Phương trình đẳng cấp
CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 22asin u bsinucosu ccos u d++= Cách giải : ()Tìm nghiệm u k lúc đó cos u 0 và sin u 12π•=+π==± 2Chia hai vế phương trình cho cos u 0 ta được phương trình :•≠ ()22atg u btgu c d 1 tg u++=+ Đặt ta có phương trình : ttgu=()2adt btcd 0−++−= Giải phương trình tìm được t = tgu Bài 127 : Giải phương trình ( )22cos x 3 sin 2x 1 sin x *−=+ Vì cosx = 0 không là nghiệm nên Chia hai vế của (*) cho 2cos 0≠ ta được ()()22* 1 2 3tgx 1 tg x tg x⇔− = + + Đặt t = tgx ta có phương trình : 22t 2 3t 0+= t0t 3⇔=∨=− Vậy ()*π⇔= =−⇔=π =−+π∈tgx 0 hay tgx 3 x k hay x k , k3 Bài 128 : Giải phương trình ( )33 2cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0 *−− += • Khi xkthìcosx0vàsinx2π=+π = =±1 thì (*) vô nghiệm • Do không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho cos3x =cos x 0ta có (*) ( )32 21 4tg x 3tg x tgx 1 tg x 0⇔− − + + = ()()⇔+−−=⇔+ −=⇔=−∨=±ππ⇔=−+π∨=±+π∈3223tg x 3tg x tgx 1 0tgx 1 3tg x 1 03tgx 1 tgx3xkxk,k46 Bài 129 : Giải phương trình ( )42243cos x 4sin xcos x sin x 0 *−+= Do cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho 4cos x 0≠Ta có : (*) 2434tgxtgx 0⇔− + =⇔=∨=ππ⎛⎞ ⎛⇔=±=±∨=±⎜⎟ ⎜⎝⎠ ⎝ππ⇔=±+π∨=±+π∈⎞⎟⎠22tg x 1 tg x 3tgx 1 tg tgx tg43xkxk,k43 Bài 130 : Giải phương trình ( )sin 2x 2tgx 3 *+= Chia hai vế của (*) cho 2cos x 0≠ ta được (*) 222sinxcosx 2tgx 3cosx cosx cosx⇔+=2 ()( )222tgx 2tgx 1 tg x 3 1 tg x⇔+ + =+ 32ttgx2t 3t 4t 3 0=⎧⇔⎨−+−=⎩ ()()=⎧⎪⇔⎨−−+⎪⎩2ttgxt12t t3 0= ⇔=π⇔=+π∈tgx 1xk,k4 Bài 131 : Giải phương trình ( )3sin x sin 2x sin 3x 6 cos x *+= ()23* 2sin x cos x 3sin x 4 sin x 6cos x⇔+−=3 ( )•==±Khi cos x 0 ( sin x 1) thì * vô nghiệm •Chia hai vế phương trình (*) cho 3cos x 0≠ta được ()*⇔23222sin x 3sinx 1 sin x.4cos x cos x cos x cos x+−36= ()()()⇔+ +−=⇔− −+=⇔− −=⇔==α∨=±π⇔=α+π∨=±+π∈ α=2233222tg x 3tgx 1 tg x 4tg x 6tg x 2tg x 3tgx 6 0tgx 2 tg x 3 0tgx 2 tg tgx 3xkx k,k(vớitg32) Bài 132 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003) Giải phương trình ()2cos2x 1cot gx 1 sin x sin 2x *1tgx 2−= + −+ Điều kiện sin 2x 0 và tgx 1≠≠−Ta có : ( )2222cos x cos x sin xcos2x cos x sin xsin x1tgx cosxsinx1cos x−−==+++ ()(=− =− +cosx cosx sinx do tgx 1 nên, sinx cosx 0)≠ Do đó : ()()22cos x 1* 1 cos x sin x cos x sin x sin 2xsin x 2⇔−= − + − ()()()−⇔=−⇔−= −⇔−= = −2cos x sin x1sin2xsin xcosx sinx sinx cosx sinxcos x sin x 0 hay 1 sin x cos x sin x (**) ()()=≠⎡⎢⇔⎢=− ≠⎢⎣22tgx 1 nhận so với tgx 11sinxtg x do cos x 0cos xcos x− ()()π⎡=+π∈⎢⇔⎢−+=⎢⎣π⇔=+π ∈ ≠2xk,k42tg x tgx 1 0 vô nghiệmx k , k nhận do sin 2x 04 Lưu ý : có thể làm cách khác () ()11** 1 sin2x 1 cos2x22⇔− + −=0 ⇔= +π⎛⎞⇔= +⎜⎟⎝⎠3sin2xcos2x3 2 sin 2x : vô nghiệm4 Bài 133 : Giải phương trình ( )sin 3x cos3x 2cos x 0 *++ = ()()( )33*3sinx4sinx4cosx3cosx2cosx⇔− + −+0== 333sinx4sinx4cosxcosx0⇔− + − Vì cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho ta được 3cos x 0≠()() ( )23 2* 3tgx 1 tg x 4tg x 4 1 tg x 0⇔+−+−+= ()()⇔− − + + ==⎧⇔⎨+−−=⎩=⎧⎪⇔⎨+−=⎪⎩⇔=−∨=±ππ⇔=−+π∨=±+π∈32322tg x tg x 3tgx 3 0ttgxtt3t30ttgxt1t 3 0tgx 1 tgx 3xkxk,k43 Bài 134 : Giải phương trình ()35sin4x.cosx6sinx 2cos x *2cos2x−= Điều kiện : 22cos2x 0 cos x sin x 0 tgx 1≠⇔ − ≠⇔ ≠±Ta có : (*) 310sin 2x cos 2x cos x6sinx 2cos x2cos2xcos2x 0⎧−=⎪⇔⎨⎪≠⎩ 36sinx 2cos x 5sin2xcosxtgx 1⎧−=⇔⎨≠±⎩ ( )326sinx 2cos x 10sinxcos x **tgx 1⎧−=⎪⇔⎨≠±⎪⎩ Do cosx = 0 không là nghiệm của (**), chia hai vế phương trình (**) cho ta được 3cos x()26tgx210tgx**cos xtgx 1⎧−=⎪⇔⎨⎪≠±⎩ ()2ttgxvớit 16t 1 t 2 10t=≠⎧⎪⇔⎨+−=⎪⎩± =≠±=≠±⎧⎧⇔⇔⎨⎨− −= − + + =⎩⎩32t tgx với t 1 t tgx với t 13t 2t 1 0 (t 1) (3t 3t 1) 0 =≠±⎧⇔⎨=⎩t tgx với t 1: vô nghiệmt1Bài 135 : Giải phương trình ( )3sin x 4 sin x cos x 0 *−+= • Vì cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho cos3x thì ()()23 2*tgx1tgx4tgx1tgx⇔+−++0= ()()=⎧⇔⎨−+++=⎩=⎧⎪⇔⎨−++⎪⎩⇔=π⇔=+π∈322ttgx3t t t 1 0ttgxt13t 2t1 0tgx 1xk,k4= Bài 136 : Giải phương trình ( )( )22tgx sin x 2sin x 3 cos 2x sin x cos x *−= + Chia hai vế của phương trình (*) cho cos2x ()()223223 cos x sin x sin x cos x*tgx2tgxcos x−+⇔− = ()⇔− =−+32 2tg x 2tg x 3 1 tg x tgx ()()⇔+−−==⎧⇔⎨+−−=⎩=⎧⎪⇔⎨+−=⎪⎩⇔=−∨=±ππ⇔=−+π∨=±+π∈32322tg x tg x 3tgx 3 0ttgxtt3t30ttgxt1t 3 0tgx 1 tgx 3xkxk,k43 Bài 137 : Cho phương trình () () ( ) ( ) ( )3246msinx32m1sinx2m2sinxcosx 4m3cosx0*−+−+− −−= a/ Giải phương trình khi m = 2 b/ Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ Khi x2π=+πk thì cosx = 0 và sin x 1= ± nên (*) thành : ( )( )46m 32m1 0±− ± −= 10vônghiệm⇔ = chia hai về (*) cho 3cos x 0≠thì () ( ) ( )( )( ) ( )()322* 4 6m tg x 3 2m 1 tgx 1 tg x 2 m 2 tg x 4m 3 1 tg x 0⇔− + − + + − − − + =2) ()() (32ttgxt2m1t32m1t4m30**=⎧⎪⇔⎨−++ −−+=⎪⎩ ()()2ttgxt1t 2mt4m3 0=⎧⎪⇔⎨−−+−=⎪⎩ a/ Khi m = 2 thì (*) thành ()()2ttgxt1t 4t5 0=⎧⎪⎨− −+=⎪⎩ π⇔=⇔=+π∈tgx 1 x k , k4 b/ Ta có : x0,4π⎡∈⎢⎣⎦⎤⎥thì [ ]tgx t 0,1=∈ Xét phương trình : ( )2t2mt4m302−+−= ()2t32mt2⇔−= − 2t32mt2−⇔=− (do t = 2 không là nghiệm) Đặt () ()2t3yft Ct2−==−và (d) y = 2m Ta có : ()()22t4ty' f tt2−+==−3 Do (**) luôn có nghiệm t = 1 [ ]0,1∈trên yêu cầu bài toán () ( )() ()⎡=⇔⎢=⎢⎣d y 2m không có điểm chung với Cd cắt C tại1điểm duy nhất t 1 32m 2m 22⇔<∨≥ 3mm4⇔<∨≥1 Cách khác : Y C B T f(t) =⇔( )2t2mt4m302−+−=vô nghiệm trên [. ),01Ta có (2) có nghiệm [](),().()()aff f hayafSΔ≥⎧⎪≥⎪⎪∈⇔ ≤⎨≥⎪⎪≤ ≤⎪⎩00001 0 1 010012 ()()mmmm m haymm⎧− +≥⎪−>⎪⇔− −≤⎨−>⎪⎪≤≤⎩24304304322022001m⇔ ≤≤314 Do đó (2) vô nghiệm trên [),(m hay m hay f )⇔ <>301 1 1 04= 3mm41⇔ <∨ ≥ BÀI TẬP 1. Giải các phương trình sau : a/ 32cos x sin x 3sin x cos x 0+− =b/ () ( )2sin x tgx 1 3sin x cos x sin x 3+ =−+= c/ 22cos x cos2x sinx 0++d/ 3231cosxtg x1sinx−=− e/ 32 23sin x 5sin x cos x 3sin x cos x 3cos x 0−−+=f/ 32cos x sin x 3sin x cos x 0+− =g/ 1tgx 22sinx+= h/ 33sin x cos x sin x cos x+=−k/ 223tg x 4tgx 4 cot gx 3cot g x 2 0++ + +=m/ (sin)cos ( )cosxxtg x tgxxπ+−+ − −=2223138420 n/ sin x cos x1sin 2x+= 2. Cho phương trình : () ( )22sin x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos x m+− −+ = a/ Tìm m để phương trình có nghiệm b/ Giải phương trình khi m = -2 [ ]( )ĐS : m 2,1∈− Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn . được phương trình :•≠ ()22atg u btgu c d 1 tg u++=+ Đặt ta có phương trình : ttgu=()2adt btcd 0−++−= Giải phương trình tìm được t = tgu Bài 127 : Giải phương. CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 22asin u bsinucosu ccos u d++= Cách giải : ()Tìm nghiệm u k lúc đó cos u 0 và sin u 12π•=+π==± 2Chia hai vế phương trình