Một bài toán có nhiều cách giải*************************** Trong việc giảng dạy toán đặc biệt là bồi dỡng học sinh giỏi khi giảng dạy việc tìm tòi các cách giải khác nhau của một bài toá
Trang 1Một bài toán có nhiều cách giải
***************************
Trong việc giảng dạy toán đặc biệt là bồi dỡng học sinh giỏi khi giảng dạy việc tìm tòi các cách giải khác nhau của một bài toán là cần thiết vì thông qua đó giáo viên có thể đánh giá học sinh về độ “rộng, sâu, chắc” kiến thức, khả năng nhanh nhạy của học sinh mà việc đó rất cần với học sinh giỏi Đây là vấn đề khó xong nếu ngời làm toán mà đam mê, ham học hỏi mà thành công đợc thì tự nhiên
nó trở thành một nhu cầu cần thiết
Tôi xin đa ra một ví dụ về một bài toán chứng minh bất đẳng thức đơn giản
mà có nhiều cách giải để các bạn yêu toán tham khảo
Bài toán : Cho a , b , c là ba số dơng thoã mãn : a > c , b > c Chứng minh
rằng :
c a c− + c b c− ≤ ab (1)
Lời giải 1 : ( Sử dụng phép biến đổi tơng đơng)
(1)⇔ c a c( − ≤) ab− c b c( − )
Do a > c , b > c nên hai vế cùng dơng, ta bình phơng hai vế :
2
0
c a c ab c b c abc b c
ab bc ac abc b c
bc a b c abc b c
bc a b c
Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh
Lời giải 2 : ( Sử dụng phếp biến đổi tơng đơng).
ở cách này ta không chuyển vế nh cách trên mà ta thấy hai vế cùng dơng nên bình phơng luôn
(1) ⇔c a c( − +) (c b c− +) 2 c a c b c2( − ) ( − ≤) ab
2 2 2
2
0
ac c bc c c a c b c ab
ab ac c bc c c a c b c
a b c c b c c a c b c c
a c b c c a c b c c
a c b c c
Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh
Trang 2Lời giải 3 : (Đặt ẩn phụ).
Ta thấy dới dấu căn của vế trái các nhân tử có quan hệ đặc biệt nh sau :
a+ − =a c a ; b+ − =(b c) b
Do đó ta có thể đặt ẩn phụ nh sau :
0 0 0
− = > ⇔ = +
− = > = +
Thay vào bất đẳng thức đã cho và biển đổi tơng đơng :
(1) ⇔ αβ + αγ ≤ (α β α γ + ) ( + )
Hai vế cùng dơng bình phơng hai vế ta có :
(1) ⇔ α β γ( + +) 2 α βγ ≤(α β α γ + ) ( + )
2 2
2
2
0
Đây là một bất đẳng thức đúng, ta có điều phải chứng minh
Lời giải 4 : (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki)
Đặt : c
b c
α β
=
− =
a c x
c y
− =
=
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 4 số x , y , α β , :
xα +yβ ≤ xα +yβ ≤ x2 +y2 α 2 + β 2
c a c c b c c a c c b c
c a c c b c b a ab
Đây chính là điều phải chứng minh
Lời giải 5 : (Phơng pháp hình học).
Theo giả thiết bài toán tồn
tại một tam giác ABC nh sau :
AB = a ; AC = b ; AH = c
(Hình vẽ : AH là đờng cao hạ xuống BC)
áp dụng định lý Pitago vào các
tam giác vuông ABH, ACH ta
a
b
c
a c− b c−
Trang 3tính ngay đợc :
BH = a c− ; CH = b c−
Ta có :
2.SVABC = 2.SVABH + 2.SVACH
Hay : c a c( − +) c b c( − ≤) ab.sin BACã
Vậy : c a c( − +) c b c( − ≤) ab (Dosin BACã ≤ 1 )
Dấu “ = ” xẩy ra khi ãBAC = 1V Khi đó : ( ) ( ) ( )2 2 2
.
ab c
a b
c = a + b ⇔ =
+
Lời giải 6 : (Phơng pháp lợng giác)
Do ab > 0 nên chia hai vế của (1) cho ab ta có :
1
c a c c b c
c a c c b c
Nhận thấy : c 0
a > ; c 1
b < .
Do vậy đặt :
2
2
cos cos
c b c
t a
α
=
=
(Có thể chọn 0 < α ; t <
2
π )
Khi đó :
2 2
2 2
c b c
a
Vậy: cos 2 α sin 2t+ cos sin 2t 2 α ≤ 1
cos sin cos sin 1
t t t
α
Bất đẳng thức này đúng.(đpcm)
Đây là bài toán không khó mà Tôi đã tìm hiểu và su tầm Chúc các bạn thành công trong việc tìm kiếm các lời giải khác nhau cho một bài toán trong bồi dỡng học sinh giỏi
