chuyên đề phương trình mũ và logarit

永NG D影NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C曳A DÃY S渦 VÀO GI謂I M浦T S渦 BÀI TOÁN V 陰 DÃY S渦 - T蔚 H営P..... L 云I M雲 A井U Trong ch逢挨ng trình toán h丑c THPT các bài toán liên quan 8院n dãy s嘘 là m瓜t ph亥n quan tr

S 雲 GIÁO D影C & AÀO T萎O A唄NG NAI

Tr 逢運ng THPT BC Lê H欝ng Phong

Giáo viên th 詠c hi羽n NGUY 右N T遺T THU

M 影C L影C

M 影C L影C 1

L 云I M雲 A井U 3

I S 盈 D影NG CSC – CSN A韻 XÂY D衛NG CÁCH TÌM CTTQ C曳A M浦T S渦 D萎NG DÃY S 渦 CÓ CÔNG TH永C TRUY H唄I A咽C BI烏T 4

II S 盈 D影NG PHÉP TH蔭 L姶営NG GIÁC A韻 XÁC A卯NH CTTQ C曳A DÃY S渦 24

III 永NG D影NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C曳A DÃY S渦 VÀO GI謂I M浦T S渦 BÀI TOÁN V 陰 DÃY S渦 - T蔚 H営P 30

BÀI T 一P ÁP D影NG 41

K 蔭T LU一N – KI蔭N NGH卯 45

TÀI LI 烏U THAM KH謂O 46

L 云I M雲 A井U

Trong ch逢挨ng trình toán h丑c THPT các bài toán liên quan 8院n dãy s嘘 là m瓜t ph亥n

quan tr丑ng c栄a 8衣i s嘘 và gi違i tích l噂p 11 , h丑c sinh th逢運ng g員p nhi隠u khó kh<n khi gi違i

các bài toán liên qua 8院n dãy s嘘 và 8員c bi羽t là bài toán xác 8鵜nh công th泳c s嘘 h衣ng t鰻ng

quát c栄a dãy s嘘 H挨n n英a 荏 m瓜t s嘘 l噂p bài toán khi 8ã xác 8鵜nh 8逢嬰c công th泳c t鰻ng

quát c栄a dãy s嘘 thì n瓜i dung c栄a bài toán g亥n nh逢 8逢嬰c gi違i quy院t Do 8ó xác 8鵜nh công

th泳c t鰻ng quát c栄a dãy s嘘 chi院m m瓜t v鵜 trí nh医t 8鵜nh trong các bài toán dãy s嘘

Chuyên 8隠 “Mじt sぐ ph⇔￢ng pháp xác 8おnh công thとc tごng quát cてa dãy sぐ ”

nh茨m chia s飲 v噂i các b衣n 8欝ng nghi羽p m瓜t s嘘 kinh nghi羽m gi違i bài toán xác 8鵜nh CTTQ

c栄a dãy s嘘 mà b違n thân 8úc rút 8逢嬰c trong quá trình h丑c t壱p và gi違ng d衣y

N瓜i dung c栄a chuyên 8隠 8逢嬰c chia làm ba m映c :

I: S ぬ dつng CSC – CSN 8あ xây dばng ph⇔￢ng pháp tìm CTTQ cてa mじt sぐ dＴng dãy sぐ

có d Ｔng công thとc truy hげi 8ｐc biうt.

II: S ぬ dつng ph⇔￢ng pháp thｘ l⇔ぢng giác 8あ xác 8おnh CTTQ cてa dãy sぐ

III: でng dつng cてa bài toán xác 8おnh CTTQ cてa dãy sぐ vào giＶi mじt sぐ bài toán vｚ

dãy s ぐ - tご hぢp

M瓜t s嘘 k院t qu違 trong chuyên 8隠 này 8ã có 荏 m瓜t s嘘 sách tham kh違o v隠 dãy s嘘, tuy

nhiên trong chuyên 8隠 các k院t qu違 8ó 8逢嬰c xây d詠ng m瓜t cách t詠 nhiên h挨n và 8逢嬰c s逸p

x院p t瑛 8挨n gi違n 8院n ph泳c t衣p giúp các em h丑c sinh n逸m b逸t ki院n th泳c d宇 dàng h挨n và

phát tri吋n t逢 duy cho các em h丑c sinh

Trong quá trình vi院t chuyên 8隠, chúng tôi nh壱n 8逢嬰c s詠 8瓜ng viên, giúp 8叡 nhi羽t

thành c栄a BGH và quý th亥y cô t鰻 Toán Tr逢運ng THPT BC Lê H欝ng Phong Chúng tôi

xin 8逢嬰c bày t臼 lòng bi院t 挨n sâu s逸c

Vì n<ng l詠c và th運i gian có nhi隠u h衣n ch院 nên 荏 chuyên 8隠 s胤 có nh英ng thi院u sót R医t

mong quý Th亥y – Cô và các b衣n 8欝ng nghi羽p thông c違m và góp ý 8吋 chuyên 8隠 8逢嬰c t嘘t h挨n

M 浦T S渦 PH姶愛NG PHÁP XÁC A卯NH

I S 盈 D影NG CSC – CSN A韻 XÂY D衛NG CÁCH TÌM CTTQ C曳A M浦T S渦

D 萎NG DÃY S渦 CÓ CÔNG TH永C TRUY H唄I A咽C BI烏T.

Trong m映c này chúng tôi xây d詠ng ph逢挨ng pháp xác 8鵜nh CTTQ c栄a m瓜t s嘘 d衣ng dãy

s嘘 có công th泳c truy h欝i d衣ng 8員c bi羽t Ph逢挨ng pháp này 8逢嬰c xây d詠ng d詠a trên

các k院t qu違 8ã bi院t v隠 CSN – CSC , k院t h嬰p v噂i ph逢挨ng pháp ch丑n thích h嬰p Tr逢噂c h院t chúng ta nh逸c l衣i m瓜t s嘘 k院t qu違 8ã bi院t v隠 CSN – CSC

1 S 嘘 h衣ng t鰻ng quát c栄a c医p s嘘 c瓜ng và c医p s嘘 nhân

1 2: S 嘘 h衣ng t鰻ng quát c栄a c医p s嘘 nhân

Aおnh ngh a: Dãy s嘘 ' (t có tính ch医t m tm+0 =p t- äääm ∀ ∈m ) g丑i là c医p s嘘 nhân công

b瓜i p

Aおnh lí 3: Cho CSN ' (t có công b瓜i p Ta có: m tm = t p0 m−0 (3)

Aおnh lí 4: G丑i Rm là t鰻ng n s嘘 h衣ng 8亥u c栄a CSN ' (t có công b瓜i p Ta có: m

0

0 ,

0 ,

m m

p

p

= (4)

2 Áp d 映ng CSC – CSN 8吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a m瓜t s嘘 d衣ng dãy s嘘 8員c bi羽t

Ví d つ 1.1: Xác 8鵜nh s嘘 h衣ng t鰻ng quát c栄a dãy s嘘 ' (tm 8逢嬰c xác 8鵜nh b荏i:

Ta th医y dãy ' (t là m瓜t CSN có công b瓜i m p = Ta có:1 tm = 2-1m−0

Ví d つ 1.3: Xác 8鵜nh s嘘 h衣ng t鰻ng quát c栄a dãy ' (tm 8逢嬰c xác 8鵜nh b荏i:

0 1+ ää m 2 m 0 0äääääää 1

t = − t = t − − ∀ ≥ m

Gi 違i:

Trong bài toán này chúng ta g員p khó kh<n vì dãy ' (t không ph違i là CSC hay CSN! Ta m

th医y dãy ' (t không ph違i là CSN vì xu医t hi羽n h茨ng s嘘 0m − 荏 VT Ta tìm cách làm m医t

4

1

m m m

nhiên vi羽c làm trên có v飲 không t詠 nhiên l逸m! Làm th院 nào ta bi院t phân tích

2 0

0

1 1

− = − + ? Ta có th吋 làm nh逢 sau:

00

m m

D 衣ng 1: Dãy s嘘 ' ( 9tm t0 = w/+ ätm =`tm−0 +a mä∀ ≥ 1 (` a ≠+ / là các h茨ng s嘘) có

CTTQ là:

0

0 0

0

' 0( äääääjghääää 0

äää0

Gi 違i: A吋 tìm CTTQ c栄a dãy s嘘 ta tìm cách làm m医t 2m −0 8吋 chuy吋n v隠 dãy s嘘 là m瓜t

CSN Mu嘘n làm v壱y ta vi院t :

−

V壱y CTTQ c栄a dãy ' ( 9tm tm =um −2m −4 = 4-1m −2m −4ää∀ =m 0+1+ 2+ -

Chú ý : 1) A吋 phân tích 8逢嬰c 8鰯ng th泳c (2), ta làm nh逢 sau:

thì trong 8鰯ng th泳c (3) ta cho j + giá tr0 鵜 c栄a m b医t kì ta 8逢嬰c h羽 j + ph0 逢挨ng trình,

gi違i h羽 này ta tìm 8逢嬰c các h羽 s嘘 c栄a ' (f m

* N院u ` ≠ thì ' (0 f m −`f m' −0( là m瓜t 8a th泳c cùng b壱c v噂i ' (f m nên ta ch丑n ' (f m là

8a th泳c b壱c j và trong 8鰯ng th泳c (3) ta cho j + giá tr0 鵜 c栄a m thì ta s胤 xác 8鵜nh 8逢嬰c

' (

f m

V壱y ta có k院t qu違 sau:

D 衣ng 2: A吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy ' (tm 8逢嬰c xác 8鵜nh b荏i: 0 /

m

m m

tt

Ê =Í

ÍÌ Tìm CTTQ c栄a dãy ' (t m

Gi 違i: Ta phân tích 1m + =0 f m' (−f m' −0(=` mÇ 1 −'m −0(1 +a mÇÉ −'m −0(Ú

2 1 ä:ääm 1+

2+ -m

m m

tt

Ê =ÍË

m

µ = − + V壱y ta có k院t qu違 sau

D 衣ng 3: A吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 0

t ` t − aα m

ÊÍË

=

−

Ví d つ 1.7: Tìm CTTQ c栄a dãy 0

0

1' ( 9

4 1-2m 5-6m 01ä:ä 1+ 2+ -ä

m

m m

tt

Ê = −Í

ÍÌ cho m = , ta 0 8逢嬰c:

2161

jk

Ê

= −ÍÍË

Í =ÍÌH挨n n英a 01 = − +2 4-2 nên công th泳c truy h欝i c栄a dãy 8逢嬰c vi院t l衣i nh逢 sau:

m

m m

tt

Ê =ÍË

1-Gi 違i: A吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy s嘘 trên, ta thay th院 dãy ' (t b茨ng m瓜t dãy s嘘 khác là m

m瓜t CSN Ta vi院t l衣i công th泳c truy h欝i c栄a dãy nh逢 sau:

ÍÌ hay w w là 0+ 1nghi羽m ph逢挨ng trình :w1 − 4w + 5 = / ⇔ w = 1:w = Ta ch2 丑n w0 = 1:w1 = Khi 2 8ó:

G丑i w w là hai nghi0+ 1 羽m c栄a ph逢挨ng trình : w1 −`w a+ = /äää'3( ( ph逢挨ng trình này

8逢嬰c g丑i là ph逢挨ng trình 8員c tr逢ng c栄a dãy)

Ë + =

V壱y ta có k院t qu違 sau:

D 衣ng 5: A吋 xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy ' (t : m / 0

ÍÌ0

Ë+ =

m m m

t tt

Vì e m là 8a th泳c b壱c j nên ta ph違i ch丑n ' (' ( f m sao cho ' (f m +`f m' −0(+af m' −1( là

m瓜t 8a th泳c b壱c j theo m Khi 8ó ta ch雨 c亥n thay j + giá tr0 鵜 b医t kì c栄a m vào (6) ta s胤

¬ N院u (1) có hai nghi羽m phân bi羽t, thì ' (f m là m瓜t 8a th泳c cùng b壱c v噂i ' (e m

¬ N院u (1) có hai nghi羽m phân bi羽t, trong 8ó m瓜t nghi羽m b茨ng 0 thì ta ch丑n

m

m m m

t tt

t ` t − a t − e m m

ÊÍË

Ë+ =ÍÌ

V壱y n院u w =α là m瓜t nghi羽m c栄a (8), t泳c là: α1 +`α + = thì ta s胤 x穎 lí th院 nào ? a /

Nhìn l衣i cách gi違i 荏 d衣ng 3, ta phân tích :

V壱y ta có k院t qu違 sau:

D 衣ng 7: Cho dãy s嘘 ' (t xác 8鵜nh b荏i: m / 0

=+ .ä

• N院u w = α là nghi羽m kép c栄a (11) thì : 0 1

(-1

m m

t = o pm+ + mD詠a vào t t ta có h羽: /+ 0 0 0: 0

Ta bi院n 8鰻i 8逢嬰c: wm −'o r w+ ( m−0 +'or pq w− ( m−1 = t瑛 8ây ta xác 8鵜nh 8逢嬰c / w , m

thay vào h羽 8ã cho ta có 8逢嬰c x m

Chú ý : Ta có th吋 tìm CTTQ c栄a dãy s嘘 trên theo cách sau:

Gi 違i: Bài toán này không còn 8挨n gi違i nh逢 bài toán trên vì 荏 trên t穎 s嘘 còn h羽 s嘘 t詠 do,

do8ó ta tìm cách làm m医t h羽 s嘘 t詠 do 荏 trên t穎 s嘘 Mu嘘n v壱y ta 8逢a vào dãy ph映 b茨ng

cách 8員t tm = wm + Thay vào công th泳c truy h欝i, ta có:s

11-2 131

Nh 壱n xét: T瑛

1 0

1

1

m m

twu

= ta 8逢嬰c dãy s嘘

0 1 0 0

+Ë

=ÍÌ

Ta có bài toán sau:

Ví d つ 1.22: Xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy s嘘 0 1

0 0

+Ë

ÍÌ

=

Ta ch泳ng minh m

m m

twu

=ÍÌ

ÍÌKhi 8ó:

m

m m m

tt

Ê =ÍË

D Ｔng 12:

0 0

0' ( 9

m

m m m

tt

Ê =ÍË

α

− −

Ê =ÍË

=

Ta có tm =`tm−0 + awm1−0 +b 8ây là dãy mà ta 8ã xét 荏 trên

Ví d つ 1.24: Cho dãy 0 11

0 1

ÍÌ

Tìm t ? m

Gi 違i:

Ta có: t2 = 2:t3 =00:t4 = 30 Ta gi違 s穎 tm = wtm−0 +xtm−1 + T瑛y t2 = 2:t3 = 00:

j j j j j

j j j j

II S 盈 D影NG PHÉP TH蔭 L姶営NG GIÁC A韻 XÁC A卯NH CTTQ C曳A DÃY S渦

Nhi隠u dãy s嘘 có công th泳c truy h欝i ph泳c t衣p tr荏 thành 8挨n gi違n nh運 phép th院 l逢嬰ng giác Khi trong bài toán xu医t hi羽n nh英ng y院u t嘘 g嬰i cho ta nh噂 8院n nh英ng công th泳c l逢嬰ng

giác thì ta có th吋 th穎 v噂i ph逢挨ng pháp th院 l逢嬰ng giác Ta xét các ví d映 sau

Ví d つ 2.1: Cho dãy 0

1 0

Ê

=ÍË

t = − π Th壱t v壱yä

ÊÍË

=ÍË

Ví d つ 2.4: Xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy 0

1 0

Ê

=ÍË

tt

t

Ê

=ÍÍË

bnra

` = α + = + α =a α và a0 = a a- bnr1 α =abnrα

tt

t

ππ

+Ë

2

m m

III 永NG D影NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C曳A DÃY S渦 VÀO GI謂I M浦T S渦

BÀI TOÁN V 陰 DÃY S渦 - T蔚 H営P

Trong m映c này chúng tôi 8逢a ra m瓜t s嘘 ví d映 các bài toán v隠 dãy s嘘 và t鰻 h嬰p mà quá

trình gi違i các bài toán 8ó chúng ta v壱n d映ng m瓜t s嘘 k院t qu違 荏 trên

Ví d つ 3.1: Cho dãy s嘘 (a n) :a0 =0,a1 =1,a n+1 =2a n −a n−1+1 ∀ ≥ Chn 1 泳ng minh

Nh ｆn xét: T瑛 bài toán trên ta có k院t qu違 t鰻ng quát h挨n là: wo−0B v噂i o là s嘘 nguyên t嘘o

4 0 26

g m

Í −ÍÌ

B

B (17)

G丑i j là s嘘 nguyên d逢挨ng nh臼 nh医t th臼a mãn 4j −0 26B Vì 425 −0 26B µ 25 jB

t

g g

1(ä Tìm ph亥n nguyên c栄a 1///

0 hh

ww

1//0 1/// 1//0

−b) Ta có:

* N院u o = 1 µ w1 +x1 = 3 1B µ =o 1 không th臼a yêu c亥u bài toán

* N院u o = 2 µ w2 +x2 = −05 không chia h院t cho 2µ = tho 2 臼a yêu c亥u bài toán

* N院u o = ta th医y c ng th臼a yêu c亥u bài toán.4

* N院u o > 4 µ −' 4(o− 0 ≡ 0'lnc (o µ wo +xo ≡ /'lnc (o

V壱y o = 2+o = là hai giá tr鵜 c亥n tìm 4

Ví d つ 3.7: Cho dãy 0

0 0

12' ( 9

1: /1

wx

Ê =ÍË

0

m m m

m m

m

xx

=Í

ÍÌ1

rhm5

0(ä C亥n có thêm 8i隠u ki羽n gì 8嘘i v噂i w0 8吋 dãy g欝m toàn s嘘 d逢挨ng ?

1(ä Dãy s嘘 này có tu亥n hoàn không ? T衣i sao ? (HSG Quぐc Gia 1990)

rhm' (ääääääjghääää 12

< < là 8i隠u ki羽n c亥n ph違i tìm

1(ä D詠a vào k院t qu違 trên ta có:

01

ww

Ví d つ 3.13: Trong mp cho m 8逢運ng th鰯ng, trong 8ó không có ba 8逢運ng nào 8欝ng quy và

8ôi m瓜t không c逸t nhau H臼i m 8逢運ng th鰯ng trên chia m員t ph鰯ng thành bao nhiêu mi隠n ?

Gi 違i: G丑i ` là s嘘 mi隠n do m 8逢運ng th鰯ng trên t衣o thành Ta có: m ` = 0 1

Ta xét 8逢運ng th鰯ng th泳 m + (ta g0 丑i là c ), khi 8ó c c逸t m 8逢運ng th鰯ng 8ã cho t衣i m

8i吋m và b鵜 m 8逢運ng th鰯ng chia thành m + ph0 亥n, 8欝ng th運i m厩i ph亥n thu瓜c m瓜t mi隠n

c栄a ` Mm 員t khác v噂i m厩i 8o衣n n茨m trong mi隠n c栄a ` sm 胤 chia mi隠n 8ó thành 2 mi隠n,

nên s嘘 mi隠n có thêm là m + Do v壱y, ta có:0 `m+0 =`m +m +0

Ví d つ 3.14: Trong không gian cho m m員t ph鰯ng, trong 8ó ba m員t ph鰯ng nào c ng c逸t

nhau và không có b嘘n m員t ph鰯ng nào cùng 8i qua qua m瓜t 8i吋m H臼i m m員t ph鰯ng trên

chia không gian thành bao nhiêu mi隠n ?

Gi 違i:

G丑i a là s嘘 mi隠n do m m員t ph鰯ng trên t衣o thành m

Xét m員t ph鰯ng th泳 m + (ta g丑i là ' (0 O ) Khi 8ó ' (O chia m m員t ph鰯ng ban 8亥u theo m

giao tuy院n và m giao tuy院n này s胤 chia ' (O thành 0 ' 0(

1

m m ++ mi隠n, m厩i mi隠n này n茨m

trong m瓜t mi隠n c栄a a và chia mim 隠n 8ó làm hai ph亥n.V壱y 0 1 1

Ví d つ 3.15: Trong m瓜t cu瓜c thi 8医u th吋 thao có l huy ch逢挨ng, 8逢嬰c phát trong m ngày

thi 8医u Ngày th泳 nh医t, ng逢運i ta ph医t m瓜t huy ch逢挨ng và 0

6 s嘘 huy ch逢挨ng còn l衣i

Ngày th泳 hai, ng逢運i ta phát hai huy ch逢挨ng và 0

6 s嘘 huy ch逢挨ng còn l衣i Nh英ng ngày còn l衣i 8逢嬰c ti院p t映c và t逢挨ng t詠 nh逢 v壱y Ngày sau cùng còn l衣i m huy ch逢挨ng 8吋 phát

H臼i có t医t c違 bao nhiêu huy ch逢挨ng và 8ã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967)

Gi 違i: G丑i ` là s嘘 huy ch逢挨ng còn l衣i tr逢噂c ngày th泳 jj µ`0 =l, khi 8ó ta có:

0 0

Ví d つ 3.16: Có bao nhiêu xâu nh鵜 phân 8瓜 dài m trong 8ó không có hai bit 1 8泳ng c衣nh

• ` = Khi 8óm 0 `m−0 = và / `m−1 -` `1 0 có th吋 ch丑n là m瓜t xâu b医t k 8瓜 dài m −1

th臼a 8i隠u ki羽n Có bm−1 xâu nh逢 v壱y, suy ra tr逢運ng h嬰p này có bm−1 xâu

ä

• ` = Khi m / 8ó `m−0 -` `1 0 có th吋 ch丑n là m瓜t xâu b医t k 8瓜 dài m − th0 臼a 8i隠u

ki羽n Có bm−0xâu nh逢 v壱y, suy ra tr逢運ng h嬰p này có bm−0 xâu

V壱y t鰻ng c瓜ng xây d詠ng 8逢嬰c bm−0 +bm−1äxâu, hay bm =bm−0 +bm−1

w x ∈@ sao cho w x+ = 1m + (ta g丑i t壱p @ có tính ch医t S ) 0

G丑i ` là s嘘 t壱p con @ c栄a t壱pm {0+1+ -+1m có tính ch医t S}

Khi 8ó các t壱p con @⊂{0+1+ -+1 +1m m +0+1m +1} x違y ra hai tr逢運ng h嬰p

TH1: Trong t壱p @ ch泳a hai ph亥n t穎 0 và 1m + , trong tr逢運ng h嬰p này s嘘 t壱p @ có tính 1ch医t S chình b茨ng s嘘 t壱p con c栄a t壱p g欝m 1m ph亥n t穎 {1+ 2+ 3+ -+1 +1m m +0} và s嘘 t壱p

con c栄a t壱p này b茨ng 11m

TH2: Trong t壱p @ không ch泳a 8亥y 8栄 hai ph亥n t穎 0 và 1m + Khi 1 8ó @ ph違i ch泳a

m瓜t t壱p &@ là t壱p con c栄a t壱p {1+ 2+ 3+ -+1 +1m m +0} sao cho có hai ph亥n t穎 &+ &w x ∈@& 9

H挨n n英a v噂i m厩i t壱p &@ ta có 8逢嬰c ba t壱p @ (b茨ng cách ta ch丑n @ là &@ ho員c z0|∪@&

Xác 8鵜nh s嘘 t詠 nhiên m sao cho : wm+0 + wm = 11574

Bài 5: Cho dãy ' (wm 8逢嬰c xác 8鵜nh b荏i / 0

0 '0 (

1

m m

4 ` m + có th吋 bi吋u di宇n thành t鰻ng bình ph逢挨ng c栄a

ba s嘘 nguyên liên ti院p v噂i ∀ ≥ (TH&TT T6/262) m 0

Bài 8: Cho dãy s嘘 {o m' (} 8逢嬰c xác 8鵜nh nh逢 sau: '0( 0:o =

m

m m

tt

Ê =ÍË

∀ ≥ Hãy tìm CTTQ c栄a w (TH&TT T8/298) m

Bài 12: Cho dãy s嘘 ' (`m 8逢嬰c xác 8鵜nh nh逢 sau: 0

0 0

01' ( 9

+ÍÌ

Tính t鰻ng `0 +`1 + -+`0887

Bài 13: Cho dãy s嘘 ' (`m 8逢嬰c xác 8鵜nh b荏i :

0 0-1-2+ ä 1 1-2-3+ ä -+

` = ` = `m = m m' +0('m +1( A員t Rm =`0 +`1 + -+`m Ch泳ng minh r茨ng 3R + là s嘘 chính ph逢挨ng m 0

Ch泳ng minh r茨ng các dãy ' (` và ' (m a có cùng m瓜t gi噂i h衣n chung khi m → +∞ m

Tìm gi噂i h衣n chung 8ó ( HSG Quぐc Gia – 1993 BＶng A ngày thと 2)

Bai 15: Cho các s嘘 nguyên +` a Xét dãy s嘘 nguyên ' (`m 8逢嬰c xác 8鵜nh nh逢 sau

1 02

m

t −

là s嘘chính ph逢挨ng ( Chがn 8じi tuyあn Nghう an – 2007 )

Bài 19: Cho dãy s嘘 / 0

0 1

201:

a

=

 ( Moldova 2007)

Bài 20: Có m t医m th飲 8逢嬰c 8ánh s嘘 t瑛 0 8院n m Có bao nhiêu cách ch丑n ra m瓜t s嘘 th飲

(ít nh医t 1 t医m) sao cho t医t c違 các s嘘 vi院t trên các t医m th飲 này 8隠u l噂n h挨n ho員c b茨ng s嘘

t医m th飲 8逢嬰c ch丑n

Bài 21: Cho dãy ' (tm 8逢嬰c xác 8鵜nh b荏i:

0

1 0 0

Ë

ÍÍÌ

É Ú (HSG QuＶng Bình 2008 – 2009 )

Bài 22: Cho dãy 8a th泳c : O w' (= w2 −5w + và 8 O wm' ( = O O' ' -' ' ((((O w m l亥n Tìm

s嘘 nghi羽m c違u ' (O w và O w ? (Dば tuyあn Olympic) m' (

Bài 23: Xác 8鵜nh h羽 s嘘 w trong khai tri吋n chính quy c栄a 8a th泳c 1

K 蔭T LU一N – KI蔭N NGH卯

Tr違i qua th詠c ti宇n gi違ng d衣y, n瓜i dung liên quan 8院n chuyên 8隠 v噂i s詠 góp ý c栄a 8欝ng

nghi羽p v壱n d映ng chuyên 8隠 vào gi違ng d衣y 8ã thu 8逢嬰c m瓜t s嘘 k院t qu違 sau

1) H丑c sinh trung bình tr荏 lên có th吋 v壱n d映ng m瓜t s嘘 k院t qu違 c挨 b違n trong chuyên 8隠

vào gi違i bài toán xác 8鵜nh CTTQ c栄a m瓜t s嘘 d衣ng dãy s嘘 có d衣ng truy h欝i 8員c bi羽t

2) H丑c sinh gi臼i có th吋 v壱n d映ng các k院t qu違 trong chuyên 8隠 8吋 tham kh違o ph映c v映

trong nh英ng kì thi h丑c sinh gi臼i c医p T雨nh và c医p Qu嘘c Gia

3) T衣o 8逢嬰c s詠 h泳ng thú cho h丑c sinh khi h丑c v隠 bài toán dãy s嘘

4) Là tài li羽u tham kh違o cho h丑c sinh và giáo viên

5) Qua 8隠 tài giáo viên có th吋 xây d詠ng các bài toán v隠 dãy s嘘

Bên c衣nh nh英ng k院t qu違 thu 8逢嬰c, chuyên 8隠 còn m瓜t s嘘 h衣n ch院 sau:

1) Trong chuyên 8隠 ch逢a xây d詠ng 8逢嬰c ph逢挨ng pháp xác 8鵜nh CTTQ c栄a m瓜t s嘘

dãy s嘘 mà các h羽 s嘘 trong công th泳c truy h欝i bi院n thiên

2) Ch逢a 8逢a vào m瓜t s嘘 ph逢挨ng pháp xác 8鵜nh CTTQ c栄a dãy s嘘 d詠a vào m瓜t s嘘 ki院n

th泳c liên quan 8院n Toán cao c医p nh逢 ph逢挨ng pháp hàm sinh

Hy v丑ng các 8欝ng nghi羽p s胤 phát tri吋n, m荏 r瓜ng và kh逸c ph映c m瓜t s嘘 h衣n ch院 nói trên

TÀI LI 烏U THAM KH謂O

[1] A衣i S嘘 và Gi違i Tích l噂p 11 Nâng Cao

[2] Các bài thi Olympic Toán THPT Vi羽t Nam, T栄 sách TH&TT – NXB GD 2007

[3] M瓜t s嘘 bài toán ch丑n l丑c v隠 dãy s嘘 , Nguy宇n V<n M壱u, NXBGD – 2003

[4] Các ph逢挨ng pháp 8院m nâng cao, Tr亥n Nam D ng

[5] T衣p chí Toán H丑c Và Tu鰻i Tr飲

[6] Các di宇n 8àn Toán h丑c nh逢: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org …

[7] Tuy吋n t壱p các chuyên 8隠 thi Olympic 30 – 4 Kh嘘i 11

[8] Phép quy n衣p trong hình h丑c, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Kh鰻ng Xuân Hi吋n

d鵜ch xu医t b違n n<m 1987)