đề thi HSG toán lớp 11

(1) ĐK: (2x + 1)(y + 1) 0 Mà x > 0 (1) Thay vào (2): (3) Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến trên R (3) NX: x >1 không là nghiệm của phương trình Xét 01: Đặt x = cos với Ta có: (k) Do Vậy hệ có nghiệm 1đ 1đ 1đ 1đ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

NĂM HỌC 2013 - 2014

ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11

Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)

b) Chứng minh

Câu 3 (4 điểm): Gọi là ba đường phân

giác trong của tam giác vuông ở Đoạn thẳng cắt tại Đường thẳng qua song song với cắt lần

lim an

1 2

n

n n

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN HỌC LỚP 11

Thay vào (2): (3) Hàm số f(t) = t 3 + t đồng biến trên R

b) Chứng minh

(Hải Phòng)

a) Bằng phương pháp chứng minh 1,0

3 3

+ >



 ⇔ ( 2 x + − 1 y + 1 )( ⇔ 2 x 2 + + x ⇔ = 1 2 + − 1 y y 2 y x + = + = 1 1 0 ) 03

2

π α

≤ < 1 cos3

2

π α

≤ ≤

9

π α

lim an

1 2

n

n n

3

1 ≤ ≤ an 2 ∀ n

ĐỀ SỐ 1

Vậy =.

1,0 b) Nhận xét: thì

Dẫn đến

(1) Như vậy bất đẳng thức đúng với

Trường hợp , chú ý , kết hợp với (1)

thu được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

1,0

Câu 3 (4 điểm): Gọi là ba đường phân

giác trong của tam giác vuông ở Đoạn thẳng cắt tại Đường thẳng qua song song với cắt lần

lim lim

k k

Dùng tính chất đường phân giác tính được

−

++

f x y+ = − − −f x y = − f − +x f −y = − −f x − f y = f x + f y

( ) ( )* , ** ,(***)( ) ( ) ( ), ,

f x y+ = f x + f y ∀x y∈¡

( ) ( 2)1

f x+( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Nếu có một số chia hết cho 100 thì số đó bằng 100 vì số đó bé hơn 200. 1,0

Nếu không có số nào chia hết cho 100 thì trong 100 số phải có hai số đồng dư

trong phép chia cho 100 (vì các số dư nhận giá trị từ 1 đến 99) suy ra hiệu của

chúng chia hết cho 100 và hiệu hai số đó chính là tổng cần tìm

số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.

có ba nghiệm thực phân biệt Hãy tìm 3 nghiệm đó.

2 Cho dãy số được xác định bởi: , với mọi

Chứng minh rằng dãy số xác định như trên là một dãy số bị chặn.

Câu 4 (3,0 điểm).

1 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng , các cạnh bên bằng nhau và bằng () Hãy xá c định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo

2 Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC) Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng đường thẳng SB vuông góc với đường thẳng SC, biết rằng

3 Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện và một điểm X thay đổi trong không gian Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng đạt giá trị nhỏ nhất.

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

2 2

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……….

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

———————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT KHÔNG CHUYÊN

NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

———————————

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

khi và chỉ khi chia hết

cho 7 Đặt là số nguyên khi và chỉ khi

Xét đẳng thức 0,5 +) Ta có suy ra hệ số của số

Trở lại bài toán, từ công

thức truy hồi ta được:

M S

I =AC∩BD

SA SB SC SD= = =

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Dễ thấy mọi điểm nằm trên đường thẳng SI cách đều các đỉnh A, B, C, D

Trong tam giác SIC, dựng

trung trực của cạnh SC cắt đường thẳng SI tại O suy ra 0,25

Trong tam giác vuông SAK ta có ,

Trong tam giác vuông SDC ta có

AN =BN

MN ⊥ AB

MN⊥CD

GA GB GC GD= = =

PQ vuông góc với cả hai đường thẳng BC, AD Từ đó suy

Dấu bằng xảy ra khi

và chỉ khi X trùng

với điểm G Vậy nhỏ

nhất khi và chỉ khi X là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu III (2,0 điểm)

1) Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n, số chia hết cho nhưng không chia hết cho

2) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).

b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.

2) Cho hình chóp S.ABCD có

đáy ABCD là hình bình hành và

M là trung điểm của SC Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB,

SD tại các điểm B', D' khác S Chứng minh rằng:

Câu V (1,0 điểm)

Khảo sát tính chẵn - lẻ, tính

tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

HẾT

-Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .

Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

CÂU NỘI DUNG ĐÁP ÁN ĐIỂM

0,25

Câu II

1) Cho a, b, c là ba hằng số và là dãy số được xác định bởi công thức:

Chứng minh rằng khi và chỉ khi 2) Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập

thành một cấp số nhân có tổng bằng 26 Tìm các số đó, biết rằng: nếu một cấp số cộng có

Ngược lại nếu thì khi ta có

0,50

II.2

(1,00

Gọi là ba số theo thứ tự lập thành

một cấp số nhân có công bội q;

(v n ) là cấp số cộng có công sai d với Khi đó ta có:

x

x k x

40

u v

2 cos 0 2

x y

2) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu

nhiên một số Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác

⇒ A k+1 chia hết cho 3 k+2 , nhưng không chia hết cho 3 k+3 Kết luận: 0,25

Ý.2

(1,0đ)

Ta có:

0,25 Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có:

Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là Chọn 2 chữ số

còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau đây:

TH1 Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1

trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi

hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n;

nhưng cứ 3! hoán vị của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên

trong TH1 này có cả thảy số tự nhiên.

TH2 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1

trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia

bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số

(chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a,

a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n,

Vậy:

0,25 Kết luận:

0,25

(ad ≠0)

2

21

d a q

C5!

Câu IV

1) Cho hình hộp Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).

b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các

Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N

Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=AC∩BD) cắt B’D’ tại F.

Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại R,

Q

Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S

Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P 0,50

IV.1.b

(1,25

đ)

Do các mặt đối diên của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diên

MNPQRS song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’.

⇒ Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng

⇒ ⇒ MJ=NK và PK=QI

⇒ Các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S 1 và gọi diện tích các tam giác JKI,

AB =

0< <k 1

2 1

Vậy, f chẵn (f không lẻ vì nó

k =

12

Bài 1: a) Cho Chứng minh:

cho đường tròn ( C) co phương

trình :.Tìm ảnh của ( C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ =(-2;5)

=

Bài 2: a) Pt có nghiệm

b)b)

Bài 3: a)

giải phương

trình này ta được nghiệm

b)Đặt y = 12cosx +5

sinx + 14 ,ta có phương

trình giải phương trình này ta được y =1vày =5 Do đó :

Giải (1) và (2) ta được :;

với và

c)ĐK: ;

Bài 4: x= 1 là nghiệm của

phương trình đã cho khi và

chỉ khi ta có đẳng thức

hay Đẳng thức xảy ra khi và chỉ

khi

Bài 5: a) Lấy M(0;1) thuộc d Khi

đó Vì d’ song song với d nên d’

có phương trình dạng : 2x-3y + C = 0 .Thay toạ độ M’vào pt d’ ta được C =10 Vậy

a

tan2

2

2

23

(sin x2+cos )2x 2−2sin4xcos4x

(1 2sin− xcos )x −2sin xcos x

1 4sin− xcos x+2sin xcos2x

1 cos 4 1 1 cos 41

2

cos

1 6 3sin 2sin 2 sin cos

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

đường cao và Tính diện tích tam giác ABC.

b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn Tính các góc của tam giác đó khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4 Cho hình chóp SABC có và

tam giác ABC vuông tại B

Biết và góc giữa hai mặt phẳng

(SAB), (SAC) bằng với Tính độ dài SC theo a.

Câu 5 Cho dãy số

thỏa mãn:

Tìm

HẾT

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay,

- Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT

n n n

2 1 1 2.3 1 3.4 1 2012.2013lim

11 0

Dấu bằng trong (4) xảy ra khi

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi

0,5 0,5

4) Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB.

Ta chứng minh được

1,0

( 1) ( 2)

n S

a

Đặt Trong tam giác vuông SAC ta có

Tương tự, trong tam

Môn thi: Toán

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013)

SỐ BÁO DANH:……… Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1:(3.0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

b) Giải phương trình:

CHK

∠

=α

0

>

=x SC

.3

31

11

2 2

2 2 2

2 2

x a CH

CS CA

2

2

2 2

2 2 2

x a

x a CK

sin

CK CH

y a

2 2

2 2

n

n n a

2

10 1

x x

Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng () Biết MD =

x Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.

Câu 4:(2.0 điểm) Cho

phương trình:

a) Với , chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

b) Với , giả sử phương trình

2013

1 ( 1)2013

n n

(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)

yªu cÇu chung

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải

lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những

b-ước giải sau có liên quan Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành

phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của

từng bài.

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.

0,25 0,75

0,25

0,25

b)

1,5 điểm

4sin sin 3 6 2sin 3 4(1 sin sin 3 ) 2(1 sin 3 ) 0

4 sin (1 sin 3 ) cos 2(1 sin 3 ) 0 4(sin cos 3 cos ) 2(1 sin 3 ) 0 sin 3 1

0,25 0,25 0,25

0,25

0,5

0,25

0,25 0,25

u − =u

12013

u −u =

1

12013

2012

n

n n u

1 1 1 2014 20132013

2012

n n

n n

P

K

Q

J

0,25

a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a.

Kẻ DT//AC (T thuộc BC) Suy

ra CT=AD=a và DT vuông góc SD

Ta có: DT=AC=

Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a,

Xét tam giác vuông SDT có DT=,

b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC lần lượt tại N,P.

Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC lần

lượt tại K, J, Q Thiết diện là ngũ giác NPQKJ.

0,25

0,25

0,5

0,25 0,25

x= a

0,5 0,25

b) d=1: Gọi là nghiệm của phương trình ()

2 Tính giới hạn sau:

Câu 2 (2,0 điểm).

Cho các số thực dương thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất có thể được của biểu thức

Câu 3 (2,0 điểm).

Tìm tất cả các số nguyên dương n và số nguyên tố p thỏa mãn đồng thời các điều kiện và chia hết cho

1 Chứng minh rằng Q luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

2 Gọi lần lượt là điểm đối xứng với qua các đường thẳng Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên một đường thẳng cố định.

Câu 5 (1,0 điểm).

Ta gọi mỗi bộ ba số nguyên dương là một bộ đẹp nếu ước chung lớn nhất của bằng và Ví dụ, bộ là đẹp, nhưng không phải là đẹp Tìm tất cả các bộ đẹp với mọi (nếu có).

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……….

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

———————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

———————————

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

Câu Ý Nội dung trình bày Điể

(2) dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

(3) dấu “=” xảy ra khi và chỉ

(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 2

x y x y z

y z x z

1 tan

αα

α

=

−

tan 2tan 4tan 8

y z x

ααα

Do là số lẻ và là bội của nên n là số

Do mỗi số hạng của đều chia hết

cho p nên Bởi vậy

Từ đó suy ra (2)

Gọi I và J theo thứ tự là hình

chiếu của Q trên các đường thẳng

BM và CN Khi đó, do (2) nên (do

không chia hết cho 4 và 9 Do đó bằng 3 hoặc 6.

Bằng việc kiểm tra trực tiếp, thu được và là đẹp với mọi

Câu 1 (2 điểm)

1) Giải phơng trình:

2) Tìm m để hệ: có

nghiệm.

Câu 3 (2 điểm)

Cho các số: 1, 2, 3, 4 1) Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số1

2) Tính tổng các số lập đợc ở câu 1).

Câu 4 (3 điểm)

1) Lập phơng trình ờng tròn (C) qua

đ-điểm A(-1; -2) và tiếp xúc với đờng thẳng d : tại điểm M(1; 2).

2) Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C ’ ’ ’ Trên tia đối của tia AB lấy

điểm M sao cho AM = AB Gọi E là trung điểm của CA.

a) Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (MEB’)

b) Gọi D = BC (MEB’), K = AA’ (MEB’) Tính tỷ số và

+) Tìm đợc tan x = 1 hoặc tanx = 0

+) GiảI đúng và loại nghiệm

0,25 0,25 0,5

∩

CD CB'

AK AA

đúng ĐS:

2(1,0 đ) +) Đa PT về dạng:

(1) +) Đặt t = cos4 x với t(-1; 0)

ra BPT Chỉ ra nghiệm +) Kết luận: BPT có nghiệm

0,25

0,25

0,25

0,25 2(1,0 đ) +) Đặt

+) Đa về hệ:

+) Điều kiện để hệ (**) có nghiệm

Ta xét hệ có nghiệm hay ko Biến đổi hệ (**) trở thành:

+) Xét hệ (I): u=v ta

đ-ợc 2 v2+ v+2-m=0 có

với PT luôn có nghiệm

hệ có nghiệm u=v=v0 suy ra hệ ban đầu có x=y=vo2+1 +) Xét hệ (II): ………

0,25

0,25

0,25

22cos 4 x − cos 4 x = 2 m + 1

( ; )

8 4

x ∈ ⇒ ∈ π π

1 ( ;1) 2

m ∈ −

2 2

2

x ≤ (1 x )(1 2 ) x (1 x )(3 x ) 1 x

1 2

x ≤ 1 1 2

x x

2

m ≥2

m

P = v0m ≥ ⇒ − ≥ 0 2 ≤

1(1,0 đ) +) Mỗi số có 5 chữ số gồm 2

số 1 và 3 số khác là hoán vị 5 phần tử 1,1,2,3,4 do 2 số 1 khi hoán vị vẫn đợc 1 số vậy các số cần lập là

1,0 2(1,0 đ) +) Số có 5 chữ số có dạng

Mỗi số a có 4! cách chọn -> Mỗi số xuất hiện 4! lần

Tơng tự Vậy

+) (C) tiếp xúc với d khi và chỉ khi IM=R IM2=R2 R2=50t2+) (C) có dạng ( x-1-7t)2+( y-2+t)2=50t2

+) A (C) t=-1 Vậy (C): ( x+6)2+ ( y-3)2=50

0,25

0,25 0,25 0,25 2(2,0 đ) a,(0,75)

+) Xác định đợc điểm D và suy ra đợc 2 đoạn giao tuyến DE và DD’

+) Xác định đợc điểm K; suy ra đợc đoạn gioa tuyến EK và KB’

+) Kết luận đợc thiết diện là tứ giác DEKB’

b,(1,25) +) Xét tam giác MBB’ có

+) Trong (ABC)

Dựng EN // AB (NBC), khi đó EN=

+) Xét tam giác DBM có:

Suy ra D là trung

điểm CN Vậy

0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5

Tìm Max y:

(1)

5 260

∆ 1 7 2