Khóa luận tốt nghiệp toán học: Rèn luyện kỹ năng phân tích nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau cho học sinh lớp 10 nội dung đường thẳng trong mặt phẳng

Khóa luận tốt nghiệp toán học: Rèn luyện kỹ năng phân tích nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau cho học sinh lớp 10 nội dung đường thẳng trong mặt phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

VÌ THỊ DOANH

R N Y N N NG HÂN T CH NHÌN NH N BÀI TOÁN DƯ I NHI G C ĐỘ HÁC NHA CHO HỌC INH NỘI D NG ĐƯỜNG TH NG

TRONG T H NG

H A N TỐT NGHI ĐẠI HỌC

ơn a, năm 2 3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

VÌ THỊ DOANH

R N Y N N NG HÂN T CH NHÌN NH N BÀI TOÁN DƯ I NHI G C ĐỘ HÁC NHA CHO HỌC INH NỘI D NG ĐƯỜNG TH NG

ỜI CẢ ƠN

Em hoàn thành được khóa luận này là nhờ có sự động viên giúp đỡ nhiệt tình và tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa Toán – Lý – Tin, các thầy cô giáo trường THPT Mai Châu và các bận sinh viên lớp K50 ĐHSP Toán Đồng thời, việc hoàn thành khóa luận này êm cũng nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Phòng Đào tạo, thư viện và một số Phòng, Ban, Khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc Em xin được nói lời cảm ơn sâu sắc

Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo chủ nhiệm – Tiến sĩ Vũ Quốc Khánh là người đã trục tiếp tận tình, tỉ mỉ để giúp em hoàn thành khóa luận này Đây à khóa luận đầu tay của em nên không thể tránh khỏi những thiếu sót

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận này trở thành nguồn tài liệu hữu ích đối với những sinh viên học toán và các giáo viên dạy toán ở trường THPT

ột lần nữa em xin trân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Vì Thị Doanh

ỤC ỤC

HẦN : ĐẦ 1

do chọn tài 1

2 c ch nghi n c u à nhi m nghi n c u 3

2 c ch nghi n c u 3

2.2 Nhi m nghi n c u 3

3 Giả thi t hoa học 3

4 hương pháp nghi n c u 3

C u tr c h a lu n 3

HẦN 2: NỘI D NG 4

Chương CƠ Ý N 4

hương pháp chung ể giải một bài toán 4

2 ỹ năng phân t ch tìm lời giải của bài toán 5

3 ỹ năng phân t ch nhìn nh n bài toán dưới nhi u g c ộ hác nhau 6

4 Rèn luy n ỹ năng phân t ch nhìn nh n bài toán dưới nhi u g c ộ hác nhau ể tìm hướng giải toán 7

ột số ỹ năng hác gi p cho i c phân t ch c hi u quả 7

t lu n chương 13

Chương 2 ỘT Ố BI N HÁ CƠ BẢN NHẰ R N Y N

N NG HÂN T CH NHÌN NH N BÀI TOÁN DƯ I NHI G C ĐỘ HÁC NHA TRONG HẦN BÀI TOÁN V ĐƯỜNG TH NG CHO HỌC INH 14

2 i n th c cần nhớ 14

2.2 ột số bi n pháp ể rèn luy n ỹ năng nhìn nh n bài toán dưới nhi u g c ộ hác nhau ng d ng phần bài t p ường th ng 18

2.2 Bi n pháp : hân t ch giả thi t của bài toán gắn ới những i n th c khác nhau 19

2.2.2 Bi n pháp 2: hân t ch t lu n của bài toán gắn ới những i n th c khác nhau 21

2.2.3 Bi n pháp 3: hân t ch cả giả thi t à t lu n của bài toán gắn ới

những i n th c hác nhau 24

2.3 Những sai lầm mà học sinh hay mắc phải trong quá trình phân t ch tìm lời giải à cách hắc ph c 26

2.3 Những sai lầm trong phân t ch dữ i n của bài toán 26

2.3.2 Những sai lầm trong phân t ch t lu n, y u cầu bài toán 27

2.4 ột số bài toán gi p rèn luy n ỹ năng phân t ch nhìn nh n bài toán dưới nhi u g c ộ hác nhau 29

t lu n chương 2 35

Chương 3 THỰC NGHI Ư HẠ 36

3 c ch thực nghi m sư phạm 36

3.2 hương pháp thực nghi m sư phạm 36

3.3 Nội dung thực nghi m sư phạm 36

3.4 Đối tượng thực nghi m sư phạm 36

3 Ti n hành thực nghi m sư phạm 37

3.6 Đánh giá thực nghi m sư phạm 37

3.6 V phương pháp dạy 37

3.6.2 V hả năng lĩnh hội của học sinh 37

3.6.3 V t quả iểm tra 37

3.7 t lu n thực nghi m 39

t lu n chương 3 39

HẦN 3: ẾT N 40

HẦN 1: ĐẦ do chọn tài

Toán học là một bộ môn uan trọng trong nhà trường ph thông gười học toán khi đ ng trước một bài toán luôn muốn mình giải được hoặc đáp ng được các yêu cầu bài toán đặt ra Để giải một bài toán thì người giải phải trải ua rất nhiều khâu T việc nắm vững các kiến th c cơ bản về nội dung lý thuyết đến việc luyện tập thành thạo các uy trình và thao tác có tính chất k thuật Điều này đòi hỏi ở người giải toán tính nghiêm túc, tính kiên nh n và một phương pháp làm việc khoa học

Một bài toán có liên uan đến một dãy kiến th c Ở dãy các kiến th c có thể sắp xếp theo th tự: "  kiến th c 2 sinh ra kiến th c 1  kiến th c 1 sinh ra bài toán  kiến th c bài toán  kiến th c I bài toán sinh ra  kiến

th c II bài toán sinh ra  kiến th c III bài toán sinh ra …" hư vậy sử dụng các kiến th c khác nhau có thể nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

Để có k năng nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau thì phải thấy được và hiểu rõ các uan hệ ẩn tàng có liên uan đến kiến th c bài toán Có thể thấy rõ việc nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau hay chính là phân tích bài toán rất uan trọng vì: Th nhất, k năng phân tích bài toán giúp cho học sinh có cách nhìn bài toán toàn diện hơn; Th hai, nếu ta chỉ nắm vững kiến

th c lý thuyết, thành thạo các thao tác tính toán nhưng không biết cách phân tích nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau thì chưa thể có lời giải hoặc có nhưng lời giải chưa tốt goài ra việc phân tích nhìn nhận bài toán ở nhiều góc

độ khác nhau s d n ta đến việc tìm ra nhiều hướng giải khác nhau cho m i bài toán, t đó ta có thể lựa ra cách giải hay, gọn gàng, rõ ràng, d hiểu; Th ba, khi

r n luyện được k năng phân tích nhìn nhận bài toán đưới nhiều góc độ khác nhau ta có thể phát huy khả năng làm việc độc lập, sáng tạo – một khả năng không thể thiếu của người giải toán

Trong môn toán nói chung và bộ môn hình học lớp 10 nói riêng, học sinh thường gặp khó khăn khi giải các bài toán hiều học sinh còn yếu ở khâu phân tích nhìn nhận bài toán ở nhiều góc độ khác nhau Thông thường khi giải bài toán học sinh có xem giả thiết mà bài toán đã cho nhưng các em không phân tích xem có thể khai thác được gì t những giả thiết đó hay với những giả thiết đã cho ta cần liên hệ với những kiến th c liên uan nào để tìm ra kết luận của bài toán Do đó khi giải toán học sinh thường không tìm được hướng giải và cảm thấy chán nản Đây cũng là một nguyên nhân khiến nhiều học sinh khi học toán chỉ thích học đại số không thích học hình học Đặc biệt là chương trình hình học

lớp 10 có nhiều nội dung mới đối với học sinh ếu như ở lớp , học sinh nghiên c u với những kiến th c về hình học t ng hợp, thì chương trình hình học

10 có b sung một số kiến th c về hình học trong mặt ph ng nhưng lại nghiên

c u trên phương diện hoàn toàn mới là phương pháp vectơ PPVT và phương pháp tọa độ PPTĐ Thực chất của việc nghiên c u PPTĐ ở trường ph thông

là nghiên c u một cách thể hiện khác của các hệ tiên đề hình học ph ng; việc đưa vào trục tọa độ, hệ trục tọa độ, hệ tọa độ Đề các vuông góc cho ph p đặt tương ng với m i vectơ trên trục, vectơ trong mặt ph ng với một số thực, cặp

số thực  x y, T đó d n tới m i điểm trong mặt ph ng đặt tương ng với duy nhất cặp số thực sắp th tự p q,  Khi đó đường th ng trong mặt ph ng được

hiểu là tập hợp các cặp số thỏa mãn: Ax + By + C = 0 với A 2

+ B 2 ≠ 0 và A, B,

C là các số

Việc sử dụng hệ trục tọa độ để nghiên c u hình học thực chất là sử dụng công cụ đại số để nghiên c u hình học b ng cách sử dụng ngôn ngữ hình th c, biểu th c đại số hình th c để di n tả các đối tượng, các uan hệ hình học hờ

đó mà ta có thể giải uyết các bài tập hình học b ng việc tính toán thuần túy Trên các k năng suy luận toán học và con số học sinh lớp 10 s làm uen với phương pháp tư duy mới, tư duy hình học ph ng b ng những con số đại số hóa hình học , tìm hiểu các tính chất của đường th ng, đường tròn, đường elip thông

ua phương trình và các biểu th c uy tắc đại số của chúng

ếu như ở lớp học sinh mới biết đường th ng thông ua những hình ảnh trực uan như hình của mọt sợi chỉ k o dài ra vô tận hay một vệt phấn trên bảng dài vô tận,… thì ở lớp 10 học sinh s có cách nhìn nhận mới về đường th ng thông ua những điểm thuộc đường th ng, vectơ chỉ phương VTCP và vectơ pháp tuyến VTPT của đường th ng thể hiện t phương trình của nó mà không cần v hình

Các bài tập về phần đường th ng mang tính t ng hợp nên đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến th c về tính chất hình học ph ng ở lớp , cách viết phương trình đường th ng, cách tính khoảng cách t một điểm đến một đường th ng, khoảng cách giữa hai đường th ng,… đã được học trước đó Khi phân tích nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau trong phần bài tập ở nội dung này s giúp học sinh có những k năng làm bài t ng hợp và hiểu sâu hơn về sự kết hợp giữa hình học ph ng và PPTĐ để giải uyết bài toán

Vì những lý do trên mà tôi uyết định chọn đề tài “

10

2 c ch nghi n c u à nhi m nghi n c u

2.1 c ch nghi n c u

R n luyện k năng phân tích trong giải toán cho học sinh

2.2 Nhi m nghi n c u

* Nghiên c u lý luận: Hệ thống lại một số lý luận về giải toán, k năng giải toán

và k năng phân tích nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

* Tìm hiểu thực ti n k năng phân tích trong giải toán của học sinh lớp 10

* Đề xuất một số biện pháp nh m r n luyện k năng phân tích nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, cụ thể trong các bài tập nội dung đường

th ng của hình học 10

* Thực nghiệm sư phạm về tính khả thi và tính hiệu uả của biện pháp đưa ra

3 Giả thi t hoa học

R n luyện và nâng cao k năng phân tích nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau giúp học sinh tìm lời giải và có thể tìm ra những cách giải đúng, giải hay cho m i bài toán T đó giúp học sinh giải toán hiệu uả hơn

4 hương pháp nghi n c u

- ghiên c u lý luận: Quan điểm, kết luận khoa học và k năng phân tích nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau của học sinh

- Điều tra khảo sát thực ti n

- Thực nghiệm sư phạm: Dạy thử cho học sinh lớp 10 và bước đầu kiểm tra đánh giá tính khả thi, hiệu uả của biện pháp đưa ra

5 C u tr c h a lu n

goài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục khóa luận còn

có 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận

Chương 2 Một số biện pháp r n luyện k năng phân tích nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau trong hệ thống bài tập về đường th ng cho học sinh lớp 10

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

HẦN 2: NỘI D NG Chương CƠ Ý N 1.1 hương pháp chung ể giải một bài toán

Giải bài toán là uá trình suy luận nh m khám phá làm rõ uan hệ logic giữa giả thiết cái đã cho và kết luận cái phải tìm [19, tr.5]

Theo G.Polya để giải một bài toán thông thường học sinh thực hiện 4 bước

Cụ thể gồm những bước sau:

Bước Tìm hiểu bài toán

- Phát biểu bài toán dưới dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;

- Phân biệt giả thiết và kết luận ;

- ếu bài toán liên uan tới một hình v , thì phải v hình và chỉ ra cái chưa biết và những cái đã biết ếu cần phải gọi tên những yếu tố đó, thì cần phải đưa vào những kí hiệu thích hợp chú ý là s có những yếu tố đặc biệt và ta phải có những kí hiệu riêng

Bước 2 Tìm cách giải

- Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính tìm đoán: biến đ i cái đã cho, biến đ i cái phải tìm hay phải ch ng minh, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán t ng uát hơn hay một bài toán nào đó có liên uan; sử dụng những phương pháp đặc thù với

t ng dạng toán như: ch ng minh phản ch ng, uy nạp toán học, toán dụng hình,

Bước 3 Trình bày lời giải

- T cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một trình

tự thích hợp và trình bày một cách logic

Bước 4 Nghi n c u sâu lời giải

- ghiên c u khả năng ng dụng kết uả của lời giải;

- ghiên c u giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.2 ỹ năng phân t ch tìm lời giải của bài toán

Trong uá trình giải toán phân tích là k năng chia một chỉnh thể ra thành nhiều phần riêng lẻ để đi sâu vào nghiên c u chi tiết t ng phần K năng là một thao tác tư duy uan trọng để giải uyết bài toán nên học sinh cần được r n luyện thường xuyên trong uá trình học toán

Khi giải toán k năng phân tích các dữ kiện, số liệu của bài toán nh m tìm lời giải cho bài toán K năng phân tích bài toán là phân chia bài toán đã cho thành nhiều bài toán nhỏ hơn hay những bài toán cơ bản

Quá trình phân tích tìm lời giải của bài toán cần phải có một định hướng cụ thể Trước hết ta phải hiểu bài toán một cách t ng thể Khi bài toán đã được hiểu trên toàn bộ, khi ta đã tìm được mục đích, ý chủ đạo thì phải đi vào chi tiết Trong hầu hết các trường hợp, nên bắt đầu b ng cách xem x t các yếu tố chính:

ẩn số, các dữ kiện và điều kiện Sau đó ta s đi sâu vào chi tiết, thường thường thì ta nên x t bản thân m i dữ kiện, phân biệt các yếu tố khác nhau của điều kiện

và xem x t t ng yếu tố một Tiếp đó:

- Đối với bài toán tìm tòi ta có thể áp dụng phương pháp: chỉ giữ lại một

phần giả thiết, bỏ ua phần kia Làm như vậy là ta đã giảm nhẹ điều kiện của bài toán và số ẩn cần tìm Khi đó ẩn được xác định trong một ch ng mực nào đó và đặt ra một bài toán mới ếu ẩn là một điểm trong mặt ph ng thì cách giải bài toán mới này là xác định u tích của điểm đó ếu ẩn là một đối tượng toán học khác thì ta phải mô tả đúng đắn, biết đặc trưng một cách chính xác một nhóm đối tượng gay cả khi nếu ẩn không phải là một đối tượng toán học thì cũng nên nghiên c u, đặc trưng, mô tả hay liệt kê ra danh sách các điều kiện có thể thỏa mãn một phần các điều kiện của ẩn

- Đối với bài toán ch ng minh việc phân tích giúp tạo ra một bài toán mới

b ng một số cách như sau:

Cách 1: Giữ kết luận và thay đ i giả thiết Trước hết ta thử nhớ lại một bài

toán ch ng minh tương tự ếu không nhớ được thì ta có thể thử đặt ra một bài toán như vậy: có thể tìm được một giả thiết khác, t đó rút ra được kết luận trên

Ta có thể thay đ i giả thiết b ng cách bỏ ua một yếu tố của nó: chỉ giữ một phần giả thiết, bỏ ua phần kia và đặt ra câu hỏi "làm như thế kết luận còn có giá trị hay không?"

Cách 2: Giữ giả thiết và thay đ i kết luận T giả thiết có thể rút ra được

một điều gì có ích?

Cách 3: Thay đ i giả thiết l n kết luận ếu chỉ thay đ i một cái mà không

có kết uả thì càng nên thử thay đ i cả hai: có thể hay không thể thay đ i giả thiết hay kết luận, hay cả hai nếu cần thiết? Phân tích đó thể đưa ra giả thiết mới

và kết luận mới lại gần nhau hơn không?

Việc phân tích một bài toán có hiệu uả phụ thuộc vào kết uả r n luyện k năng trong việc phân tích Cần tiến hành r n luyện k năng theo các cấp độ: + Bắt chước: Quan sát và cố gắng lặp lại một thao thác hay k năng nào đó; + Thao tác: Hoàn thành một k năng nào đó theo chỉ d n không còn là bắt chước máy móc;

+ Chuẩn hóa: Lặp lại một k năng nào đó một cách nhịp nhàng, đúng đắn, thường thực hiện một cách độc lập, không phải hướng d n

+ Phối hợp: Kết hợp được nhiều k năng theo th tự xác định, nhịp nhàng

1.3 ỹ năng phân t ch nhìn nh n bài toán dưới nhi u g c ộ hác nhau

K năng nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau là k năng khám phá phát hiện và chuyển hóa bài toán dưới nhiều góc độ sử dụng các kiến th c khác nhau nh m tìm thấy được t bài toán hay các vấn đề có tính thực ti n, bản chất các uan hệ toán học t đó xác định được nhiều hướng giải và tìm được nhiều cách giải bài toán hay vấn đề thực ti n đã được mô hình hóa toán học

M i bài toán đều được sinh ra trực tiếp t một số kiến th c nhất định, m i kiến th c trong bài toán có liên uan tới kiến th c sinh ra nó và các kiến th c

mà nó sinh ra Khi xem xét phân tích một bài toán ta có thể xem x t theo các góc

độ khác nhau tùy theo sử dụng những kiến th c sinh ra bài toán hay các kiến

th c có liên uan gián tiếp tới bài toán Sử dụng các kiến th c khác nhau qua quá trình phân tích ta có thể tạo nên những mô hình khác nhau về bài toán đó

M i kiến th c uy định các k năng k xảo giải toán tương ng, điều đó cho thấy việc phân tích bài toán trên các mô hình khác nhau có thể tìm thấy nhiều hướng giải với nhiều cách giải khác nhau Khi biết xem x t phân tích bài toán dưới các góc độ khác nhau học sinh có thể r n luyện tính mềm dẻo linh hoạt của

năng lực giải toán ua đó nâng cao khả năng nhanh nhạy trong sử lí các tình huống phù hợp với yêu cầu giải toán nói riêng và trong cuộc sống nói chung Khi phân tích bài toán học sinh không thể chỉ nhìn bài toán t một góc độ

mà phải xem x t t nhiều phía, không chấp nhận một cách giải uen thuộc và duy nhất

1.4 Rèn luy n ỹ năng phân t ch nhìn nh n bài toán dưới nhi u g c ộ hác nhau ể tìm hướng giải toán

Khi phân tích bài toán cần r n luyện cho học sinh cách nhìn nhận bài toán theo nhiều góc độ khác nhau để xem x t các khả năng về lời giải trước khi giải toán cụ thể

Việc phân tích nhìn nhận bài toán theo nhiều góc độ khác nhau giúp cho học sinh xác định được hướng giải cụ thể t đó giúp cho lời giải được thể hiện

rõ hơn hờ đó mà có thể giải được bài toán b ng nhiều cách khác nhau

Việc phân tích nhìn nhận bài toán duới nhiều góc độ khác nhau là dựa trên việc phân tích tìm hiểu nội dung bài toán để tìm ra các hướng giải đúng cho bài toán Muốn vậy học sinh cần nghiên c u phân tích k các dữ kiện dữ liệu có trong bài toán Việc phân tích căn c vào yêu cầu mà bài toán đó đòi hỏi t đó huy động khả năng tái hiện kiến th c để xác định đúng thể loại bài toán Việc phân tích cần thực hiện các thao tác: cách li, liên kết, phân nhóm lại và b sung kiến th c để t ch c sắp xếp lại kiến th c theo một hệ thống hoàn thiện, giúp cho việc hiểu rõ bài toán và tìm hướng giải bài toán có hiệu uả Qua phân tích học sinh phải xác định được nội dung tri th c cần thiết và có thể áp dụng để giải bài toán đó Điều đó đòi hỏi cần có một k năng dự đoán, phân tích và t ng hợp các kiến th c và tư duy logic tốt Phải biết cách kết nối các yếu tố của bài toán

và một trí nhớ tốt

goài việc nắm các hướng giải chung thì việc phân tích đầy đủ giúp tìm ra những cái riêng, cái độc đáo của t ng bài toán cụ thể, lựa chọn được phương án thích hợp nhất và tối ưu nhất cũng rất uan trọng

1.5 ột số ỹ năng hác gi p cho i c phân t ch c hi u quả

1.5.1 ò mẫm à dự oán

Trong toán học cũng như những nghành khoa học khác đều cần có thí nghiệm, có mò m m để dự đoán các kết uả, uy luật trước khi ch ng minh chúng Đối với các loại toán tìm kiếm, toan tìm u tích một điểm hay một hình

có tính chất nào đó, tìm biểu th c t ng uát của một đại lượng nào đó,… thì cái khó khăn đầu tiên và cũng là khó khăn chủ yếu là: dự đoán được hình phải tìm,

dự đoán được uả phải ch ng minh Trong trường hợp này phải biết mò m m Thông thường là cách x t một số trường hợp đặc biệt của bài toán, so sánh để tìm thấy sự tương tự của các trường hợp đó rồi t ng uát hóa lên để tìm ra dự đoán Sau đó nếu cần lại đặc biệt hóa để kiểm tra lại dự đoán

Mò m m phải hướng vào mục đích rõ ràng có ý chủ đạo của nó Trong uá trình mò m m phải biết nhận x t, phân tích, vận dụng và phát huy sáng kiến

Ch ng hạn:

*) Trong khi giải bài toán u tích thì tr những trường hợp đơn giản thì công

việc đầu tiên phải làm là tìm cách dự đoán hình dạng, vị trí của u tích Sau đó mới ch ng minh hình đó đúng là u tích phải tìm

ói riêng về bài toán u tích trong mặt ph ng thì trong uá tình mò m m cần chú ý r ng ở đây u tích chỉ có thể là một trong những hình sau: đường

th ng, đoạn th ng, đường tròn, cung tròn ếu ba điểm của u tích không

th ng hàng thì có thể dự đoán u tích là đường tròn hoặc cung tròn ếu một điểm của u tích có thể chạy ra xa mãi mãi thì u tích có thể là đường th ng

Phân tích dấu hiệu AM BM với A, B đã cho ta thấy tập hợp điểm M chính

là tập hợp những điểm cách đều hai điểm cố định A, B nên ta dự đoán M thuộc đường trung trực của đoạn th ng AB

Đường trung trực của đoạn th ng AB phải ua trung điểm H của AB và ta luôn tìm được H vì biết A và B

MH luôn vuông góc AB nên n MH và AB luôn cùng phương Vì A và B đã

biết nên ta có thể tìm được tọa độ của AB, t đó suy ra n MH T đây, ta có thể đi theo một trong các hướng sau:

Hướng 1: Viết ptt của MH vì biết điểm đi ua và VTPT

Hướng 2: T VTPT suy ra VTCP của MH nên ta viết được ptts của MH vì

biết điểm đi ua và VTCP

Hướng 3: T VTPT suy ra VTCP của MH nên ta viết được ptct của MH vì

biết điểm đi ua và VTCP

*) Đối với những bài toán tìm tòi không thuộc bài toán u tích thì khâu quan trọng nhất trong việc giải toán là mò m m kết uả

đường th ng ∆:x 2y  6 0

Phân tích dữ kiện d // ∆, ta có:

(i) n d n và ta luôn tìm được nvì ∆ đã cho phương trình;

(2i) n u d.   0 và ta luôn tìm được uvì ∆ đã cho phương trình;

(3i) u d u và ta luôn tìm được uvì ∆ đã cho phương trình;

(4i) u n d.   0 và ta luôn tìm được nvì ∆ đã cho phương trình;

Khi đó:

+ T i hoặc 2i ta tìm được n d T đây ta viết được ptt của đường th ng

d vì biết điểm đi ua và VTPT

+ T 3i hoặc 4i ta tìm được u d Ta có thể viết ptts của đường th ng d vì

biết điểm đi ua và VTCP

+ T 3i hoặc 4i ta tìm được u d và nhận thấy hoành độ và tung độ của

VTCP luôn khác không Ta có thể viết ptts của đường th ng d vì biết điểm đi

+ Với    7 ,     0, ta được phương trình của ∆ có dạng:

Ta có thể mò m m, dự đoán b ng các câu hỏi: Bài toán có hợp lý không? Giả thiết có thể được thỏa mãn không? Giả thiết có đủ điều kiện để xác định ẩn hay không? Thiếu hay th a, v a hay đủ? T đó rút ra các cách tìm ẩn thỏa mãn

đề bài

Như vậy mục đích của tìm tòi là tìm ra được một số đối tượng nhất định Tìm ra những ẩn của bài toán thỏa mãn điều kiện ràng buộc với các dữ kiện của bài toán đó Ẩn có thể là những phạm trù hết s c khác nhau Ch ng hạn, trong các bài toán về ch ng minh thì ẩn là điều phải ch ng minh; còn trong các bài toán giải phương trình đại số thi ẩn là một số nghiệm của phương trình đó Ta

s gọi ẩn, điều kiện, dữ kiện là những phần chính của bài toán tìm tòi Vì vậy trong quá trình giải một bài toán học sinh cần chú ý tới những điều đó

1.5.2 Tương tự h a gi p phân t ch các trường hợp, các bài toán c iểm

giống nhau

Tương tự hóa là uá trình suy nghĩ phát hiện ra sự giống nhau giữa hai đối tượng để t những sự kiện đã biết đối với đối tượng này dự đoán những sự tương ng đối với đối tượng kia Ở đây trong hai đối tượng đem ra so sánh có một đối tượng mà ta biết tường tận, còn đối tượng kia ta đang đặt vấn đề tìm hiểu nó

Để tiến hành tương tự hóa bao giờ ta cũng phải bắt đầu t sự phân tích và

so sánh để tìm ra ch giống nhau, ch khác nhau của hai đối tượng mang ra so sánh T đó d n đến những dự đoán về những sự kiện s xảy ra đối với đối tượng mà ta đang nghiên c u

V ụ 4: So sánh hình chữ nhật và hình hộp chữ nhật ta thấy những uan hệ giữa

các cạnh của hình chữ nhật giống như những uan hệ giữa các mặt của hình hộp chữ nhật Cụ thể:

M i cạnh của hình chữ nhật chỉ song song và b ng cạnh đối diện, vuông góc với những cạnh còn lại

hư vậy, so sánh là điểm bắt đầu của tương tự hóa và tương tự hóa là mục đích của sự so sánh

Tương tự hóa giúp ta dự đoán những sự kiện chưa biết t những sự kiện đã biết tương ng với nó trong ph p tương tự này Trong toán học có nhiều sự kiện tương tự và sự tương tự đạt đến m c chính xác toán học là sự đ ng cấu Trong

uá trình dạy học toán học có thể tận dụng những cơ hội thích hợp để cho học sinh tập dự đoán b ng tương tự hóa

hờ so sánh các đối tượng với nhau mà ta nhận th c được các đối tượng đó một cách sâu sắc Trong giải toán t sự so sánh các bài toán ta có thể tìm ra lời giải của các bài toán cần giải b ng cách lợi dụng kết uả, phương pháp, hay kinh nghiệm giải những bài toán đã giải

Đặc biệt trong việc tìm lời giải cho một bài toán sử dụng phương pháp tương tự có thể giúp ta giải được bài toán một cách nhanh chóng nếu học sinh biết cách liên hệ giữa bài toán cần giải với bài toán đã giải

Khi gặp những bài toán có các phần tương tự nhau để tránh việc trình bày dài dòng, người ta thường sử dụng những cụm t như: "Ch ng minh tương tự ta có…" hay "Tương tự ta có kết uả…" Cách trình bày này cho học sinh hiểu người ta hay đối tượng này b ng đối tượng kia mà việc ch ng minh hay tìm kết

uả không có gì mới và khác

Bài toán 1 Cho đường th ng ∆:2x  y 7 0 Ch ng minh r ng điểm A(0;7)

Ch ng minh r ng điểm B10; 4   là điểm cố định mà họ đường th ng m n;  đi ua

So sánh hai bài toán trên ta thấy chúng thuộc cùng một dạng, các câu hỏi tương tự nhau Ở bài toán 1 học sinh d dàng giải uyết dựa vào điều kiện cần

và đủ để một điểm thuộc đường th ng hưng để giải bài toán 2 là một bài toán

t ng uát hơn thì học sinh cần biết cách giải bài toán 1 t trước thì đến bài toán

2 s giải uyết d dàng hơn

- Ở bài toán 1, để ch ng minh A ta ch ng minh tọa độ của điểm A thỏa mãn phương trình đường th ng ∆ Thật vậy, thay tọa độ của điểm A vào phương

trình đường th ng ∆ ta được: 2.0 7 7      0 0 0 đpcm

- Ở bài toán 2, để ch ng minh điểm B10; 4   là điểm cố định mà các đường

th ng trong họ đường th ng m n;  đã cho đi ua, t c là B thuộc tất cả các đường

th ng của hay tọa độ của điểm B thỏa mãn phương trình của m n; , m n, .Thật

vậy, thay tọa độ của điểm B vào phương trình của ta được:

Ta có thể cho học sinh làm những bài toán có dạng tương tự như trên dựa trên cơ sở học sinh đã biết cách giải

V ụ 5 : Cho họ đường th ng ( m) :m 2x my  2m  5 0 Tìm điểm cố định

M mà họ đường th ng đi ua

Phân tích:

Hướng 1: Giả sử M x y 0 ; 0

T dấu hiệu M là điểm cố định của một họ đường th ng  M ta được M là

điểm mà mọi đường th ng trong họ đường th ng  M đi ua

M là điểm mà mọi đường th ng trong họ đường th ng  M đi ua nếu tọa

độ của điểm M thỏa mãn phương trình của mọi đường th ng n m trong họ

Khi đó giải hệ phương trình * ta tìm được tọa độ của điểm M

Hướng 2: T dấu hiệu M là điểm cố định của một họ đường th ng  M ta được

M là giao điểm của hai đường th ng bất kì n m trong họ đường th ng  M

Ta lấy được hai đường th ng bất kì n m trong họ đường th ng  M vì phương trình của họ đường th ng  M đã cho và khi đó ta tìm giao điểm của chúng Tọa độ giao điểm của hai đường th ng bất kì đó chính là tọa độ của điểm

M cần tìm vì hai đường th ng đó là hai đường th ng bất kì

Trong khi giải bài tập nếu giáo viên sử dụng lớp các bài toán tương tự thì s giúp cho học sinh hình thành k năng thành thạo trong giải bài tập và tạo cho học sinh thói uen hay phản ng khi đ ng trước những đề toán mà mình đã biết cách giải

1.5.3 Đặc bi t h a

Theo G.Polya: "Đặc biệt hóa là chuyển t việc nghiên c u một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên c u một tập nhỏ hơn ch a trong tập hợp đã cho" Đặc biệt hóa trong giải toán là thu gọn việc nghiên c u bài toán về những

bộ phận có phạm vi nhỏ hơn và có đặc điểm riêng n i bật của bài toán ban đầu Học sinh thường tiến hành đặc biệt hóa khi chuyển việc nghiên c u cả một lớp đối tượng sang một đối tượng cụ thể riêng biệt của lớp đó Đặc biệt hóa

thường sử dụng trong chỉ ra ví dụ phản ví dụ về khái niệm, các kết uả riêng của đinh lý, cách giải các bài tập đặc biệt hay đơn giản

Đặc biệt hóa trong toán học thường xuyên được khai thác sử dụng theo hai con đường khác nhau Con đường th nhất: Đặc biệt hóa t cái t ng uát tói cái riêng lẻ sau đó đặc biệt hóa tới cái riêng lẻ đã biết hoặc chưa biết Con đường

th hai: Đặc biệt hóa t cái riêng tới cái riêng hơn sau đó đặc biệt hóa tới cái riêng lẻ đã biết hoặc chưa biết

1.5.4 uy lu n lôgic

Giải bài tập là uá trình suy luận nh m khám phá ra uan hệ logic giữa cái

đã cho và cái phải tìm Thông thường dể giải một bài toán học sinh phải lập được một lược đồ xác định và mạch lạc những thao tác logic toán học hay thực

ti n Bắt đầu b ng giả thiết và kết thúc b ng kết luận

D n dắt t các đối tượng đến ẩn: Phân tích các đối tượng của đề bài cho dưới nhiều khía cạnh và góc độ khác nhau Vận dụng chúng một cách linh hoạt vào việc tính toán hay ch ng minh để có cái cần tìm

Tuy nhiên, nhiều khi trong việc tìm lời giải đòi hỏi học sinh phải sử dụng các công cụ toán học mà học sinh đã biết, đã ch ng minh để giải mà không phải

là hoàn toàn dựa vào những dữ kiện đề bài đã cho ó có thể là các công th c, các định lý, các đ ng th c… mà học sinh được uyền áp dụng để ch ng minh hay giải toán

Trong việc suy luận học sinh có thể dung phương pháp suy xuôi hoặc suy ngược Khi đúng trước một bài toán ta có thể đi t cái mà bài toán đã cho để đến cái mà bài toán yêu cầu ếu việc suy luận xuôi không hiểu uả thì ta có thể dùng suy ngược, đi t cái phải tìm và phân tích đi lên dữ kiện bài toán đã cho Sauk hi đã tìm được cách giải ta trình bày ngược lại

t lu n chương

Chương 1 nghiên c u 5 vấn đề chính: 1) Phương pháp chung để giải một bài toán; 2) K năng phân tích tìm lời giải của bài toán; 3 K năng phân tích nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau; 4 R n luyện k năng phân tích nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để tìm hướng giải toán; 5 Một

số k năng khác giúp cho việc phân tích có hiệu uả T đó định hướng cho các vấn đề s nghiên c u ở chương 2

e và e2 Khi đó bộ {O;e1,e2} được gọi là hệ tọa độ aphin hay hệ tọa độ xiên

Hệ tọa độ aphin thường dùng để giải các bài toán aphin, t c là các bài toán

có liên uan đến tính chất không đ i ua ph p biến đ i aphin như tính chất song song, đồng uy của các đường th ng, tính th ng hàng của 3 điểm

2 .2 Tọa ộ của iểm, của ectơ ối ới một h tọa ộ cho trước

Trong mặt ph ng cho hệ tọa độ Khi đó:

Nhận xét:

+ ếu u là VTCP của đường th ng ∆ thì mọi vectơ k u với k  0 cũng là VTCP của ∆

+ Một đường th ng hoàn toàn xác định khi biết VTCP và một điểm của nó

 với H là hình chiếu của M lên đường th ng 

* ếu đường th ng  :AxBy C  0 chia mặt ph ng Oxy thành hai nửa mặt

Gọi d và d' là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường th ng

Cho hai đường th ng 1:A x1 B y C1  1 0 và 2:A x2 B y C2  2  0

Kí hiệu α là góc giữa ∆1 và ∆2, khi đó 0

+ Hệ I có một nghiệm x y0 ; 0, khi đó ∆1 cắt ∆2 tại M x y 0 ; 0

+ Hệ I có vô số nghiệm, khi đó ∆1 và ∆2 có vô số điểm chung, hay ∆1trùng với ∆2

+ Hệ I vô nghiệm, khi đó ∆1 và ∆2 không có điểm chung, hay ∆1 song song với ∆2

Nhận xét: T việc x t số nghiệm của phương trình I để suy ra vị trí tương đối

của của hai đường th ng ∆1 và ∆2 ta có kết uả sau:

+ ∆1 //∆2

0 0 0

x y

D D D

chúng trùng nhau

2.2 ột số bi n pháp ể rèn luy n ỹ năng nhìn nh n bài toán dưới nhi u

g c ộ hác nhau ng d ng phần bài t p ường th ng

Trong giải toán thực ra không có một thuật toán cụ thể nào để giải được mọi bài toán, mà chỉ có thể đưa ra những gợi ý, những lời khuyên, những kinh nghiệm Chúng giúp cho việc tìm lời giải được đúng đắn hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng d n tới thành công hơn Tùy t ng trường hợp cụ thể

mà vận dụng những kinh nghiệm đó càng linh hoạt, càng nhuần nhuy n thì càng

d d n tới thành công, càng nhiều thành công, càng giải được nhiều bài toán thì học sinh càng có nhiều kinh nghiệm và h ng thú giải toán

M i bài toán đều gồm có hai phần chính là giải thiết và kết luận Có nhiều bài toán giả thiết và kết luận ở rất gần nhau, nhưng có bài toán giải thiết và kết luận lại ở xa nhau và cũng có thể rất xa nhau Thường thường khi đưa ra một bài toán nào đó để gây trở ngại cho học sinh, tác giải đã làm cho giả thiết và kết luận ở xa nhau Vì vậy nhiệm vụ của học sinh là phải tìm cách biến đ i bài toán

sao cho giả thiết và kết luận của bài toán tiến lại gần nhau hơn Để làm được điều đó trước hết học sinh phải phân tích và nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc

độ khác nhau để t đó tìm ra hướng đi đúng đắn và khoa học nhất

2.2.1 Bi n pháp : hân t ch giả thi t của bài toán gắn ới những i n th c khác nhau

a) Cơ sở l lu n của bi n pháp:

Phân tích giả thiết giúp ta hiểu rõ bài toán, dữ liệu của bài toán ắm chắc giả thiết ta có được các cơ sở để phân tích bài toán thành các bài cơ bản đã biết Giả thiết của bài toán là cơ sở để ta tìm các định hướng lời giải Quá trình biến

đ i giả thiết s d n đến chi tiết hóa cách giải, phân tích biến đ i t giả thiết đến kết luận phải ua một loạt các cầu, việc phân tích càng tốt thì cái cầu đó càng rõ Các bước phân tích giả thiết càng tốt thì định hướng được các nhịp nối hay là cái cầu liên uan đến giả thiết và kết luận càng tốt, điều đó giúp ta giải uyết được bài toán Phân tích giả thiết r n luyện khả năng phân tích thuận cho học sinh

b) Ý nghĩa, m c ch của bi n pháp

* Ý nghĩa của biện pháp:

- Phân tích giả thiết gắn với những kiến th c khác nhau là yêu cầu bắt buộc có tác dụng trực tiếp giúp hoạt động giải toán đi đến kết uả

- Giúp học sinh hiểu đúng bài toán, nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau;

- Giúp học sinh xác định cơ sở suy luận của bài toán, t đó uyết định chất lượng định hướng giải

- Việc phân tích giả thiết giúp học sinh định ra nhiều hướng giải và thực hiện nhiều cách giải có hiệu uả

Bước 1: Sắp xếp giả thiết theo trình tự kiến th c

Bước 2: Xem x t tất cả các trường hợp kiến th c liên quan đến giả thiết