Đáp án giải bài toán bằng lập PT HPT

Gọi số thảm dự định làm trong 1 ngày là x chiếc, đk... Gọi số cần tìm là ??.. Gọi số cần tìm là ??.. Gọi số cần tìm là ??.. Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 https://www.facebook.com/ma

GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Dạng 1: Loại so sánh, thêm bớt

Bài 1 Gọi chiều dài đội phải sửa là x mét ( x>0) Ngày thứ nhất làm được 1

3x Ngày thứ hai làm được 1

3x.43 =49x Ta có phương trình: x- 13x - 49x =80 Suy ra x= 360m

Bài 2 Gọi số công nhân hai phân xưởng là x, y (x, y ∈ N∗ ) Ta có: x+y=220 và

23(x − 10) = 45 y + 10  10(x-10)=12(y+10)  10x-12y=220 Ta có hệ phương trình:

x + y = 220 10x − 12y = 220  x = 130y = 90 Phân xưởng 1 có 130 công nhân, phân xưởng 2 có 90 công nhân

Bài 3 Gọi thời gian để bể 1 có lượng nước bằng 2

3 bể thứ 2 là x phút Sau x phút, bể 1 còn lại : (800-15x) lít Bể 2 còn lại (1300-25x) lít Ta có phương trình:

800−15x 1300−25x = 2

3 Suy ra x= 40 phút

Bài 4 Gọi tổng số kẹo là x chiếc ( x ∈ N∗ )

Người 1 nhận: 1 + 1

11 x − 1 =10+x

11 chiếc

số kẹo còn lại: x - 10+x

11 = 10x−10

11 chiếc

Người 2 nhận: 2+1

11(10x−10

11 − 2) Vì số kẹo mỗi người nhận được là như nhau nên ta có phương trình : 10+x

11 = 2 +111 (10x−1011 − 2) => x=100 chiếc nên người 1 nhận được: 10+100

11 = 10 chiếc Vì mỗi người nhận được số kẹo như nhau nên số đội viên là: 100:10 = 10 đội viên

Bài 5 Gọi số sách lúc đầu của giá 1 là x (x ∈ N∗; x < 450) thì số sách giá 2 là 450 –x Chuyển 50 quyển thì giá 1 còn: x -50; giá 2 còn : 450-x+50 = 500-x

Vì số sách giá 2 bằng 4

5 số sách giá 1 nên ta có phương trình:

Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 https://www.facebook.com/mathsteachernguyenchithanh

500 − x =4

5(x − 50)  2500-5x = 4x -200  x = 300 quấn

Vậy giá 1: 300 quấn sách; giá 2: 150 quấn sách

Bài 6 Cách 1 : Ta có hệ :

a + b = 321 5

6a + 2,5b = 21

Cách 2 :

5

6a + 2,5(321 − a) = 21

Bài 7 Cách 1 :

Ta có hệ :

a − 3 = b + 3

b − 5

a + 5 =

11 9

Cách 2 : a−11a+5 =119

Dạng 2: Loại toán về phần trăm ( %)

Bài 1 Gọi số thảm dự định làm trong 1 ngày là x chiếc, ( đk)

Số thảm làm trong 20 ngày là : 20x chiếc

Tăng năng suất 20% thì một ngày làm đc : x+20%.x = 1,2x chiếc

Làm 18 ngày được : 18.1,2x= 21,6x

Ta có pt : 21,6x -20x = 24 Suy ra x = 15

Số thảm làm trong 18 ngày : 21,6.15=324

Bài 2 Cách 1 : Ta có hệ pt :

x + y = 800 1,15x + 1,2y = 945

Cách 2 : Ta có pt : 1,15x + 1,2(800 − x) = 945

Bài 3 Cách 1: Ta có hệ pt

x + y = 94 0,25x + 0,2y = 21

Cách 2: Ta có pt: 0,25x + 0,2(94 − x) = 21

Bài 4 Cách 1: Ta có hệ pt:

𝑥 + 𝑦 = 600 1,18𝑥 + 1,21𝑦 = 720

Cách 2: Ta có pt: 1,18𝑥 + 1,21(600 − 𝑥) = 720

Dạng 3: Loại tìm số gồm hai, ba chữ số Bài 1 Gọi số cần tìm là 𝑥𝑦 ( 𝑥 ∈ 𝑁∗; 𝑦 ∈ 𝑁 0 < 𝑥 ≤ 9; 0 ≤ 𝑦 ≤ 9 ) Vì tổng hai chữ

số là 12 nên x+y=12

Ta có phương trình: 𝑦𝑥 − 𝑥𝑦 = 36 hay (10y+x)-(10x+y)=36  y-x=4 Mà y+x=12 nên x=4; y=8 Vậy số cần tìm là: 48

Bài 2 Gọi số cần tìm là 𝑥𝑦 ( 𝑥 ∈ 𝑁∗; 𝑦 ∈ 𝑁 0 < 𝑥 ≤ 9; 0 ≤ 𝑦 ≤ 9 )

Ta có hệ phương trình:

𝑥 + 𝑦 = 10

𝑥𝑦

− 𝑦𝑥 = 36  10𝑥 + 𝑦 − (10𝑦 + 𝑥) = 36𝑥 + 𝑦 = 10  𝑥 + 𝑦 = 109𝑥 − 9𝑦 = 36  𝑥 = 7𝑦 = 3 Vậy số cần tìm là 73

Bài 3 Gọi số cần tìm là 𝑥𝑦 ( 𝑥 ∈ 𝑁∗; 𝑦 ∈ 𝑁 0 < 𝑥 ≤ 9; 0 ≤ 𝑦 ≤ 9 )

Ta có hệ phương trình:

𝑥 = 3𝑦

𝑥𝑦

− 𝑦𝑥 = 18  10𝑥 + 𝑦 − (10𝑦 + 𝑥) = 18𝑥 = 3𝑦  𝑥 = 3𝑦9𝑥 − 9𝑦 = 18  𝑥 = 3𝑦 = 1 Vậy số cần tìm là: 31

Bài 4 Gọi số cần tìm là 𝑥𝑦 ( 𝑥 ∈ 𝑁∗; 𝑦 ∈ 𝑁 0 < 𝑥 ≤ 9; 0 ≤ 𝑦 ≤ 9 )

Ta có hệ phương trình:

𝑥 + 𝑦 = 7

𝑥0𝑦

− 𝑥𝑦 = 180  100𝑥 + 𝑦 − (10𝑥 + 𝑦) = 180𝑥 + 𝑦 = 7  𝑥 + 𝑦 = 790𝑥 = 180  𝑥 = 2𝑦 = 5 Vậy số cần tìm là: 25

Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 https://www.facebook.com/mathsteachernguyenchithanh

Dạng 4: Loại làm chung - làm riêng một việc, năng xuất lao động Bài 1

Cách 1: Gọi thời gian để người 1 làm 1 mình xong công việc là x giờ ( x>0)

Trong 1 giờ người 1 làm được : 1

𝑥 công việc

1h cả hai người làm được 1

24 công việc nên 1h người thứ 2 làm được: 1

24−1

𝑥 công việc

Vì năng suất của người 1 bằng 3/2 năng suất của người 2 nên ta có phương trình:

1

𝑥 =

3 2

1

24−

1

𝑥

Cách 2: Gọi thời gian để mỗi người làm một mình cả công việc lần lượt là x, y giờ (

x,y>0)

Một giờ người thứ nhất làm được 1

𝑥 công việc

Một giờ người thứ hai làm được 1

𝑦 công việc

Một giờ cả hai người làm được: 1

𝑥 + 1

𝑦 công việc Vì 1h cả hai ngưởi làm được 241 công việc nên 1

𝑥 + 1

𝑦 = 1

24 công việc

Vì năng suất tỉ lệ nghịch với thời gian nên 𝑥 = 23𝑦

Ta có hệ phương trình:

1

𝑥 + 𝑦1 =241

𝑥 = 23𝑦  x =40 giờ; y= 60 giờ

Bài 2 Gọi x là thời gian vòi 3 chảy hết nước trong bể, x>0

1h vòi 1 chảy được : 1

4 phần bể

1h vòi 2 chảy được : 1

6 phần bể

1h vòi 3 chảy hết được : 1

𝑥 phần bể

1h lượng nước trong bể còn lại là: 1

4+1

6 −1

𝑥 phần bể Vì cả 3 vòi cùng chảy sẽ đầy bể trong 7h12’ nên ta có phương trình: 36

5 14+16 −1𝑥 = 1  x= 185 𝑔𝑖ờ = 3 giờ 36 phút

Bài 3 Người 1 làm 20 ngày, người 2 làm trong 40/3 ngày

Bài 4 Cách 1: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể vòi 1 là x h ( x>6)

1h vòi 1 chảy được 1/x bể

1h cả hai vòi chảy được 1/6 bể nên 1h vòi 2 chảy đc 1/6-1/x bể

Vòi 1 chảy 4h được 4/x bể

Vòi 2 chảy 7h được 7(1/6-1/x) bể Ta có phương trình:

4/x +7(1/6-1/x) = 5/6 Từ đó tìm x

Cách 2: Gọi thời gian hai vòi chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y giờ (x,y > 6)

1h vòi 1 chảy được 1/x bể

1h vòi 2 chảy được 1/y bể

1h cả hai vòi chảy được 1/6 bể nên : 1/x+1/y =1/6 (1)

4h vòi 1 chảy được 4/x bể

7h vòi 2 chảy được 7/y bể Cả hai vòi chảy được 5/6 bể nên : 4/x+7/y = 5/6 (2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình rồi giải tìm x

ĐS: Vòi 1 chảy trong 9 giờ, vòi 2 chảy trong 18 giờ

Bài 5 Gọi x là số sản phẩm dự định làm trong 1 ngày ( 𝑥 ∈ 𝑁∗ )

Tổng số sản phẩm dự định làm được là: 18x sản phẩm

Tổng số sản phẩm thực tế làm được là: 16(x+5) sản phẩm

Ta có phương trình: 16(x+5)-18x=20 Suy ra x=30 sản phẩm Vậy mỗi ngày làm được

35 sản phẩm

Bài 6 Số sp dự định làm một ngày: 1500:30=50 sp

Thực tế 1 ngày làm : 65 sp

Số sản phẩm thực tế làm ra là: 1500+255=1755 sp

Số ngày thực tế làm: 1755: 65=27 ngày Rút ngắn 3 ngày

Bài 7 Gọi sp theo kế hoạch là x ( đk) Số ngày dự định: 𝑥

50 ngày

Số sp thực tế: x +13 Số ngày thực tế: 𝑥+13

57

Ta có PT: 𝑥

50−𝑥+13

57 = 1

Bài 8 Cách 1: lập phương trình:

Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 https://www.facebook.com/mathsteachernguyenchithanh

Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x giờ (x>0)

1h vòi 1 chảy được 1

𝑥 phần bể

1h vòi 2 chảy được 1

6−1

𝑥 phần bể

Vì vòi 1 chảy trong 5 giờ và vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì được 8

15 bể nên ta có phương trình:

5

𝑥 − 2

1

6−

1

𝑥 =

8 15

Cách 2: giải bằng lập hệ:

1

𝑥 +

1

𝑦 =

1 6 5

𝑥 +

2

𝑦 =

8 15

Bài 9 Cách 1: lập phương trình:

9

𝑥− 1

1

4−

1

𝑥 = 1

Cách 2: giải bằng lập hệ:

1

𝑥 +

1

𝑦 =

1 4 9

𝑥+

1

4 = 1

Dạng 5: Loại chuyển động đều

Bài 1 Gọi chiều dài AB =x km ( x>0) Đổi 5ℎ24 = 275 ℎ

Thời gian đi từ A đến B là: 𝑥

50 giờ

Thời gian đi từ B về A là: 𝑥

40 giờ Ta có phương trình:

𝑥

50+40𝑥 =275  x= 120km

Bài 2 Gọi vận tốc đi là x km/h (x>0) Vận tốc về là x-6 km/h Ta có phương trình:

42

𝑥−6 =32.35𝑥  x=30 km/h Vậy vận tốc lượt đi là 30 km/h; vận tốc lượt về là 24 km/h

Bài 3 Gọi quãng đường là x km (𝑥 > 0) Đổi 24 𝑝ℎú𝑡 = 25 𝑔𝑖ờ; 18𝑝ℎú𝑡 = 103 𝑔𝑖ờ Thời gian dự định đi hết AB là : 𝑥

50 giờ

Sau 24 phút ( = 2

5 giờ) xe tải đi được quãng đường là: 50.2

5 = 20 km

Quãng đường mà xe tải đi với vận tốc 40km/h là: x-20 km

Thời gian thực tế đi hết AB là: 2

5+𝑥−2040 giờ

Ta có phương trình: 2

5 +𝑥−2040 −50𝑥 =103  x= 80km

Bài 4 Gọi quãng đường AB =x km (x>0) Tổng thời gian ( cả đi và nghỉ) là:

11h-6h15’=4h45’=4,75 giờ

Thời gian đi từ A đến B là: 𝑥

70 giờ

Thời gian đi từ B về A là: 𝑥

60 giờ

Thời gian nghỉ là: 1giờ rưỡi = 1,5 giờ

Ta có phương trình: 𝑥

70+ 1,5 + 𝑥

60 = 4,75 giờ  x = 105 km

Bài 5 Gọi quãng đường từ nhà tới trường là x km ( x>0)

Thời gian hàng ngày Tuấn đi là: 𝑥

12 giờ

Thời gian hôm nay Tuấn đi là: 2

60+15𝑥 giờ Ta có phương trình: 12𝑥 = 602 +15𝑥  x =2

km

Bài 6 Gọi thời gian dự định là x giờ (x>0) Thời gian đi lần 1 là (x+2) giờ Quãng đường

đi được là 25(x+2) km Lần thứ 2 đi hết (x+1) giờ ( vì nghỉ 1 giờ) và quãng đường đi được là: 30(x+1) Vì quãng đường không đổi nên 25(x+2)=30(x+1) Suy ra x=4 giờ, quãng đường là 150km , vận tốc dự định là 150:2= 37,5 km

Bài 7 Gọi quãng đường là x km (x>0) Ta có phương trình: 𝑥

60+ 12+16 =𝑥−1040 suy ra x

= 110 km

Bài 8 Gọi 3 quãng đường là x, y, x ( x, y, z>0) Ta có: x+y+z=9 km (1)

Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 https://www.facebook.com/mathsteachernguyenchithanh

Thời gian lượt đi là: 𝑥

4 +𝑦

5 +𝑧

6 ( giờ) Thời gian lượt về là: 𝑥

6+𝑦

5 +𝑧

4 ( giờ )

Tổng thời gian đi là 3h41 phút =221

60 (giờ) nên ta có phương trình:

𝑥

4 +𝑦

5 +𝑧

6+𝑥

6 +𝑦

5 +𝑧

4 = 221

60 hay 25x+24y+25z=221 (2)

Nhân 2 vế của (1) với 25 ta được: 25x+25y+25z=225 (3) Lấy (3)-(2) theo vế ta được y=4km

Bài 9 Gọi vận tốc đò máy là x km/h ( x>0)

Vận tốc đò máy xuôi là: x+2 km/h; Vận tốc đò máy ngược là x-2 km/h

Vì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian nên ta có: 𝑥−2

𝑥+2 =4

5 suy ra x= 18km/h, suy ra AB=(18+2).4=80 km

Bài 10 Gọi AB= x km, x>0

Thời gian đi: 𝑥

30ℎ, về: 40𝑥 ℎ Ta có phương trình: 30𝑥 +40𝑥 + 1 = 8ℎ AB= 120km

Bài 11 Gọi vận tốc là x km/h( x>0)

Ta có phương trình: 60

𝑥 = 𝑥+1030 +𝑥−630

Bài 12 :

𝑥

40−

𝑥

2 − 60

𝑥

2 + 60

50 = 1

Dạng 6: Loại có nội dung hình học

Bài 1 Cách 1: Gọi chiều dài và chiều rộng là x và y mét ( x,y>0) Suy ra x+y = 30 m và

x-y=20m

x = 25m; y=5m

Cách 2: Gọi chiều dài HCN là x (m), x > 0 Suy ra chiều rộng HCN là 30-x (m)

Vì hiệu độ dài của chiều dài và chiều rộng là 20m nên ta có pt:

x-(30-x) = 20  x =25

Vậy chiều dài HCN là 25m, chiều rộng là 5m

Bài 2 Cách 1: Gọi chiều dài và chiều rộng là x và y mét ( x,y>0) Suy ra x+y = 28 m

(1)

Giảm chiều rộng 2m thì chiều rộng mới là : y -2 mét Tăng chiều dài 4m thì chiều dài mới là x+4 mét Ta có: (y-2)(x+4)-xy=8  4y-2x-8=8  4y-2x=16 (2)

Từ (1)(2) suy ra x =16m; y=12m

Cách 2: Gọi chiều dài là x (m), x > 0 Suy ra chiều rộng là 28-x (m)

Giảm chiều rộng 2m thì chiều rộng mới là: 28-x-2=26-x (m) Chiều dài mới là: x+4

Vì diện tích tăng 8m2

nên ta có pt: (26-x)(x+4) – x(28-x) = 8

Bài 3

Gọi chiều rộng là x mét (x>0) thì chiều dài là 3x mét

Ta có: (x+5)(3x+5)- x.3x = 385  3x2+5x+15x+25- 3x2=385  x = 18m

Vậy chiều rộng là 18m, chiều dài là 54m

Bài 4 Gọi cạnh hai hình vuông là a và b mét (a,b>0)

Ta có: 4a-4b=32 (1) và a2-b2=464 (2)

Từ (1) suy ra a-b=8 Từ (2) suy ra (a-b)(a+b)= 464  a+b=58 kết hợp a-b=8 suy ra a=33m; b=25m

Bài 5 Gọi chiều dài và chiều rộng là a và b (a,b>0) Suy ra a+b=225m.(1)

Giảm chiều dài đi 1

5 chiều dài cũ thì chiều dài mới là: 4

5 𝑥 Tương tự chiều rộng mới là:

5

4 𝑦

Vì chu vi không đổi nên 4

5 𝑥 +54 𝑦 = 225 (2)

Từ (1)(2) suy ra x= 125m; y=100m

Bài 6 Gọi chiều dài và chiều rộng là a và b (a,b>0) Suy ra a-b=10m.(1)

Mặt khác: (a+6)(b-3)-ab=12  6b-3a-18=12  6b-3a=30  2b-a=10 (2)

Từ (1)(2) suy ra a =30m; b=20m

Bài 7 HD:

Gv: Nguyễn Chí Thành 0975.705.122 https://www.facebook.com/mathsteachernguyenchithanh

a + b = 125 a

3+ 2b = 125

Bài 8 HD:

a =2

5b ab

2 −

a − 2 (b + 3)

Bài 9 HD:

a + b = 70a − b = 10

Dạng 7: Dạng toán có nội dung Lí Hóa

Bài 1 HD:

x + y = 200 0,1x + 0,3y

x + y = 0,22

Bài 2 HD:

1g đồng có thể tích là: 10

89 cm3 1g kẽm có thể tích là: 17 cm3

x + y = 124 10

89x +

1

7y = 15

Bài 3 HD: Khối lượng riêng = khối lượng : thể tích

Gọi thể tích là a, b Ta có hệ PT:

a + b = 12

60 7

a −

5

b = 200