khóa luận tốt nghiệp toán học

“Sử dụng thao tác tư duy Phân tích Tổng hợp để tìm ra lời giải cho bài toán khoảng cách trong hình học không gian”. Trong môn Toán ở trường phổ thông, phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí vô cùng quan trọng. Ngoài việc cung cấp các kiến thức, kỹ năng giải toán; hình học không gian còn góp phần rèn luyện cho học sinh những đức tính mới: cẩn thận, chính xác, sáng tạo và óc thẩm mỹ cao.

LỜI CẢM ƠN

Được sự phân công của khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng, và

sự đồng ý của giáo viên hướng dẫn cho phép tôi làm khóa luận tốt nghiệp với đềtài: “Sử dụng thao tác tư duy Phân tích - Tổng hợp để tìm ra lời giải cho bàitoán khoảng cách trong hình học không gian”

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các quý thầy cô khoa Toán đã tậntình giảng dạy và hướng dẫn trong nhiều năm tôi theo học tại trường Đại học SưPhạm Đà Nẵng Đặc biệt là cho phép tôi gửi lời biết ơn sâu sắc đến cô ThS NgôThị Bích Thủy là người hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu bản thân tôi đã khắc phục mọi khó khăn đểhoàn thành khóa luận Tuy nhiên vì thời gian có hạn và kiến thức còn hạn chếnên không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô và các bạn góp ý, bổsung để tôi hoàn thiện tốt hơn đề tài này

Xin chân thành cảm ơn!

1

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Trong môn Toán ở trường phổ thông, phần hình học không gian giữ một vaitrò, vị trí vô cùng quan trọng Ngoài việc cung cấp các kiến thức, kỹ năng giảitoán; hình học không gian còn góp phần rèn luyện cho học sinh những đức tínhmới: cẩn thận, chính xác, sáng tạo và óc thẩm mỹ cao

Hình học không gian là mảng kiến thức khó, đặc biệt là bài toán về khoảngcách Trong quá trình học tập, các em học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi tiếpxúc với những khái niệm mới, những dạng bài toán mới; nó khiến các em khótiếp thu trọn vẹn kiến thức cũng như ghi nhớ chúng và vận dụng vào việc giảicác bài tập Chính vì thế mà nhiều em học sinh còn học yếu môn học này, cảmthấy nó vô cùng trừu tượng và thiếu tính thực tế Đối với giáo viên, việc tìm raphương pháp truyền đạt phù hợp với dạng toán này cũng như việc hướng dẫncho học sinh nắm được hướng tư duy và cách tiếp cận bài toán này một cách bàibản theo trình tự các bước là là một vấn đề khó khăn

Toán học gắn liền với tư duy, các thao tác tư duy là phần không thể thiếutrong việc tìm ra lời giải cho bài toán Để học tốt môn Toán, chúng ta không thể

áp đặt hay rập khuôn máy móc Do đó muốn học sinh dễ dàng giải quyết các bàitoán, cần nắm vững và vận dụng thao tác này một cách hợp lý và hiệu quả nhất

có thể

Với những lý do nói trên, tôi quyết định chọn đề tài cho luận văn của mình là

“SỬ DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH – TỔNG HỢP ĐỂ TÌM RALỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNGGIAN” Thông qua đề tài này, tôi muốn đưa ra dạng bài toán khoảng cách cơbản trong phần HHKG, nhằm tổng hợp lại kiến thức về dạng toán này cũng nhưtháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh hay gặp phải Bên cạnh đó,

luận văn sẽ định hướng lời giải cho bài toán bằng thao tác tư duy phân tích, làmnền tảng cho việc truyền tải kiến thức cho học sinh theo hướng mới với mongmuốn cải thiện kỹ năng giải bài toán khoảng cách nói riêng và các bài toánHHKG nói chung Ngoài ra, qua việc nắm vững được kiến thức môn Toán, còngiúp các em tìm ra hứng thú, niềm vui học tập cho bản thân sau này

2. Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu này sẽ thống kê lại cho học sinh các dạng bài toán cơ bản vềkhoảng cách HHKG Ngoài ra nó còn cung cấp cách phân tích nhằm tìm ra lờigiải cho bài toán một cách phù hợp và chính xác nhất

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu cơ sở lý luận cho đề tài này

- Trình bày các phương pháp thường dùng đối với từng dạng toán khoảngcách để tìm ra lời giải

- Đưa ra lời giải bằng thao tác tư duy Phân tích – Tổng hợp cho từng bàitoán cụ thể

- Hệ thống và giải một số bài tập điển hình chủ đề khoảng cách

4. Đối tượng nghiên cứu:

Hoạt động dạy và học của giáo viên và học sinh trong nhà trường THPT

5. Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

Các sách về phương pháp và lí luận dạy học

7. Cấu trúc khóa luận:

3

Khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Phân dạng các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian.Chương 3: Rèn luyện thao tác tư duy Phân tích – Tổng hợp cho học sinh thôngqua các bài toán tính khoảng cách trong không gian

Ngoài ra còn có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tàiliệu tham khảo

Những chữ viết tắt sử dụng trong đề tài:

1.1 Khái niệm về tư duy:

“Tư duy là một quá trình phản ánh những thuộc tính bản chất, những mốiquan hệ và liên hệ có tính quy luật bên trong sự vật, hiện tượng trong hiện thựckhách quan mà trước đó ta chưa biết” Như vậy, tư duy về bản chất là một quátrình cá nhân thực hiện nhờ các thao tác tư duy nhất định để giải quyết vấn đềhay nhiệm vụ được đặt ra Các thao tác tư duy được nói đến ở đây là thao tác:phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa Đó là những thaotác cơ bản

Tư duy là hình thức cao nhất của sự phản ánh, là mức độ nhận thức mới

về chất so với cảm giác, tri giác Hay nói cách khác tư duy là sự nhận thức lýtính phản ánh những thuộc tính bản chất bên trong, những mối quan hệ liên hệ

có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng

Ví dụ: Khi gặp một hình chóp đều có đáy là tứ giác thì ta sẽ nhận biết

được ngay đáy của nó là tứ giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau… đó là dựavào các kiến thức học được từ định nghĩa trong sách giáo khoa Còn tư duy sẽcho ta biết đường nối giao điểm của hai đường chéo ở mặt đáy và đỉnh của hìnhchóp là khoảng cách từ đỉnh hình chóp đều tới mặt đáy

Tuy rằng tư duy phản ánh được những thuộc tính bản chất bên trong của

sự vật hiện tượng, nhưng tư duy không phải bao giờ cũng dẫn tới cái đúng mà

nó còn phụ thuộc vào chiến thuật và phương pháp tư duy

1.2 Đặc điểm của tư duy:

Tư duy có nhiều đặc điểm đặc trung như: tính có vấn đề của tư duy, tínhgián tiếp của tư duy, tính trừu tượng hóa - khái quát hóa, tư duy quan hệ chặtchẽ với ngôn ngữ, tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Đối với conngười tư duy đóng vai trò vô cùng quan trọng vì tư duy giúp ích rất nhiều choviệc mở rộng giới hạn nhận thức; nâng cao khả năng nhìn nhận sâu sắc vào bảnchất của sự vật, hiện tượng và tìm ra các mối quan hệ có tính quy luật giữachúng với nhau Bên cạnh đó, tư duy không chỉ giải quyết được những nhiệm

vụ trước mắt mà còn có thể thấy được những nguyên nhân sâu xa, hậu quả của

5

tư duy, trình độ hiểu biết của con người cũng nâng cao hơn và làm việc có kếtquả tốt hơn Tư duy có phương tiện là ngôn ngữ và có sản phẩm là những kháiniệm, những phán đoán, những suy luận được biểu đạt bằng từ ngữ, kí hiệu,công thức

1.2.1 Tính có vấn đề của tư duy:

Trong thực tế tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề Tìnhhuống có vấn đề là tình huống chưa có đáp số nhưng đáp số đã tiềm ẩn bêntrong tình huống chứa những điều kiện giúp ta tìm ra những đáp số đó Nhưngkhông phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh đều xuất hiện tư duy

Hoàn cảnh có vấn đề là những tình huống mà bằng vốn kiến thức,phương pháp cũ không giải quyết được mà cần đến những phương pháp tri thứcmới để giải quyết vấn đề, tức là phải tư duy Nhưng không phải bất cứ hoàncảnh nào có vấn đề nào cũng xuất hiện tư duy ở bản thân Vậy để kích thíchđược tư duy thì hoàn cảnh có vấn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ và cónhu cầu chuyển thành nhiệm vụ của tư duy để giải quyết vấn đề đó (nghĩa là cánhân phải xác định được cái gì đã biết, đã cho, cái gì chưa biết, cần phải tìm)

Ví dụ: Khi dạy bài “Khoảng cách” trong chương trình toán hình học 11NC, giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài toán sau: “Cho hình chóp S.ABCD

có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy Tìm khoảng cách từ B đến mặt bên (SCD)”

Theo định nghĩa đã học thì học sinh sẽ tìm hình chiếu vuông góc H của điểm B lên mặt (SCD), nhưng theo cách này việc tìm điểm H là rất khó ⇒

Xuấthiện hoàn cảnh có vấn đề

Như vậy các em sẽ phải tìm hiểu kiến thức mới để tìm ra lời giải thôngqua định nghĩa 2 tiếp theo trong bài

1.2.2 Tính gián tiếp của tư duy:

Tư duy có khả năng phản ánh gián tiếp thông qua các dấu hiệu, kinhnghiệm, ngôn ngữ, công cụ,…Tính gián tiếp của tư duy giúp con người nhậnthức thế giới khách quan sâu sắc, đầy đủ, đồng thời mở rộng khả năng hiểu biếtcủa con người, của chủ thể tư duy

Ví dụ: Bằng các phần mền toán học kết hợp với máy vi tính giáo viên có

thể minh họa và hướng dẫn cho học sinh thấy rõ: Đường cao của một khối đadiện là đường nào?

1.2.3 Tính trừu tượng hóa và khái quát của tư duy:

a) Tính trừu tượng hóa:

Là khả năng con người dùng trí óc để gạt bỏ những liên hệ, những mặt,những thuộc tính không cần thiết mà chỉ giữ lại yếu tố nào là cần thiết để tưduy

b) Tính khái quát hóa:

Là khả năng con người hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau nhưng cóchung những thuộc tính, những mối liên hệ thành một nhóm

Ví dụ: Khi hướng dẫn học sinh làm các bài tập về khoảng cách của một

điểm tới một mặt phẳng thì phương pháp tính cho trường hợp này có thể ápdụng cho các trường hợp tính khoảng cách khác hay không

1.2.4 Tư duy gắn liền với ngôn ngữ:

7

Tư duy của động vật bao giờ cũng dừng lại ở tư duy hành động trực giác

mà không vượt quá giới hạn đó Còn ở con người tư duy mang tính gián tiếptrừu tượng hóa và khái quát hóa, mối liên hệ giữa tư duy và ngôn ngữ là mốiliên hệ biện chứng, nó là mối liên hệ giữa nội dung và hình thức Trong đó ngônngữ là hình thức biểu đạt cố định của tư duy Nhờ đó người khác và chủ thể tưduy tiếp cận kết quả tư duy một cách dễ dàng Hay nói cách khác ngôn ngữ làphương tiện tư duy

1.2.5 Tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính:

Tư duy bao giờ cũng liên hệ gắn bó mật thiết với nhận thức cảm tính.Nhận thức cảm tính là cửa ngõ của tư duy liên hệ với thế giới bên ngoài, nhậnthức cảm tính cung cấp chất liệu cho tư duy và cuối cùng toàn bộ sản phẩm của

tư duy được kiểm nghiệm trong hoạt động thực tiễn

Trong học tập toán đặc điểm này thể hiện để tìm hiểu nội dung hay chứngminh một bài toán trước hết dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu hay giảthuyết ( thử hướng này, hướng khác) đi đến nhận xét, kiểm tra bằng hoạt động

tư duy đi đến kết quả

Ví dụ: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông, AB a=

,

2

SA= a

Hãy xác định đường cao của hình chóp S.ABCD.

Với những dữ kiện của bài toán: đáy là hình vuông, các cạnh bên đềubằng nhau, các mặt của hình chóp là tam giác cân ⇒

ta tiến hành nhận thức riêng từng bộ phận để việc nhận thức được tương đốihoàn thiện hơn, quá trình đó gọi là phân tích Tổng hợp là hợp nhất lại kết quả

đã nhận thức ở từng bộ phận thành một chỉnh thể Đây là hai thao tác cơ bảnnhất của mọi quá trình tư duy

Có thể nói Phân tích - tổng hợp là một cặp thao tác tư duy cơ bản và quantrọng nhất Nó được thực hiện trong tất cả các quá trình tư duy của học sinh.Với đặc trưng là phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các thànhphần khác nhau sau đó hợp nhất các thành phần đã được tách rời nhờ sự phântích thành một chỉnh thể, trong môn toán, thao tác Phân tích – Tổng hợp thườngđược sử dụng để tìm hiểu đề bài, để nhận diện bài toán thuộc loại nào, phân tíchcách diễn đạt các mối quan hệ của bài toán, phân tích thuật ngữ, phân tích cáchhỏi, câu hỏi, yêu câu của bài toán, những tình huống, tổng hợp các yếu tố,điều kiện vừa phân tích trong bài toán để đưa ra điều kiện mới, kết luận mới,tổng hợp các bước giải bộ phận để liên kết tạo thành bài giải hoàn thiện, tổnghợp các bài toán tương tự theo một tiêu chí nhất định thành một mẫu bài toán,tổng hợp các cách giải tạo thành phương pháp giải chung,

Đây là hai thao tác trái ngược nhau, nhưng lại liên hệ chặc chẽ với nhautrong một thể thống nhất

1.3.2 Tác dụng trong dạy học toán:

Tư duy có vai trò vô cùng quan trọng Tư duy mở rộng giới hạn nhậnthức, giúp con người khái quát được một phạm vi rộng lớn của thực tiễn tri thức

và nắm được mối quan hệ giữa nhiều lĩnh vực khác nhau Khi quan sát các vìsao, biến thiên dãy số,… chỉ có thể nhận thức cảm tính về chúng, dù có mộttriệu hình tam giác chỉ có thể nghi ngờ tổng ba góc trong là

0

180 Chỉ có tư duymới thật sự làm cho chúng ta hiểu rõ những vấn đề rộng lớn trong cuộc sống

Đặc biệt thao tác tư duy Phân tích – Tổng hợp có vai trò hết sức cần thiếtcho các em học sinh trong quá trình học tập môn Toán

9

- Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợpriêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lý

- Từ những thuộc tính riêng lẻ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết chínhxác, đầy đủ một khái niệm,

Đây là thao tác cơ bản luôn luôn được sử dụng để tiến hành những thaotác khác

1.3.3 Một vài biện pháp thực hiện:

* Khi dạy khái niệm, định nghĩa tập cho học sinh phân tích các thuộc tínhbản chất để từ đó tổng hợp lại nhận biết và phân biệt với khái niệm khác hay đểtìm ra mối liên hệ giữa các khái niệm gần gũi nhau

Ví dụ 1: Định nghĩa “Khoảng cách từ một đến một mặt phẳng” được phân

Ví dụ 2: Phân tích để thấy sự khác nhau và giống nhau của hai định nghĩa

“ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song” và “ Khoảng cáchgiữa hai mặt phẳng song song ”

- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với

B∈ P d P Q(( );( ))

d

P

* Khi dạy định lý phải tập cho học sinh biết phân tích giả thuyết kết luận,phân tích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt sựgiống nhau và khác nhau giữa các định lý gần gũi nhau

Ví dụ 3: Định lí về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

- Phân tích giả thiết, kết luận:

•

( )

d ⊥ P

* Khi dạy học sinh giải bài tập toán cần phải:

+ Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem xét bài toán đã cho thuộc loạinào? Phân tích cái đã cho và cái cần tìm

+ Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau Sau khi phân tích đượcmột số ý thì tổng hợp lại để xem ta thu được điều gì bổ ích không, còn thiếu yếu

tố nào nữa?

+ Tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài toán thànhphần, bài toán đặc biệt đơn giản hơn và dễ hơn, và cuối cùng tổng hợp lại để cókết quả

1.4 Những khó khăn thường gặp của học sinh khi giải các bài toán khoảng cách trong HHKG:

11

HHKG là phần nội dung kiến thức tương đối khó nên nhiều học sinh chưaquen với tính tư duy trừu tượng của nó, học sinh khó khăn ngay từ bước đầutiếp cận ở lớp 11 và vì thế dễ dẫn đến sự mất hứng thú đối với HHKG Cũng vìthế mà các dạng bài toán về khoảng cách trong HHKG lại càng là vấn đề nangiải của các em học sinh trong quá trình học.

Qua thực tế cho thấy nhiều bạn học sinh khi làm các bài tập về khoảngcách trong HHKG còn lúng túng, không phân dạng được các dạng toán và chưađịnh hướng được cách giải, Học sinh thường hay gặp phải những khó khănsau:

+ Chưa xác định được giả thiết và kết luận của bài toán

+ Vẽ hình chưa đúng hoặc vẽ khó nhìn, khó hình dung

+ Quen với hình học phẳng, óc tưởng tượng không gian chưa tốt, chưavận dụng được các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian

+ Khả năng suy luận hình học còn hạn chế, dẫn đến việc xây dựng kếhoạch giải còn khó khăn

+ Việc trình bày bài của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn

lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ, không chặt chẽ

+ Không phân dạng được các bài toán về khoảng cách

+ Không biết đưa các bài tập khoảng cách từ các trường hợp phức tạp vềđơn giản hơn

+ Khả năng suy luận hình học còn hạn chế, dẫn đến việc xây dựng kếhoạch giải còn khó khăn

+ Việc trình bày bài của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn

lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ, không chặt chẽ

* Học sinh lúng túng, không định hướng được cách giải trong các bàitoán cụ thể là do:

+ Định lý, khái niệm còn trừ tượng nên học sinh chưa hiểu rõ một cáchtường tận

+ Thời gian luyện tập trên lớp còn hạn chế

+ Chưa xác định động cơ học tập đúng đắn

13

Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách từ

điểm đó đến hình chiếu của nó trên đường thẳng Khoảng cách từ điểm A đến

Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách từ

điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng Khoảng cách từ điểm A đến mặt

phẳng (P) được kí hiệu là

( ;( ))

d A P

.

Định nghĩa: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng

cách từ một điểm bất kì của đường thẳng đến mặt phẳng Khoảng cách giữa

đường thẳng và mặt phẳng được kí hiệu là:

( ;( ))

d a P

.

Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một

điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Khoảng cách giữa hai mặt

Chú ý: Khoảng cách giữa hai yếu tố điểm, đường thẳng, mặt phẳng là khoảng

cách bé nhất giữa hai điểm thuộc hai yếu tố đó

2.2 Phân dạng bài tập khoảng cách:

2.2.1 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng:

2.2.1.1 Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆

- Để tính đoạn AH ta có thể dùng hệ thức lượng trong tam giác, tam giác vuông,

quan hệ diện tích, tam giác đồng dạng, quan hệ song song,…

Ví dụ: Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 8cm Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm O sao cho AO= 4cm

Tính khoảng cách từ điểm A và điểm O đến đường thẳng BC.

Giải:

Dựng AH là đường cao của tam giác ABC thì: d A BC( ; )= AH

Theo công thức Hêrông, diện tích S của tam giác ABC là:

17

Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng đoạn AH

với H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (P) Kí hiệu: d A P( ,( ) ) = AH

- Ngoài cách xác định hình chiếu thông thường, ta có thể sử dụng quan hệ song

song, đặc biệt hơn là phải tìm mặt phẳng (Q) chứa A, vuông góc với (P), lúc đó

H là hình chiếu trên giao tuyến d của (P) và (Q).

Thông thường khi giải bài toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta sử dụng 2 trường hợp sau:

BK

a a

B

CD

A

KH

A

OP

AB AC a a a BK

Xác định chiều cao của hình chóp:

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt

đáy: Đường cao của hình chóp là cạnh

bên ấy

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có

SA⊥ ABC

thì đường cao là SA.

Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt

đáy: Đường cao của hình chóp là đường

cao xuất phát từ đỉnh của mặt bên ấy

Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với

mặt đáy: Đường cao của hình chóp là giao

tuyến của hai mặt bên đó

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có hai

mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc

với mặt đáy thì đường cao hình chóp là

SA.

2.2.2 Khoảng cách giữa hai đoạn thẳng chéo nhau:

Định nghĩa: Cho hai đường thẳng chéo nhau d1

và H Khoảng cách giữa hai đường thẳng 1

d

và 2

d bằng đoạn thẳng OH

Kí hiệu: d d d( 1, 2) =OH

Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta

phân hai trường hợp như sau:

(*) Trường hợp 1: 1 2

d ⊥d

Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa d 2 và vuông góc với d 1

Bước 2: Tìm giao điểm d1∩( )P =O

23

SA AD a a a AH

V

V S h h

S

(trong đó S là diện tích đáy và h là

chiều cao của khối chóp)

Ta có thể dùng công thức này để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chópđến mặt đáy

2.2.4 Phương pháp tọa độ trong không gian:

- Phương pháp tọa độ trong không gian: Trong chương III - §1 SGK hình học

12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), NXBGD

2008, đã nêu định nghĩa và một số tính chất sau :

25

i j k

=

=

=

r ur ur

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz cho :

x

z

yO

C'B'

D'

B

CA'

x

yz

OC

S

DB

Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD A B C D ' ' ' '

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của

hai đường chéo của hình thoi ABCD.

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

IA

O

DS

CB

- Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và

đường cao bằng h Gọi I là trung điểm

yz

OC

S

DB

z

yx

BS

ABC vuông tại A

- Tam giác ABC vuông tại A có

,

AB a AC b= =

đường cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

ABC vuông tại B

- Tam giác ABC vuông tại B có

,

BA a BC b= =

đường cao bằng h

29

x y

zS

- ∆ABC

vuông tại C, CA a CB b= , =

chiều cao bằng h

- H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

- ∆ABC

vuông tại A cóAB a= ,

AC b=

, chiều cao bằng h.

- H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

Với hình chóp S.ABC có (SAB)⊥

(ABC), ∆

SAB cân tại S và ∆

ABC vuông cân tại C

- Tam giác ABC vuông cân tại C có

CA CB a= =

, đường cao bằng h.

- H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

Chương 3: RÈN LUYỆN TƯ DUY PHÂN TÍCH - TỔNG HỢP CHO HỌC SINH PHỔ THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN TÌM KHOẢNG CÁCH

TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 3.1 Phát triển năng lực phân tích bài toán:

Phân tích bài toán là xem xét, khai thác các đặc điểm khía cạnh của bài toán

để tìm hướng giải quyết Trong khi giải quyết bài tập ta có thể xem đây là bướctiếp cận để tìm lời giải Để học sinh có thể làm tốt bước phân tích này, ngườigiáo viên cần chú ý các kỹ năng sau:

3.1.1 Đưa bài toán tổng quát vào bài toán cụ thể:

Thông thường lối giải cho một dạng toán đã được xác lập khi học về nhữngnội dung và những tri thức về dạng đó Khi nghiên cứu lại các dạng toán trongphần kiến thức hình học không gian lớp 11, tôi phát hiện nội dung tri thức

thường được cho dưới dạng mệnh đề hay định lý Vì vậy, ta có thể tóm tắtđường lối giải quyết các dạng này dưới hình thức sơ đồ.

Ví dụ: Ta có thể sơ đồ hóa cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với

mặt phẳng (P) như sau:

Bước 1: Tìm

1 2

( )( )

d d

αα

Bước 2: Chứng minh

1 2

Bước 3: Kết luận:

( )

d ⊥ α

.Điều quan tâm lớn nhất là làm thế nào ta vận dụng được tốt vào từng bàitoán cụ thể Ta cũng biết rằng trong các bài toán hình học không gian thường

có dạng câu hỏi “Chứng minh rằng điều p”

Hơn nữa, chứng minh điều p nghĩa là đi tìm đầy đủ các giả thiết mà trong

đó p là kết luận.

Do đó để chứng minh điều p, ta tiến hành các bước sau:

Bước 1: Xem p là kết luận của mệnh đề nào đó mà ta đã đọc.

Bước 2: Trong mệnh đề đó, ta cần tìm xem giả thiết gồm mấy ý, có ý nàocho sẵn trong bài toán thì nêu ra Những ý còn lại, ta xem nó là kết luận của mộtmệnh đề khác Hoàn toàn tương tự như thao tác trên, ta sẽ lần lượt kiểm trađược đầy đủ tất cả các ý trong phần giả thiết

Ta có thể minh họa bước này bằng sơ đồ đơn giản sau:

33

con đường chứng minh điều đã cho

Phân tích tìm lời giải như trên được gọi là phân tích đi lên – phân tíchhướng từ kết luận Đây là kiểu tư duy đặt trưng của môn hình học với câu hỏi

“Chứng minh rằng…”

Tùy vào câu hỏi của bài toán, có rất nhiều dạng toán có thể áp dụng phươngpháp này Xét bài toán sau:

Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B.

Cho BC = a và SA (ABC) Tính khoảng cách từ C đến (ABC).

Ta có sơ đồ hóa quá trình chứng minh như sau:

3.1.2 Phân tích bài toán theo nhiều hướng khác nhau:

Trở lại với việc chứng minh điều p nói trên, ta có thể giải quyết vấn đề nàytheo hiều hướng khác nhau

Ví dụ như sơ đồ sau:

Đứng trước một bài toán, ta có thể nhìn nhận theo nhiều hướng khác nhau.

Nhưng để giải quyết bài toán một cách tốt nhất ta phải chọn cách tối ưu nhất

trong nhiều phương pháp có thể làm Tất nhiên, phương pháp nào tối ưu là dựa

vào từng trường hợp của bài toán gặp phải

Xét bài toán 1 ở phần trên, ta hoàn toàn có thể giải quyết bài toán theo

hướng của sơ đồ sau:

Tuy hai cách không cách biệt nhau quá lớn, nhưng ta có thể nhận ra cách

giải tối ưu là cách đầu tiên

Bên cạnh việc tìm lời giải tối ưu, phân tích theo nhiều hướng còn giúp

người giải huy động được nhiều kiến thức Trong đó quá trình tìm hiểu người

giải còn có cơ hội cũng cố kiên thức đã học, góp phần bồi dưỡng tư duy linh

hoạt, vận dụng tốt kiến thức, khai thác kiến thức với vai trò là công cụ để kiến

tạo kiến thức mới

3.1.3 Giới hạn, loại trừ các yếu tố không cần thiết:

Theo hướng này ta sẽ loại đi những yếu tố không cần theo đuổi mà chỉ phân

tích dựa vào các yếu tố liên quan tới yêu cầu tính toán, chứng minh

Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

cạnh SA vuông góc với đáy và SA a=

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau SC và BD.

Ta cần xác định đoạn vuông góc chung của SC và BD.

Theo như phương pháp dùng để xác định khoảng cách giữa 2 đườngthẳng chéo nhau thì ta sẽ chọn 1 mặt phẳng chứa đường thẳng này và đồng thờivuông góc với đường thẳng kia

Ta nhận thấy rằng mặt phẳng (SAC) chứa đường thẳng SC và

Từ đó nhận thấy ngay giao điểm giữa đường vuông góc chung này với SC

và BD không thể là điểm B hoặc D mà chỉ có thể là điểm O Tiếp tục từ O kẻ

OH ⊥SC

, ta sẽ suy ra được OH là đoạn vuông góc chung cần tìm

Rèn luyện khả năng loại trừ, giới hạn các yếu tố không cần thiết cũng cónghĩa là rèn luyện khả năng định hướng cho quá trình giải toán

37