đạo hàm và vi phân

Hàm số nhiều biến:Đạo hàm và Vi phânDành cho Toán cao cấp A3, B2, C2 ThS.. Nội dung chínhĐạo hàm riêng phần Đạo hàm riêng phần cấp cao Đạo hàm theo hướng Vi phân toàn phần Ứng dụng của v

Trang 1

Hàm (số) nhiều biến:

Đạo hàm và Vi phân(Dành cho Toán cao cấp A3, B2, C2)

ThS Trần Bảo Ngọc

Bộ môn Toán, Khoa Khoa học, Đại học Nông Lâm TP HCM

Email: tranbaongoc@hcmuaf.edu.vn

Trang 2

Nội dung chính

Đạo hàm riêng phần

Đạo hàm riêng phần cấp cao

Đạo hàm theo hướng

Vi phân toàn phần

Ứng dụng của vi phân toàn phần

Trang 3

1 Đạo hàm

Trang 4

1 Đạo hàm −→ 1.1 Đạo hàm riêng phần

• Nhắc lại đạo hàm hàm 1 biến:

Đạo hàm của hàm 1 biến y = f (x ) được định nghĩa bởi

Trang 5

Ý tưởng đạo hàm hàm một biến được mở rộng cho hàm nhiều biến

như các định nghĩa sau

Định nghĩa (đạo hàm riêng phần)

Cho hàm 2 biến f (x ; y ) xác định trên một lân cận của điểm

M0(x0; y0) Khi đó giới hạn (nếu tồn tại)

lim

∆x →0

f (x0+ ∆x ; y0) − f (x0; y0)

∆xđglđạo hàm riêng phần của hàm f theo biến x tại (x0; y0) Ký

Trang 6

Định nghĩa (đạo hàm riêng phần)

M0(x0; y0) Khi đó giới hạn (nếu tồn tại)

lim

∆y →0

f (x0; y0+ ∆y ) − f (x0; y0)

∆yđglđạo hàm riêng phần của hàm f theo biến x tại (x0; y0) Ký

Trang 7

Trang 8

Ví dụ Cho hàm số f (x , y ) = x2y Tính đạo hàm riêng phần

Trang 9

Thay vì trình bày theo định nghĩa, ta có thể trình bày như

Nhận xét Trong cách trình bày trên, ta xem y như là một hằng số

đối với x và tiến hành đạo hàm theo biến x giống như hàm 1 biến

Trang 10

Ví dụ Cho hàm số g (x ; y ) = 4 − x2− 2y2 Tính f0x(1; 1) và

f0y(1; 1) và giải thích ý nghĩa những kết quả đó

Đáp án f0x(1; 1) = −2 và f0y(1; 1) = −4

Trang 11

Ví dụ Tính các đạo hàm riêng phần của các hàm số

x2√y

Trang 12

Định lý (Sự liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm 2 biến)

Nếu hàm hai biến z = f (x , y ) có fx0, fy0 tồn tại trên một lân cận

của V của (a, b) thì f liên tục tại (a, b)

Hãy chứng minh định lý trên

Trang 13

1 Đạo hàm −→ 1.2 Đạo hàm riêng phần cấp cao

Định nghĩa (đạo hàm riêng phần cấp cao)

đgl các đạo hàm riêng phần cấp 2 của f tại (x0; y0)

Trang 14

Ví dụ Tính các đạo hàm riêng phần cấp 2 của hàm số

f (x , y ) = arctanx

ysau tại điểm (1; 1)

Trang 15

Do đó

fxx00(x , y ) =

y

Trang 16

Ví dụ Tính các đạo hàm riêng phần cấp 2 của hàm số

f (x , y ) = ex sin y.Giải Ta có

fx0(x , y ) = ex sin y(x sin y )0x = ex sin y sin y

fy0(x , y ) = ex sin y(x sin y )0y = ex sin yx cos ySuy ra

fxx00(x , y ) = ex sin ysin y0x

= ex sin y(x sin y )0xsin y

x sin y 2

Trang 17

fxy00(x , y ) = ex sin ysin y0

y

= ex sin y0ysin y + ex sin y cos y

= ex sin yx cos y sin y + ex sin y cos y

= ex sin y cos y (x sin y + 1)

fyy00(x , y ) = ex sin yx cos y0

y

= ex sin y0yx cos y − ex sin yx sin y

= ex sin yx cos y x cos y − ex sin yx sin y

= xex sin y x cos2y − sin y

Trang 18

Giả sử hàm hai biến f xác định trên lân cận V của điểm (x0; y0)

Nếu fxx00 và fyx00 liên tục trên lân cận V thì

fxy”(x0; y0) = fyx”(x0; y0)

Ví dụ Hãy minh họa định lý Clairaut với hàm số

Trang 19

1 Đạo hàm −→ 1.3 Đạo hàm theo hướng

Dành riêng cho toán A3.

Trang 20

2 Vi phân

Trang 21

2 Vi phân −→ 2.1 Vi phân toàn phần

• Nhắc lại vi phân hàm 1 biến: Với hàm số 1 biến y = f (x), vi

phân dy (tại x = a) phụ thuộc vào vi phân dx = ∆x (tại x = a)

bởi công thức

dy = f0(a)dx ≈ ∆y

Trang 22

• Với hàm 2 biến z = f (x, y ), các vi phân dx = ∆x và

dy = ∆y là không phụ thuộc lẫn nhau

Vấn đề đặt ra: khi x , y thay đổi các lượng tương ứng ∆x , ∆y

thì z thay đổi một lượng ∆z bao nhiêu - tính thế nào?

Ta có

∆z = f (a + ∆x , b + ∆y ) − f (a, b),tuy nhiên việc tính chính xác ∆z mất nhiều thời gian và kinh phí

Vì thế, ta cần định nghĩa một lượng (đặt ký hiệu là) dz sao cho

dz ≈ ∆z khi (∆x , ∆y ) → (0, 0),

Trang 23

Trang 24

Định nghĩa (Hàm số khả vi)

Cho hàm số z = f (x , y ) xác định trên một lân cận của (a, b) Khi

đó f được gọi là có vi phân (hay khả vi) tại (a, b) nếu ∆z viết

Trang 25

Trang 26

Định nghĩa (Vi phân)

Cho hàm số z = f (x , y ) khả vi tại (a, b) Khi đó lượng

dz(a, b) := A.∆x + B∆yđược gọi là vi phân toàn phần của hàm số z = f (x , y ) tại (a, b)

Ví dụ Tính VPTP của hàm số z = f (x , y ) = x2y tại điểm (−1, 2)

Giải Ta có

∆z(−1, 2) = − 4∆x + ∆y + ∆x α + ∆y β

lim α = lim β = 0

Trang 27

Định lý (Tính nhanh vi phân)

Cho hàm số z = f (x , y ) khả vi tại (a, b) Khi đó

fx0(a, b), fy0(a, b) tồn tại

A = fx0(a, b) và B = fy0(a, b), nghĩa là,

dz(a, b) = fx0(a, b)∆x + fy0(a, b)∆y

2

2√y (1 + x4y 2)dy

Trang 28

Trang 29

Ví dụ Tính vi phân toàn phần của hàm số

Trang 30

2 Vi phân −→ 2.2 Ứng dụng vi phân toàn phần tính gần đúng

Hệ quả (Sự liên hệ giữa khả vi và liên tục)

Nếu hàm số z = f (x , y ) khả vi tại (a, b) thì f liên tục tại (a, b)

Yêu cầu Hãy chứng minh hệ quả trên

Trang 31

Định lý (Ứng dụng VPTP để tính gần đúng)

Cho hàm số z = f (x , y ) khả vi tại (a, b) Khi đó

f (a + ∆x , b + ∆y ) ≈ f (a, b) + df (a, b)với (∆x , ∆y ) ≈ (0, 0)

Chú ý Điều kiện để áp dụng định lý trên là f khả vi tại (a, b) và

(∆x , ∆y ) ≈ (0, 0)

Trang 32

Trang 33

Trang 34

Trang 35

2 Vi phân −→ 2.3 Vi phân toàn phần cấp cao

Định nghĩa (Vi phân toàn phần cấp cao)

Cho hàm số z = f (x , y ) Giả sử

fx0, fy0, fxx00, fxy00, fyy00 tồn tại trên một lân cận của (a, b),

fx0, fy0, fxx00, fxy00, fyy00 liên tục tại (a, b)

Khi đó lượng

d2z = fxx00(dx )2+ 2fxy00dxdy + fyy00(dy )2được gọi là vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số f

Ví dụ Tính vi phân toàn cấp 2 của hàm số

z = f (x , y ) = ex sin y

tại1,π

Trang 36

Giải Ta có

fx0(x , y ) = ex sin y(x sin y )0x = ex sin y sin y

fy0(x , y ) = ex sin y(x sin y )0y = ex sin yx cos ySuy ra

fxx00(x , y ) = ex sin ysin y0x

= ex sin y(x sin y )0xsin y

= ex sin ysin2y

Trang 37

fxy00(x , y ) = ex sin ysin y0y

= ex sin y0

ysin y + ex sin y cos y

= ex sin yx cos y sin y + ex sin y cos y

= ex sin y cos y (x sin y + 1)

fyy00(x , y ) = ex sin yx cos y0y

= ex sin y0yx cos y − ex sin yx sin y

= ex sin yx cos y x cos y − ex sin yx sin y

= xex sin y x cos2y − sin y

Trang 38

Hàm nhiều biến: Đạo hàm và Vi phân

Hết.

Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	671,95 KB