Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau: a.. Tìm các phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn các điều kiện sau: a... Sau đó ta giải điều kiện của bài toán và tìm ra tập hợp điểm z
Trang 1SỐ PHỨC
i2 = (-i)2 = -1 Tập hợp các số phức được gọi là C
Phép cộng z + z’ = (a + a’) + i(b + b’)
Phép trừ z – z’ = (a – a’) + i(b – b’)
Phép nhân z.z’ = (a + bi)(a’ + b’i) = aa’ + (ab’ + a’b)i – bb’
Phép chia
(
) (
)
1 Tính A = (1 + 4i) + (1 + 3i)
2 Tính B = (2 + 3i) – (1 – 2i)
3 Tính C = (3 – 2i)(3 + i)
4 Tính D =
5 Tính E = (1 + 3i) + (3i – 4) –
6 Tính F =
+
7 Tính G = 1
1 3
2 2 i
8 Tính H = 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5 + i6
9 Tính I = 1 + i2 + i3 + … + i2013
10 Tính K = (1 – i)2
11 Tính L = (1 – i)100
12 Tính M = (1 – i)2013
2 2
z i Chứng minh z2 + z + 1 = 0 và z3 = 1
14 Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau:
a z = i + (2 - 4i) - (3 - 2i)
b z = ( 1 i )3 (2 ) i 3
Số phức bằng nhau z = z’ {
Tìm số phức z thỏa
mãn pt {
Số phức liên hợp ̅
Module số phức |z| = √
z ̅ = |z|2 Nghịch đảo của z
z-1 =
̅ =
15 Tìm các phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn các điều kiện sau:
a 2z + i(z – 1) = 2 + 3i
b 2iz + 1 - i = 0
c (1 + i)2(2 i)z = 8 + i + (1 + 2i)z (CĐ A – B – 2009)
16 Giải phương trình: z2 z 0
17 Giải phương trình: z2 z 0
18 Giải phương trình: z + 2 ̅ = 2 – 4i
19 Giải phương trình: (
) = 1
Trang 220 Tìm số phức z thoả mãn: z 2 i 2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị
Mặt phẳng Phức:
Im
M(a,b)
b z = a + bi = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
0 a Re
Để tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn một điều kiện của bài toán (hoặc biểu diễn 1 số phức z trên mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện bài toán), ta gọi z = x + iy Sau đó ta giải điều kiện của bài toán và tìm ra tập hợp điểm z chính là mối quan
hệ giữa x và y
Ví dụ: Tìm các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: |z + 1 – i| = 2
Ta gọi z = x + iy, khi đó ta có:
|x + iy + 1 – i| = 2 |(x + 1) + i(y – 1)| = 2 2 = √
= 4
Vậy tập hợp những số phức z thỏa mãn điều kiện đầu bài là đường tròn = 4 trên mặt phẳng phức
21 Tìm tập hợp những điểm z thỏa mãn các điều kiện sau:
a z 1 i 2
b 2 z i z
22 Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z i z z 2i
23 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn z 3
z i
24 Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 3
2 3
2
z i Tìm số phức z có modul nhỏ nhất
25 Cho số phức z = m + (m - 3)i, m R
a Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y = - x
b Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol 2
y x
c Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất
26 Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức 4 ; (1 )(1 2 ); 2 6
a Chứng minh ABC là tam giác vuông cân
b Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông
Căn bậc 2 của số phức:
Nếu z là số thực và z > 0 thì có 2 căn bậc 2 là √ và √
Nếu z là số thực và z < 0 thì có 2 căn bậc 2 là √ và √
Nếu z là 1 số phức a + bi Khi đó gọi w = x + iy sao cho w2 = z Khi đó ta có:
Phương trình bậc 2:
Cho phương trình bậc 2: az2 + bz + c = 0 với b2
– 4ac Khi đó phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phức đó là:
Trong đó là 1 căn bậc 2 bất kỳ của
Định lý Viet với phương trình bậc 2:
Cho phương trình bậc 2: az2
+ bz + c = 0 Khi đó ta có định lý Viet:
Trang 3{
Định lý Viet đảo:
Nếu z = a và z = b là 2 nghiệm của 1 phương trình bậc 2, thì phương trình bậc 2 đó chính là:
z2 – (a + b)z + ab = 0
Nghiệm của phương trình bậc 2 có hệ số thực:
Cho phương trình bậc 2: az2 + bz + c = 0 có hệ số thực với b2
– 4ac
Nếu > 0, phương trình có 2 nghiệm thực
Nếu = 0, phương trình có 1 nghiệm thực
Nếu < 0, phương trình có 2 nghiệm phức
Hai nghiệm z1 và z2 của phương trình trên là 2 số phức liên hợp của nhau Do đó: z1z2 = |z1|2 = |z2|2 =
27 Tìm căn bậc 2 của các số sau:
a z = -2
b z = 2i
c z = 4i – 3
28 u1; u2là căn bậc hai của z1 3 4 i,v1; v2 là căn bậc hai của z2 3 4 i Tính u1 u2 v1 v2?
29 Giải phương trình z2 + z + 1 = 0
30 Giải phương trình z2 + 2z + 3 = 0
31 Giải phương trình z2 – (3 + 4i)z + 5i – 1 = 0
32 Giải phương trình z2 + (1 + i)z – 2 – i = 0
33 Giải phương trình z3 – 1 = 0
34 Giải phương trình sau trên tập số phức: z i
i z
i z
2 7
3 4
35 Giải phương trình:
2
2
z
36 Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0
37 Giải phương trình: z3 iz2 2iz 2 = 0
38 Giải các phương trình trùng phương:
) 8 1 63 16 0
) 24 1 308 144 0
39 Cho phương trình: (z + i)(z2 2mz + m2 2m) = 0 Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho:
a Chỉ có đúng 1 nghiệm phức
b Chỉ có đúng 1 nghiệm thực
c Có ba nghiệm phức
40 Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết:
a = 25i
b = 2i 3
41 Lập phương trình bậc hai có các nghiệm 4 3 ; i 2 5 i
42 Tìm m để phương trình: x2 mx 3 i 0 có tổng bình phương 2 nghiệm bằng 8
43 Giải hệ phương trình
2 2
1 2
44 Cho z z1, 2 là hai nghiệm của phương trình: 2
1 2 2 3 0
z i z i Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
z z
Trang 445 Giải các hệ phương trình:
z i z
46 Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z2 4z110 Tính
2
A
z z
Dạng lượng giác của số phức
Cho số phức z = a + bi Khi đó ta phân tích như sau:
√ (
√ √ ) Đặt r = √ , cosφ =
√ và sinφ = √ Khi đó ta viết số phức z = r(cosφ + i.sinφ)
Số phức z như trên được gọi là dạng lượng giác của số phức z
φ được gọi là Acgumen của số phức z
Im
M(a,b)
b z = a + bi = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
φ
0 a Re
Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:
Nếu z = r(cos+isin), z' = r' (cos'+isin') (r0và r' 0) thì
zz' = rr ( cos (')isin('))
cos( ') sin( ')
' '
z r
i
z r (khi r' > 0)
Công thức Moivre: r (cos i sin ) n rn(cos n i sin n )
Căn bậc 2 của số phức:
Với z = r(cos+isin), r > 0, có hai căn bậc hai là:
√ ( ) √ ( )
47 Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a z = 1 + i
b z = 1 + √ i
c z = (1 – √ i)(1 + i)
d z = – √
e z = sin + i.cos
48 Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau :
10
9
(1 )
)
( 3 )
b) cos sin (1 3 )
i a
i
49 Tính tổng sau S (1 i )2008 (1 i )2008
50 Tính 1 ibằng dạng số phức lượng giác
2
3 2
1
Các bài tập số phức trong các kỳ thi đại học:
Trang 552 (B – 2005): Tìm số phức z thỏa mãn z 2 i 10 và z z 25
53 (A – 2009): Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2 + 2z + 10 = 0 Tính giá trị biểu thức A z1 2 z2 2
54 (D – 2009): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện
3 4 2
55 (A – 2010): Tìm phần ảo của số phức z biết (√ ) ( √ )
56 (A – 2010): Cho số phức z thỏa mãn √
Tính | + iz|.
57 (B – 2010): Tìm tập hợp các điểm z thỏa mãn |z – i| = |(1 + i)z|
58 (D – 2010): Tìm các số phức z thỏa mãn |z| = √ và z 2 là số thuần ảo
59 (A – 2011): Tìm tất cả số phức z biết z2 = |z|2 +
60 (A – 2011): Tìm module của số phức z biết (2z – 1)(1 + i) + ( + 1)(1 – i) = 2 – 2i
61 (B – 2011): Tìm module của z biết √
– 1 = 0
62 (B – 2011): Tìm số phức z biết z = ( √ )
63 (D – 2011): Tìm số phức z biết z – (2 + 3i) = 1 – 9i
64 (A – 2012): Cho số phức z thỏa mãn
= 2 – i Tính module của w = 1 + z + z
2
65 (B – 2012): Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm của phương trình z2 – 2 √ Viết dạng lượng giác của số phức z 1 và
z2.
66 (D – 2012): Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +
= 7 + 8i Tính |z + 1 + i|
67 (D – 2012): Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập số phức.
68 (A – 2013): Cho số phức z = 1 + √ Viết dạng lượng giác của z Tìm phần thực và phần ảo của w = (1 + i).z 5
69 (D – 2013): Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)(z – i) + 2z = 2i Tính | |