hình học lớp 11 cơ bản và nâng cao

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình Đây có phải là phép dời hình không?. Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 phép biến hình Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình?vì sao?.

Trang 1

O

D(1; 0)

Trang 2

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

I Các ký hiệu và thuật ngữ của phép biến hình :

1 Định nghĩa: Nếu ký hiệu phép biến hình là f thì ta viết f(M)M' khi đó M’ được gọi là ảnh của M qua phép biến hình f

2 Phép biến hình của một hình: (H) là một hình tùy ý tronng mặt phẳng và f là một phép biến hình trong mặt phẳng :

4 Phép giời hình: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Giải sử f là một phép biến hình tùy ý :

Trang 3

Trang 4

Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2) và bán kính R 2

Gọi C’(I’,R’) là ảnh của (C) qua phép dời hình f khi đó ta có:

' ( )

I  f I và R' R 2

(vì f là phép dời hình nên không thay đổi kích thước của hình )

Vậy ảnh của (C) qua phép dời hình f là ( ') : (C x4)2(y3)2 2

d (Sử dùng biểu thức tọa độ đặt trưng của f )

 Tam giác tành tam giác bằng nó (đồng thời biến các tâm của tam giác này thành tâm của

tam giác kia(tam giác ảnh))

: I(-1; 2) I’ =

: M(x; y) M’(x’; y’) =

Trang 5

 Đường tròn thành đường tròn bằng nó (biến tâm đường tròn này thành tâm đường tròn

kia)

 Biến góc thành góc bằng nó

II Bài tập minh họa:

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình

Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(-1 ; 2), C(2; - 4) qua phép biến hình f

Từ đó xét xem f có phải là phép dời hình không

ĐS: A’(1; 5) , B(-7; 6), C(3; -1) f : Không phải là phép dời hình

Tìm ảnh của các điểm A(2; 1), B(-1 ; 3), C(-2; 4) qua phép biến hình f

Từ đó xét xem f có phải là phép dời hình không

ĐS: A’(4; 3) , B(-4; -4), C(-7; -7) f : Không phải là phép dời hình

Đây có phải là phép dời hình không? Vì sao?

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 phép biến hình

Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình?vì sao?

Trang 6

Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 3y – 2 = 0 qua phép biến hình f trên

Khẳng định nào dưới đây sai ?

A f là phép dời hình

B Nến A Oy thì f A( ) A (điểm A bất biến đối với phép biến hình f )

C f là phép đồng nhất

D f M (2;3) thuộc đường thẳng 2x + y + 1 = 0

E M và f M đối xứng nhau qua trục hoành ( )

Tìm ảnh của A(4; -1) qua f rồi g (tức là tìm A' f g A   )

Trang 7

PHÉP TỊNH TIẾN

A Cơ sở lý thuyết :

1 Định nghĩa : Tv : phép tịnh tiến theo vectơ v

v MM M

 Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định nếu ta biết được vectơ tịnh tiến của nó

 Khi vectơ tịnh tiến là vectơ không thì phép tịnh tiến đó biến mọi điểm M thành chính nó Ta gọi phép tịnh tiến theo vectơ không là phép đồng nhất

2 Biểu thức tọa độ : Cho vectơ v ( a ; b ) Khi đó ta có phép tịnh tiến :

a x x

 Phép tịnh tiến theo vectơ v biến :

 Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho

 Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho

 Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho {khi đó

ta chỉ cần xác định ảnh của tâm}

B Các dạng toán thường gặp :

I Các bài toán tọa độ :

1 Xác định pt ảnh (d’) của đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ v ( a ; b ):

Trang 8

 Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua M’ và có vectơ pháp tuyến n ( A ; B )

0)'(

)'(

:)'

 d A x x B y y



Phương pháp 2:

 Chọn hai điểm M(x0 ; y0) , N(x1 ; y1) cụ thể thuộc đường thẳng (d)

 Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x0’ ; y0’) và N’(x1’ ; y1’) là ảnh của M và N qua phép tịnh tiếnTv

 Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’

' '

'

' :

) ' (

1 0

1 1

0

1

y y

y y x

x

x x d

2 Xác định pt ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v ( a ; b ):

 Xác định tâm O(x0 ; y0) và bán kính R của đường tròn (C)

 Dùng biểu thức tọa độ để tìm tọa độ ảnh O’(x0’ ; y0’) của tâm O qua phép tịnh tiến Tv

 Đường tròn (C’) là đường tròn có tâm O’ và bán kính R :    2 2

0 2

:)'(C xx  yy R



3 Xác định pt ảnh (H’) của đường (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ v ( a ; b ):

 Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H): f(x,y)0

 Gọi M’(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tv ( ' ; ' )

'

b y a x M b y y

a x x

;(:)'

 H f x a y b

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (Oxy) cho u1; 2 

a Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau :

Đường thẳng a có phương trình : 3x - 5y + 1 = 0 Đường thẳng b có phương trình : 2x + y + 100 = 0

b Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : x2y24x  y 1 0

c Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) :

Trang 9

Theo biểu thức tọa độ ta có: ' 1 ' 1 ( ' 1; ' 2)

Hoàn toàn tương tự ta có : M x( ' 1; y' 2) b 2( ' 1) ( ' 2) 100x   y    0 2 'x  y' 1000

II Các bài toán hình học cổ điển :

1 Chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học :

 Từ giả thuyết tìm hai điểm cố định phù hợp để xây dựng một vectơ cố định

 Xác định một phép tịnh tiến phù hợp theo vectơ cố định vừa tìm được (tức là dựng một hình bình hành

phù hợp sao cho một cạnh chứa 2 điểm vừa xác định ở bước trên)

 Dùng tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến để chứng minh các yếu tố trong hình hoặc xác định các tính chất của hình

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và điểm B’sao cho tia B’B cắt cạnh AC Phía ngoài

tam giác ABC dựng các hình bình hành BB’A’A, BB’C’C và AA”C”C sao cho A là trung điểm của đoạn AA” Chứng minh rằng :

Trang 10

Lại có A là trung điểm của A’A” A A'  AA"

Do đó : A A'  AA"CC"C C' B B'

Theo định nghĩa phé tịnh tiến ta có:

Mà TB B' là phép dời hình nên ta có A’B’C’CA và ABCC”A” là các ngũ giác bằng nhau S A B C CA' ' ' S ABCC A" "

B’

B

A : A’

A’B’C’CA ABCC”A”

C C’

B B’

M : A

Trang 11

DMA

  cân tại M (vì MAD600MAB300)

0 0

6

6.sin 6.sin120

2 Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước : (quỹ tích)

 Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho EM v không đổi (tức là phải tìm ra một hình bình

hành có EM là cạnh và cạnh đối diện của nó phải cố định)

 Xác định hình (H) là quỹ tích của điểm E

 Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) - ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ v

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có đáy AB cố định và đáy CD thay đổi Biết AB = a

và CD = b (với a, b khôngđổi) Tìm quỹ tích điểm C trong các trường hợp sau

a Góc ADB900

b DA = DB

Giải:

a

 Gọi I là trung điểm AB I cố định

gt ADB vuông tại D 

R bỏ đi hai điểm A và B ((C):cố định)

 Goi A’ thuộc cạnh AB sao cho: AA' b

AB  a AA CD' là hình bình hành DC AA' (với AA cố 'định) Từ đó theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có:

Mà điểm D chạy trên đường tròn (C) nên điểm C sẽ chạy trên đường tròn (C’)

Vậy tập hợp tất cả các điểm C là đường tròn (C’) tâm I'T AA' I và bán kính

Trang 12

b

 Gọi d là trung trực của AB  d cố định (vì A, B cố định)

theo giả thiết ta có DADB

D chạy trên d (bỏ trung điểm AB)

 Goi A’ thuộc cạnh AB sao cho: AA' b

AB a '

AA CD

 là hình bình hành DCAA' (với AA cố định) Từ đó theo định 'nghĩa phép tịnh tiến ta có:

Mà điểm D chạy trên đường thẳng d nên điểm C sẽ chạy trên đường thẳng d’

Vậy tập hợp điểm C là đường thẳng d'T AA' d ,bỏ giao điểm của d’ và đường thẳng AB

Ví dụ 2: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi

trên đường tròn đó Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định

Vậy quỹ tích của điểm H là đường tròn tâm O'T B C' ( )O (tức là OO 'B C' )và bán kính R

H : A

Trang 13

Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B Gọi d là

đường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt (O) , (O’) lần lượt tại M và N

Lấy điểm P trên tia AM, điểm Q trên tia AN sao cho AP = AQ = 1

I là hình chiếu của O’ lên OH

K là trung điểm của OO’

Khi đó ta có:

OI O' '900 I’ chạy trên đường tròn (K)

' 90

OIO   I chạy trên đường tròn (K)

Với (K) là đường tròn cố định (vì (K)có đường kính OO’ cố định)

a Ta có: OI’H’H là hình chữ nhât (vì có 3 góc vuông)

Do đó ta có phép tịnh tiến sau:

Lại có điểm I’ chạy trên đường trong (K) nên điểm Q chạy trên đường tròn (K')T OA ( )K Vậy quỹ tích của Q là đường tròn (K')T OA ( )K

Trang 14

(với tâm K’ được xác định bởi đẳng thức KK'OA và bán kính '

2

OO

b Hoàn toàn tương tự câu a ta có

Quỹ tích của P là đường tròn tâm (K")T O A'  ( )K

(với K” được xác định bởi đẳng thức KK"O A' và có bán kính '

một cạnh cố định và hai điểm thay đổi (trong đó có một điểm cần tìm quỹ

tích và một điểm cho trước quỹ tích hoặc có tìm cũng rất đơn giản)

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh A cố định, BD có độ dài không đổi bằng 2

và A,B,D nằm trong đường tròn cố định O, bán kính R Tìm quỹ tích của đỉnh C

Giải:

Gọi H là trực tâm của tam giác ABD

I là trung điểm BD A’ đối xứng A qua tâm O

Khi đó ta có:

/ / ''

 OI là đường trung bình của AHA' AH 2OI (1)

AH OI  R 

 quỹ tích của điểm H là đường tròn (C) tâm A bán kính 2 R21

Vì ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của AC

.

Trang 15

 OI là đường trung bình của ACA' A C' 2OI (2)

Từ (1) và (2) ta có: A C'  AH  AHCA’ là hình bình hành HCAA' Lại có AA cố định (vì A cố định và O cố định) '

Do đó theo định nghĩa của phép tịnh tiến ta có:

Lại có H chạy trên đường tròn  2 

 (Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định và vectơ v không đổi cho trước sao cho khi thực hiện

phép tịnh tiến theo vectơ v ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M cần dựng

 Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng

Ví dụ: Cho hai đường tròn (O,R) và (O’, R’) {với RR'} và đường thẳng 

Hãy dựng đường thẳng d song song với  và chắn đường tròn (O) , (O’) những dây cung bằng nhau

Giải:

Phân tích: Giả sử dụng được đường

thẳng d //, cắt (O) và (O’) tại A, B và A’, B’

Trang 16

Mà A, B thuộc (O,R) nên A’, B’ thuộc (I,R)

Do đó ta có:

, ( , ) , ( , )

,' '

Bài toán có nghiệm hình khi và chỉ khi 2 đường tròn (I, R) và (O’,R’)cắt nhau

Khi đó bài toán chỉ có một nghiệm hình

A

(O,R) (I, R)

B B’

Trang 17

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 0), B(-2; 4), C(-4; 5) G là trọng

tâm tam giác ABC và phép tịnh tiến theo vectơ u0 biến A thành G

Tìm G’ là ảnh của G qua phép tịnh tiến đó

x x x y y y ABC G      G

( ') :C x y 10x4y250.Có hay không phép tịnh tiến vectơ u0 biến (C) thanh (C’)

HD: (C) có tâm I(1; -3), bán kính R = 2, (C’) có tâm I’(5; -2), bán kính R’ = 2

Do R = R’ = 2 nên tồn tại một phép tịnh tiến theo uII' 4;1 biến (C) thành (C’)

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 5 = 0 Tìm phương trình của

đường thẳng d’ là ảnh của d thông qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau a) v 1; 2 b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x1 2 y 22 4 Tìm phương trình của

đường tròn (C’) là ảnh của (C) thông qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau a) v4; 3  b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

Trang 18

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip  : 2  2 1

9 4

x y

E Tìm phương trình của Elip (E’) là ảnh của (E) thông qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau a) v4; 3  b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho Hypebol  : 2  2 1

16 9

x y

H Tìm phương trình của Hypebol (H’) là ảnh của (H) thông qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau a) v4; 3  b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol  P y: 2 16x Tìm phương trình của

parabol (P’) là ảnh của (P) thông qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau a) v4; 3  b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d cắt Ox tại A(1; 0), cắt Oy tại B(0; 3)

Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (–1; -2)

Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ v = (2; m)

Tìm m để phép tịnh tiến T v biến d thành chình nó

Bài 14: Cho đoạn AD cố định dựng một hình bình hành ABCD sao cho AC BD

AD  AB Tìm quỹ tích của đỉnh C của hình bình hành ABCD

HD: Đặt AD vào hệ trục như hình vẽ

(không mất tính tổng quát ta đặt AD = 1) Khi đó ta có: AD1, 2 2

O

D(1; 0)

Trang 19

Do đó quỹ tích của B là đường tròn (C) tâm I (với I đối xứng D qua B) và RAD 2 (bỏ hai

giao điểm P, Q của (C) và đường thẳng AD)

Vì ABCD là hình bình hành nên BCAD (với AD cố định)

ĐS:     C  C' \ M N, T AD( ) \C P Q,  (Dễ thấy (C’) có tâm A và bán kính RAD 2)

Bài 15: Cho tam giác ABC Gọi A A A lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB 1, 2, 3

Gọi O O O và 1, 2, 3 I I I Tương ứng là tâm đường tròn ngoại 1, 2, 3tiếp và nội tiếp của AB C1 1,BC A1 1,CA B1 1

Bài 16: Cho hìnht hang ABCD (BC // AD), (tổng hai đáy lớn hơn tổng hai cạnh bên) Gọi M là giao điểm

của các đường thẳng phân giác trong của các góc A và B, gọi N là giao điểm của các

đường giác trong của các góc C và D Chứng minh rằng 2MN = BC + AD – (AB + CD)

Trang 20

Bài 17: Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm

trong tam giác MBD và MBCMDC Chứng minh rằng : AMDBMC

HD: T BA:M M';B A C; D BMC; AM D MBC' ; M AD'

AMM’D là tư giác nội tiếp : AMDAM D'

Bài 18: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định Một điểm M thay đổi trên (O)

Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho : MM'MAMB

HD: MM'MAMBMM'MBMAMM'AB Xét T AB

Bài 19: Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R)

Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi

HD: Xét phép tịnh tiến: T AB

Bài 20: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B

Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho MM'AB

HD: Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R) Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến

theo véc tơ AB Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của

(O;R) qua phép tịnh tiến Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’)

Bài 21: Cho hai đường thẳng song song nhau d và d’ Hãy chỉ ra phép tịnh tiến biến d thành d’

Hỏi có bao nhiêu phép tịnh tiến đó

HD: Xét phép tịnh tiến:

AB

T (Với A d  ,  B d') Có vô số phép tịnh tiến biến d thành d’

Bài 22: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’)

Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến (O;R) và (O’;R’) có bao nhiêu phép tịnh tiến như vậy

HD: Nếu R = R’ thì có duy nhất một phép tịnh tiến T OO' biến (O;R) và (O’;R’)

Nếu RR' thì không có phép dời hình nào biến (O;R) và (O’;R’) kể cả phép tịnh tiến

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	1,78 MB