đạo hàm và vi phân

Định nghĩa đạo hàm phải Hàm số y = fx xác định trong lân cận của điểm.. x0 Định nghĩa đạo hàm trái Hàm số y = fx xác định trong lân cận của điểm... Định nghĩa đạo hàm vô cùng Hàm số y =

Nội dung -

Định nghĩa (đạo hàm phải)

Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0

Định nghĩa (đạo hàm trái)

Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0

Định nghĩa (đạo hàm vô cùng)

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm , khi và chỉ khi x0

nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và

hai đạo hàm này bằng nhau

x x

x

x x

x x x

sin lim

0

1 arctan

2 (0 ) lim

x

x f

2

x x

2 (0 ) lim

x

x f





Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic

Đạo hàm của hàm ngược

'

0

1 ( )

Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số

'

( ) ( )

( ) ( )



  



Định nghĩa (đạo hàm cấp cao)

Công thức Leibnitz (tính đạo hàm cấp cao)

Dùng qui nạp ta chứng minh được

Phương pháp tính đạo hàm cấp cao

1) Sử dụng các đạo hàm cấp cao của một số hàm đã biết

2) Phân tích thành tổng các hàm “đơn giản”

3) Phân tích thành tích của hai hàm: f.g, trong đó f là

dụng công thức Leibnitz

4) Sử dụng khai triển Maclaurint, Taylor (sẽ học)

Đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp

n y

n y

2

1 1

2

1 1

n n

n y

  

Vi phân của hàm f(x) tại x0: df x ( 0 )  f x dx' ( 0)

từ tính chất của đạo hàm

 

2) d  f   df ,    R

Vi phân của hàm hợp

( ) ( )

Vi phân của hàm cho bởi phương trình tham số

( ) ( )

'

( )( )

a)

Ví dụ Cho 3 2

f x  x  x  x 

a) Tính và ,  f df nếu x thay đổi từ 2 đến 2.01

b) Tính và ,  f df nếu x thay đổi từ 2 đến 2.05

Ví dụ a) Tìm vi phân cấp 1 tại của

4

f

Nếu dùng máy tính: 3.98  1.9949 9373

Trong ví dụ này, tiếp tuyến nằm trên đồ thị hàm số nên giá trị gần đúng luôn lớn hơn giá trị chính xác

Ví dụ: Bán kính của hình cầu đo được là 21cm, với

Thể tích hình cầu là:

sai số không quá 0.05cm Hỏi sai số lớn nhất của thể

tích hình cầu đo được so với thể tích thực là bao

nhiêu?

3

4 3

Vi phân cấp cao của hàm hợp ( )

III Các định lý về giá trị trung bình

Định lý Rolle Cho hàm y = f(x)

1) Liên tục trên đoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b)

Hàm y = f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 và

đạt cực trị tại đó Nếu tồn tại đạo hàm , thì '

0

( )

f x

' 0

III Các định lý về giá trị trung bình

3)

Định lý Lagrange Cho hàm y = f(x)

1) Liên tục trên đoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b)     c   a b , :

Định lý Cauchy Cho hai hàm y = f(x) và y = g(x)

1) Liên tục trên đoạn [a,b]

2) Khả vi trong khoảng (a,b)     c   a b , :

' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Hàm khả vi trên đoạn [1,3] và bằng 0 tại các điểm f x ( )

Trên hai đoạn [1,2] và [2,3] đối với hàm f(x) thỏa mãn

tất cả các điều kiện của định lý Rolle

Tồn tại ít nhất hai điểm của khoảng (1,3) tại đó

1, 1

x

x

f x

x x

đối với hàm trên đoạn [0,2]

Vậy f(x) khả vi, liên tục trên đoạn [0,2] Theo đlý

Trên đoạn [0,2], hàm khả vi và liên tục

Áp dụng đlý Lagrange, ta có:

Ví dụ Giả sử Hỏi giá trị lớn nhất f (0)     3, ( x f x ) ( ) 5' 

của f(2) có thể là bao nhiêu?

Hàm liên tục và khả vi trên đoạn [a,b] f x ( ) arctan  x

IV Công thức Taylor, Maclaurint

Hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp n trong lân cận x0

Mục đích Tìm một đa thức bậc n, sao cho:

1) f x ( )0  P xn( );0   k 1, , : n f  ( )k ( ) x0  Pn( )k ( ) x0

2) là xấp xỉ tốt nhất cho hàm f(x) trong lân cận P xn( )của x0, tức là là VCB bậc cao hơn f x ( )  P xn( ) ( x x  0)n

IV Công thức Taylor, Maclaurint Định nghĩa

Đa thức gọi là khai triển

Lưu ý: Với một hàm có đạo hàm đến cấp n cho trước

ta luôn tìm được đa thức Taylor

Định lý sau cho ta thấy P n (x) là xấp xỉ (tốt nhất) cho hàm

y = f(x) (khác nhau một đại lượng là VCB bậc n+1)

Định lý

cận điểm Công thức Taylor của f(x) đến cấp n tại

Phần dư ghi ở dạng Peano

n n

Khai triển Taylor tại x0 = 0 gọi là khai triển Maclaurint

Khai triển Maclaurint của một số hàm thường gặp

Khai triển Maclaurint của một số hàm thường gặp

Có thể dùng phương pháp sau để nhớ các khai triển

ln(1 )

1

dx x

Các ứng dụng của công thức Taylor, Maclaurint

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 3 của hàm

2

1 ( )

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 5 của hàm

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 4 của hàm

Ví dụ Tìm khai triển Maclaurint đến cấp 4 của hàm

Nhân tử và mẫu cho 1 + x, ta được:

2 2

1 ( )

Đổi biến, đặt:

2

1 ( )

Ví dụ Tính giới hạn 3

0

tan sin lim

tan sin lim

( ) 2

lim

x

x

x x

lim

2 x

x x

Ví dụ Tính giới hạn  3 2

3 0

4

( ) 3

lim

x

x

x x

lim

3 x

x x

Ví dụ Tính giới hạn

2 0

1 2 tan lim

Phần dư trong khai triển Maclaurint của hàm y = cos x

I Tìm đạo hàm cấp n

1

1) ( x  1)2x

3 2) ln

3

x x

I Tìm khai triển Maclaurint đến cấp n

n e

2 2

x  x  x   x

I Tìm khai triển Taylor tại x0 đến cấp n

I Tính giới hạn

2

4 0



arctan

3 0

ln(1 ) 1 5) lim



1

 1

2

I Tính giới hạn

sin 0

ln(1 ) 1 6) lim

arcsin sin

x x

sin 7) lim

ln(1 ) arcsin 8) lim

sin

x x

1



3 4

72 5



1/ 3

2 0

cosh 2 (1 3 ) 11) lim

sin arctan tan 13) lim

(1 2 )

x x

arcsin 14) lim

1 7

5

1 28 3

2 0

x x

1 4 20) lim

e

5 cos1 2

1 2

7 4 2 5