
C B
A
P
2 cos 2
cos 2
cos 6
9
− +
+
≥
⇒
Đặt Q=cos2A+cos2B-cos2C ta có Q=2cos(A+B)cos(A-B)-2cos2C+1
Q=-2[cos2C+cosCcos(A-B)+ 14 cos2(A-B)]+ 21 cos2(A-B)+1≤ 23
0.25
0.25 0.25 0.25
Trang 5DÊu b»ng x¶y ra
°=
°=
=
⇔
=−
−
−=
⇔
120
30 1)
(cos
)
cos(
2
1 cos
BA BA
BA C
5 6 2
3 6
9 6
9
= +
≥ +
≥
⇒
Q
P
VËy minP=56 khi A=B=30 C° ; = 120 °