Giải bài toán bằng nhiều cách không phải là mục đích của người làm toán.. Sau đây là bài viết đầu tiên của Trần Nam Dũng, "5 lời giải hay cho một bài toán đẹp"... Cig đi tới đích có nhi
Trang 1Cùng đi tới đích có nhiều con đường khác nhau Giải bài toán bằng nhiều cách không phải là mục đích của người làm toán Nhưng qua những con đường ấy ta có thể tìm ra cách tối ưu Tạp chí THTT đã mở một chuyên mục mới về vấn đề này Sau đây là bài viết đầu tiên của Trần Nam Dũng, "5 lời giải hay cho một bài toán đẹp"
Trang 2NHIÊU DACH BIAI H0 MũT BÀI TDAN
NAM LOI Glial HAY CHO MOT BAl TOAN DEP
LTS Cig đi tới đích có nhiều con đường khác nhau
Giải một bài toán bằng nhiễu cách không phải là mục đích
của người làm toán Tuy nhiên lướt qua các con đường
ta tìm được những cách tỗi ưu Đó cũng là một phẩm chất
có được từ việc học toán Tòa soạn THTT mở thêm chuyên
mục Nhiều cách giải cho một bài toán Chúng tôi mong
muốn nhận được nhiễu cách giải hay, phát triển theo
nhiễu tuyến kiến thức khác nhau và sử đụng những công
thức khác nhau chứ không phải chí thay đối chút ít đề kế
được nhiễu cách Mong được các bạn hướng ứng viết bài
và tìm đọc chuyên mục mới Sau đây xin giới thiệu một bài
viet dau tiên
Những bài toán đẹp thường có những lời giải
hay, lời giải tự nhiên Điều quan trọng hơn, vì
tinh tự nhiên của chúng, những lời giải đó sẽ
không đơn thuần là một lời giải mà còn là khuôn
mẫu có thể áp dụng cho những bài toán khác
Dưới đây, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ như
vậy: Một bài toán với năm lời giải khác nhau
Chúng ta sẽ không đơn thuần đưa ra năm lời giải
mà còn bình luận về con đường đi đến những lời
giải đó, phạm vi áp dụng của các phương pháp
tương ứng Cuối cùng, chúng ta sẽ đưa ra một số
bài toán áp dụng có thể giải bằng những ý tưởng
đã được áp dụng trong năm lời giải
Bài toán 1 Cho a, ở, c là các số thực dương
thỏa mãn điều kiện at + b` + c° + aỏc = 4
Chứng mình rằng a + ở + c < 3
Lời giải 1 Day là một bắt đẳng thức có điều
kiện Một trong những phương pháp xử lí
những bài toán này là khử điều kiện ngay từ
đầu Coi điều kiện a’ + b? + c? + abc = 4 nhu
phuong trinh bac hai theo a, ta duge
Một cách tự nhiên, áp dụng bất đăng thức
Cauchy cho căn thức trong biểu thức trên, ta có
đánh giá
4-P +4-¢
4
3
4
_12-@+c-2ÿ „12 _
as
3
TRAN NAM DUNG
(PHKHTN, DHOG Tp Hé Chi Minh) Bình luận Đây là một cách phá điều kiện trực tiếp
Lời giải 2 Ta lại xử lí điều kiện theo một
kiểu khác đó là hoán đổi vai trò giữa điều kiện
và điều cần chứng minh Điều kiện là một biểu thức phức tạp, còn điều cần chứng minh lại đơn giản Nếu đảo lại, đ+b+c = 3 thì đ +b? +c? + abe
sẽ thế nào? Thử với bộ (0, 1, 2) ta có dự đoán
"Nếu a+b+e=3 thì đ + ð + c?°+ abe >4” (*)
Chúng ta phải trả lời hai câu hỏi:
L) Dự đoán đó có đúng không?
2) Nếu (*) đúng thì có thể suy ra bài toán ban
không?
Đối với việc giải bài toán ban đầu của chúng
ta thì câu hỏi 2) quan trọng hơn, vì thế ta sẽ trả
lời trước câu hỏi này
Mệnh đề, Nếu (*) đúng thì bài toán ban đầu
cũng đúng
Thật vậy, giả sử (*) đã được chứng minh và giả sử rằng a, b, c là các sô dương thoả mãn
điều kiện 4” + ð” + eÌ + abc = 4 Ta sẽ chứng
minh rằng a + ð + e < 3 Giả sử ngược lại rằng
a*+*b+c =3k> 3 Đặt a = ka`, b = kb', c = kc`
thì 4` * b + e' = 3 Vì (*) đã được chứng minh nên từ đây ta suy ra a'? + ð*? + e'°+ a'b'e' > 4
Nhưng đo & > | nên từ đây, suy ra
đÈ + bÌ + c? + abc > a'? + b`Ỳ + c') + a'b'e'> 4 Mâu thuẫn
Bây giờ, để giải quyết bài toán ban đầu, chỉ cần chứng minh BĐT (*) Bai này có thể giải bằng nhiêu cách, ví dụ bằng phương pháp dồn
biến quen thuộc
b+c
Đặt fla, b, c) = đˆ + bỲ + €° + abc - 4; t = a Sau đây ta sẽ lần lượt chứng minh
i) fia, b, c) = fla, t, Ð);
l) (a,t,0)>0 với a + 2r = 3
Thật vay Xét fla, b, c)—fla, t, 0 =
= (b`+c?-2?) +a(be-f`) = — >0,
tức ¡) được chứng minh
Trang 3
$ i - i H về
See
Ỹ z i Ệ 5 i E
42a +b +c’ +abc-4
= #8) + 2È + a£ + (Èb} + c - 2) + a(bc-f)
= @ +20 + a7 + SOKO > ạ + say?
Từ đây suy ra < 2-a sẽ có đánh giá
at+b+c=at+2sat+2J/2-a=
=a+2 /1.Q-a)sa+l+2-a=3
đi đến ý tưởng này một cách độc lập và có thể
Lời giải 4 Từ điều kiện đ + 8° + c°
ta suy ra a, ở, c € (0; 2) Từ đó, áp dụng
đồng tháo Cho cho oie 96 24, 2-8.2—<
ta
27(2-a(2-b\(2-c) s (2-2 + 2-4 + 2-cy
© 278 - 4(atb+c) + 2(ab+bc*ca) - abc)
<(6-ø-b-c}
<= 17(8- 4(a+b*+c) + 2(ab*bc*ca) + ad ` + ð +
€Ồ~=4)<(6-a-b—c}
27(sˆ ~ 4s + 4) < (6 — s)”
(s ~ 3X# + 12s + 36) < 0
Từ đó suy ra s< 3
Bình luận Đây có lẽ là lời giải kém tự nhiên
nhất trong các lời giải đã trình bày Tuy nhiên,
việc sử dụng các BĐT hệ quả dạng (2-2)(a-/)
<0 với a c[œ đị, hay (a-ø}(b—aXc-a) > 0 với
a,b.c> a là các thủ thuật rất hữu hiệu để
đánh giá các đại lượng trung bình s = ø + ð *+c,
t= ab + be + ca, p = abc thông qua nhau
Lời giải 5 Cũng do điều kiện a, ð, c € (0; 2)
đã gợi chúng ta đi đến phép thế lượng giác Rõ
rằng có thể đặt a = 2cosA va b = 2cosB, vai A,
B là các góc nhọn Khi đó, tính c theo a, ð, ta
c~x4b+((4-#X4—#})
2
s —4cos 4cos ở + 4sin 4sin 8
2
=~-2cos( 4+ 8)=2cos(x- 4- B)
Vậy ¢ = 2cosC với A + B+ C= «x Nhu thé
điều kiện a + b+ + abc = 4 dA duge tham
số hóa thành ø = 2cos4, 5 = 2cosB, ¢ = 2cosC
voi A+B+C=2,4,B, C> 0 Yéucdu cia bai
toán trở thành bất đẳng thức quen thuộc trong
tam giác:
P= cos + cosB + coSC s =
F4 là mẤẽ li siải nắn san sha bết đẳng thie
š i iF i ụ tập :
ề Ệ
Es & e Ÿr "£
và ø + k+c<3
Kết quả của bài toán 2 là # < 3
pháp nảo trong các phương pháp đã
n8, #
T111”, E8Ê895%
3
+yp+2ee0=;:
a)x+y >
b} xy + yz + zx < : 4x +y+z,
c) ay tye tax s + + eye
2 (USAMO 2001) Chứng minh ring néu a, ở,
c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện
a+b? +? + abc = 4 thì ta có
0 < ab + be + ca — abc <2
3 (IMO 2005) Cho x, y, z la các số thực đương thỏa mãn điều kiện xyz > 1
Chứng minh rằng
Ptper Peper v.yyn
4 (VMO 1996) Cho a, >, c là các số thực đương thỏa mãn điều kiện
2(ab + ac + ad + be + bd + cd) + abc + abd + + acd + bcd = 16
Chimg minh ring
a+b+c+td> 2(ab+ac+ad+bc+bd +e4)
5 (VMO 1999) Cho a, 5, ¢ là các số thực đương thoả mãn điều kiện øÖ€ + ø + e = b Tim giá trị lớn nhất của
6 eee a aes b, c là các sế
thực đương thỏa mãn điều kiện 2lab + 2bc +
§ea < 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của tee
7 (VMO 2002) Cho a, 6, c là các số thực thỏa
mãn điều kiện ø” + ở” + c° = 9 Chứng minh
rằng 2(đ + b + c)— đốc < l0.