Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: A.. Tìm họ nguyên hàm của: A.. Tìm họ nguyên hàm của: A.. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: A.. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: A.. Tìm họ nguyên
Trang 1Bài 1: Nguyên hàm
A- Tóm tắt lí thuyết:
1, Định nghĩa và tính chất:
2, Bảng các nguyên hàm:
3, Các nguyên hàm mở rộng: ( với các điều kiện thích hợp)
n a dx b
+
=
1
1 1 )
+b dx a ax b C
1 1
3 ∫ + = e + +C
a dx
a dx b x
a dx b x
+b dx a tg ax b C
1 ) (
cos
1
2
1
) ( sin
1
2
B- Bài tập:
1 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
A f(x) = (2x3 – 1)2 B f(x) = 3 x4 x C f(x) = 22x.3x.5x
D f(x) = sin4x G f(x) = x 2x x
6 6
cos
cos
E f(x) = tg2x F f(x) = sinx.sin3x.sin5x
2 Tìm họ nguyên hàm của:
A f(x) = x−1+1 x−2 B f(x) = x− x2 −2
x
3 Tìm họ nguyên hàm của:
A f(x) = 4x22+x+6x1+1 B f(x) = 2x2 +15x+3 C f(x) = x41−1
4 Cho hàm số: f(x) = 33 33 23
2
+
−
+ +
x x
x x
Xác định các h số A, B, C để:
f(x) = ( −1)2 + +2
+
x
C x
B Ax
, từ đó tìm ra nguyên hàm của hàm số f(x)
5 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
A f(x) = x 1 −x2 B f(x) = x+ 2x2 +1
x
C f(x) = x x12 +1 D f(x) = 3 x2 − x
1
6 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
A f(x) = tgx C f(x) = sin1x D f(x) = sin 4 x
1
B f(x) = cos3x
7 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
A f(x) = lnx B f(x) = x2.sinx C f(x) = x2.e-2x
D f(x) = ex.cosx E f(x) = x.lnx F f(x) = ex.sinx
C- Luyện tập:
8 f(x) = (2x + 3x)2 9 f(x) = cos4x 10 f(x) = sin2x.cos4x
11 f(x) = (2tgx + cotgx)2 12 f(x) = sin(2x+1).cos(3x-1)
13 f(x) = x 2x x
4 4
sin cos sin + 14 f(x) = 4x32+x4+x12 −1
Trang 215 f(x) = x2 −16x+5 16 f(x) = 3x+41− 3x−2
17 f(x) = 2 1
3
+
x
x
18 f(x) = cos 4 x
1
19 f(x) = sin3x
20 f(x) = (x+1)(x+x2)(x+3) 21 f(x) = 3 sin cos
cos sin
x x
x x
− +
22 f(x) = cos 4 x
1
23 f(x) = cossin3x x 26 f(x) = tg5x
24 f(x) = sin4 x cos1 x 25 f(x) = sin 2 x cos 4 x
1
Bài 2: Tích phân
A- Tóm tắt lí thuyết:
1 Định nghĩa: cho: ∫f(x)dx=F(x) +C Khi đó: ∫b = −
a
a F b F dx x
f( ) ( ) ( )
2 Tính chất:
B- Bài tập:
1 ∫π
0
4
cos x dx 4 ln∫2 +
0 e x 5
dx
7 ∫2 −
1
4 3
1
3 ) (
x
dx x
0
2cos dx x.
x
2 ∫1 −
0
3 1 x dx
0
.
π
dx tgx 8 ∫2 +
0 2 cos 2
cos
π
x
dx
1
).
3 ∫1 −+ +
0
2 3 5
) 1 3
(
x x
dx x
6 ∫2 −
0
2 1dx
0
.e dx
12 Tính I = ∫2
0
4
2 cos sin
π
dx x
x và J = ∫2
0
2
4 cos sin
π
dx x x
13 I = ∫ + dx
x x
x
3 3
3
sin cos
cos
14 Cho f(x) là hàm lẻ, liên tục trên [-a; a] CMR: ∫ ( ) = 0
−
a
a dx x f
15 Cho f(x) là hàm chẵn, liên tục trên [-a; a] CMR: ∫ = ∫
−
a a
a
dx x f dx
x f
0
) ( 2 ).
(
C- Luyện tập:
25 ∫3 −
6
).
sin cos
(
π
π
dx x
sin
π
dx x x
0
3
) 1
(x
xdx
26 ∫1 + + −
0 x 1 x 1
dx
29 cos 2x.(sin x cos x).dx
2 0
4 4
π
32 ∫1 −+ +
0
2 5 6
) 3 2 (
x x
dx x
27 ∫
−
−
− +
5
3
).
2 2
(x x dx 30 −∫2 −
2
4 1dx
∫
−
−
3
3
2 1dx
x
Trang 334 ln∫2 ++ +
0
2
2
2 3
3 dx
e e
e e
x x
x x
45 ∫2 +
0 sin cos
sin
π
x x
dx x
n n
n
56 ∫1 −
0
2
1 x dx
35 ∫4 +
0
2
cos
1
4
sin
π
x
dx
0
3
cos 1
sin 4
π
x
dx
x 57 ∫
2
0 ln
e
x x dx
36 ∫1 −− +
0
2 5 6
) 2
1
(
x x
dx x
47 ∫1 −
2 2
2 1
dx x
x
58 ∫2 +
0 2 cos
π
x dx
37 ∫2 +−
1
3
3
) 1
(
1
dx x
x
x
48 ∫2 ++
1
2 ln
) 1 (
x x x
dx x
59 ∫4 +
0 sin cos cos
π
x x
xdx
38 ∫e x x dx
1
) sin(ln
49 2∫3 +
0
2 4
x
dx
60 ∫3
6
3
sin
cos
π
dx x
39 ∫1 + +
3
1dx
x
x
x
50 ∫
−
−
−
2
2
2 x 2 dx
3
8
2
2 cos sin
π
dx
40 ∫8 +
3 x 1
xdx
51 ∫+ −
) 1 3 ln(
2 ln
1dx
e x 62 π∫ −
0
2 cos
1 x dx
41 ∫2 + +
0 sin 2 cos 3
π
x x
dx 52 ∫2
0 2
sin
π
x
dx
x 63 ∫10 4+ dx4+5x
42 2∫π +
0
sin
1 x dx 53 ln∫2 +
0
2
) 1 (e dx
e x
x
64 ∫2
0
5
sin
π
xdx
43 ∫
−
−
+
2
1
2
1 ln
x
x
−
+ +
1
1
2 1 ) ln(x x dx 65 ∫2 +
1 x 1 x2
dx
44 ∫2 +
0
2 ( 1 cos )
sin
π
dx x
6
2
2 cos sin
π
dx
66 ∫2 +
0 1 sin 2
π
x dx
Bài 3: Ứng dụng của tích phân
A- Tóm tắt lý thuyết:
1 Diện tích hình phẳng:
1, Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong (C): y = f(x) và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b) là: S = ∫b
a
dx x
f( )
2, Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C1): y = f(x),
(C2): y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b) là: S=∫b −
a
dx x g x
f( ) ( )
2 Thể tích vật tròn xoay quanh trục Ox:
1, Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi đường cong (C): y = f(x), trục Ox và
2 đường thẳng x = a, x = b Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Ox là:
Trang 4V = ∫ = ∫b[ ]
a
b
a
dx x f dx
y2 π ( ) 2
π
2, Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi 2 đường cong (C1): y = f(x); (C2): y
= g(x) (f(x) và g(x) cùng dấu) và 2 đường thẳng: x = a, x = b Thể tích vật tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Ox là:
V = ∫ − = ∫b [ ] −
a
b
a
dx x g x f dx
y
2
2
π B- Bài tập:
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a, x = 0, x = 12 , trục Ox, y = 1 x4
x
−
b, x = -2, x = 2, y = -x3 + 3x + 1, y = x2 + x + 1
c, x = 1, x = e, y = 0, y = 1+xlnx
d, x = -1, x = 2, y = xex, trục Ox
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a, y = -x và y = 2 – x2 c, y = x3 – x2 – 8x + 1 và y = x2 -7x – 1
b, y = 5 – x và y = x2 – 2x + 3 d, y = x2 – 2x + 2 và y = - x2 – x +3
3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a, (C): y = x3 – 3x và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = - 21
b, (P): y = 12 x2 – 2x + 4 và các tiếp tuyến của (P) kẻ từ M(25 ; 1)
c, (P): y = x2 – 4x + 5 và các tiếp tuyến của (P) kẻ từ 2 điểm A(1; 2), B(4; 5)
d, (C): y = x3 – 2x2 + 4x – 3, trục Ox và tiếp tuyế của (C) tại điểm có hoành
độ x = 2
e, y = - 4 −x2 ; x2 + 3x = 0
f, y = x2, y = 27x2 , y = 27x
g, (P): y2 = 2x và (C): x2 + y2 = 8
4 Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox:
a, y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1 e, x2 + (y – 1)2 = 4, trục Ox
b, y = xlnx, y = 0, x = 1, x = e f, x2 + y – 5 = 0, x + y – 3 = 0
c, y = -3x2 + 3x + 6, y = 0 g, y = x2, y = x
d, y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2
5 Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường: y = tgx, x = 0, x = π3 , y = 0
a, Tính diện tích của (D)
b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Ox
6 Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y = -x2 + 4 và trục hoành
a, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Ox
b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Oy
7 Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y2= 8x và đường thẳng x = 2
Trang 5a, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Ox
b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Oy
8 Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y = x và đường thẳng y = 2
a, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Ox
b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Oy
