Đề thi và đáp án chi tiết học sinh giỏi môn toán lớp 12
Trang 1đề thi hsg môn toán 12 (thời gian :180 phút)
Câu 1 (2.0đ) Tính tổng sau Sn = tg x tg x n tg x n
2 2
1
2 2
1 2 2
1
2
Câu 2 (2.0 đ) Tính tích phân sau
2
0 2cos2 2sin2
sin
dx x b
x a
xcox (Với a0;b0)
Câu 3 (2.0 đ) Cho hệ phơng trình
x y x
m my x
2 2
1/ Biện luận số nghiệm của hệ phơng trình theo m
2/ Khi hệ có hai nghiệm (x1;y1);(x2;y2) tìm m để S = (x2-x1)2+(y2-y1)2 đạt giá trị lớn nhất
Câu 4 (2.0 đ) Giải phơng trình 3 ( 2 2 1 1 ) ( 1 3 8 2 2 1
x
Câu 5 (2.0đ ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phơng trình sau đây có
nghiệm
2 sin2x 3 cos2x m3 sin2x
Câu 6 (2.0 đ ) Tìm giới hạn sau
3
2 ( 1 sin )( 1 sin )( 1 sin )
sin 1
x x
x
x Lim
L
p n
m
p n m
(với m ,n ,p là ba số nguyên dơng cho trớc )
Câu7 (2.0đ) Giải và biện luận theo tham số m hệ bất phơng trình sau
m x
x
x
2 sin sin 1
2 2
3 cos 5 1 log
4 4
cos
Câu 8 ( 2.0 đ ) Cho tứ diện OABC có OA ,OB ,OC đôi một vuông góc với nhau Vẽ
đờng cao OH của tứ diện
Đặt
A AOH CAB B ABC BOH C BCA COH
;
;
Chứng minh rằng
C B
sin 2
sin
sin 2
sin
Câu 9 (4.0đ ) Cho hình chóp tam giác SABC Biết rằng tồn tại hình cầu tâm O, bán
kính R ( O nằm trên đờng cao hình chóp) tiếp xúc với cả 6 cạnh hình chóp
1/ Chứng minh rằng SABC là hình chóp đều
2/ Cho SC =R 3 Tính chiều cao hình chóp
Trang 2
đáp án
(đề thi hsg môn toán 12)
Câu 1 Ap dụng : co x n tg x n
u
u u
2 2
1 ) 2 cos (ln
/ /
2 cos
2 cos 2
có
x x
x x x
n
n n
n n
2
1 2 sin
1
2 cos
2 cos 2
cos 2 sin 2 sin
1
n n
x g gx
x x
S
2 cot 2
1 cot
sin 2
1 2 sin
1 ln
/
Câu 2
Đặt I là tích phân đã cho.Xét 2 trờng hợp sau:
:
b a
TH
a x xd a
I b
a
TH
:
2
1 ) (sin sin 1 :
2
2 0 1
Với
t b a t b a
dt a b
I
xdx x
a b dx x x b x x a dt
x b x a
t
b a b
2
1
cos sin ) (
2 cos
sin 2 sin cos 2 sin
cos
/ 22 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2
Kl : I a b
Câu 3
2 4
) 2 (
1 0
.
2
x
m y m x
Nhận xét : (1) là pt dờng thẳng Dm: x+(y-1).m =0 đi qua điểm cố định A(0;1)
(2) là pt đờng tròn ( C) có tâm I(1/2;0), bán kính R=1/2
do đó số nghiệm của pt chính là số giao điểm của Dmvà (C)
Tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A chính là OA, (x=0) và dờng thẳng AB
3
4 1
2 2
.
_ 2
_
_
_
tg
tg OA tg
OA OB OAI
Mặt khác ,OB _ là hoành độ giao điểm của Dm và Ox nên OB _ =m
Biện luận
./ m=0 hoặc m=4/3 ,hpt có nghiệm duy nhất
./ o<m<4/3 ,hpt có hai nghiệm phân biệt
./ m<0 hoặc m>4/3, hpt vô nghiệm
2/ S =M1M2 do đó diện tích S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M1M2 đi qua I
2
1 2
1
_
Câu 4
t thay vào pt đợc t =x/3 hoặc t= 1-3x
Giải ra đợc x=0
KL : Pt có nghiệm x = 0
Câu 5
) 1 ( 3
3
2 3
3
2 2
2
sin sin
cos
x x
x
x
Trang 3Xét hàm số 3 , ( )
3
2 cos 2 sin 2 sin
R x
x
Vì
3 3
1 2 cos sin
cos
1 3
2 0
sin
2 2 2
sin cos 2
2
sin 2
x
x
x x
x
x x
do đó f x 4 xR Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = k ( k Z)
Kết luận :Bpt có nghiệm với m 4
Câu 6
Đặt y= sin x ( khi 1 )
2
1 2
1 3
1 ) 1 ( 1
1 1
1
p n
m
p n m y
p n
m
p n m
y y
y y Lim
y y
y
y Lim
L
3
1 2
1
.
.
1
1 )
1
(
1
p
n
m
p
n
m
y y
y y
y y
y y
y Lim
p n
m
p n m y
Câu 7
0 2 sin
0 3 cos 5
x
x
2 2 4
2
2 2
3 cos 5 1
Log x
Log
) ( 3 6 0
3 cos 0 3 cos 2
1 2
3
cos
5
Z k k x
x x
x
Do đ/k (1) chỉ cần xét
2 6 5
2 6
k x
k x
Xét bất pt thứ hai của hệ, đặt
x
x
f x
2 sin
sin
1
do f x có chu kỳ2 nên ta chỉ cần tính
3
3
; 3
; 3
3
;
3
6 5 6
5 6
2
f f
f
f
Kl :
2 6
5
; 2 6 3
/
2 6
5
; 2 6
3 3
3
/
.
2 6
; 2 6
5 3
3 3
3
/
.
2 6
5 3
3 3
/
.
3
/
.
k x
k x
m
k x
k x
m
k x
k x
m
k x
m
x m
Câu 8
Trang 4Dễ thấy H là trực tâm ABC và ABC là tam giác nhọn,AH kéo dài cắt BC tại
A1,do đó AA1 BC Vì OA(OBC) nên theo đ/l ba đờng vuông góc ,có OA1 BC Ta
có sin 2 1
2 2
OA
AH
Xét tam giác vuông OAA1 đỉnh O, có OA2= AH AA1, từ (1) có
1
2
sin
AA
AH
Vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,gọi I là tâm của nó ,gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó H, G, I thẳng hàng (đờng thẳng Ơle) và HG =2 IG suy ra AH = 2 IM và Â=
2
.
2
2 2
2 cos sin 2 2
R
AH BC IB
AH IB
BC IB
IM IB
BM A
A A
BIM
( với R là bán kính đờng tròn ngọài tiếp tam giác ABC)
Từ (1) và (2) ta có :
ABC
S
R AA
BC
R
2 1
2 2
.
2 2
sin sin
C/m tơng tự cũng có
ABC
S
R C
2 2
2
2 sin
sin 2
sin
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Câu 9
Gọi M,N, P là các tiếp điểm của hình cầu với các cạnh AB, BC , CA.Gọi SH là đờng cao hình chóp ,O là tâm hình cầu đã cho, khi đó O thuộc SH.Theo định lý ba đờng vuông góc , có
HMAB(vì OM AB,do hình cầu tiếp xúc AB tại M) Tơng tự HNBC, HPAC Vì OM
=ON =OP =R nên HM =HN =HP do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC
Gọi K, E là tiếp điểm hình càu Với SA và SC Ta có SK SE (hai tiếp tuyến cùng xuất phát
từ một điểm),do đó KSO=SOE KSO OSE SAH SCH SASC
Lập luận tơng tự đợc SA=SB hay SA=SB=SC do đó H là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,suy ra tam giác ABC đều,vậy hình chóp SABC đều
2/
AS
AH R
R OS
OK
3
3 3
Đặt SH=h ;HN=x do đó AH =x
Xét tam giác vuông SAH, có : SA2=SH2+ AH2 nên h2= 8 x2 từ đó
R2= h2 –2.h R 3 3R 2 x2 1
Thay h2 =8.x2 vào (1) đợc : 9.h2 –16 3 h.R 16 R2 0 2
Từ (2)
3
3
h
9
3
h (loại, vì h=SH >SO
9
3 4 3
Vậy SH=
3
3
Hớng dẫn chấm môn toán 12
Câu 1 (2,0đ)
./ HS biết sử dụng công thức (lnu)/=u’/u (1,0 đ)
/ Viết đợc Pn= x
x n n
sin 2
1 2 sin
1
(0,5đ)
/ Kl :S n gx n g x n
2 cot 2
1 cot
(0,5 đ)
Câu 2 ( 2,0 đ)
Trang 5Th1 : I a
2
1
(0.5 đ)
Th 2 : Đặt
b a I
x x a
b dt x b
x a
t
1
cos sin ).
.(
2 sin
cos
2
(1.5 đ)
Câu 3 (2,0 đ)
1/
/ Nhận xét đợc số nghiệm của pt là số giao điểm của Dm và (C) (1.0 đ)
/ Kl đúng (0.5 đ)
2 / m = 1 / 2 (0.5 đ)
Câu 4 (2.0 đ)
/ Đặt t=
x t
x t x
3 1 3 1
2 2 (1.0 đ)
/ Giải đợc x = 0 (1.0 đ)
Câu 5 (2.0 đ)
/ Đa đợc f x x m
x
2
sin cos sin
3 3
2 (1.0 đ)
3
2
sin cos sin
x
(0.5 đ) / Kl : m 4 (0.5 đ)
Câu 6 (2.0 đ)
/ Đặt y = sinx ; 1 )
2 (x y (0.5 đ) / l = 3
( )
1 y y m n p
Lim
(1.0 đ) / Kl : (0.5 đ)
Câu 7 (2.0 đ)
/ đ / k (0.5 đ)
/ Bpt (1 )
3
6
k
(0.5 đ)
/ Từ đ / k
2 6 5
2 6
k x
k x
(0.5 đ)
/ Kl đúng (0.5 đ)
Câu 8 ( 4,0 đ)
Câu 9 (2.0 đ)
/ Nx : OSH ( 0,5 đ ) / H là tâm đờng tròn nội tiếp ( 0.5 đ) / H là tâm đờng tròn ngoại tiếp (0,5 đ) / Kl (0,5 đ)