Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm Câu 4.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có chiều dài AB gấp hai lần chiều rộng và diện tích của nó bằng 4a.. Gọi H là
Trang 1ầ n 2 T ự lu ậ n
Câu 1 (1 điểm) Tính các giới hạn
a) lim 2 1
n
+ −
lim
2
x
x
→
−
Câu 2 (1 điểm) Tìm m để hàm số ( )
2
2
1
≠ −
liên tục trên ¡
Câu 3 (1 điểm) Cho phương trình ab x a x b( − ) ( − +) bc x b x c( − ) ( − ) +ca x c x a( − ) ( − ) =0 Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm
Câu 4 (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có chiều dài AB gấp hai lần chiều rộng và diện tích của nó bằng 4a Gọi H là trung điểm của AB, 2 SH =2 3a và SH vuông góc đáy
a) Xác định và tính góc giữa SC và (ABCD)
b) Xác định và tính góc giữa SA và CH
c) Chứng minh (SHC) (⊥ SHD)
d) Tính khoảng cách giữa HD và SC
Đáp án chi ti ế t
Câu 1.
n
n
Câu 2. ( )
2
2
1
≠ −
Trang 2Lại có f ( )− =1 3 1 2 2m( )− − m( )−1 −10= 3m(2 2+ m) −10= 6m2+6m−10,(m≤ − ∨1 m≥0)
Để hàm số liên tục trên tập số thực khi và chỉ khi hàm số liên tục tại điểm x= −1
3
m
m
=
(thỏa mãn)
Câu 3. Không mất tính tổng quát ta giả sử a b c≥ ≥
Đặt f x( ) =ab x a x b( − ) ( − +) bc x b x c( − ) ( − ) +ca x c x a( − ) ( − )
Là hàm số liên tục trên tập số thực
Có
2 2 2
f a bc a b a c
f b ac b c b a f a f b f c a b c a b b c c a
f c ab c a c b
TH: f a f b f c( ) ( ) ( ) = 0 thì hoặc a hoặc b hoặc c là nghiệm phương trình (thỏa mãn)
TH: f a f b f c( ) ( ) ( ) <0 thì trong 3 số f a f b f c phải có 1 hoặc 3 số âm( ) ( ) ( ), ,
+) Nếu có 1 số âm, ta giả sử
( ) ( )
0
0
f a
f b f a f b
f c
<
>
Vậy phương trình có nghiệm thuộc ( )b a;
+) Nếu cả 3 số âm Ta xét f( )0 =a b2 2+b c2 2+c a2 2 ≥ 0
- Với f( )0 = 0 thì 0 là nghiệm phương trình
- Với ff( )0 > ⇒0 ( ) ( )0 f a <0 thì phương trình sẽ có nghiệm thuộc khoảng ( )0;a hoặc ( )a;0
Câu 4
Trang 3a) Dễ dàng tính được AB =2AD =2 2,a HC =HD =2 ,a SC =SD =4 ,a SA SB= =a 14
Có ∠(SC ABCD,( ) ) = ∠(SC HC, ) = ∠SCH
2
SH a
b) Lấy I là trung điểm SB suy ra SA//HI Vậy ∠(SA HC, ) = ∠(HI HC, )
,
HI = SA = CI = + − = ⇒CI =
Xét tam giác HIC có
cos
HI HC IC IHC
HI HC
14
c) Có HC =HD =2 ,a CD =AB =2 2a Kiểm tra Pytago đảo thấy tam giác CHD vuông tại H Vậy có HD HC HD (SHC) (SHD) (SHC)
HD SH
d) Theo ý c) ta có HD ⊥(SHC) ⇒HD ⊥SC
Kẻ HK vuông góc SC tại K vậy ta có ,( ( ) )
HK SC
HK HD HD SHC
Xét tam giác SHC vuông tại H có HK là đường cao có: HK SC SH HC HK SH HC. a 3
SC
(HD SC, ) 3