Giới hạn một bên

Hàm số logarit.. Hàm số logarit với cơ số a, biến số x là hàm số có dạng y = logax... Tìm điều kiện để mỗi mệnh đề trên là đúng.. Cách nào đúng cách nào sai?. Nếu cả hai cùng sai thì viế

2) Các tính chất của luỹ thừa với số mũ thực

Cho a > 0, b > 0, a, b, x, t ∈R Ta có các tính chất sau :

ax.at = ax + t x

x t t

 a0 = 1, suy ra đồ thị của hàm số y = ax luôn luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bẳng 1

 Hàm số y = ax đồng biến khi a > 1, tức là nếu

x1 < x2 ⇒ a x1 <a x2

 Hàm số y = ax nghịch biến khi 0 < a < 1, tức là nếu x1 < x2 ⇒ a x1 >a x2

-3 -2 -1 1 2 3

1 2 3

x

Nhận xét : Đồ thị hàm số y = ax và đồ thị hàm số y = a – x đối xứng nhau qua trục tung

1 2 3

x y

B.các dạng bài tập áp dụng lý thuyết

1 Tính các giá trị sau :

2 3 2

x

x

x−   −

=  ữ  ;e) ( ) 13

12 Giải các bất phơng trình sau :

m

n

= ( b > 0, n ≠ 0);

5) aloga b=b ( b > 0); alogb c=clogb a(c > 0 và a > 0);

6) Nếu x1 > 0 vaứ x2 > 0 thì loga(x1.x2) = logax1 + logax2;

Chú ý

a) Nếu x1 vaứ x2 Cùng dấu thì loga(x1.x2) = loga x1 + loga x2 ;

b) Bằng quy nạp ta mở rộng đợc kết quả sau nếu x1 > 0, x2 > 0, …, xn > 0 thỡ loga(x1.x2…xn) =logax1 + logax2 + … + logaxn

a

= (và 0 < a, c ≠ 1 và b > 0 )

Hệ quả:

logab logba = 1 hay logab = 1

logb a

III Hàm số logarit.

1) Định nghĩa : Cho 0 < a ≠ 1 và x > 0 Hàm số logarit với cơ số a, biến số x

là hàm số có dạng y = logax

2) Tính chất : Xét hàm số có dạng y = logax (*) Khi đó :

a) (*) có miền xác định là D = (0; +∞) và có miền giá trị là R;

b) (*) Đồng biến khi a > 1, tức là

∀x1, x2 > 0 và x1 > x2 thì logax1 > logax2;c) (*) Nghịch biến khi 0 < a < 1, tức là

∀x1, x2 > 0 và x1 > x2 thì logax1 < logax2;c) (*) liên tục trên miền xác định D = (0; +∞).

d) Vì logaa = 1 nên đồ thị hàm số (*) luôn luôn đi qua điểm M(a; 1)

-3 -2 -1 1 2 3

x y

+ Tính chất : Vì logarit thập phân của số x > 0 là logarit cơ số 10 nên các công thức của logarit

với cơ số a (0 < a ≠ 1) đều đúng

Chẳng hạn : lg1 = 0, lg10 = 1, lg(x1.x2) = lgx1 + lgx2 (x1 > 0, x2 > 0, y = lgx là hàm đồng biến trênmiền D = (0; +∞)

b) Logarit tự nhiên ( logarit Nêpe)

+ Định nghĩa : Logarit tự nhiên là logarit cơ số e ≈2,71828 Logarit tự nhiên của số x > 0 ký hiệulnx

+ Tính chất : ln1 = 0, lne = 1, y = lnx là hàm đồng biến trên miền xác định D = (0; +∞),…

B câu hỏi và bài tập áp dụng

1 Chứng minh các mệnh đề sau là sai :

a) log3(x1x2) = log3x1 + log3x2;

b) log2 x x1 2 = log 2 x1 + log 2 x2 ;

log (x x ) log = x + log x .

Tìm điều kiện để mỗi mệnh đề trên là đúng

2 Hãy tìm chỗ sai của các phép biến đổi sau và sửa lại cho đúng :

3

27

log 2 log 8 log 2 log 2 + = − + = − 3log 2 3log 2 0 + = (!);

b) log363 = log39.7 = log39 log37 = log332 log37 = 2 log37 (!)

3 Hai cách viết sau :

log a = 2log a;

b) log23a2= 2log23 a .

Cách nào đúng cách nào sai? Nếu cả hai cùng sai thì viết lại cho đúng ?

4 Hãy chứng tỏ mệnh đề sau là sai: logabc = logac.logbc

với a, b, c > 0 vaứ a, b ≠ 1

5 Tính

3 log 81;

d) 3

9

1 16

2 log

2 5 3 3 loga a a

2

4 8 1 7

8 Đơn giản các biểu thức sau :

log (3 ) logx − x vụựi x > 0;

b) B = log2(ab) + log4(a2) + log4(b2), với ab > 0

Tính bất đẳng thức của logarit và dấu log a b.

a) Tính bất đẳng thức của logarit xem tính chất của logarit ;

b) Dấu của số logab

 NÕu c¶ hai sè a vµ b cïng lín h¬n 1 hay cïng nhá h¬n 1 lín h¬n 0 th× logab > 0

 NÕu mét trong hai sè a hoÆc b lín h¬n 1 Vµ sè cßn l¹i lín h¬n 0 vµ nhá h¬n 1 th× logab < 0

a) log308 theo a = log305 vËy b = log303; §¸p sè : log308 = 3(1 − −a b).

b) log530 qua a = log320 vËy b = lg3; §¸p sè : log530 = 1

2

b ab

VÝ dô më ®Çu : t×m x biÕt 2x = 32 (1)

; 4) 32x x+−57 = 0,25.128x x+−173 ;5) 2 3 5x+ 3 x− 2 x+ 1 = 4000; 6) 3x− 1 = 6 2 3x −x x+ 1;7) 2x+ 1 + 2x− 1 + 2x− 2 = 3x − 3x− 1 + 3x− 2;

8) 2x+ 2x− 1 + 2x− 2 = 7x + 7x− 1 + 7x− 2;

9) 2x− 3 = 5x2 − + 5 6x ; 10) 3x− 3 = 5x2 − + 7 12x ;11) 5 2x 2 1x x+−1 = 50; 12) 3 8x x+x1 = 36

⇔ lg(x + 3) = 4 – x (1’)

DÔ thÊy x = 4 lµ nghiÖm cña (1’)

V× y = lg(x + 3) + x – 4 t¨ng nªn x = 4 lµ nghiÖm duy nhÊt

g(x) 0f(x) g(x)

Bµi 4 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

1) (HK II, 2000) log3(2x – 3) + log3(x + 6) = log3(x – 2) + 3;

2) log2(x – 4) + log2(x + 3) = log2(5x + 4);

log2(x2 + 3x + 2) + log2(x2 + 7x + 12) = 3 + log23;

9) (§H HuÕ, 1999) log2(x+ 1)2 + log2 x 2 + 2x 1 + = 9;

10) (Häc viÖn Kü thuËt Qu©n sù, 2000)

log2(x2 + x + 1) + log2(x2 – x + 1) = log2(x4 + x2 + 1) + log2(x4 – x2 + 1)11) (§HSP Vinh, khèi D, G, M, 2000)

(x – 1)log53 + log5(3x +1 + 3) = log5(11.3x – 9)

§¸p sè:

Bµi 5 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

1) log3x + log9x + log27x = 11

2 ;2) log2x + log4x + log1/2x2 = 1

16;3) log3x log9x log27x log81x = 2

3;4) log4(log2x) + log2(log4x) = 2;

§¸p sè:

1) x = 27; 2) x = 1

x 9, 1

3/ Dùng tính chất đơn điệu của hàm số:

Khi x < – 3, ta cã:

1

112

1

x x





+ NÕu a > 1 th× logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) > g( x)

+ NÕu 0 < a < 1 th× logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) < g( x)

1 (x) f(x) g(x)

VÝ dô: Gi¶i log2 1 log (x0,5 2 6x 8)

Hay: – t > 1 5

t 2− ⇔

2

2t 5t 2 02t

3/ Dùng tính chất đơn điệu của hàm số:

Ví dụ: Giải và biện luận theo tham số a phơng trình sau: loga(26 – x2) ≥ 2loga(4 – x) (3)Giải: Đ/k:

ĐS: − 26 x< < −1 khi 0, a < 1 và– 1 ≤ x ≤ 5 khi a>1

III/ Bài tập 1 : Giải các bất phơng trình sau:

VËy nghiÖm: log973 < x ≤ 2

Bµi 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña hµm sè:

Bµi 7: Gi¶i hÖ:

x x 1 x