vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
Trang 1ầ n 2 T ự lu ậ n (5 đ i ể m)
Câu 1 (1,5 điểm) Giải các bất phương trình
a) 2x2+5x+ ≤ +2 x 2 b)
2 2
7 6 0
x x
− +
Câu 2 (1,5 điểm) Cho f x( ) =mx2−2mx+4m−3
a) Tìm m để f x( ) =0 có hai nghiệm phân biệt âm
b) Tìm m để f x( ) ≤ ∀ ∈0, x ¡
c) Tìm m> 0 để f x( ) ≥ ∀ ∈0, x (3;+∞)
Câu 3 (1 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB x: −2y− =1 0,BD x: −7y+14 0= Đường chéo AC đi qua M( )2;1
a) Viết phương trình đường tròn tâm B và đi qua M
b) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
Câu 4 (0,5 điểm) Cho tam giác ABC biết sin sin sin cot cot
sin sin sin 2 2
+ − Hỏi tam giác ABC
là tam giác gì đặc biệt?
Câu 5 (0,5 điểm) Trong một cuộc thi pha chế mỗi đội chơi được dùng tối đa 24g hương liệu, 9
lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu, pha chế 1 lít nước táo cần 20g đường, 1 lít nước và 4g
hương liệu Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, Mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất
Đáp án chi tiết
Câu 1
a) 2x2+5x+ ≤ +2 x 2
Tập xác định: ( 1
2
= −∞ − ∪ − +∞ ÷
Trang 2( ) ( )
2 0
2;1
1 0
x
x
KL: { } 1
2
S = − ∪ −
b) 22 7 6
0
x x
− +
Nhận thấy mẫu luôn dương
6
x
x
≤
KL: S = −∞( ;1 ∪ 6;+∞)
Câu 2 Cho f x( ) =mx2−2mx+4m−3
a) Tìm m để f x( ) =0 có hai nghiệm phân biệt âm
( ) 0 2 2 4 3 0 *( )
f x = ⇔mx − mx+ m− =
(*) có hai nghiệm âm phân biệt
0
4
m
m
m
≠
⇔ < ⇔ − ⇔
< < <
0;
4
m
∈ ÷
b) Tìm m để f x( ) ≤ ∀ ∈0, x ¡
( ) 0, 2 2 4 3 0, * *( )
f x ≤ ∀ ∈ ⇔x ¡ mx − mx+ m− ≤ ∀ ∈x ¡
TH: m= ⇒0 f x( ) ≤ ⇔ − ≤0 3 0,(TRUE) Vậy m= 0 thỏa mãn
0 0
m m
m
KL: m≤0
c) Tìm m>0 để f x( ) ≥ ∀ ∈0, x (3;+∞)
f x ≥ ∀ ∈x +∞ ⇔mx − mx+ m− ≥ ∀ ∈x +∞
Trang 3Có ∆ =' 3m(1−m)
1
m
m
≤
Mà m> ⇒0 f x( ) ≥ ∀ ∈ ⇒0, x ¡ f x( ) ≥ ∀ ∈0, x (3;+∞)
1
m
⇒ ≥ thỏa mãn
TH: ∆ > ⇔' 0 3 1m( −m) > ⇔ <0 0 m<1⇒ f x( ) có hai nghiệm phân biệt x1<x2
Ta có bảng xét dấu:
x −∞ x 1 x 2 +∞
f(x) + 0 - 0 +
Để f x( ) ≥ ∀ ∈0, x (3;+∞ ⇔) x1<x2 ≤3
4 3
m
m
7
3;1
7
m
KL: 3
7
m≥
Câu 3 Cho hình chữ nhật ABCD có AB x: −2y− =1 0,BD x: −7y+14 0= Đường chéo AC đi qua M( )2;1
a) Viết phương trình đường tròn tâm B và đi qua M.
Có B( )7;3 ⇒BMuuuur= − − ⇒( 5; 2) BM = 29=R
b) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
Gọi VTPT của AB, BD lần lượt là nuur1 =( )1; 2 ,− nuur2 =( )1; 7−
Gọi VTPT của đường thẳng AC là ( ) ( 2 2 )
nuur= a b a +b >
Có ( ) ( ) ( )1 2
3 cos , cos , cos ,
10
AB AC = AB BD = n nuur uur =
Trang 4( ) 1 3 ( )
1 3
cos ,
n n
−
+
uur uur uur uur
1 7
a b
a ab b
a b
= −
= −
TH: a 1
b = − chọn a =1;b= −1⇒AC x y: − − =1 0
( )1;0 , 7 5; , ( ) ( )6;5 , 0;2
2 2
TH: 1
7
a
b = − chọn a =1;b= −7⇒AC x: −7y+ =5 0 (loại vì //BD)
Câu 4 Cho tam giác ABC biết sin sin sin cot cot
sin sin sin 2 2
+ − Hỏi tam giác ABC là tam giác
gì đặc biệt?
Có
sin sin sin
sin sin sin
VT
π π
2cos cos 2sin cos cos sin cos sin
A B
A B
π π
cot cot
− + +
Mà theo giả thiết cot cot cot cot cot cot
VT = ⇒ = ⇒ ∠ = ∠B C Vậy tam giác ABC cân tại A