TÓM TẮT LÝ THUYÊT ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

-Một đồng cấu mà là 1 đơn ánh gọi là một đơn cấu -Một đồng cấu toàn ánh thì gọi là toàn cấu -Một đồng cấu là song ánh gọi là đẳng cấu.. Một tự đồng cấu song ánh gọi là một tự đẳng cấu..

TÓM TẮT KIẾN THỨC ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG

(biên soạn theo Đại Số Đại Cương – Hoàng Xuân Sính)

I/SỐ PHỨC:

( , ); ,

Ký hiệu: |x| là mô đun của x, ta có: 2 2

| |x  a b

*Dạng lượng giác của số phức:

| |(cos sin )

*Công thức Moivre:

(cosisin ) n  cosn isinn 

*Căn bậc n của số phức:

| |(cos sin )

    Khi đó, căn bậc n của z có n giá trị được tính theo công thức sau:

n k

II/NỮA NHÓM – NHÓM:

Giả sử có tập X và 1 phép toán T, kí hiệu là (X,T)

(T có thể là phép toán nhân, cộng hay một phép toán được định nghĩa nào đó)

Phép toán hai ngôi:

Phép toán 2 ngôi trên tập hợp X là 1 ánh xạ

:

 Nghĩa là: ( , )x y X, x quan hệ với y qua một phép toán T cho ta f x y( , )X

Ánh xạ: Cho f: X  Y, f là ánh xạ   x X, y Y f x: ( ) y

-Toàn ánh: là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y Khi đó người ta

cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y

( )Y

hay

-Đơn ánh: là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y Đơn

ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này

1 , 2 : 1 2 ( ) 1 ( 2 )

x x X x x f x f x

Hay

1, 2 : ( )1 ( )2 1 2

-Song ánh: là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 và vừa là

ánh xạ "onto" (từ X lên Y)

1)Nữa nhóm:

Một tập X  , trên đó đã xác định được 1 phép toán hai ngôi thỏa tiêu chuẩn sau gọi là nữa nhóm:

(X, ) là nữa nhóm  x y z X, ,  : x yz( )(xy z)

-Nữa nhóm nếu phép toán có tính chất giao hoán thì được gọi là nữa nhóm giao hoán

-Nữa nhóm có phần tử đơn vị gọi là vị nhóm

E gọi là phần tử đơn vị   e X, x X: exxex

-Vị nhóm X có tính chất giao hoán thì X gọi là vị nhóm giao hoán

2)Nhóm:

Một tập X  , trên đó đã xác định được 1 phép toán hai ngôi thỏa các tiêu chuẩn sau gọi

là 1 nhóm:

TC1: (X, ) là nhóm , , : ( ) ( )

X

x y z X x yz xy z

e X x X ex x

x X x X x x e

 





 





TC2: (X, ) là nhóm , , : ( ) ( )

X

x y z X x yz xy z

e X x X xe x

x X x X xx e

 





 





TC3: (X, ) là nhóm , , : ( ) ( )

X

x y z X x yz xy z

a b X pt ax b và ya b Luôn có nghiêm

 







Nói cách khác: Nhóm là vị nhóm có phần tử nghịch đảo

3)Nhóm Aben: (X, ) là nhóm Aben ( , )

X là nhóm

x y X xy yx



 





Lưu ý: trong nhóm có tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối giữa phép toán, lũy thừa

III/NHÓM CON:

Cho ( , )X  là nhóm (A, ) là nhóm con của (X, ) ký hiệu: (A, )  "(X, ) hoặc (A, ) (X, ) # 

Ký hiệu là của thầy Huyên trường ĐHSP

Tiêu chuẩn 1:

1

:

e A

x y A xy A

x A x A

   





 " 

Tiêu chuẩn 2:

1

:

A

x y A xy A

x A x A

  





 " 

Tiêu chuẩn 3: (A, ) (X, ) 1

A

x y A xy A

 



 



 " 

Định lý: Giao 1 họ bất kỳ những nhóm con của 1 nhóm X là một nhóm con của X

*Chu trình:

Mỗi phần tử S n được gọi là 1 phép hoán vị hay một phép thế bậc n và có thể biểu diễn bởi 1 ma trận loại 2 n :

(1) (2) ( )

n n

Trong đó, dòng thứ nhất là các phần tử của tập X, được sắp xếp theo 1 thứ tự nào đó, (thường là 1,2,3,…,n)

Dòng thứ 2 là ảnh của của các phần tử tương ứng ở dòng thứ nhất qua song ánh 

VD: trong nhóm hoán vị S7, chu trình  (1,3, 4, 7) có chiều dài 4 và là phép hoán vị:

1 2 3 4 5 6 7

3 2 4 7 5 6 1

Chú ý: 1  3, 3  4, 4  7, phần tử nào không có trong chu trình thì biến thành chính nó

VD2: Trong nhóm hoán vị S5 cho:

(1, 2,5,3)

4 3 5 1 2

Ta có: 1 2 3 4 5 (1, 4, 2)

4 1 3 2 5

Giải thích: Tính ngược từ :

1  4, 4 bên  không có nên 4  4 vậy 1 4 23, 31 vậy 21

35, 53 vậy 33 41, 12 vậy 42 52, 25 vậy 55

Từ  ta có: số 3 và số 5 biến thành chính nó nên không có phần tử này trong chu trình nên: 14, 42, 21 vậy suy ra chu trình là (1,4,2) Tương tự như vậy tính  :

Và: 1 2 3 4 5 (1, 3, 4)

3 2 4 1 5

1 (3,5, 2,1)

 

4 5 2 1 3

Để tính  1 ta ghi dòng đầu tiên (1,2,3,4,5) trước rồi đi tìm ảnh của nó ngược từ dưới lên của  :

14, 25, 32, 41, 53

IV/NHÓM CON SINH BỞI 1 TẬP – NHÓM CYCLIC:

Nhóm con sinh bởi 1 tập: cho A là 1 tập con của X, Nhóm con sinh bởi A là 1 tập con nhỏ nhất của G chứa A, được ký hiệu là A , tập A được gọi là tập sinh của nhóm A , nếu A hữu hạn thì

 1 , , n

A x x thì ta nói A là nhóm hữu hạn sinh bởi x1, ,x n mà ta thường kí hiệu nhóm này là

1 , , n

x x

Cho ( , )X  là nhóm, A X, U"X

ĐN1: U là nhóm con sinh bởi tập A

,

A U

V X A V U V





 

 " "

(U là nhóm con nhỏ nhất chứa A)

ĐN2: Cho ( , )X  là nhóm A a X , nhóm con sinh bởi A được gọi là nhóm con sinh bởi a Kí hiệu a

Định lý: Cho ( , )X  là nhóm, aX

Định lý: Cho (X,+) là nhóm, aX

a  na n 

V/NHÓM CYCLIC:

Định nghĩa: Nhóm X được gọi là nhóm Cyclic nếu và chỉ nếu X được sinh ra bởi một phần

tử aX Phần tử a gọi là 1 phần tử sinh của X

Vậy: X  a a n:n 

ĐL: Mọi nhóm con của nhóm Cyclic đều là nhóm cyclic Hơn nữa, nếu H  a và H e thì

n

H  a trong đó n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho a nH

ĐL: H là con của nhóm cộng các số nguyên  khi và chỉ khi H có dạng n với n  , trong đó:

n  nk k 

*Lưu ý: Với mỗi n nguyên dương, quan hệ đồng dư Module n trên  định bởi:

(mod )

xy n   x y n

Đây là 1 quan hệ tương đương trên  với các lớp tương đương là:

x x kn k   Tập thương của  theo quan hệ đồng dư module n định bởi:

 |  1, 2, 3, , 1

Trên n ta định nghĩa phép toán cộng như sau: xy x y

VI/CẤP CỦA NHÓM:

ĐN: Cho X là nhóm Nếu X là tập vô hạn ta nói X có cấp vô hạn (cấp là ); Số phần tử của X là

n thì ta nói X có cấp là n

-Cấp của a là cấp sinh bởi a

-Cho ( , )X  là 1 nhóm, aX ta có:

i)a có cấp vô hạn khi và chỉ khi  k  :a k e k 0

ii)a có cấp hữu hạn khi và chỉ khi  k *a k e

iii)Nếu a có cấp hữu hạn thì cấp của a là số nguyên dương n nhó nhất sao cho a n e Hơn nữa, khi đó  k ,a k  e k là bội số của n (k chia hết cho n)

VII/LỚP GHÉP TRÁI – LỚP GHÉP PHẢI:

*Giả sử A là 1 nhóm con của 1 nhóm X, ta định nghĩa quan hệ  trong tập X như sau:

1

Quan hệ  trong X là 1 quan hệ tương đương

Với mỗi phần tử xX , kí hiệu lớp tương đương chứa x là x và kí hiệu bộ phận của X gồm các phần tử có dạng xa với a chạy khắp A là xA, tức là:  x X, xxAxa a| A

Cho nhóm X, A"X và xX Khi đó:

*Lớp ghép trái: xAxa a| A

*Lớp ghép phải: Axax a| A

-Nếu yxAyAxA

-Hai lớp ghép xA và yA thì hoặc xAyA  x y 1 A hoặc xAyAx y 1 A

*Cấp của 1 phần tử tùy ý của 1 nhóm hữu hạn X là ước của cấp X

VIII/NHÓM CON CHUẨN TẮC:

A là nhóm con chuẩn tắc của X kí hiệu: AX

Cho X là một nhóm,

A X

A X

x X a A xax A hoac x ax A



 



Ta có thể chứng minh nhóm con chuẩn tắc dựa vào định nghĩa lớp ghép như sau:

Cho X là một nhóm, A X A X

x X xA Ax



 



IX/NHÓM THƯƠNG:

ĐN: Nếu A là một chóm con chuẩn tắc của một nhóm X thì X /A xA x| A cùng với phép toán xA yA xyA  là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A

Nếu A là một chóm con chuẩn tắc của một nhóm X thì:

i)Quy tắc cho tương ứng với cặp (xA yA, ) lớp trái xyA là một ánh xạ từ X A X A/  / đến /

X A

ii)X /A cùng với phép toán hai ngôi (xA yA, )xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của

X trên A

X/ĐỒNG CẤU NHÓM:

Một đồng cấu (nhóm) là một ánh xạ f từ một nhóm X đến một nhóm Y sao cho:

( ) ( ) ( ) ( , )

Nếu X=Y thì đồng cấu f là một tự đồng cấu của X

-Một đồng cấu mà là 1 đơn ánh gọi là một đơn cấu

-Một đồng cấu toàn ánh thì gọi là toàn cấu

-Một đồng cấu là song ánh gọi là đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi là một tự đẳng cấu Nếu f X: Y là một đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y thì ta viết f X: Y

-Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X Ánh xạ:

( )

h X X A

x h x xA







Là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm thương X/A Đồng cấu này còn là một toàn cấu, gọi

là toàn cấu chính tắc (Thật vậy: h(xy) = xyA = xA.yA = h(x)h(y))

*Cho đồng cấu f X: Y

Imf  f X( )

ker f  xX f x| ( ) e y  f ( )e y

( X) Y

f e e

( ) [ ( )]

f x  f x 

ĐL: Giả sử f X: Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A là một nhóm con của X và B là một nhóm con chuẩn tắc của Y Thế thì:

i) f A( ) là một nhóm con của Y

ii) f 1 ( )B là một nhóm con chuẩn tắc của X

HQ: Giả sử f X: Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, thế thì: Imf là một nhóm con của

Y và ker f là một nhóm con chuẩn tắc của X

ĐL: Giả sử f X: Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, thế thì:

i) f là một toàn ánh nếu và chỉ nếu Im f Y

ii) f là một đơn ánh nếu và chỉ nếu ker f  e x

ĐL: Giả sử f X: Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, p X: X / ker f là toàn cấu chính tắc từ nhóm X đến nhóm thương của X trên hạt nhân của f Thế thì:

i)Có một đồng cấu duy nhất f X: / ker f Y sao cho tam giác sau:

Là giao hoán, tức là f  f p

ii)Đồng cấu f là một đơn cấu và Im f  f X( )

HQ: Với mọi đồng cấu f X: Y từ nhóm X đến nhóm Y, ta có

( ) / ker

XI/ĐỐI XỨNG HÓA:

ĐN: Cho tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi trong X Một phần tử AX gọi là chính quy bên trái (bên phải) nếu b c, X sao cho abac ba( ca) thì bc, a gọi là chính quy nếu nó là chính quy bên trái và bên phải

BĐ: Giả sử X là một nữa nhóm giao hoán có phần tử trung lập e và X* gồm các phần tử chính quy của X Thế thì:

(i)eX* (ii)X* là ổn định

ĐL: Giả sử X là một vị nhóm giao hoán, X* là một bộ phận của X gồm các phần tử chính quy của

X Có một vị nhóm giao hoán X và một đơn cấu f X: X có các tính chất sau:

-Các phần tử của f X( *) có đối xứng trong X

-Các phần tử của X có dạng f a f b( ) (  1) với aX b, X*

HQ: Nếu tất cả các phần tử của X đều là chính quy thì tất cả cấc phần tử của X đều đối xứng, do

đó X là một nhóm

ĐL: Nếu a b, X , hoặc phương trình axb có nghiệm trong X, hoặc phương trình bxa có nghiệm trong X  X X c 1 |cX

XII/VÀNH:

ĐN: Cho tập hợp X cùng với phép toán 2 ngôi đã cho trong X

( , , )X   là một vành nếu thỏa các điều kiện sau:

(i)( , )X  là một nhóm Aben (nhóm giao hoán)

(ii)( , )X  là một nữa nhóm ( có tính kết hợp)

(iii)" " phân phối đối với phép " " 

Hay

f

p f

/ ker

( , , )X   là một vành



( , ) là

nhom Aben

( , ) la , , : ( ) ( )

nua nhom

X

x y z X x y z x y z X

X

e X x X e x x hoac x e x

x X x X x x e

x y X x y y x

X

x y z X x yz xy z

x y z xy xz

x y z X

y z x yx zx























Phep nhan phan phoi voi phep cong





































Lưu ý: Trong phép toán cộng ở trên thì e=0 và x’=-x

-Nếu " " giao hoán ta nói ( , , )X   là vành giao hoán

-Nếu " " có đơn vị ta nói ( , , )X   là vành có đơn vị

-Nếu " " có đơn vị và giao hoán ta nói ( , , )X   là vành giao hoán có đơn vị

ĐL: Cho X là một vành, x y z, , X , ta có:

(i)x y( z)xyxz; (yz x)  yxzx

(ii)0xx0  0

(iii)x(y) ( x y)  xy; (x)(y)xy

1)Ước của 0, miền nguyên:

ĐN: Giả sử X là 1 vành giao hoán Ta bảo một phần tử aX là bội của một phần tử bX

hay a b nếu có cX sao cho abc ta còn nói b là ước của a hay b chia hết a, kí hiệu b a|

ĐN: Ta gọi là ước của 0 nếu mọi phần tử a 0 sao cho có b 0 thỏa mãn ab 0

Lưu ý: Phần tử 0 và các ước của 0 không phải là chính quy Trong một vành không có ước

của 0 thì mọi phần tử khác 0 đều là chính quy

2)Miền nguyên:

Miền nguyên là một vành có nhiều hơn 1 phần tử, giao hoán, có đơn vị, không có ước của 0

Hay

( , , )X   là miền nguyên



( , ) là

nhom Aben

( , ) la , , : ( ) ( )

nua nhom

X

x y z X x y z x y z X

X

e X x X e x x hoac x e x

x X x X x x e

x y X x y y x

X

x y z X x yz xy z

x y z xy xz

x y z X

y z x yx zx























Phep nhan phan phoi voi phep cong

Cord 2

x y X xy yx

x X e X ex x

a b X a b ab



















































XIII/VÀNH CON:

ĐN: Giả sử X là 1 vành, A là một bộ phận của X ổn định với 2 phép toán trong X là

x y A và xyA với mọi x y, A A là một vành con của X nếu A cùng với 2 phép toán cảm sinh trên A là một vành Kí hiệu: A$X

Tiêu chuẩn vành con:

TC1:

A

x y A

A X

x y A xy A

x A

 





 











$

TC2:

A

x y A

xy A

 









$

ĐL: Giao một họ bất kì những vành con của một vành X là một vành con của X

XIV/IĐÊAN:

A là Iđêan của X, kí hiệu: AX

,

A

A X a b A a b A

xa A

a A x X

ax A





 





    





*Giao một họ bất kì những Iđêan của một vành X là một Iđêan của X

1)Giả sử X là một vành giao hoán có đơn vị và: a1, ,a nX Bộ phận A của X gồm các phần tử có dạng x a1 1 x a n n với x1, ,x nX là Iđêan của X sinh ra bởi a1, ,a n

2)Nếu X là một vành có đơn vị và nếu A là một Iđêan của X chứa đơn vị của X thì ta có

A X

3)Vành thương: Nếu A là một Iđêan của vành X thì:

(i)Lớp xyA chỉ phụ thuộc vào các lớp xA và yA mà không phụ thuộc vào sự lựa chọn của các phần tử x, y từ các lớp đó

(ii)X /A cùng với hai phép toán





Là một vành gọi là vành thương của X trên A (kí hiệu: X A/ )

X A xA xX

4)Đồng cấu (vành):

ĐN: Một đồng cầu (vành) là một ánh xạ từ một vành X đến một vành Y sao cho:

( ) ( ) ( )

f a b f a f b

a b X

f ab f a f b







 Nếu X=Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X

Ta cũng có ĐN đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu tương tự như trong nhóm

ĐL: Giả sử X, Y, Z là những vành, f X: Y và g Y: Z là những đồng cấu Thế thì tích ánh xạ :

gf X Z cũng là một đồng cấu Đặc biệt tích của hai đẳng cấu là một đẳng cấu

ĐL: Giả sử f X: Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y Thế thì:

( ) (0) 0 ( ) ( ) ( ) ,

i f



ĐL: Giả sử f X: Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y, A là một vành con của X

và B là một Iđêan của Y Thế thì:

( ) ( )i f A là một vành con của Y

1

( )ii f ( )B là một Iđêan của X

HQ: Giả sử f X: Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y Thế thì Im f là một vành con của Y và ker f là một Iđêan của X

ĐL: Giả sử f X: Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y Thế thì:

(i) f là một toàn ánh nếu và chỉ nếu Im f Y

(ii) f là một đơn ánh nếu và chỉ nếu ker f  0

ĐL: Giả sử f X: Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y, p X: X / kerf là một toàn cấu chính tắc từ vành X đến vành thương của X trên ker f Thế thì:

i)Có một đồng cấu duy nhất f X: / ker f Y sao cho tam giác sau:

Là giao hoán

ii)Đồng cấu f là một đơn cấu và Imf  f X( )

HQ: Với mọi đồng cấu f X: Y từ vành X đến vành Y, ta có

( ) / ker

Lưu ý: Giả sử A là một Iđêan của 1 vành X Ánh xạ:

f

p f

/ ker

: /

h X X A

x x A







Là một đồng cấu từ vành X đến vành thương X/A Đồng cấu này còn là toàn cấu và gọi là

toàn cấu chính tắc

XV/TRƯỜNG:

Cho ( , , )X   là một vành

( , , )X   là một trường  ( , , )X   là miền nguyên và  a X a, 0 : a 1X

Hay:

( , , )X   là một trường



( , ) là

nhom Aben

( , ) la , , : ( ) ( )

nua nhom

X

x y z X x y z x y z X

X

e X x X e x x hoac x e x

x X x X x x e

x y X x y y x

X

x y z X x yz xy z

x y z xy xz

x y z X

y z x yx zx























Phep nhan phan phoi voi phep cong

Cord 2

x y X xy yx

x X e X ex x

a b X a b ab









1

(X nhieu hon 1 phan tu) , 0 :

a X a a X













































1)Trường con:

ĐN: Cho X là một trường, A là một bộ phận của X ổn định với 2 phép toán trong X A là trường con của X nếu A cùng với 2 phép toán cảm sinh trên A là một trường Kí hiệu A%X

Tiêu chuẩn trường con:

TC1:

1

Cord 2

( 0)

x y A

x y A

x A

x A x







 













%

TC2:

1

cord 2

( 0)

x y A

xy A y











%

2)Trường các thương:

Giả sử X là một miền nguyên, X* là một bộ phận các phần tử khác 0 của X Có một trường

X và một đơn cấu (vành) f X: X có các tính chất sau:

(i)Các phần tử của X có dạng f a f b( ) ( ) 1 (aX b, X*)

(ii)Cặp ( , )X f là duy nhất sai kém một đẳng cấu, nghĩa là nếu có cặp ( , )Y g thỏa mãn điều kiện (i) thì có một đẳng cấu sao cho tam giác: