Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với ñáy và SA= a.. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SB và SD; I là giao ñiểm của SC và mặt phẳng AMN.. Chứng minh SC v
Trang 1C
S
N
M I
H
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với ñáy và SA= a Gọi M, N
lần lượt là trung ñiểm của SB và SD; I là giao ñiểm của SC và mặt phẳng (AMN) Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI
Giải:
, ( )
AM BC BC SA BC AB
AM SB SA AB
Tương tự ta có AN⊥SC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AI ⊥SC
Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H Khi ñó IH vuông góc với (AMB)
Suy ra 1
3
Ta có
2
4
ABM
a
BC = SC = SC =SA AC = a a = ⇒ = =
Vậy
1
3 4 3 36
ABMI
a a a
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vuông
góc với mặt phẳng ñáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng ñáy một góc 600 Trên cạnh SA lấy ñiểm M sao
cho AM = 3
3
a
, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCNM
Giải:
Tính thể tích hình chóp SBCMN
( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD
Ta có : BC AB BC BM
BC SA
⊥
⊥
Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là ñường cao
Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,
3 3
2 3
a a
−
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 01)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Thể tích khối chóp (phần 01) thuộc khóa
học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Thể tích khối chóp (phần 01) ðể sử dụng hiệu quả, Bạn
cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này
Trang 2D C
B A
S
M
Suy ra MN = 4
3
a
BM = 2
3
a
Diện tích hình thang BCMN là :
S =
2
4 2
2 10 3
a a
BM
+
+
Hạ AH ⊥ BM Ta có SH ⊥ BM và BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH
Vậy SH ⊥ ( BCNM) ⇒ SH là ñường cao của khối chóp SBCNM
Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM
SB = MS = 1
2 Vậy BM là phân giác của góc SBA ⇒ 0
30
SBH
∠ =
⇒ SH = SB.sin300
= a
Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = 1 ( )
3SH dtBCNM =
3
10 3 27
a
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với ñáy Góc giữa mặt
phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Giải:
Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên SC Chứng minh
ñược góc DMB = 1200 và ∆ DMB cân tại M
Tính ñược: DM2 = 2
3a
2
∆ SCD vuông tại D và DM là ñường cao nên 1 2= 12 + 12
DM DS DC Suy ra DS = a 2 Tam giác ASD vuông tại A suy ra SA = a
Vậy thể tích S.ABCD bằng 1
3a
3
Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có SC ⊥ (ABC) và ∆ABC vuông tại B Biết rằng AB = a, AC = a 3(a >0)
và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng α với tan 13
6
α = Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Giải:
Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB
Ta chứng minh ñược
CK ⊥ (SAB), SA ⊥ (CHK) suy ra ∆CHK vuông tại K và SA ⊥ KH
2
CK CH
ðặt SC = x >0 Trong tam giác vuông SAC có 1 2 12 12 2 322 22
3
a x CH
CH =CA +CS ⇒ = a x
+ Tương tự trong tam giác vuông SAC có 2 2 2
2 2
2 2
a x CK
a x
= +
2 2
2 2
19
3 2
a x
+
3
3
Trang 3S
M
E
K
D'
A' C'
B'
D
C
A
B S
S'
Bài 5 Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD), SA = a, ñiểm M∈AD, E∈CD, AM = CE =
4
a
Gọi N là trung ñiểm của BM, K là giao ñiểm của AN và BC Tính thể tích khối chóp SADK theo a
Giải
+ VSADK =1 1
3S∆ADK SA=3S∆ADK a
Mà :
S∆ =S −S −S
= a2 - SABM - 1
2CK CD
= a2 - 1
2 AB AM -
1 3
2 4
a
a
= a2 - 1
2 4
a
a -
2
3 8
a
=
2
2
a
VSADK=
1
3 2 6
a =
Bài 6 Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD), SA = a; A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung ñiểm của SC, SD, SA, SB S’ là tâm hình vuông ABCD Tính thể tích khối chóp S’A’B’C’D’
Giải
- (A’B’C’D’)// (ABCD)
- SA⊥(ABCD)=>SA⊥( ' 'A B C D' ')
- SA/ /SA=>S A' '⊥( ' 'A B C D' ')
VS’A’B’C’D’=1 ' ' ' ' ' '
Mà:
+ SA’=1
2SA=2
a
+ A’B’C’D’ là hình vuông
SA’B’C’D’ = A’B’.A’D’=
2
a
2
a
=
2
4
a
=> VS’A’B’C’D’ = 1
3.
2
4
a
2
a
=
3
24
a
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn