Tai lieu HD tu hoc toan 12 (2016 2017)

thì x0 gọi là điểm cực đại điểm cực tiểu của hàm số; fx0.. được gọi là giá trị cực đại giá trị cực tiểu của hàm số, kí hiệu là fCĐ fCT hay yCĐ yCT, còn điểm Mx0; fx0 gọi là điểm cực đại

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

oOo

1 Dấu nhị thức bậc nhất:

 Dạng f(x) = ax + b (a  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

 Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.):

x - -

a

b

+

ax + b trái dấu với a 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 cùng dấu với a

2 Dấu tam thức bậc hai:

 Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) Nghiệm của tam thức là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

 Tính  = b2 - 4ac

 Nếu  < 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 thì: phương trình f(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 vô nghiệm và

x - +

f(x) cùng dấu với a

 Nếu  = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 thì: phương trình f(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 có nghiệm kép x = - 2 b a và

x - - a

b

2

+

f(x) cùng dấu với a 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 cùng dấu với a

 Nếu  > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 thì: phương trình f(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 có 2 nghiệm x1, x2 (x1 < x2) và

x - x1 x2 +

f(x) cùng dấu với a 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 trái dấu với a 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 cùng dấu với a

* Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ' nếu hệ số b chẵn.

3 Dấu các nghiệm phương trình bậc hai:

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 (*) ( = b2 - 4ac)

Phương trình (*) có hai

nghiệm trái dấu (x1 < 0 < x2)

khi và chỉ khi: P =

a

c

< 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

Phương trình (*) có hai nghiệm

âm phân biệt (x1 < x2 < 0) khi

a

b S a

c P a

Phương trình (*) có hai nghiệm

dương phân biệt (0 < x1 < x2 ) khi

a

b S a

c P a

4 Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.).

a) f(x)  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 x  R 

0

a

.

5 Các khái niệm liên quan đến hàm số:

Hàm số cho bởi biểu thức được kí hiệu y = f(x) với f(x) là một biểu thức chứa biến x.

 Tập xác định của hàm số: D = {x  R  f(x) có nghĩa}.

 Giá trị của hàm số y = f(x) tại x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. là y0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. = f(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.).

6 Giới hạn vô cực:

a) Một vài giới hạn đặc biệt:

b) Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:

a) Các phép toán: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm, khi đó:

2

' '

)'

(

v

u v v

v

v

v  

b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:

(C)' = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

(x)' = x-1(  R, x > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.)

x

x

2

1 )'

(  (x > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.)

2

1 )'

1

(

x

x   (x  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.)

(u)' = u-1.u'(  R, u > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.)

u

u u

2

' )' (  (u > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.)

2

' )'

1 (





2 2

) (

2 )'

(

e dx

dc be aex adx

e dx

c bx ax

2

) (

) (

2 ) (

)' (

f ex dx

ec bf x dc af x

bd ae f

ex dx

c bx ax

d) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; y0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) là f'(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) và phương trình tiếp tuyến tại M(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; y0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) có dạng: y - y0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. = f'(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.)(x - x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.).

 Ghi chú:

 Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x):

) ( lim

0

x f

x

0

x g

x

0

x g x f

x x

L > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 + - + -

L < 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 + - + -

 Quy tắc tìm giới hạn của thương g f ( ( x x ) ) :

) ( lim0

x f

x

0

x g

x

) ( lim

0 g x

x fx x

L  Tùy ý 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

L > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

L < 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 + -

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1) Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K = (a; b) hoặc K = [a; b) hoặc K = (a; b] hoặc K = [a; b])

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu

với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho:

x1 < x2  f(x1) < f(x2)

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K

nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho:

Bảng biến thiên:

x a b 

a

lim

y 

b x

Đồ thị hàm số đồng biến là đường đi lên từ trái sang phải

Đồ thị hàm số nghịch biến là đường đi xuống từ trái sang phải

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:

 Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thị hàm số y = f(x) để hoàn thiện bảng biến thiên và rút

ra nhận xét:

a) y = x2.

TXĐ: D = R

y' = 2x

y' = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0  2x = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0  x = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0  y = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

x - 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 +

y' - 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 +

x - 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 +

y' y

Nhận xét: Nếu y' < 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 trên K thì hàm số trên K.

Nếu y' > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 trên K thì hàm số trên K.

Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f'(x) > 0 x  K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f'(x) < 0 x  K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

* Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K gọi chung là đơn điệu trên K, K gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x).

Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số

a) y = 2x4 + 1; b) y = sinx trên khoảng (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 2).

Giải:

* Chú ý: Quan sát đồ thị hàm số y = x3 và trả lời câu hỏi: y = x 3 O x y Khẳng định sau đúng hay sai? vì sao? "Nếu hàm số y = f(x) tăng trên R thì f'(x) > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 với mọi x  R" Trả lời:

Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K Nếu f'(x)  0 (f'(x)  0), x  K và f'(x) = 0

 Nếu f'(x) = 0 x  K thì f(x) không đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm hằng y = c trên K)

II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x):

 Trình bày bài giải:

 Tìm tập xác định D của hàm số (D = {x  R  f(x) có nghĩa})

 Tính đạo hàm f'(x) Cho f'(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., tìm các điểm xi (i = 1, 2, , n) mà tại đó đạo hàm bằng 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 hoặc không xác định.

 Lập bảng biến thiên (lưu ý sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần trên bảng biến thiên).

i) y' > 0, x  (a; b)

x a b

y



a x

y

y

lim

Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b)

ii) y'  0, x  (a; b) và y' = 0 tại một số hữu hạn điểm x0, x1, , xn

y' + 0 + 0 + 0 +

y  a x y lim  b x y lim Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) iii) y' < 0, x  (a; b) x a b y' -y  a x y lim  b x y lim Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) iv) y'  0, x  (a; b) và y' = 0 tại một số hữu hạn điểm x0, x1, , xn x a x0 x1 xn b y' - - 0 - 0 - 0 -

-y xa y lim  b x y lim Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b)  Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = 2 2 2 1 3 1 3 2    x x x Giải:

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7; b) y = x4 - 2x2 3; c) y = -2 4 x - x2 + 2 3 ; d) y = 1 1   x x Giải:

2 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ: Chứng minh rằng x > sinx trên khoảng (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.;  2 ) Giải:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:



 1

1 3





x

x





x

x

Bài 4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y =

1

1 2







x

x

x

x x



 1

2 2

1

3 2 2







x

x

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y =

9

2

2



x

x



 x

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y =

1

2



x

x

đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng

(-; -1) và (1; +) (HD: Chứng minh y' 0x (-1;1) và y' 0x (-;-1) (1; +))

Bài 3: Chứng minh hàm số y = 2

2 x  x đồng biến trên (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 1) và nghịch biến trên (1; 2)

Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tanx > x (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 < x <  2 ); b) tanx > x +

3

3

x (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 < x <  2 ).

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU: Lập bảng biến thiên của hàm số sau: y = x x x 2 5 2 3 6 1 3 2  

2

5 2

3 6





) ( -1 6 64 5 -4 -6 -7 6 25 6 -5 O y x Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -; b là +) và điểm x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.  (a; b) a) Nếu tồn tại số h > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 sao cho f(x) < f(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) với mọi x  (x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. - h; x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. + h) và x  x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. b) Nếu tồn tại số h > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 sao cho f(x) > f(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) với mọi x  (x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. - h; x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. + h) và x  x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. * Chú ý: a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. thì x0 gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), còn điểm M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. c) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. thì f'(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

II ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ:

trên K \{x0}, h > 0.

a) Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ:

1 Quy tắc 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x)

 Tìm tập xác định.

 Tính f'(x) Tìm các điểm x sao cho tại đó f'(x) bằng 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 hoặc f'(x) không xác định.

 Lập bảng biến thiên.

 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

x x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. - h x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. + h

f'(x) + 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

-f(x) yCĐ x x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. - h x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. + h f'(x) - 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 +

f(x)

yCT "Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm" "Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương" Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x3 - x2 - x + 3 Giải:

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y = 3 1 1   x x Giải:

 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm cực trị của hàm số f(x) = x(x2 - 3) 2 Quy tắc 2: Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x0 - h; x0 + h), với h > 0 Khi đó: a) Nếu      0 ) ( '' 0 ) ( ' 0 0 x f x f thì x0 là điểm cực tiểu b) Nếu      0 ) ( '' 0 ) ( ' 0 0 x f x f thì x0 là điểm cực đại. Quy tắc 2:  Tìm tập xác định  Tính f'(x) Giải phương trình f'(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, ) là các nghiệm của nó  Tính f''(x) và tính f''(xi)  Dựa vào dấu của f''(xi) để suy ra tính chất cực trị của điểm xi Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) f(x) = 1 4 x4 - 2x2 + 6; b) f(x) = sin2x Giải:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; b) y = x4 + 2x2 - 3; c) y = x + 1 x ;



 x

Bài 2: Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = x4 - 2x2 + 1; b) y = sin2x - x; c) y = sinx + cosx; d) y = x5 - x3 - 2x + 1.

Bài 3: Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.

Bài 4: Tìm các giá trị của m để x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số y =

1

1 2









x

m mx x

Bài 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y =

m x

mx x





2

đạt cực đại tại x = 2.

Bài 6: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x3 - mx2 - 2x + 1 luôn có một điểm cực

đại và một điểm cực tiểu (HD: Chứng minh y' = 0 có hai nghiệm phân biệt)

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - 6 Xác định m sao cho:

Bài 2: Tìm a và b để các cực trị của hàm số y =

3

5

a2x3 + 2ax2 - 9x + b đều là những số dương và x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. =

9

5

 là điểm cực đại.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I ĐỊNH NGHĨA:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)  M với mọi x thuộc D và

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)  m với mọi x thuộc D và

II GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG:

 Quan sát đồ thị các hàm số sau và điền vào các chỗ trống sau:

-2 1

-5

2

-1

f x( ) = x2 + 4∙x 5

O

x y

Giá trị lớn nhất của hàm số f(x)= -x2 + 4x - 5

trên (-; +) là: tại x =

-3 1 f x( ) = x 5 + 1 x O x y Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x - 5 + x 1 trên (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; +) là: tại x =

 Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b)  Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), từ đó suy ra kết luận. (Nếu bài toán không chỉ ra khoảng K thì ta tìm GTLN, GTNN trên tập xác định) x a x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. b f'(x) +

-f(x) GTLN x a x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. b f'(x) - +

f(x)

GTNN Trong đó: f'(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 hoặc không xác định tại x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = x - 5 + 1 x trên khoảng (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; +) Giải:

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) f(x) = - 21 1



x ; b) f(x) = 1 x trên (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 1).

Giải:

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN: 1/ Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.  Quan sát đồ thị hàm số sau và điền vào các chỗ trống: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 - x2 - x + 2 trên đoạn [0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 2] là: tại x =

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - x2 - x + 2 trên đoạn [0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 2] là: tại x = [ ]

2 1

4

1 2

O

x y

2/ Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:

 Tìm các điểm x1, x2, , xn trên khoảng (a; b), tại đó f'(xi) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 hoặc không xác định (i = 1, 2, n).

 Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b).

 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong {f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)} Ta có:

a; b

max f(x) = M, min f(x) = m a; b

Ví dụ 1:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 10) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 trên [-3; 1].

Giải:

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx trên [ ; 7 6 6   ] Giải:

* Chú ý:  Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên [a; b] thì: [ ; ]

max b y = f(b), [ ; ] min b a y = f(a)  Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên [a; b] thì: max[ ;b]y = f(a), min[a;b]y = f(b) maxy [a;b] [a;b] miny f(b) f(a) O x y b a

maxy [a;b] [a;b] miny f(a) f(b) O x y b a Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = -x3 + 1 trên [-1; 1] Giải:

IV ỨNG DỤNG:

Ví dụ: Cho một tấm nhôm hình vuông

cạnh a Người ta cắt ở bốn góc bốn hình

vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại

như hình vẽ để được một cái hộp không

nắp Tính cạnh của các hình vuông bị cắt

sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.

x a

Giải:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên [-4; 4] và [0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 5]; b) y = x4 - 3x2 + 2 trên [0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 3] và [2; 5];

c) y = x x



 1

2

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4  x 2 x

Bài 3: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

4

x

 ; b) y = 4x3 - 3x4; c) y = x + 4 x (x > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.);

4 x

x

1

1

x

Bài 4: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

(HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và chu vi của hình chữ nhật theo x.)

Bài 5: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48cm2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ

nhất (HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và diện tích hình chữ nhật theo x.)

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y =

2

3

2 2







x x

x

; b) f(x) = -3x2 + 4x - 8 trên [-2; 2 3 ); c) y = x - 1 x trên (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 2] Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + 2 1



x với x > 1.

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x2 - 3x + 2 trên đoạn [-10) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 10) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.].

Bài 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

Bài 5: Cho số dương m Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất Bài 6: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.

Bài 7: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.).

Bài 8: Cho hàm số y  2 x4 3 x2 2 x  1 Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d): y = 2x - 1 là nhỏ nhất.

Bài 9: Tìm x để các hàm số sau đây đạt giá trị lớn nhất:

a) y = x(6 - x), x [0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 6]; b) y = (x + 3)(5 - 2x), x [- 3 ; 2 5 ].

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN

 Quan sát đồ thị hàm số y = 1 2





x

x

, trả lời các câu hỏi sau:

1

y = 1

x = 2

2

O

x

2

1 lim





x

2

1 lim







x

 Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ thị hàm số đến đường thẳng y = 1 càng gần số nào khi x   ? và đồ thị hàm số như thế nào với đường thẳng y = 1 khi x  ?

 Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ thị hàm số đến đường thẳng x = 2 càng gần số nào khi x  2+ và khi x 2- và đồ thị hàm số như thế nào với đường thẳng x = 2 khi x

 2+ và khi x 2-?

I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +  ), (-  ; b) hoặc (-  ; +  )) Đường thẳng y = y0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y =

f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:xlim f(x) = y 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 (hoặcxlim f(x) = y 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.).

* Chú ý: Nếu x f x x f x  l









II – ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

Đ ịnh nghĩa : Đường thẳng x = x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm

số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 

 0

lim

x

 0

lim

x

 0

lim

x

 0

lim

x

Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

a) y = 2 1 4





x

x

1

3 2







x

x x

.

Giải:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: a) y = 1 2 2 3   x x ; b) y = 3 5    x x ; c) y = x x  2 ; d) y = 1 7    x x ; e) y = 4 1   x ; f) y = 5 2 2 5   x x ; g) y = 7  1 x ; h) y = x 2 Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: a) y = 9 2 2 x x   ; b) y = 2 2 5 2 3 1 x x x x     ; c) y = 1 2 3 2    x x x ; d) y = 2  3 4  x x ; e) y = 4 1 2 2     x x x ; f) y = 1 1   x x 2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho hàm số y = 2 1 1   x x có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị (C), tìm điểm M thuộc (C) sao cho IM nhỏ nhất Bài 2: Cho hàm số y = 3 2   x x (1) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số (1) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 Điểm uốn của đồ thị hàm số:

Lõm

Lồi

O

x y

Điểm uốn

 Điểm uốn của đồ thị hàm số là điểm I(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; y0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) với x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. là

nghiệm phương trình y'' = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

 Nếu hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) có hai cực trị thì điểm uốn là trung điểm hai điểm cực trị của đồ thị * Nhận xét: Phần đồ thị hai bên điểm uốn khác nhau về hình dáng: bên "lồi" lên, bên "lõm" xuống I- KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d (a  0)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: y' = f'(x) y' = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.: giải phương trình f'(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Kết luận cực trị của hàm số Giới hạn y x lim = , x lim y = (chỉ cần kết quả, không cần giải thích) Vẽ bảng biến thiên  Đồ thị: Điểm đặc biệt: Điểm uốn: I(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; y0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) với x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. là nghiệm phương trình y''(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 Giao điểm với trục tung: x = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tìm y Giao điểm với trục hoành: y = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 giải phương trình f(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tìm x Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x3 + 3x2 - 4; b) y = -x3 + 3x2 - 4x + 2; c) y = 3 3 x - x2 + x + 1 Giải:

2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax4

+ bx2

+ c (a  0)

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

y' = f'(x)

y' = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.: giải phương trình f'(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Kết luận cực trị của hàm số.

y

Vẽ bảng biến thiên.

 Đồ thị:

Điểm đặc biệt:

Giao điểm với trục tung: x = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tìm y.

Giao điểm với trục hoành: y = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 giải phương trình f(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tìm x.

Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng.

Ví du: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = cx ax d b





Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Giới hạn và tiệm cận:

xlim0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.  Tiệm cận đứng x = x

Vẽ bảng biến thiên.

 Đồ thị:

Điểm đặc biệt:

Giao điểm với trục tung: x = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tìm y.

Giao điểm với trục hoành: y = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 giải phương trình f(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 tìm x.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

II – SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1/ Tọa độ giao điểm của hai đồ thị:

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường: (C) y = x2 + 2x - 3 và d: y = 2x + 1.

2/ Biện luận bằng đồ thị số nghiệm phương trình f(x) = g(x):

Ví dụ 1: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = 1 1

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 2 có đồ thị (C1) Dựa vào đồ thị (C1), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 - 2 = m.

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 + 3x2 + m = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

Bài 5: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1 (1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

b) Dựa vào (C), biện luận về số nghiệm của phương trình x3 - 3x + m = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 theo tham số m.

Bài 6: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 1 (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)

b) Với giá trị nào của m thì phương trình x4 - 2x2 + m = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M( 2 ; 1) Bài 7: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) x3 - 2x2 + 5 = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; b) -2x3 + 3x2 - 2 = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; c) 2x2 - x4 = -1.

Bài 8: Cho hàm số y =

m x

mx



 2

1

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua A(-1; 2 ).

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Bài 9: Cho hàm số y = 4 1 x4 + 1 2 x2 + m.

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 1)?

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 4 7

Bài 10) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.: Cho hàm số y = x3 + (m + 3)x2 + 1 - m (m là tham số) có đồ thị là (Cm).

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1.

b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2.

Bài 11: Cho hàm số y = ( 1 ) 1 2 1

(m là tham số) có đồ thị là (G).

a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; -1).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m vừa tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (G) tại giao điểm của nó với trục tung.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho hàm số y = 3

3

2

x - x2 + 3 1 có đồ thị (C) a) Dựa vào đồ thị (C), giải bất phương trình 2x3 - 3x2 + 1 < 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

b) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để bất phương trình 2x3 - 3x2 + 1 - m > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 có nghiệm x [0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 1].

Bài 2: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 1 (C1)

a) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để phương trình x4 - 2x2 + 1 + m = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 có 2 nghiệm thuộc (-1; 1]

b) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để bất phương trình x4 - 2x2 + 1 - m  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 nghiệm đúng x  [0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 2 3 ].

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

* ÔN TẬP CHƯƠNG I *

I TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG I:

II CÁC DẠNG ĐỒ THỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12

x - x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. +

y' + 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 +

y +

x - x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. +

y' 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

-y +

-

x - x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. +

y' - 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 +

y + +

x - x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. +

y' - 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 +

y

yCĐ- -

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1:Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau đây:

a) y = x3 - 3x + 2 tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 2;

b) y = x4 - 2x2 tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8;

tại giao điểm của (C) với trục tung.

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số:

a) y = x3 - 3x + 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9;

b) y = x4 - 2x2 biết tiếp tuyến song song đường thẳng y = 24x;

biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y = 1 2 x.

Bài 4: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 - 1 (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1);

b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 - 3x2 + m = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

Bài 5: Cho hàm số y = -x4 + 3x2 + 1 (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1);

b) Tìm m để phương trình x4 - 3x2 + m = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

3

1 2

x

Bài 7: Cho hàm số y = f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Giải bất phương trình f'(x - 1) > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., biết rằng f''(x0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) = -6.

Bài 8: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 có đồ thị (C).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình x3 + 3x2 + 1 = m 2 theo tham số m.

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)

Bài 9: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1 (m là tham số)

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định

b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu?

c) Xác định m để f''(x) > 6x.

Bài 10) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.: Cho hàm số y = f(x) = 2 1 x4 - 3x2 + 2 3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f''(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x4 - 6x2 + 3 = m.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 2m + 1 (m là tham số) có đồ thị (Cm).

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

b) Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành?

c) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu.

Bài 2: Cho hàm số y =

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Xác định m sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

Bài 3: Cho hàm số f(x) = 3 1 x3 - 2 1 x2 - 4x + 6.

a) Giải phương trình f'(sinx) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.;

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f''(x) = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA

oOo

1) Lũy thừa của một số hữu tỷ:

 Lũy thừa đối với số mũ nguyên dương: a, b  Q, m, n  Z+, ta có:

a0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. = 1 a1 = a am.an = am + n

n

ma

n

n nb

a b

a

 ) ( (b ≠ 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) Nếu am = an thì m = n (a ≠ 1, a ≠ 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.).

 Lũy thừa đối với số mũ nguyên dương: x ≠ 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., n  Z+, ta có: n n

A

 (A0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., B>0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.)

B A B

A2  (B0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) A B A2B

 (A0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., B0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) A B A2B



 (A<0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., B0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.)

B

B A B

A

 (B>0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) AB

B B

 (AB0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., B≠0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.) ( 2 )

B A

B A C B A

B A C B A

(A0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., B0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., A≠B) 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0  A < B  A  B

 Ghi chú:

§1 LŨY THỪA

I - KHÁI NIỆM LŨY THỪA:

1/ Lũy thừa với số mũ nguyên:

Cho n nguyên dương

 Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a (a lũy thừa n) là tích của n thừa số a.

Ví dụ:

an =    

a số thừa n

a a

a 23 =

 Với a  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 Ví dụ:

a0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. = 1 (1,2)0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. =

n na

a  1 2-3 =

4  2

1

* Chú ý: 00 và 0-n không có nghĩa.

2

1 (

128 25

) 2 , 0 ( 27 ) 3

1

2 2 ) 1 (

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất x3 = -8 

Với b < 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 phương trình (*) vô nghiệm x2 = -2 

Với b = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 phương trình (*) có một nghiệm x = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 x2 = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 

Với b > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 phương trình (*) có hai nghiệm đối nhau x2 = 4 

cơ số a

số mũ

3/ Căn bậc n

a) Khái niệm:

Cho sốâ thực b và số nguyên dương n (n  2).

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b

Ví dụ: Số -2 là căn bậc 3 của -8 vì (-2)3 = -8

Số 3 và -3 là căn bậc 2 của 9 vì (3)2 = 9 và (-3)2 = 9.

Ta có:

Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là n b Số -2 có một căn bậc 5:5 ( 2 )

Với b < 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.: Không tồn tại căn bậc n của b Số -8 không tồn tại căn bậc 2 Với b = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.: Có một căn bậc n của b là số 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0 0 = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0

Với b > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.: Có hai căn trái dấu, Số 8 có hai căn bậc hai là:

n n

n a b  a b 3 2 3 4 

n n

n

b

a b

lẻ n khi a,

n a )  a

( (4 32)2 

nk

n k a  a 3 ( 3)5 3 

4/ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Cho số thực a dương và số hữu tỷ r = m n , trong đó m  Z, n  N, n  2 Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi:

Đặc biệt: a n1 n a (a > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., n  2) a 

5/ Lũy thừa với số mũ vô tỉ:

Ta gọi giới hạn của dãy số ( ar n) là lũy thừa của a với số mũ , kí hiệu là a.

II- TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

Cho a, b  R* và ,   R Ta có:

a) Các tính chất biểu thị bằng hằng đẳng thức: Ví dụ:

6 5

4

3

a

 )

2

2 (

b) Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức: Ví dụ: So sánh các số sau:

2

1

) 22

1

** Các dạng toán thường gặp:

1) Rút gọn biểu thức:

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức:

7 2 1 7) (

(a > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.); b) B =

6 6 3

1 3

1

b a

a b b a

Ví dụ 1: Không dùng máy tính, hãy so sánh các số 52 3 và 53 2.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ( 1 )2 5  ( 1 )3 2.

Ví dụ: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Không dùng máy tính, tính:

a) 5

2 5

3

9 :

5 75

,

0 ( 0 , 25 ) )

a)

) (

) (

4

1 4

3 4

1

3

2 3

1 3

a a a

) (

) (

3 3 2

5 1

5 4 5 1

b b b

1 3

1 3 1

b a

b a b a

10

) 5

Bài 5: Chứng minh rằng: 76 3  73 6.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: So sánh các cặp số:

a) 310 và5 20 ; b)4 5 và6 7 ; c) 230) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. và 320) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0..

Bài 2: Không dùng máy tính, tính giá trị các biểu thức sau:

a)3 a a6 với a = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.9; b) b : b6 với b = 27;

1 1

§2 HÀM SỐ LŨY THỪA

I- KHÁI NIỆM:

Hàm số y = x, với   R, được gọi là hàm số lũy thừa

 Với  nguyên dương, tập xác định D = R; y = x2, TXĐ: D =

 Với  nguyên âm hoặc bằng 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0., tập xác định là D = R\{0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.}; y = x-1, TXĐ: D =

 Với  không nguyên, tập xác định D = (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; +) y = x , TXĐ: D =

II- ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA:

Hàm số y = x (  R) có đạo hàm với mọi x > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.: Ví dụ:

(x)' = x - 1 ( x 2)' = Đối với hàm số hợp y = u (với u = u(x))

3

2 1 ) ( x  ]' =

= III- KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA y = x

Các tính chất của hàm số lũy thừa y = x trên khoảng (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; +)

 > 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0  < 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.

Chiều biến thiên Hàm số luôn tăng Hàm số luôn giảm

Tiệm cận Không có Tiệm cận ngang: Ox Tiệm cận đứng: Oy

* Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể ta phải

xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số:

1

) 1

3

2) 2

) 1





x ; d) y = ( 5  x ) 3 Bài 3: Hãy so sánh các số sau với số 1:

a) (4,1)2,7; b) (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,2)0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,3; c) (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,7)3,2; d) ( 3 )0 , 4 Bài 4: Hãy so sánh các cặp số sau:

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Hãy viết các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,3), (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,3)0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,5, 3

2

) 3 , 0 ( , (0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,3)3,1415; b) 2 , (1,9), )

2

1 ( , ; c) 5-2, 5-0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,7, 3

1

2

) 5 , 0

2

) 3 , 1

Bài 2: Vẽ đồ thị các hàm số y = x2 và y = 2

1

x trên cùng một hệ trục tọa độ Hãy so sánh giá trị của các

hàm số đó khi x = 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.; 0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.,5; 11;