Hệ phương trình toán 9

HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình: Phương pháp: Ta dựa vào sự tương giao giữa hai đồ thị.. Phương pháp: Hai phương trình tương đương khi

HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình:

Phương pháp: Ta dựa vào sự tương giao giữa hai đồ thị

*Nếu hệ phương trình cho dưới dạng: 𝑦 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1

𝑦 = 𝑎2𝑥 + 𝑏2

- Nếu 𝑎1 ≠ 𝑎2 hai đồ thị cắt nhau nên hệ có nghiệm duy nhất

- Nếu 𝑎1 = 𝑎2

𝑏1 ≠ 𝑏2 hai đường thẳng song song nên hệ vô nghiệm

- Nếu 𝑎1 = 𝑎2

𝑏1 = 𝑏2 hai đường thẳng trùng nhau nên hệ vô số nghiệm

*Nếu hệ phương trình cho dưới dạng: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2

- Nếu 𝑎𝑎1

2 ≠ 𝑏1

𝑏2 hai đường thẳng cắt nhau nên hệ có nghiệm duy nhất

- Nếu 𝑎1

𝑎2 = 𝑏1

𝑏2 ≠𝑐1

𝑐2 hai đường thẳng song song nên hệ vô nghiệm

- Nếu 𝑎1

𝑎2 = 𝑏1

𝑏2 =𝑐1

𝑐2 hai đường thẳng trùng nhau nên hệ vô số nghiệm

Bài 1 Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau và giải thích vì sao:

a) x y

x y

  

x y

x y

 HD:

Vì 2

3 ≠−11 nên hai đường thẳng cắt nhau Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

Bài 2 Bằng đồ thị chứng tỏ các hệ phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất với bất kì giá

trị nào của a: x a

x y 1

 

  

 HD: Dựa vào đồ thị ta có: x = a là đường thẳng song song Oy, x+y =1 là hàm số nghịch

biến nên 2 đường thẳng trên cắt nhau tại 1 điểm, suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Phương pháp: Biến đổi đưa hệ phương trình về dạng:

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2

Rút x hoặc y từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại

Bài 1 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:















5 2

4 2 3

y x

y x

HD:















5 2

4 2 3

y x

y x



















x y

x x

2 5

4 ) 2 5 ( 2 3



















x y

x x

2 5

4 4 10 3















x y

x

2 5

14 7















2 2 5

2

y

x













1

2

y x

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Phương pháp: Biến đổi đưa hệ phương trình về dạng:

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2

Nhân thêm vào hai phương trình các hệ số phụ ( của cùng một ẩn) rồi cộng hoặc trừ hai phương trình cho nhau

Bài 1 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:















5 2

4 2 3

y x

y x

HD:

1

y

a x+y=1 x=a

Ta có:















5 2

4 2 3

y x

y x

















10 2 4

4 2 3

y x

y x















5 2

14 7

y x

x















5 2

2

2

y

x













1

2

y x

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)

Dạng 4: Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Phương pháp: Đặt ẩn phụ ( điều kiện ẩn phụ) để đưa hệ phương trình về

dạng: 𝑎𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1

2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2 rồi dùng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế để giải

Bài 1: Giải hệ phương trình:

a)





























1 2

3 2

4

3 2

1 2

2

x y y x

x y y x

b)



















11 3

2

16 2

3

y x

y x

c) 𝑥 + 𝑦 − 3 = 1𝑦 − 𝑥 = 3 HD:

a) Đặt :

1 𝑥+2𝑦 = 𝑎

1 𝑦+2𝑥 = 𝑏 hệ phương trình có dạng: 2a + b = 34a − 3b = 1  4a + 2b = 64a − 3b = 1

 a = 1

b = 1 suy ra

1 𝑥+2𝑦 = 1

1 𝑦+2𝑥 = 1  x + 2y = 12x + y = 1  2x + 4y = 22x + y = 1  y = 1/3x = 1/3 Vậy nghiệm hệ phương trình là (x;y) = (1/3;1/3)

b) Đặt : 𝑥 = 𝑎 ≥ 0

𝑦 = 𝑏 ≥ 0

c) 𝑥 + 𝑦 − 3 = 1 (1)𝑦 = 𝑥 + 3 (2) Từ (2) suy ra y ≥ 3 suy ra:

𝑥 + y − 3 = 1 𝑦 = 𝑥 + 3  𝑥 + y = 4 𝑥 − y = −3 từ đó tìm x, y ( Chú ý x có hai giá trị)

Dạng 5: Tìm a và b biết hệ có nghiệm là x 0 ; y 0

Phương pháp: Thay x 0 ; y 0 vào hệ ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a, b Giải hệ để tìm a và b

Bài 1 Tìm a và b để hệ phương trình: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 53𝑥 + 𝑏𝑦 = 6 có nghiệm (x;y) =( -1;3)

Thay = -1; y = 3 vào hệ phương trình ta được:

−𝑎 + 3𝑏 = 5

−3 + 3𝑏 = 6  𝑎 = −4

𝑏 = 3 Vậy 𝑎 = −4𝑏 = 3 thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) =( -1;3)

Dạng 6: Tìm m để hai hệ phương trình tương đương

Phương pháp: Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm, ta giải hệ

phương trình thứ nhất để tìm tập nghiệm

- Nếu hệ phương trình thứ nhất có nghiệm duy nhất là (x 0 ;y 0 ) Thay x 0 ; y 0 vào hệ phương trình thứ 2 để tìm m

- Nếu hệ phương trình thứ nhất vô nghiệm, để hai hệ phương trình tương đương thì hệ phương trình thứ 2 cũng vô nghiệm.Từ đó tìm m

- Nếu hệ phương trình thứ nhất vô số nghiệm, để hai hệ phương trình tương đương thì hệ phương trình thứ 2 cũng vô số nghiệm.Từ đó tìm m

Dạng 7: Giải và biện luận hệ phương trình: 𝒂𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 = 𝒄𝟏

𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 = 𝒄𝟐

Phương pháp:

Cách 1 : Dùng vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Nếu 𝑎𝑎1

2 ≠𝑏1

𝑏2 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

-Nếu 𝑎1

𝑎 2 = 𝑏1

𝑏 2 ≠𝑐1

𝑐 2 Hệ phương trình vô nghiệm

-Nếu 𝑎1

𝑎2 = 𝑏1

𝑏2 =𝑐1

𝑐2 Hệ phương trình vô số nghiệm

Cách 3: Dùng phương pháp thế đưa về phương trình bậc nhất ax=b (1)

Xét a =0; b=0 Phương trình (1) có vô số nghiệm nên hệ phương trình có vô số nghiệm Xét a=0; b ≠ 0 Phương trình (1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm

Xét a ≠ 0 Phương trình (1) có nghiệm duy nhất nên hệ có nghiệm duy nhất

Bài 1 Giải và biện luận hệ phương trình sau:

𝑚𝑥 + 𝑦 = 3𝑚 − 1

𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚 + 1

Cách 1: Dùng vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Nếu 𝑚

1 ≠ 𝑚1  m2 ≠ 1  𝑚 ≠ ± 1 : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

-Nếu 𝑚

1 = 1

𝑚 ≠ 3𝑚 −1

𝑚 +1  𝑚

2 = 1

1

𝑚 ≠ 3𝑚 −1𝑚 +1  1𝑚 = ± 1

𝑚 ≠3𝑚 −1

𝑚 +1

 m= -1: Hệ phương trình vô nghiệm

-Nếu 𝑚

1 = 1

𝑚 = 3𝑚 −1

𝑚 +1  𝑚

2 = 1

1

𝑚 = 3𝑚 −1𝑚 +1  1𝑚 = ± 1

𝑚 = 3𝑚 −1

𝑚+1

 m= 1: Hệ phương trình vô số nghiệm

Cách 2: Đưa về phương trình bậc nhất

𝑚𝑥 + 𝑦 = 3𝑚 − 1 (1)

𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚 + 1 (2)

Từ (1) suy ra y = 3m-1-mx Thay vào (2) ta được:

x+ m(3m-1-mx) = m+1  x +3m2-m-m2x = m+1

 x(1-m2

) = -3m2+2m+1

Xét 1-m2 ≠ 0  m ≠ 1 và m ≠ -1 phuowg trình có nghiệm duy nhất nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Xét 1-m2 =0  m =1 hoặc m =-1

- Với m=1 phương trình có dạng: 0.x = 0 Phương trình vô số nghiệm nên hệ phương trình vô số nghiệm

- Với m= - phương trình có dạng: 0.x = -4 Phương trình vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm

Dạng 8: Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm x, y của hệ phương trình ( Chứng minh

hệ luôn có nghiệm nằm trên một đường thẳng cố định)

Phương pháp:

- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: 𝑎1

𝑎2 ≠ 𝑏1

𝑏2

- Dùng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế để tính x, y theo m

- Khử m từ biểu thức x, y ta được hệ thức giữa x, y không phụ thuộc m Đậy chính là đường

thẳng cố định cần tìm

Bài 1: Cho hệ phương trình: 𝑚𝑥 − 𝑦 = −𝑚 𝑥 + 𝑚𝑦 = 1

Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phu thuộc vào giá trị của m

Để hệ có nghiệm duy nhất thì 1/m ≠ m/-1  m2

≠ -1 ( luôn đúng) suy ra hệ luôn có nghiệm duy nhất

Dùng phương pháp cộng các em tính được: 𝑥 =

1−𝑚2

𝑚 2 +1

𝑦 = 𝑚2𝑚2+1

Ta có:

x2 + y2 =

1

Vậy: x2 + y2 = 1 không phụ thuộc vào giá trị của m

Bài 2: Cho hệ phương trình: 𝑚𝑥 − 𝑦 = 𝑚 + 1 𝑥 − 𝑚𝑦 = 0

Chứng tỏ rằng với m ≠ 1 hệ luôn có nghiệm duy nhất nằm trên đường thẳng cố định

HD:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:

1/m ≠ -m/-1  m2 ≠ 1  m ≠ 1 Vậy với m ≠ 1 hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất Dùng phương pháp cộng ( hoặc thế) các em tính được:

𝑥 =

m

m+1 = 1 −m+11

𝑦 = 𝑚 +11 suy ra x = 1-y Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình luôn nằm trên đường thẳng =1-y

Dạng 9: Tìm m để hệ phương trình 𝒂𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 = 𝒄𝟏

𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 = 𝒄𝟐 có nghiệm duy nhất thỏa mãn

điều kiện K

Phương pháp:

- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: 𝑎1

𝑎2 ≠ 𝑏1

𝑏2

- Dùng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế để tính x, y theo m

- Thay x, y vào điều kiện K để tìm m, đối chiếu với điều kiện và kết luận

Bài 1:

𝑥 + 𝑚𝑦 = 2

𝑚𝑥 − 2𝑦 = 1 Tìm m để hệ có nghiệm x>0; y> 0

Bài 2: Cho hệ phương trình















5 3

2

my x

y mx

Tìm điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) thoả mãn hệ thức

3

1 2

2









m

m y

x

Bài 3: Cho hệ phương trình















5 2 3

2

y x

m y x

(m là tham số nguyên) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) mà x>0;y<0

Bài 4: Xác định b để hệ

















b y x

b y

2

có nghiệm x<y

Bài 5: Cho 𝑥 + 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑦 = 1 Tìm m để hệ có nghiệm cùng dấu, trái dấu

Dạng 10: Tìm m để hệ phương trình 𝒂𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 = 𝒄𝟏

𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 = 𝒄𝟐 có nghiệm duy nhất nguyên

Phương pháp:

- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: 𝑎1

𝑎2 ≠ 𝑏1

𝑏2

- Dùng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế để tính x, y theo m

- Biến đổi:

𝑥 = 𝑓 𝑚 + 𝑎

𝑕(𝑚)

𝑦 = 𝑔 𝑚 +𝑕(𝑚 )𝑎 Để hệ có nghiệm nguyên thì a ⋮ h(m) suy ra m

- So sánh với điều kiện và kết luận

BÀI TẬP:

Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

HD:

để hệ có nghiệm duy nhất thì m2

– 4 0 hay m   2

Dùng phương pháp cộng hoặc thế các em tính được:

Để x, y là những số nguyên thì m + 2  Ư(3) = 1 ;  1 ; 3 ;  3



















1 2 2

1 2

m my x

m y mx













































2

3 1 2 1

2

3 2 2

1 2 4

) 1 2 )(

2 (

2

m m

m

x

m m

m m

m m

y

Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5

Dạng 11: Tìm m để hệ 𝒂𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 = 𝒄𝟏

𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 = 𝒄𝟐 có nghiệm mà biểu thức liên hệ giữa x và y

nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Phương pháp:

- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: 𝑎1

𝑎2 ≠ 𝑏1

𝑏2

- Dùng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế để tính x, y theo m

- Thay x và y vào biểu thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hệ phương trình:

𝑚𝑥 − 𝑦 = 𝑚2

2𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚2 + 2𝑚 + 2 Tìm m để hệ có nghiệm x, y sao cho P = 𝑥2 + 3𝑦 + 4 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Cho hệ phương trình:

𝑚 + 1 𝑥 − 𝑦 = 𝑚 + 1

𝑥 + (𝑚 − 1)𝑦 = 2 Tìm m để hệ có nghiệm x, y sao cho P = x+y đạt giá trị nhỏ nhất

Dạng 12: Tìm m để hệ 3 phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm

Phương pháp: Ta giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ( lấy từ hai trong 3 phương trình đã

cho) để tìm x, y Rồi thay x, y vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm m

Bài 1: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

𝑚𝑥 + 𝑦 = 1 (1)

𝑥 + 𝑚𝑦 = 1 (2)

𝑥 + 𝑦 = 1 (3)

Dạng 13: Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

Phương pháp: Ta rút x hoặc y hoặc z từ 1 phương trình rồi thế vào hai phương trình còn lại,

đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải

Bài 1:Giải hệ phương trình:

a)





























5 2

24 2

3

11

z y x

z y x

z y x