LY THUYET DAI SO TUYEN TINH ON THI CAO HOC

Trang 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I/MA TRẬN: Một vài tính chất của ma trận cần chú ý: -Khi đổi dòng ma trận A thành cột tương ứng ta được ma trận chuyển vị của A ký hiệu là A t -Hạng của ma t

Trang 1

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I/MA TRẬN:

Một vài tính chất của ma trận cần chú ý:

-Khi đổi dòng ma trận A thành cột tương ứng ta được ma trận chuyển vị của A ký hiệu là A t

-Hạng của ma trận A, kí hiệu là r(A) hoặc Rank(A): là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của A

Nếu A là ma trận vuông cấp n thì: rankA  ndetA0

rankA < ndetA0 (A là ma trận suy biến)

rankAt ranA

rank AB  rank A rank B

Nếu A là ma trận không suy biến thì: Rank (AB)=Rank B

-Phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận:

*Đổi chỗ 2 dòng cho nhau

*Nhân 1 dòng cho 1 số khác 0

*Nhân 1 dòng cho 1 số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác

Tương tự bằng cách thay dòng bằng cột ta có phép biến đổi ma trận trên các cột

-Ma trận khả nghịch: A A  1 A 1.A E n

(A -1 gọi là ma trận nghịch đảo, A gọi là khả nghịch, E n là ma trận đơn vị cấp n)

-A khả nghịch  A không suy biến (detA 0)

-Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và: 1 1 1

(AB) A B 

-(A t)1  (A1 )t

1)Các tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A:

Phần bù đại số của A: nếu ta bỏ đi dòng i, cột j của A ta được 1 ma trận con cấp n-1 của A, kí hiệu là Mij Khi đó Aij=(-1)i+jdet(Mij) gọi là phần bù đại số của phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A

Cách 1:

-Kiểm tra A không suy biến (detA 0)

-Tìm các phần bù đại số của A tại các dòng i, cột j ta được các giá trị Aij

-Thành lập ma trận PA của A bằng cách đổi dòng thành cột của các phần bù đại số Aij tìm được ở trên PA gọi là ma trận phụ hợp của A

-Khi đó: 1 1

det A

A





Cách này chỉ nên làm với ma trận có hạng nhỏ bằng 2 hoặc 3

Cách 2: Dùng phương pháp Gauss:

-Thành lập ma trận dạng: A E| n

-Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng song song, đồng thời đối với A và En (A biến đổi thế nào thì E biến đổi thế đó) cho đến khi ma trận A trở thành ma trận đơn vị En còn ma trận đơn vị En trở thành 1 ma trận B nào đó Lúc này B chính là ma trận nghịch đảo của A (B=A-1)

Cách 3:

-Lập hệ phương trình: a x ij j  y i (trong đó aij là các giá trị ở dòng i, cột j của A – xj là ẩn và yi

là các tham số)

-Nếu với mọi tham số yi hệ phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất: x j b y ji i thì ma trận nghịch đảo của A được thành lập bởi các bji

-Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm hoặc vô số nghiệm thì A không khả nghịch

Trang 2

II)KHÔNG GIAN VECTƠ:

Định nghĩa: Ký hiệu là tập các số thực, V là tập tùy ý khác  V gọi là không gian vectơ (trên

) nếu trong V có 2 phép toán:

-Phép cộng 2 vectơ:  ,  V V

-Phép nhân vô hướng 1 số với 1 vectơ:  a ,  V a V

Phép cộng và phép nhân trên phải thỏa 8 điều kiện sau:

1)  , , V:() ()

2) , V :  

3)  V, 0 V:  0 0  (0: vectơ 0)

4)  V,V : ( ) ( ) 0 ( là vectơ đối của )

5) a ; , V a: ()a a 

6)a b, ;  V: (a b ) a b 

7)a b, ;  V: (ab)a b( )

8)  V :11

Để kiểm tra 1 không gian vectơ ta thực hiện kiểm tra 2 tính chất và 8 điều kiện trên

1)Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:

Cho V là không gian vectơ, 1, , n là 1 hệ vectơ của V

-Hệ 1, , n gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực a1, ,a n không đồng thời bằng 0 sao cho: a11 a n  n0 Nghĩa là phương trình vectơ x11 x n  n0 có nghiệm khác 0

-Hệ 1, , ngọi là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi a11 a n  n 0 a1a2 a n  0 Nghĩa là phương trình vectơ x11 x n  n0 có nghiệm duy nhất (0, … ,0)

Lưu ý: Ta lập ma trận A với các cột là các vectơ 1, , n, nếu rank A = n (hạng của A bằng

số vectơ) thì hệ là ĐLTT Nếu rank A<n thì hệ phụ thuộc tuyến tính

Lưu ý 2: Rank A là số dòng khác không của A trong ma trận bậc thang

2)Cách tìm hạng, hệ con độc lập tuyến tính tối đại của 1 hệ vectơ:

-Lập ma trận A là ma trận dòng của các vectơ 1, , n

-Biến đổi sơ cấp A thành dạng bậc thang, khi đó: rank Arank1 , , n (số dòng khác 0 của

ma trận bậc thang A)

-Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ 1, , n bao gồm các vectơ ứng với các dòng khác 0 của ma trận bậc thang A

3)Cơ sở, số chiều của không gian vectơ:

Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của V 1, , nchính là cơ sở của V Số vectơ trong cơ

sở của V là số chiều của V (dimV)

Như vậy: để tìm cơ sở, số chiều của V, ta lập ma trận theo dòng bởi các vectơ 1 , , n, dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về bậc thang, số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính là

số chiều của V, tọa độ tương ứng mỗi dòng khác 0 đó chính là các vectơ của cơ sở cần tìm

Lưu ý: Hệ n vectơ là cơ sở của V nếu nó độc lập tuyến tính (dim V = n)

4)Cơ sở, số chiều của không gian nghiệm 1 hệ thuần nhất:

Cách tìm:

Giả sử có hệ pt thuần nhất:

-Lập ma trận hệ số, dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa về ma trận bậc thang

-Biểu thị các giá trị xi theo các giá trị còn lại (tìm xi từ ma trận trên) Giả sử hệ phương trình trên là trong n, có các xj bị khuyết (nghĩa là hệ vô số nghiệm, các nghiệm của hệ phụ thuộc vào các

xj – Từ đây ta có thể thấy được số chiều của không gian nghiệm như sau: giả sử ma trận hệ số sau khi biến đổi thành bậc thang có rank = k thì số chiều của không gian nghiệm là (n-k))

Trang 3

-Suy ra nghiệm tổng quát của hệ: giả sử có k giá trị xj bị khuyết, ta cho các xj lần lượt bằng các giá trị: a b c, , ,   tương ứng (các a,b,c… gọi là các tham số - Có m tham số, như vậy số chiều của không gian nghiệm = m hay n-k=m) Số chiều bằng m nên số vectơ trong cơ sở của không gian nghiệm cũng có m vectơ

-Tìm cơ sở của không gian nghiệm: Cho các tham số bằng 1 (các giá trị khác = 0) ta tính ra được k vectơ của cơ sở cần tìm của không gian nghiệm

Cụ thể:

Giả sử: tìm cơ sở, số chiều của không gian nghiệm của hệ sau:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n













Lập ma trận hệ số:

n n

A



Ta để ý, phương trình này được xét trong n vì có n ẩn x

Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa về ma trận bậc thang, giả sử lúc này ta được 1 ma trận có k dòng khác 0, như vậy ta có thể suy ra (rank A=k) vậy số chiều của không gian nghiệm sẽ bằng (n-k) tức nghiệm tổng quát của hệ này sẽ có (n-k) tham số cho các xi chưa được biểu thị trong công thức nghiệm tổng quát Vậy cơ sở cần tìm có (n-k) vectơ tìm được bằng cách lần lượt cho (n-k)

tham số trên các giá trị tùy ý (thường cho bằng 1) để tìm ra tọa độ có dạng( ,x x1 2, ,x n) của chúng

5)Tọa độ của vectơ trong cơ sở:

Cho V là không gian vectơ n chiều (dimV=n) 1, , n là cơ sở của V Với xV, khi đó x viết được duy nhất dưới dạng: xa11 a n  n (a i  )

Bộ số ( ,a a1 2, ,a n)gọi là tọa độ của x trong cơ sở ( ) , ký hiệu:

1 2 ( , , , )

1

2 [ ]

( )

n

a a x

a



 

 

 



 

 

 



6)Ma trận đổi cơ sở, công thức đổi tọa độ:

Trong không gian vectơ V cho 2 cơ sở:  1, 2, , n ( ) ;  1, 2, , n ( )

Khi đó, các vectơ  1, 2, , n viết được duy nhất dưới dạng:

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 1 2 2

n n

n n











Ma trận các hệ số chuyển vị:

n n

T





    gọi là ma trận đổi cơ sở từ ( ) sang ( )

Từ ĐN ta có: T là ma trận khả nghịch và 1

T  T 

Trang 4

Công thức đổi tọa độ:

Giả sử: ( ,1 2, , )

Khi đó ta có:

T



   

  Hay viết ngắn gọn

T 

Công thức trên cho phép tính tọa độ của vectơ x trong cơ sở ( ) theo tọa độ của x trong cơ sở ( )

III/KHÔNG GIAN VECTƠ CON:

Tập con U   của không gian vectơ V là không gian vectơ con của V khi và chỉ khi:

1)Với mọi  , UU

2)Với mọi U  U

1)Số chiều của không gian con:

Nếu U là không gian vectơ con của V thì dimU  dimV và dimU dimV U V

2)Không gian giao và không gian tổng:

-Nếu A, B là các không gian vectơ con của V thì ABlà không gian vectơ con của V

-Cho A, B là các không gian vectơ con của V, ta định nghĩa:

AB  x A B V

(xA B  x  Với A,B)

Khi đó, A+B là không gian vectơ con của V gọi là không gian tổng của các không gian con của A và B

Ta có: dim A  B dim A  dim B – dim A  B

3)Cách tìm cơ sở, số chiều của A+B, AB:

*Với A+B

-Tìm cơ sở của A, giả sử cơ sở của A là A 1, , n

-Tìm cơ sở của B, giả sử cơ sở của B là: B 1, , m

Khi đó, AB 1, ,  n, 1, , m ta đi tìm cơ sở và số chiều của A+B trong hệ vectơ này

(thành lập ma trận theo dòng  biến đổi trên dòng về ma trận bậc thang  tìm chiều và cơ sở)

*Với AB:

Lưu ý: A 1, , n ,   ( , ,a1 a n)  A  x11 x n  n có nghiệm (với 1, , n là hệ vectơ cho sẵn)

-Cách thực hiện: Dùng tính chất trên, ta tìm các hệ phương trình mà không gian nghiệm của

nó chứa A và B (cách tìm được trình bày ở dưới)

-Vậy ABchính là nghiệm chung của 2 hệ, hệ không gian nghiệm của A và của B Ta lập hệ không gian nghiệm của ABbằng cách gộp 2 hệ trên thành 1 hệ chung

-Lập ma trận hệ số hệ không gian nghiệm của AB

-Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng, dưa về dạng bậc thang Từ đây ta tìm ra chiều, cơ sở của AB chính là số tham số (giống cách tìm sở, số chiều của không gian nghiệm 1 hệ thuần nhất

đã trình bày ở trên)

Cách tìm hệ phương trình có không gian nghiệm chứa A 1, , n

Giả sử các vectơ:

1 (a11 ,a12 , ,a1m)



Trang 5

2 (a21 ,a22 , ,a2m)



………

1 2

n a n a n a nm



Ta có: A 1, , n ,  ( , ,a1 a m)  A  x11 x n  n có nghiệm

Lập ma trận hệ số:

1

n n

a

Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng với ma trận hệ số của x đưa nó về dạng bậc thang, đồng thời biến đổi song song ma trận 1 cột, m dòng ( , ,a1 a m)ở bên phải (ma trận hệ số biến đổi thế nào

thì ma trận này biến đổi thể đó)

Giả sử sau khi biến đổi, ma trận hệ số của x có k dòng bằng 0 như sau:

0

1

0 0 0

0 0 0

i i

i

Các biêu thuc cua a Các dòng khác

Biêu thuc cua a

Biêu thuc k cua a

Như vậy, để hệ có nghiệm thì các biểu thức từ 1 đến k phải bằng 0 (ta lập được 1 hệ phương

trình với các biến a i )

Thay các giá trị a i thành x itương ứng ta được hệ phương trình mà không gian nghiệm của nó

là A

Lưu ý: Đây cũng là bài toán: Tìm điều kiện để   ( , ,a1 a m) biểu thị tuyến tính được qua

hệ vectơ của A Khi đó, phương trình x11 x n  n có nghiệm

4)Không gian con sinh bởi 1 hệ vectơ:

Cho V là không gian vectơ, 1, , n là hệ vectơ của V Ta định nghĩa:

1 , , n : x a1 1 a n n |a i V

1 1 (xV   a i  :xa    a n  n)

1 , , n

  là không gian con của V, hay còn goi là không gian con của V sinh bởi hệ vectơ 1, , n

1 , , n

  chính là 1 hệ sinh của không gian vectơ con 1, , n

Lưu ý: Mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ 1, , nđều là hệ sinh, do đó là cơ sở của không gian vectơ con 1, , n

IV/ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:

Nhắc lại vài kiến thức:

1)Ánh xạ: Cho f: X  Y, f là ánh xạ   x X, y Y f x: ( )y

-Toàn ánh: là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y Khi đó người ta

cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y

hay

-Đơn ánh: là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y Đơn

ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này

Trang 6

hay

-Song ánh: là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 và vừa là

ánh xạ "onto" (từ X lên Y)

2)Ánh xạ tuyến tính:

Cho V và U là 2 không gian vectơ, ánh xạ f V: Ulà ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn 2 tính chất sau:

Một ánh xạ tuyến tính f V: Vgọi là 1 phép biến đổi tuyến tính của V

Nhắc lại thêm: Cho ánh xạ tuyến tính f V: U

*ker f x V | f x( )  0v

*Im f  f V( ) f x( ) | xV  yV |  x V f x: ( )  y (Imf là không gian con của U)

*dim Imf dim ker f dimV

* f(0 )v  0u , f( )  f( )

*a1, ,a n,1, , nV ta có:

( n n) ( ) n ( n)

f a   a  a f   a f 

*Ánh xạ tuyến tính biến hệ phụ thuộc tuyến tính (PTTT) thành hệ PTTT

*Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của 1 vectơ, nghĩa là:

 1 , , n  ( 1 ), , ( n)

rank   rank f  f 

Định lý: Cho V là không gian vectơ n chiều, 1, , nlà cơ sở tùy ý của V; U là một không gian vectơ tùy ý và 1, , nlà hệ vectơ tùy ý của U Khi đó tồn tại duy nhất 1 ánh xạ tuyến tính

:

f V U thỏa mãn f( i) i ; i 1, 2, ,n

3)Ma trận của ánh xạ tuyến tính:

Cho V và U là các không gian vectơ, 1, , n ( ) là cơ sở của V; 1, , m ( ) là cơ sở của

U Vì f( i) Unên f( i) biểu thị tuyến tính được qua cơ sở của ( ) nên ta có:

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

m m

m m

Ma trận:

n n

A



Gọi là ma trận của f trong cặp cơ sở ( ) , ( ) và kí hiệu

( ),( )

f

A

 

Trường hợp đặc biệt, khi f là phép biến đổi tuyến tính của V, f V: V và ( ) ( ) thì ma trận của f trong cặp cơ sở ( ) , ( ) được gọi là ma trận của f trong cơ sở ( ) và kí hiệu là

( )

f A



4)Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính:

Cho U, V là các KGVT, và 1, , n ( ) , 1, , m ( ) lần lượt là các cơ sở của V và U Cho f V: U là ánh xạ tuyến tính

( ),( )

f

 

 là ma trận của f trong cặp cơ sở ( ) , ( )

Trang 7

Với mọi vectơ x V , Giả sử: ( ,1 2, , )

( ) ( , , , )

Khi đó, ta có công thức sau gọi là biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f:

A

   

Nếu ta kí hiệu  

( )

x

 là tọa độ của vectơ x trong cơ sở của ( ) viết theo cột thì công thức trên

có thể viết ngắn gọn lại như sau:

( ),( )

( )

.

A

 

Trường hợp đặc biệt, khi f V: V là phép biến đổi tuyến tính, 1, , n ( ) là cơ sở của V, ta có:

( )

( )

.

A



5)Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong 2 cặp cơ sở khác nhau:

Cho V và U là các không gian vectơ, 1, , n ( ) và ' ' '

1 , , n ( )

   là cơ sở của V;

1 , , m ( )

1 , , m ( )

   cơ sở của U Cho ánh xạ tuyến tính f V: U Khi đó ta có công thức dưới đây cho thấy sự liên hệ giữa ma trận của f trong cặp cơ sở '

(), '

( ) với ma trận của f trong cặp cơ sở ( ) , ( ) :

' '

1 ( ),( ) ( ),( )





Trong đó, T ' là kí hiệu ma trận đổi cơ sở từ cơ sở ( ) sang cơ sở '

( )

Trong trường hợp đặc biệt, khi f V: V là phép biến đổi tuyến tính, 1, , n ( ) và

1 , , n ( )

   là 2 cơ sở của V, ta có:

'

1 ( ) ( )

.









6)Hạt nhân và ảnh:

Cho U và V là các không gian vectơ, f V: U là ánh xạ tuyến tính

*ker f x V | f x( )  0vV

Ker f là KGVT con của V, gọi là hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f

*Im f  f V( ) f x( ) | xV  yV |  x V f x: ( )  yU

Imf là không gian con của U, gọi là ảnh của ánh xạ tuyến tính f

-Để xác định hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f V: U, ta thực hiện:

Chọn cơ sở 1, , n ( ) và 1, , m ( ) của V và U Khi đó ta có:

( ),( )

( )

.

A

 

Do đó: xker f  f x( )0

( ),( )

( )

f

A

 

Trang 8

Như vậy, xker f khi và chỉ khi tọa độ của x trong cơ sở ( )  

( )

x



là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (*)

-Để tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính f V: U, ta thực hiện:

Nếu 1, , n là hệ sinh của V thì f(1), , (f  n)là hệ sinh của Im f

Như vậy, để tìm cơ sở của Im f , ta tìm cơ sở 1, , n của V

1

Im f  f( ), , (f  n) , do đó hệ con ĐLTT tối đại của hệ f(1), , (f  n) là cơ sở của Im f

7)Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu:

Cho U, V là các KGVT và f V: U là ánh xạ tuyến tính, khi đó:

-f gọi là đơn cấu nếu f là đơn ánh

-f gọi là toàn cấu nếu f là toàn ánh

-f gọi là đẳng cấu nếu f là song ánh

Tích các đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu là các đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Nếu f V: U là một đẳng cấu thì f có ánh xạ ngược 1

:

f U V cũng là 1 đẳng cấu Hai không gian vectơ U, V gọi là đẳng cấu nếu tồn tại 1 đẳng cấu f V: U Quan hệ đẳng cấu là 1 quan hệ tương đương

Các định lý:

ĐL1: Hai không gian vectơ V, U đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi dimV  dimU

ĐL2: Cho V, U là các không gian vectơ, dimV  dimU và f V: U là ánh xạ tuyến tính Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i)f là đơn cấu (ii)f là toàn cấu (iii)f là đẳng cấu

ĐL3: -Cho ánh xạ tuyến tính f V: U Khi đó:

(i)f là đơn cấu khi và chỉ khi ker f  0 , khi và chỉ khi dim Im f dimV

(ii)f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f U, khi và chỉ khi dim Im f dimU

Nếu f V: U là ánh xạ tuyến tính thì dim Im f rank f rank A trong đó A là ma trận của f trong cặp cơ sở ( ) , ( ) bất kì Do đó, để kiểm tra xem f có là đơn cấu, toàn cấu hay không, ta tìm

ma trận của f trong cặp cơ sở ( ) , ( ) nào đó rồi tìm rank A Nếurank AdimV thì f là đơn cấu còn nếu rank AdimU thì f là toàn cấu

8)Sự đẳng cấu của không gian các ánh xạ tuyến tính và không gian các ma trận:

Ký hiệu Hom(V,U) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính f V: U Trong Hom(V,U) ta định nghĩa hai phép toán sau:









Khi đó Hom(V,U) cùng với 2 phép toán trên làm thành 1 KGVT, gọi là không gian các ánh

xạ tuyến tính từ V đến U

Không gian Hom(V,U) đẳng cấu với không gian các ma trận nhờ đẳng cấu trong định lý sau:

ĐL: Cho V, U là các KGVT, dimV=n, dimU=m và cho 1, , n ( ) , 1, , m ( ) lần lượt

là các cơ sở của V và U Khi đó ánh xạ:

,

( ),( )

( )

m n f

 











9)Vectơ riêng - Giá trị riêng của ma trận:

Trang 9

Cho A là ma trận vuông cấp n (AM n( ))  :

n n

Khi đó, đa thức bậc n của biến :

( ) det( )

n n A











( 1)n  n a n n a  a

      gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A

(giải phương trình trên tìm các giá trị riêng  i )

Các nghiệm thực của đa thức đặc trưng P A( ) gọi là giá trị riêng của ma trận A

Nếu 0 là một giá trị riêng của A thì det(A0I)  0 Do đó hệ phương trình thuần nhất:

1 0

0

0

n

x

x



   

   

   

   

   

Có vô số nghiệm Không gian nghiệm của hệ (1) gọi là không gian con riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng 0 Các vectơ khác 0 là nghiệm của hệ (1) gọi là các vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng 0 Các vectơ tạo thành 1 cơ sở của không gian riêng (tức là các vectơ tạo thành

hệ nghiệm cơ bản của hệ (1)) gọi là các vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng 0

Cụ thể hơn, ta giải hệ (1) bằng cách biến đổi sơ cấp trên dòng với ma trận:

n n













-Tìm nghiệm của hệ, nếu hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào k tham số, ta suy ra: số chiều là k; cho các giá trị bất kì để tìm ra 1 họ nghiệm của hệ, ta suy ra được họ nghiệm chính là các vectơ riêng ứng với giá trị riêng 0

-Nếu hệ có nghiệm duy nhất, thì nghiệm của hệ là các vectơ riêng

10)Chéo hóa ma trận:

-Cho A, B là các ma trận vuông cấp n Ta nói A đồng dạng với B, kí hiệu AB, nếu tồn tại

ma trận T vuông cấp n, không suy biến (detT 0) sao cho 1

-AB thì detA detB, rank Arank B, P A( ) P B( ) , giá trị riêng của A, B là như nhau -Chéo hóa ma trận: ma trận A chéo hóa được nếu tồn tại ma trận T vuông cấp n sao cho 1

T AT là ma trận chéo

ĐL: Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi A có đủ n vectơ riêng độc lập tuyến

tính, khi và chỉ khi

1

d im

i

k

i





 , trong đó 1, , k là tất cả các giá trị riêng của A

10a)Cách chéo hóa ma trận:

Cho A là ma trận vuông cấp n Để chéo hóa ma trận A, ta làm như sau:

Tìm giá trị riêng và các vectơ riêng độc lập tuyến tính của A Khi đó xảy ra 1 trong 2 khả năng sau:

Trang 10

1-Nếu tổng số vectơ riêng độc lập tuyến tính của A bé hơn n (tức là

1

d im

i

k

i





đó

i

V  là không gian con riêng ứng với giá trị riêng  i) thì kết luận ma trận A không chéo hóa được, tức là không tồn tại ma trận T để T AT 1

là ma trận chéo

2-Nếu tổng số vectơ riêng độc lập tuyến tính của A bằng n (tức

1

d im

i

k

i





trận A chéo hóa được Khi đó ma trận T cần tìm là ma trận mà các cột của nó chính là các vectơ riêng độc lập tuyến tính tuyến tính của A viết theo cột, và khi đó:

1

2 1

0 0

0 0 n

T AT











Là ma trận chéo, trong đó  i chính lá giá trị riêng của A ứng với vectơ riêng là các cột thứ i của ma trận T

11)Vectơ riêng, giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính:

Cho V là KGVT và f V: V là phép biến đổi tuyến tính

Nếu U là KGVT con bất biến của V sao cho f U( )U thì U gọi là không gian con bất biến của V

Giả sử U là không gian con bất biến 1 chiều và  là một vectơ khác 0, thuộc U (do đó  là

cơ sở của U), khi đó vì f U( )U nên f( )  U và f( ) 

ĐN: Cho V là không gian vectơ, f V: V là phép biến đổi tuyến tính của V Nếu ta có

( )

f   trong đó V là vectơ khác 0 và   thì  gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng 

*Cách tìm giá trị riêng, vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính:

Cho V là không fgian vectơ n chiều (dimV=n) và cho f V: V là phép biến đổi tuyến tính Giả sử ( ) :U u1, ,u n là cơ sở của V và AA f/ (U) là ma trận của f trong cơ sở của (U)

Ta có biểu thức tọa độ của f như sau (xem phần 4):

 ( ) .[ ]

(*)



Nếu là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng 0 thì f( ) 0f Thay vào (*) ta có:

0 [ ] [ ]

A

0 (**) ( )

U





Vì vectơ   0 nên hệ phương trình (**) có nghiệm khác 0  det[A0I]  0 0 là giá trị riêng của A

Như vậy, 0 là giá trị riêng của f  0 là giá trị riêng của ma trận AA f/ (U) và V là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng 0 [ ]

( )U



  là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng 0

Quy tắc tìm giá trị riêng và vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính f V: V

B1: Tìm ma trận f trong 1 cơ sở ( ) :U u1, ,u n nào đó của V, nghĩa là tìm A A f/(U)

B2: Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận A

B3: Kết luận

-Các giá trị riêng của A cũng chính là giá trị riêng của f

-Nếu (1, , n) là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng 0 thì a u1 1 a u n n là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng 0