Bài giảng phương trình lôgarit và bất phương trình lôgarit

Biết cách giải các dạng phương trình lôgarit.. Biết cách giải các dạng bất phương trình lôgarit.. Giải được một số phương trình mũ và phương trình lôgarit đơn giản bằng các phương pháp đ

TOANMATH.com Trang 1

 Kiến thức

1 Biết cách giải các dạng phương trình lôgarit

2 Biết cách giải các dạng bất phương trình lôgarit

 Kĩ năng

1 Giải được một số phương trình mũ và phương trình lôgarit đơn giản bằng các phương pháp đưa

về cùng cơ số, lôgarit hóa, mũ hóa, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số

2 Nhận dạng được các phương trình và bất phương trình lôgarit

a

f x g x a

 

 

10

Chọn D

Chú ý: Đưa cả hai vế cùng về lôgarit cơ số 3

Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình log2xlog3xlog4xlog20x là

(thỏa mãn điều kiện)

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là x2 6 4

Ví dụ 4: Cho phương trình log log log2 3 2x  Gọi 1 a là nghiệm của phương trình, biểu thức nào sau đây là đúng?

 

 

 

Khi đó log x  logx logx logx logx      0 x 1 x 1; 

Kết hợp với (*) ta được x 1;  thỏa mãn

log x3log xlog x 2

có hai nghiệm x x1, 2 Khi đó x1x2 bằng

log

22

 Ví dụ mẫu

TOANMATH.com Trang 5

Ví dụ 1: Phương trình    1 

log 3x 1 log 3x 3  có 6

A hai nghiệm dương B một nghiệm dương

C phương trình vô nghiệm D một nghiệm kép

Chú ý: Biến đổi về phương trình có ẩn là log 33 x 1

Bài toán 3 Phương pháp hàm số

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

 Tính chất 1 Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  a b; thì số nghiệm của phương trình f x  trên k  a b không nhiều hơn một và ; f u  f v   u v u v, ,  a b;

 Tính chất 2 Nếu hàm số y f x  liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến), hàm số y g x  liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x g x không nhiều hơn một

Nên phương trình f x  có tối đa một nghiệm 0

Mà f  1  nên phương trình có duy nhất một nghiệm 0 x1

Lập bảng biến thiên của hàm số trên D  1; 2  2; 

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x 

C

1 1008 0

1 1007 0

3 x  1Hướng dẫn giải

1x 3Chọn C

Ví dụ 6: Xét các số nguyên dương ,a b sao cho phương trình aln2x b lnx  có hai nghiệm phân 5 0biệt x x1, 2 và phương trình 5log2x b logx a 0 có hai nghiệm phân biệt x x3, 4 thỏa mãn x x1 2x x3 4 Tính giá trị nhỏ nhất Smin của S2a3b

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x0

Đặt tlnx, ulogx Khi đó ta được at2   (1), bt 5 0 5u2bu a  0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt    0 b220a 0 b220a

min min, min

a  b  b 

Điều kiện có nghiệm là x   2 0 x 2

Nên nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm của phương trình thỏa mãn x2 2

Bước 3: Giải phương trình và kết hợp điều kiện

Có thể đặt ẩn phụ hoàn toàn hoặc không hoàn

toàn để giải phương trình

Ví dụ: Biết phương trình log2xlog 64 1x  có hai nghiệm phân biệt Khi đó tích hai nghiệm này bằng

C 1

12Hướng dẫn giải

Điều kiện 0

1

xx

tt

xx

log x x12 log x   là phương trình bậc hai theo ẩn 11 x 0 log x3 và tham sốx

Giải phương trình tham số x, ta được: 3

Ta có: 2 log2xlogxlnx2ln logx xlogx2logx 1 lnx2logx  1 0

2 log 1 log ln  0 log 12 110

xx

Đặt log 52 x  Khi đó phương trình đã cho trở thành 1 t t2 t 2m (*) 0

Phương trình đã cho có nghiệm x1 khi phương trình (*) có nghiệm t2

mx

 có nghiệm thực duy nhất?

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có một nghiệm thỏa mãn 1

0

xx

mm

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn  1; 2

Xét hàm số f t   trên đoạn t2 t  1; 2 Ta có f t    2t 1, t  1;2 nên

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm trong khoảng  0;1 khi 1

4

m Chọn B

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10;10 để phương trình

(do t1 không phải là nghiệm)

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có hai nghiệm thỏa mãn 0  t1 1 t2

TOANMATH.com Trang 15

00

xx

log x 2 log x  1 0 log x 1

Bước 3: Vậy nghiệm phương trình là x21 (nhận) 2

Lời giải trên sai ở bước nào?

Câu 7: Nghiệm của phương trình log0,4x   là 3 2 0

4

xCâu 8: Phương trình  2

lnx 7 lnx  có bao nhiêu nghiệm? 6 0

mm

Câu 15: Phương trình    1 

log 3x1 log 3x 3  có 6

A hai nghiệm dương B một nghiệm dương

C phương trình vô nghiệm D một nghiệm kép

Câu 16: Phương trình log a 2 log1 0

Câu 17: Cho phương trình  2 

A 2 nghiệm B 1 nghiệm C Vô nghiệm D 3 nghiệm

Câu 30: Tìm số nghiệm của phương trình 2 2     

log x  1 log x 1 log x   1 2 0

Câu 31: Tìm số nghiệm của phương trình log2x 1 log 16x1

A Vô nghiệm B 3 nghiệm C 1 nghiệm D 2 nghiệm

Câu 32: Tìm số nghiệm của phương trình log 2 log4 7 0

6

Câu 33: Tìm số nghiệm của phương trình 2 2

log x5 log x   1 7 0

A 1 nghiệm B Vô nghiệm C 2 nghiệm D 3 nghiệm

Câu 34: Tìm số nghiệm của phương trình 2 2

log x log x 1 1

A Vô nghiệm B 2 nghiệm C 1 nghiệm D 3 nghiệm

Câu 35: Tìm số nghiệm của phương trình 2  

log x x12 log x   11 x 0

A Vô nghiệm B 3 nghiệm C 1 nghiệm D 2 nghiệm

Câu 36: Phương trình logxx24x4 có số nghiệm là 3

Câu 37: Giải phương trình 4 3 2 2  

1log 2 log 1 log 1 3log

2x

  ta được nghiệm x a Khi đó giá trị

a thuộc khoảng nào sau đây?

A  0;3 B  2;5 C  5;6 D 6; 

Câu 38: Phương trình  2 

3

log x 4x12  Chọn phương án đúng 2

A Có hai nghiệm cùng dương B Có hai nghiệm trái dấu

C Có hai nghiệm cùng âm D Vô nghiệm

Câu 39: Phương trình xlog29 2 x có nghiệm nguyên dương là 3 a Tính giá trị của biểu thức

Câu 40: Tập nghiệm của phương trình log 22 x   là 1 2

A 2 log 5 2  B 2 log 5 2  C log 5 2  D  2 log 52 

Câu 41: Số nghiệm của phương trình  2

TOANMATH.com Trang 19

1

mm





 có nghiệm duy nhất

A 0 m 100 B m0;m100 C m1 D Không tồn tại m Câu 68: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2

log x m log x 1 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1

TOANMATH.com Trang 21

 

1log

xx

Ta có 3 1 3

1 2

xx

Bài toán 2 Bất phương trình theo một hàm số lôgarit

Bước 1 Sử dụng công thức lôgarit biến đổi về

lôgarit cùng cơ số

Bước 2 Giải như dạng 1

Ví dụ: Số nghiệm nguyên của bất phương trình

2 2

TOANMATH.com Trang 23

2

3 3

Chú ý: khi cơ số a1 , giữ nguyên chiều bất phương trình; 0 a 1 đảo chiều bất phương trình

Ví dụ 2: Biết tập nghiệm S của bất phương trình 3 

So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S  3;5

Bước 3 Giải phương trình và kết hợp điều kiện

Ví dụ: Có bao nhiêu giá trị nguyên x0;30thỏa mãn bất phương trình

tt

xx

TOANMATH.com Trang 25

2 2

xx

20 20

Vậy phương trình t2   có nghiệm với t m

t

f t

tt

2

mm

log x  1 log 3 x3

log 7x 7 log mx 4x m có nghiệm đúng với mọi giá trị của x là

xx

A 0;ee2; B  ;1 2;  C ;ee2; D e2;

TOANMATH.com Trang 31

Câu 40: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2    2

2 2

 

  C     ; 5 1;  D ;2Câu 44: Tập nghiệm của bất phương trình 2

2 2

  Nếu đặt tlog2x, ta được bất phương

trình nào sau đây?

xx

2 2

10

10

xx

Câu 52: Số nghiệm nguyên của bất phương trình log3xlog 27 33x  là

Câu 53: Giải bất phương trình ln 2 0

ln 1

xx

A Tập xác định của bất phương trình đã cho là T 0; 

B Tập xác định của bất phương trình đã cho là T 0; 

C Tập xác định của bất phương trình đã cho là 0; 8 8 ;4 4; 

T     

D Tập xác định của bất phương trình đã cho là T 0; 93   39; 44; 

Câu 55: Tập nghiệm của bất phương trình 1 1 2

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1 Phương trình lôgarit

1- D 2- D 3- B 4- A 5- B 6- D 7- D 8- C 9- D 10- B 11- B 12- D 13- D 14- C 15- A 16- A 17- D 18- B 19- B 20- D 21- B 22- A 23- A 24- A 25- B 26- A 27- C 28- D 29- A 30- C 31- D 32- A 33- B 34- C 35- D 36- B 37- A 38- C 39- C 40- D 41- C 42- A 43- C 44- A 45- C 46- D 47- A 48- A 49- B 50- A 51- B 52- C 53- D 54- C 55- B 56- D 57- A 58- C 59- B 60- A 61- D 62- A 63- B 64- B 65- A 66- C 67- B 68- B 69- A 70- B 71- C 72- A 73- A 74- C

Dạng 2 Bất phương trình lôgarit

1- B 2- D 3- C 4- C 5- A 6- C 7- B 8- C 9- C 10- D 11- B 12- B 13- B 14- C 15- C 16- D 17- A 18- D 19- C 20- B 21- A 22- B 23- D 24- C 25- A 26- B 27- A 28- D 29- C 30- B 31- A 32- C 33- A 34- A 35- C 36- D 37- D 38- A 39- A 40- A 41- C 42- B 43- A 44- A 45- D 46- A 47- D 48- D 49- A 50- D 51- C 52- A 53- A 54- D 55- C 56- A 57- D 58- C 59- A 60- D 61- C 62- C 63- D 64- C 65- D 66- B 67- B 68- A