c, Tìm các giá trị m tự nhiên sao cho P là số tự nhiên.. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Chứng minh: a, OK.. b, Khi M di chuyển trên xy thì dây PQ luôn đi qua 1 điểm cố định.. Bài 6 4đ: Cho ta
Trang 1x x
x− 1 + 1 ) + 2 − 1 = 2 −
1
) ( 3 3 3
−
= +
−
=
−
y x
y x y
x
Đề bài:
Bài 1 (3đ) : Cho biểu thức:
a, Rút gọn P
b, Tìm m để |P | = 2
c, Tìm các giá trị m tự nhiên sao cho P là số tự nhiên
Bài 2 (2đ): Giải phơng trình:
Bài 3 (2đ): Giải hệ phơng trình:
Câu 4 (3đ): Tìm m để phơng trình
Có 2 nghiệm x1 x2 thoả mãn điều kiện T = đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 5 (3đ): Cho đờng tròn (0; R) và đờng thẳng xy không cắt (0), hạ 0H ⊥ xy, từ
điểm M ≠ H trên đờng thẳng xy kẻ hai tuyếp tuyến MP ; MQ với đờng tròn (0) Dây PQ cắt 0M tại I Cắt 0H tại K Chứng minh:
a, OK OH = OI OM = R2
b, Khi M di chuyển trên xy thì dây PQ luôn đi qua 1 điểm cố định
Bài 6 (4đ): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn (0) Điểm
M di động trên cung nhỏ BC Từ M kẻ các đờng thẳng MH; MK lần lợt vuông góc với AB; AC ( H ∈ đờng thẳng AB; K ∈ đờng thẳng AC )
a, Chứng minh : ∆MBC và ∆MHK đồng dạng với nhau
b, Tìm vị trí của M để HK có độ dài lớn nhất
Câu 7 (3đ): Cho A = (a+b)(b+c)(c+a) trong đó a,b,c là các số dơng thoả mãn điều
kiện abc = 1
Chứng minh rằng: A+1 ≥ 3 (a+b+c)
1 2
1 1
2 2
3 9
3
− +
+
−
−
−
− +
− +
=
m m
m m
m
m
m
P
0 3 ) 1 ( 2
2 − m− x− =
mx
2 2
2
1 x
x +
Trang 2Đáp án và biểu điểm:
1
(3đ)
a,
0,5
0,5
0,5
⇔ ⇔ Thoả mãn điều kiện trên 0,25
c,
P = 1 +
Để P là số tự nhiên thì
0,5
Từ đó m ∈ Với m = 0 thì P = -1 ∉ N Với m = 4 thì P = 1 ∈ N Với m = 9 thì P = 2 ∈ N Vậy m = 4 hoặc m = 9
0,5
2
(2đ)
Điều kiện: x ≥ 1
0,25
Đặt ( với y ≥ 0) ta có x = y2 + 1 Khi đó PT trở thành
1
0,5
Do y ≥ 0 nên suy ra y = 0 dẫn đến x = 1 thoả mãn điều kiện ban đầu
3
(2đ)
Hệ đã cho tơng đơng với
(x - y)( x2 +xy + y2 - 3) = 0
0,25
1 2
1 1
2 )
2 )(
1 (
3 9
+
+
−
−
− + +
− +
=
m m
m m
m
m m
P
) 2 ( 1 (
2 1
4 3 3 3
+
−
+
−
−
− +
− +
− +
=
m m
m m m
m m
m
1
1 )
2 )(
1 (
) 2 )(
1 ( 2 )(
1 (
2 3
−
+
= +
−
+ +
= +
−
+ +
=
m
m m
m
m m
m m
m m
⇔
−
= +
⇔
= 2 m 1 2 m 1
P
) 1 (
2
m
) 1
( 2
m + = − 3
=
m
1
3 m =
9
=
m
2
1
=
m
1
2
−
m
{ 1 ; 2 }
1 = ± ±
−
m
{0 ; 4 ; 9}
0 ) 5 )(
1 ( + + =
2 1 2 ) 1 1 ( x− + 3 + x− = −x
0 5
4 2
3 + + =
y
x− 1 =
) 1 ( 2 2 ) 1 (y+ 3 + y= − y2 +
)
(I
Trang 3x + y = -1
Hệ này tơng đơng với tuyển của hai hệ
x - y = 0 x2 +xy + y2 - 3 = 0
x + y = -1 x + y = -1
0,5
Xét hệ (II): Từ x + y = -1 có y = -1 - x thay pt đầu của hệ (II) ta đợc:
x2 + x - 2 = 0
Giải PT này ta đợc x1 = 1; x2 = -2
Từ đó hệ (II) có 2 nghiệm (1; -2); (-2; 1)
0,5
Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm (x ; y) là:
; (1; -2); (-2; 1)
0,25
4
(3đ)
Phơng trình đã cho có 2 nghiệm khi
m ≠ 0 m ≠ 0
∆’= [-(m-1)]2 + 3m ≥ 0 m2 + m + 1 ≥ 0
0,75
Với m ≠ 0 theo hệ thức Viét ta có:
0,5
Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng Tức là m = 4
5
(3đ)
0,5
•
Q
K
O I P
0
≠
⇔ m
⇔
m x
x m
m x
x1+ 2 =2( −1); 1 2 = − 3
m m
m x
x x
x x
2 2
1
2 2 1
2 2
2
4
15 4
15 2
1 2 4 2 4 4 2
2 2
2
≥ +
−
= +
−
= +
−
=
m m m m
m m
0 2
1 2 4
15 − =
m khi
)
(II
)
(I
2
1
; 2 1
2
1
; 2 1
Trang 4a, Tam giác OIK và tam giác OHM đồng dạng ( ô chung; I = H = 1v)
do đó OI OM = OK OH (1)
Mặt khác ∆ OQM vuông tại Q, có QI ⊥ OM nên OI OM = OQ2 = R2 (2) 0,5
b, Theo câu a ta có:
Do điểm O và đờng thẳng xy cho trớc nên H và O cố định
6
4(đ)
a, Do MH ⊥ AB; MK ⊥ AC nên 4 điểm A;M;H;K cùng nằm trên đờng tròn
Ta có các góc nội tiếp sau bằng nhau
MBC = MAC = MHK
MCB = MAB = MKH
0,5
b, Theo câu a ∆MBC đồng dạng ∆MHK suy ra
mà hay HK ≤ BC
Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi H ≡ B lúc đó gócABM = 900
⇔ AM là đờng kính của (o) Do đó khi M là điểm đối xứng của A qua 0 thì
2
OM
OK OH
⇔
OH R
• •
A
H
M O
MH
MB HK
HK
BC MH
MB
Trang 5độ dài HK lớn nhất.
7
(3đ)
A + 1 = (a2b + a2c) + (b2a + b2c) + (c2a + c2b) + (2abc + 1)
Do abc = 1 nên
A + 1 = (a2b + a2c + 1) + (b2a + b2c + 1) + (c2a + c2b + 1)
1
áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 3 số dơng ta đợc:
c abc c ab c b
c a c
b abc b ac b c
b a b
a abc a bc a c
a b a
3 3
3 1
3 3
3 1
3 3
3 1
3
3 4 2
2
3
3 4 2
2
3
3 4 2
2
=
=
≥ + +
=
=
≥ + +
=
=
≥ +