Hình học trên mặt cầu

Hình cầu là một vật thể giới hạn bởi một mặt bao gồm các điểm cókhoảng cách không đổi tới một điểm cố định gọi là tâm của hình cầu.Đoạn thẳng nối điểm bất kì trên mặt cầu với tâm được gọ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ BÍCH NGUYÊN

HÌNH HỌC TRÊN MẶT CẦU

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN VĂN MINH

Thái Nguyên - Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mục lục

Mục lục 2

1 Các kiến thức cơ bản 6 1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ 6

1.2 Kinh độ và vĩ độ 13

2 Tam giác cầu 16 2.1 Khái quát về tam giác cầu 16

2.1.1 Tam giác cầu và các yếu tố cơ bản 16

2.1.2 Tính chất của tam giác cầu 18

2.1.3 Tam giác cầu cực 19

2.2 Các định lí trong tam giác cầu 22

2.2.1 Định lí hàm sin 22

2.2.2 Định lí cosin thứ nhất 23

2.2.3 Hướng tàu 25

2.2.4 Định lí hàm số cosin thứ hai 27

2.2.5 Định lý hàm số cotang 28

2.3 Các công thức theo góc, cạnh chia đôi 31

2.3.1 Công thức góc chia đôi 31

2.3.2 Công thức tổng hai góc chia đôi, hiệu hai góc chia đôi 32

2.4 Giải tam giác cầu 33

2.4.1 Khái quát chung 33

2.4.2 Giải tam giác cầu khi biết 3 cạnh 34

2.4.3 Giải tam giác cầu khi biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy 36

2.4.4 Giải tam giác cầu biết 2 cạnh và một góc đối diện với một trong 2 cạnh ấy 39

2.4.5 Giải tam giác cầu biết 2 góc và một cạnh đối diện với một trong 2 góc ấy 42

2.5 Tam giác cầu vuông 43

2.5.1 Tam giác cầu vuông 43

2.5.2 Hai quy tắc dễ nhớ của Nêpe 44

2.5.3 Các ví dụ ứng dụng 45

3 Thiên cầu 50 3.1 Độ cao và góc cực; Độ thiên và góc giờ 50

3.1.1 Độ cao và góc cực 50

3.1.2 Độ thiên và góc giờ 53

3.2 Biểu đồ cho nam bán cầu và những ngôi sao thấy ở đường chân trời 57

3.2.1 Biểu đồ cho nam bán cầu 57

3.2.2 Những ngôi sao thấy ở đường chân trời 58

3.3 Độ lệch tiêu chuẩn hoặc thiên cầu địa tâm và cách tính góc tam giác cầu P ZX 60

3.3.1 Độ lệch tiêu chuẩn hoặc thiên cầu địa tâm 60

3.3.2 Cách tính góc tam giác cầu P ZX 62

3.4 Sự tiến thẳng và độ nghiêng; Quỹ đạo của trái đất 64

3.4.1 Sự tiến thẳng và độ nghiêng 64

3.4.2 Quỹ đạo của trái đất 66

3.5 Kinh độ và vĩ độ thiên; Thời gian thiên văn 69

3.5.1 Kinh độ và vĩ độ thiên 69

3.5.2 Thời gian thiên văn 70

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Lời mở đầu

Việc ứng dụng hình học trong mặt phẳng đã được rất nhiều chuyên giavới nhiều công trình nghiên cứu khác nhau Tuy nhiên, từ khi con ngườiphát hiện ra trái đất không phải là mặt phẳng mà là hình cầu thì việcnghiên cứu hình học phẳng chưa đáp ứng được yêu cầu nghiên cứu vềthiên văn và hàng hải Vì vậy nó thôi thúc một lĩnh vực nghiên cứu mới

đó là ”Hình học cầu”

Hình học cầu ra đời đã phần nào đáp ứng được nhu cầu nghiên cứu

về việc đi lại trên biển, về việc đi lại giữa các vì sao, về vũ trụ, Vì vậy,hình học cầu không thể thiếu được trong các môn học nghiên cứu về thiênvăn và hàng hải Việc nghiên cứu hình học cầu là niềm say mê của không

ít người đặc biệt là những người đang trực trực tiếp dạy toán Chính vìthế để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập tác giả đã chọn đề tài ”Hìnhhọc trên mặt cầu” làm đề tài nghiên cứu của luận văn

Đề tài nhằm một phần nào đó đáp ứng mong muốn của bản thân vềmột đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc học tậpcủa các em học sinh, sinh viên nghiên cứu lĩnh vực thiên văn, hàng hải.Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục

tài liệu tham khảo

Chương 1 Các kiến thức cơ bản

Chương 1 đưa ra các kiến thức về các định nghĩa, định lý và tính chất

cơ bản của hình học cầu

Chương 2 Tam giác cầu

Chương 2 đưa ra định nghĩa, tính chất của tam giác cầu, tam giác cầucực; các định lý và các công thức cơ bản của tam giác cầu Đặc biệt, chương

2 đưa ra các phương pháp giải tam giác cầu kèm theo ví dụ minh họa chotừng trường hợp cụ thể Đồng thời ở chương 2 chúng tôi muốn giới thiệuviệc ứng dụng của hình học cầu trong lĩnh vực hàng hải

Chương 3 Thiên cầu

Chương 3 đưa ra định nghĩa, tính chất của các yếu tố liên quan tới thiêncầu Đồng thời chương 3 cũng giới thiệu các cách xác định vị trí trên thiêncầu như: tính góc cầu của tam giác cầu, tính góc phương vị, góc giờ, độlệch của vị trí 1 ngôi sao xác định trên thiên cầu

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của tiến TSNguyễn Văn Minh Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâusắc đối với người thầy của mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn chỉ bảo

và mong muốn được học hỏi thầy nhiều hơn nữa

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, KhoaToán-Tin trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên, các thầy côgiáo dạy lớp Cao học Toán K3 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và truyền

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu-các thầy cô giáo tổToán-trường THPT Nhã Nam-tỉnh Bắc Giang, bạn bè, đồng nghiệp cùnggia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ khích lệ tôi hoàn thành luận vănnày

Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã tập trung học tập và nghiêncứu một cách nghiêm túc trong suốt khóa học Tuy nhiên,do hạn chế vềthời gian, cũng như trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện khôngtránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của cácthầy cô giáo và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiệnhơn

Thái Nguyên 2011Nguyễn Thị Bích Nguyên

Chương 1

Các kiến thức cơ bản

1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ

Trước hết ta có một vài định nghĩa sau

1 Hình cầu là một vật thể giới hạn bởi một mặt bao gồm các điểm cókhoảng cách không đổi tới một điểm cố định gọi là tâm của hình cầu.Đoạn thẳng nối điểm bất kì trên mặt cầu với tâm được gọi là bán kính.Đoạn thẳng đi qua tâm nối hai điểm bất kì trên mặt cầu gọi là đườngkính

2 Giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng là một đường tròn

CA

O DB

Giả sử AB là giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng nào đó,

O là tâm hình cầu Kẻ OC vuông góc với mặt phẳng; lấy D thuộc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

giao tuyến và nối OD, CD Vì OC vuông góc với mặt phẳng nên góc

\

OCD là góc vuông; do đó CD = √

OD2

− OC2 Do O và C cố địnhnên OC là hằng số; OD cũng là hằng số vì bằng bán kính hình cầuvậy nên CD là hằng số Như vậy mọi điểm trên giao tuyến đều cách

C một khoảng không đổi, tức C là tâm của đường tròn giao tuyến

3 Giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng được gọi là đường tròn lớn nếumặt phẳng đó đi qua tâm hình cầu, gọi là đường tròn nhỏ nếu mặtphẳng đó không đi qua tâm hình cầu Như vậy bán kính đường trònlớn bằng với bán kính hình cầu

4 Trục của một đường tròn là đường kính của hình cầu vuông góc vớimặt phẳng chứa đường tròn; hai điểm đầu của đường kính gọi là cáccực của đường tròn Khoảng cách từ các cực của đường tròn lớn đếnmặt phẳng chứa đướng tròn là bằng nhau Các cực của đường trònnhỏ có khoảng cách khác nhau đến mặt phẳng chứa đường tròn; chúngđược gọi là tương ứng cực gần và xa

P T

DBO

RC

SFE

AXY

Q

B’

Trên hình vẽ, EAB là một đường tròn lớn, vì mặt phẳng chứa nó

đi qua tâm của hình cầu Giả sử QOP là đường kính của hình cầuvuông góc với mặt phẳng (EAB) Lấy điểm R tùy ý trên OP, vẽ mặtphẳng qua R và song song với (EAB) giao với hình cầu theo đườngtròn nhỏ F CD Các điểm P, Q là các cực của đường tròn lớn EAB

và đường tròn nhỏ F CD

Giả sửP CAQlà đường tròn lớn đi qua các cựcP, Qvà cắtF CD, EAB

lần lượt tại C vàA; P DB là một cung của đường tròn lớn khác đi qua

P, Q Khi đó ta nói tại P có 1 góc cầu và được xác định theo cách sau:

Vẽ tiếp tuyến P S, P T tương ứng với các cung P A, P B; hiển nhiên

P T song song vớiOB, P S song song vớiOA Góc SP T[ gọi là góc cầu

tại P tạo bởi 2 cung đường tròn lớn P A, P B và nó bằng AOB[

5 Khoảng cách từ các điểm trên đường tròn đến các cực của đường trònluôn bằng nhau

P

BC

O

DA

P’

Giả sử O là tâm của hình cầu, AB là đường tròn bất kì, C là tâm,

P và P0 là các cực của đường tròn Lấy D thuộc đường tròn; nối

do đó P D cũng không đổi Giả sử có đường tròn lớn qua P và D thìdây cung P D không đổi, tức là cung của đường tròn lớn nằm giữa P

và D là hằng số khi D chạy trên đường tròn AB

6 Cung của đường tròn lớn tính từ cực tới bất kì điểm nào trên đườngtròn bằng 900

PB

OAC

Giả sử P là cực của đường tròn lớn ABC thì cung P A có số đobằng 900

Thậy vậy ta thấy P O vuông góc với(ABC) vìP là cực của (ABC),

do đó P OA[ bằng 900 nghĩa là sđ P A_ bằng 900

7 Góc trương ở tâm hình cầu của một cung đường tròn lớn nối các cựccủa 2 đường tròn lớn luôn bằng góc giữa 2 mặt phẳng chứa các đườngtròn đó

A B

MNE

ODC

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read