Hình học trên các mặt phẳng Minkowski với chuẩn Max.: Khóa luận toán học

2 Một số bài toán cực trị trên mặt phẳng Minkowski với chuẩn2.1 Bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm.. 212.2 Bài toán Đẳng chu trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”.. Từ đó, dẫn đến

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

LÊ THỊ LONG

HÌNH HỌC TRÊN MẶT PHẲNG MINKOWSKI VỚI CHUẨN “MAX”

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Bộ môn: Hình học

Cán bộ hướng dẫnPGS TS ĐOÀN THẾ HIẾU

Huế, tháng 5 năm 2011

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ của Thầy giáo, PGS.

TS Đoàn Thế Hiếu Tôi xin gửi đến thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc.Chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô giáo đã giảng dạy lớp Toán

B khóa 2007 - 2011 của trường ĐHSP Huế, đặc biệt là các thầy cô trong khoaToán đã giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên tôi trong suốt quá trình học tập

2 Một số bài toán cực trị trên mặt phẳng Minkowski với chuẩn

2.1 Bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm 212.2 Bài toán Đẳng chu trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” 262.3 Bài toán Fermat - Torricelli trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn

“max” 30

MỞ ĐẦU

Mặt phẳng Minkowski là hình học phi Euclid trong không gian 2 chiều Trongmặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, khoảng cách được tính khác với khoảngcách trong mặt phẳng Euclid Từ đó, dẫn đến nghiệm của cùng bài toán trong mặtphẳng Minkowski với chuẩn “max” khác với trong mặt phẳng Euclid Trong đề tàinày chúng tôi đi sâu tìm hiểu các tính chất của mặt phẳng Minkowski với chuẩn

“max”, đặc biệt là bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm và bài toán Fermat.Nghiệm của bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm trong mặt phẳng Minkowski vớichuẩn “max” không còn là duy nhất như trong mặt phẳng Euclid Nghiệm của bàitoán này là đường thẳng, đường gấp khúc và đường cong lồi nào đó

Bài toán Fermat-Torricelli yêu cầu tìm điểm x làm cực tiểu tổng khoảng cách đến

n điểm bất kỳ x1, x2, , xn Đây là bài toán cổ điển trong mặt phẳng Euclid phẳng,

ở luận văn này chúng tôi sẽ đi tìm hiểu bài toán này trong mặt phẳng Minkowskivới chuẩn “max” Nội dung của luận văn gồm 2 chương

Chương 1 tìm hiểu độ dài, diện tích, tập có độ rộng hằng, tập đều, tập có dây cungđều trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”

Chương 2 tìm hiểu bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm, bài toán đẳng chu, bàitoán Fermat-Torricelli

Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng trong việc trình bày, luận văn vẫn không thểtránh những thiếu sót, chúng tôi mong rất mong được sự đóng góp để luận văn đượchoàn thiện hơn

Xét X là không gian véc tơ thực có số chiều là n.

Định nghĩa 1.1.1 Cho K là một tập con khác rỗng của không gian véc tơ X.Tập K được gọi là lồi nếu αx + (1 − α)y ∈ K, ∀x, y ∈ K, ∀α ∈ [0, 1]

Ta gọi tập B[x, r] = {y ∈ X : ky − xk∞ ≤ r} là hình tròn tâm x bán kính r Khi

đó, B[O, 1] được gọi là hình tròn đơn vị tâm O(0, 0) và tập điểm ∂B = {x ∈ B :

kxk∞ = 1} được gọi là đường tròn đơn vị tâm O(0, 0).

Nhận xét 1.1.2 Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, hình tròn đơn vịtâm O(0, 0) chính là hình vuông đơn vị trong mặt phẳng Euclid

cả toàn bộ đường thẳng thực ) Gọi c = ϕ(I) ⊂ R2, ảnh của bộ tập I Khi đó (c, ϕ)

là một đường tham số với tham số hóa ϕ và tham số t

Đường cong c = {x : x = ϕ(t), t ∈ [a, b]} được gọi là đường cong đơn, đóng nếu hàmϕ(t) liên tục trên [a, b] và ϕ(a) = ϕ(b)

Định nghĩa 1.2.2 Một đường cong đơn, đóng được gọi là lồi nếu nó bao một tậplồi

Một đường cong c từ x0 đến x1 được gọi là lồi nếu c ∪ [x0, x1] là đường cong đơn,đóng, lồi

Ví dụ 1.2.3.

1 [x1, x2] = {x(t)|x(t) = (1 − t)x1+ tx2, t ∈ [0, 1]} là đoạn thẳng từ x1 đến x2

2 Hợp hữu hạn các đoạn thẳng kề nhau [x1, x2] ∪ [x2, x3] ∪ ∪ [xn−1, xn] cũng làmột đường cong và ta gọi là đường gấp khúc, được kí hiệu [x1, x2, , xn] Khi

đó xi, [xi−1, xi] lần lượt được gọi là đỉnh và cạnh của đường gấp khúc

3 Hai đường cong c1 và c2 mà điểm cuối của c1 trùng với điểm đầu của c2 thì tạothành một đường cong mới c1∪ c2

Định nghĩa 1.2.4 Chiều dài của đường gấp khúc P = [x0, x1, , xn] là

Bổ đề 1.2.7 Cho 3 điểm x1, x2, x3 phân biệt trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn

kx1− x2k∞+ kx2− x3k∞ ≥ kx1− x3k∞.Định nghĩa 1.2.8 Cho c1 là đường cong nối từ x đến y.

Đường cong c2 được gọi là nằm trong c1 nếu mọi điểm nằm trên đường cong c2 đềuthuộc miền bao bởi đoạn thẳng [x, y] và đường cong c1

Định nghĩa 1.2.9 Cho c là một đường cong lồi từ x đến y

Một đường gấp khúc lồi P từ x đến y được gọi là nội tiếp c nếu mỗi đỉnh của P đềuthuộc c

Một đường gấp khúc lồi P0 từ x đến y được gọi là ngoại tiếp c nếu c nằm trong P0

và mỗi cạnh của P0 đều tiếp xúc với c

Nhận xét 1.2.10 Nếu c là đường cong lồi từ x đến y, P là đường gấp khúc nộitiếp đường cong c từ x đến y Khi đó µ(P ) ≤ µ(c)

Hình 1.3: Đường gấp khúc nội tiếp.

Bổ đề 1.2.11 Nếu P = [x0, x1, , xn] là đường gấp khúc lồi từ x0 đến xn và nằmtrong [x0, y, xn] thì

Hình 1.5:

Chứng minh Ta có c = {x : x = ϕ(t), α ≤ t ≤ β}

µ(c) = sup{P n

i=1kϕ(ti) − ϕ(ti−1)k∞ : {t0, t1, , tn} là một phân hoạch của [α, β]}

Vì đường cong c nằm trong [x0, y, xn], c lồi nên [ϕ(t1), ϕ(t2), , ϕ(tn)] nằm trong[x0, y, xn] với mọi phân hoạch {t0, t1, , tn} của [α, β], do đó theo Bổ đề 1.2.9 ta có

Hình 1.6: Đường gấp khúc ngoại tiếp.

Chứng minh Giả sử P2 = [x0, x1, , xn] là đường gấp khúc ngoại tiếp c, x0j là cácđiểm chung của c và P2, ∀j = 0, n

Ta gọi x0 = x = x00, xn = y = x0n, x0i = [xi, xi+1] ∩ c, ∀i = 1, n − 1

Khi đó kx0i− xik∞+ kxi+1 − x0ik∞ = kxi+1 − xik∞, ∀i = 1, n − 1 (∗)

Gọi c(x0i, x0i+1) là phần đường cong từ x0i đến x0i+1, ∀i = 1, n − 1 Khi đó, theo Bổ

đề 1.2.10 ta có

µ(c(x0i, x0i+1)) ≤ kxi+1 − x0

ik∞+ kx0i+1 − xi+1k∞

Từ (I), (II), (III) suy ra µ(c) ≤ µ(P2).

Từ kết quả của Bổ đề 1.2.11 và Định lý 1.2.13 ta có kết quả sau:

Mệnh đề 1.2.14 Nếu c1 và c2 là đường cong lồi từ x đến y, với c1 nằm trong c2thì µ(c1) ≤ µ(c2)

Bổ đề 1.2.15 Giả sử c : [α, β] → R2, c(t) = (x(t), y(t)) là đường tham số đơn,đóng với định hướng dương, A là diện tích miền trong của c Khi đó

A =

Z β α

x(t).y0(t)dt

= −

Z β α

y(t).x0(t)dt

=12

Z β α

[x(t).y0(t) − x0(t).y(t)]dt

Chứng minh Ta có

Z β α

(x.y)0dt =

Z β α

(x0.y + x.y0)dt

=

Z β α

x0.ydt +

Z β α

x.y0dt

⇒ A =

Z β α

x.y0dt =

Z β α

(x.y)0dt −

Z β α

x0.ydt

=xy(β) − xy(α) −

Z β α

x0.ydt

= −

Z β α

x0.ydt

⇒ 2A =

Z β α

x.y0dt−

Z β α

x0.ydt

⇒ A = 1

2

Z β α

[x(t).y0(t) − x0(t).y(t)]dt

Nhận xét 1.2.16 Trong mặt phẳng Euclid, hình tròn đơn vị có diện tích bằng πnhưng trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, hình tròn đơn vị có diện tíchbằng 4

Diện tích của tam giác đều đơn vị trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” cóthể khác

2 (Hình 1.7).

Hình 1.7: Diện tích tam giác.

1.3 Các lục giác đều nội tiếp affine.

Định lý 1.3.1 Nếu (X, k.k∞) là mặt phẳng Minkowski, x0 ∈ X thì tồn tại x1, x2

trong X sao cho kxi− xjk∞ = 1, ∀i 6= j, i, j ∈ {0, 1, 2}

Hình 1.8:

Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử x0 = 0 Lấy x1 là điểm thuộc đườngtròn ∂B = {x ∈ X : kxk∞ = 1}

Xét hình tròn B[x1, 1] = {x ∈ X : kx − x1k∞ ≤ 1} là hình tròn tâm x1 bán kính 1.Khi đó, hình tròn tâm x1 bán kính 1 sẽ đi qua điểm x0 nằm trong ∂B và đi quađiểm 2x1 nằm ngoài ∂B Do đó, hình tròn sẽ cắt đường tròn đơn vị tâm x0 tại điểm

x2 Vậy luôn tồn tại x1, x2 thõa mãn điều kiện bài toán

Nhận xét 1.3.2

1 Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, luôn tồn tại các điểm x1, x2 thõamãn kxi − xjk∞ = 1, ∀i 6= j, i, j ∈ {0, 1, 2} nhưng các điểm x1, x2 không duynhất

2 Từ định lý này ta sẽ dựng được lục giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị với cácđỉnh là x1, x2, x2− x1, −x1, −x2, x1− x2

Hình 1.9: Lục giác đều nội tiếp.

Mệnh đề 1.3.3 Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”,

inf{kx + yk∞ : kxk∞ ≥ 1, kyk∞ ≥ 1, kx − yk∞ ≤ 1} ≤√3 (I)

sup{kx + yk∞ : kxk∞ ≤ 1, kyk∞ ≤ 1, kx − yk∞ ≥ 1} ≥√3 (II)

Chứng minh Xét lục giác đều x0x1x2x3x4x5 nội tiếp hình tròn đơn vị tâm O(0, 0),trong đó kx0k∞ = 1, kx1k∞ = 1, kxi− xi−1k∞ = 1, i = 1, 5

Ta đặt yi = √1

3(xi+ xi+1), i = 1, 5 (qui ước x6 = x0, x7 = x1).

Hình 1.10: Lục giác đều nội tiếp.

⇒ inf{kx + yk∞ : kxk∞ ≥ 1, kyk∞ ≥ 1, kx − yk∞ ≤ 1} ≤ kx + yk∞ < √

3

Vậy inf{kx + yk∞ : kxk∞ ≥ 1, kyk∞ ≥ 1, kx − yk∞ ≤ 1} ≤ √3

Tương tự chứng minh được (II)

Hệ quả 1.3.4 Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”,

inf{kx + yk∞ : kxk∞ = 1, kyk∞ = 1, kx − yk∞ = 1} =√

3,sup{kx + yk∞ : kxk∞ = 1, kyk∞ = 1, kx − yk∞ = 1} =√

3

Nhận xét 1.3.5 Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, độ dài đường trungtuyến của tam giác đều đơn vị có thể khác

√3

2 .

Ví dụ 1.3.6 Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” (X, k.k∞), tam giác đềuđơn vị OM N có độ dài các đường trung tuyến OK, N H lần lượt bằng 1

2 và bằng 1.

Trong đó M, N là các giao điểm của đường thẳng có phương −→v với tập lồi K.

Độ rộng của tập lồi K là độ rộng theo phương lớn nhất

Định nghĩa 1.4.2 Một tập lồi K có độ rộng hằng nếu với mọi phương −→v độ rộngcủa tập lồi K không đổi

Ví dụ 1.4.3 Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” (X, k.k∞), độ rộngMinkowski của tam giác OM N theo phương −→v (1, 1) bằng 1

Hình 1.12: Độ rộng của tam giác OMN theo phương.

x1x2 của hình tròn đơn vị tâm O(0, 0) Trên cạnh Ox2 lấy ảnh tịnh tiến của cung(−x1)(x2 − x1), trên cạnh Ox1 lấy ảnh tịnh tiến cung (−x2)(x1− x2) Miền lồi thuđược chính là tam giác Reuleaux Ta ký hiệu là R

Hình 1.13: Tam giác Reuleaux trong mặt phẳng (X, k.k).

Nhận xét 1.4.6 Tam giác Reuleaux độ rộng hằng 2 trong mặt phẳng Minkowskivới chuẩn thông thường (X, k.k) tương ứng với hình tròn bán kính 1 trong mặtphẳng Minkowski với chuẩn “max” (X, k.k∞)

1.4.2 Tập đều

Định nghĩa 1.4.7 Một tập con S trong không gian tuyến tính thực n-chiều Xđược gọi là tập antipodal nếu mỗi cặp điểm p, q ∈ S tồn tại hai siêu phẳng tựa songsong phân biệt P, Q sao cho p ∈ P, q ∈ Q

Định nghĩa 1.4.8 Một tập con S của không gian Minkowski với chuẩn “max”(X, k.k ) được gọi là tập đều nếu mọi cặp điểm của S có cùng khoảng cách

Hình 1.14: Tam giác Reuleaux trong mặt phẳng (X, k.k ∞ ).

Nhà toán học Petty và Scotlan đã chỉ ra tập đều là tập antipodal, Danzer vàGrunbaum đã kết luận rằng trong không gian tuyến tính thực n-chiều một tậpantipodal có nhiều nhất 2n phần tử Do đó ta có định lý sau:

Định lý 1.4.9 Nếu S là tập các điểm trong không gian Minkowski n-chiều thõamãn kx − x0k = c, ∀x, x0 ∈ S(x 6= x0) thì số phần tử của S không vượt quá 2n phần

tử Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi mọi phần tử của S là các đỉnh của hình hộp

Ví dụ 1.4.10

1 Cho tập con S = {M1(x, y), M2(−x, y), M3(x, −y), M4(−x, −y)}

Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, tập S là tập đều nhưng trongmặt phẳng Euclid, tập con S không phải là tập đều

Hình 1.15: Tập đều trong mặt phẳng (X, k.k ∞ ).

2 Tập các đỉnh của tam giác đều là tập đều

1.4.3 Tập có dây cung đều.

Định nghĩa 1.4.11 Cho K là một tập lồi, x ∈ K được gọi là điểm equichordalnếu mọi đường thẳng l đi qua x sao cho các đoạn thẳng giao bởi l với tập lồi K cóchiều dài không đổi

Định nghĩa 1.4.12 Tập lồi K có điểm equichordal được gọi là tập có dây cungđều

Ví dụ 1.4.13 Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, xét tập lồi K có cácbiên là các đoạn thẳng y = 3, y = −1 và hai đường cong có phương trình lần lượt là

x2− xy + 2x − 4y = 0, x2+ xy − 2x − 4y = 0

Hình 1.16: Tập có dây cung đều.

Ta xét d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0, 0), phương trình của d sẽ códạng x = 0 hoặc y = mx

⇒ −→pq = (−4, −4m)

Vậy theo định nghĩa cho thấy tập lồi K này là tập có dây cung đều.

Ví dụ 1.4.14 Cho 4OAB có các đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1) Khi đó, các đỉnh

A, B là các điểm equichordal của 4OAB và các đường thẳng qua A hoặc B giao vớitam giác bởi các đoạn thẳng có độ dài bằng 1 Vì vậy, 4OAB là tập có dây cungđều

Hình 1.17: Tập có dây cung đều.

1.5 Một vài mặt phẳng Minkowski với chuẩn đặc biệt.

1.5.1 Mặt phẳng Taxicab

Như chúng ta đã biết, mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” là một trong nhữngmặt phẳng Minkowski với chuẩn đặc biệt Ngoài ra, còn có một số mặt phẳngMinkowski với chuẩn đặc biệt khác như là mặt phẳng Taxicab Sau đây, chúng tôi

sẽ giới thiệu về mặt phẳng này

Mặt phẳng Taxicab là hình học phi Euclid được xét trong không gian 2 chiều với

mêtric được sử dụng là mêtric Taxicab Mêtric Taxicab được kí hiệu dT(A, B) =

|a1− b1| + |a2− b2|, trong đó A(a1, a2), B(b1, b2) là các điểm bất kỳ nằm trong mặtphẳng Taxicab

Ví dụ 1.5.1 Cho hai điểm P (1, 2) và Q(−2, −2)

Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, khoảng cách giữa hai điểm P, Q làµ([P, Q]) = max{|3|, |4|} = 4 nhưng trong mặt phẳng Taxcicab, khoảng cách giữahai điểm P, Q là dT(P, Q) = |3| + |4| = 7

Nhận xét 1.5.2 Đường tròn bán kính a trong mặt phẳng Taxcicab chính là hìnhvuông cạnh a trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”

Đường tròn bán kính a trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” chính là hìnhvuông cạnh 2a trong mặt phẳng Taxcicab

Hình 1.18: Đường tròn trong mặt phẳng (X, dT) và trong mặt phẳng (X, |.| ∞ ).

Chương 2

Một số bài toán cực trị trên mặt

phẳng Minkowski với chuẩn “max”.

2.1 Bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm.

Như chúng ta đã biết đường thẳng là nghiệm của bài toán đường ngắn nhất nối haiđiểm trong mặt phẳng Euclid Vậy nghiệm của bài toán đường ngắn nhất nối haiđiểm trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max” là gì? Trong mục này chúng ta

sẽ đi tìm nghiệm của bài toán này

Bổ đề 2.1.1 Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, nếu P = [x0, x1, x2, , xn]

Chứng minh Trường hợp 1: Đường cong c không cắt đoạn thẳng [x, y]

∗ Nếu c là đường cong lồi thì µ([x, y]) ≤ µ(c) (theo Bổ đề 1.2.7)

∗ Nếu c là đường cong không lồi thì c chính là hợp của các đường cong lồi c1, c2, , ck

Hình 2.2: Đường nối hai điểm x và y.

Trường hợp 2: Đường cong c cắt đoạn thẳng [x, y]

Giả sử đường cong c cắt đoạn thẳng [x, y] tại các điểm x = x0, x1, x2, , xk−1, y = xk

Hình 2.3: Đường nối hai điểm.

Khi đó, µ([x, y]) = µ([x, x1]) + µ([x1, x2]) + + µ([xk−1, y])

Gọi c1, c2, , ck lần lượt là các phần đường cong lồi của c nối x và x1, x1 và x2, ,

xk−1 và y

Ta có µ(c) = µ(c1) + µ(c2) + + µ(ck)

Suy ra µ([x, x1]) + µ([x1, x2]) + + µ([xk−1, y]) ≤ µ(c1) + µ(c2) + + µ(ck).

Vậy µ([x, y]) ≤ µ(c)

Nhận xét 2.1.3 Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, đoạn thẳng lànghiệm của bài toán đường ngắn nhất nối hai điểm x và y nhưng nó không phải lànghiệm duy nhất của bài toán này

Chẳng hạn, đoạn thẳng AB và đường gấp khúc [A, M, N, B] là đường ngắn nhất nốihai điểm A, B

Hình 2.4: Đường ngắn nhất nối hai điểm.

Nhận xét 2.1.4 Nếu đường gấp khúc P là đường ngắn nhất nối hai điểm A, B thìmọi đường cong lồi nối hai điểm A và B nằm trong miền trong bao bởi đoạn thẳng

AB và đường gấp khúc P cũng là đường ngắn nhất nối hai điểm A và B

Vậy đường cong c cũng là đường ngắn nhất nối hai điểm A và B.

Nhận xét 2.1.5

1 Đường gồm hai đoạn thẳng nối hai điểm A, C nằm trong hình vuông đơn vịABCD là đường ngắn nhất nối hai điểm A và C nhưng đường gồm hai đoạnthẳng nối hai điểm A, C không nằm trong hình vuông đơn vị ABCD khôngphải là đường ngắn nhất nối hai điểm đó

Thật vậy

Hình 2.5: Đường ngắn nhất nối hai điểm A và C.

∗ Nếu đường gấp khúc [A, M, C] nằm trong hình vuông đơn vị ABCD thì điểm

M sẽ nằm trong hình vuông đó Khi đó, áp dụng bổ đề 1.2.6 , 1.2.9 ta có

Hình 2.6: Đường ngắn nhất nối hai điểm A và C.

Giả sử N = CM ∩ AB, khi đó

Thật vậy, nếu P là đường cong lồi thì áp dụng Bổ đề 1.2.6 và 1.2.9 ta có

P cũng là đường ngắn nhất nối hai điểm đó.

Ngược lại, nếu P là đường cong không lồi thì có thể đường cong P không phải

là đường ngắn nhất nối hai điểm A và C

Chẳng hạn, cho hình vuông đơn vị có các đỉnh A(1, 1), B(2, 2), C(3, 1), D(2, 0)

Hình 2.7: Đường nối hai điểm A và C.

và đường gấp khúc P = [A, M, N, C] với M (2,3

Vì vậy, đường cong P không phải là đường ngắn nhất nối hai điểm A và C

2.2 Bài toán Đẳng chu trong mặt phẳng Minkowski với

chuẩn “max”.

Trong mặt phẳng Minkowski với chuẩn “max”, bài toán đẳng chu là bài toán yêucầu đi tìm hình có diện tích lớn nhất trong tất cả các hình có cùng chu vi hoặc đitìm hình có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các hình có cùng diện tích

Từ lâu người Hy Lạp đã chỉ ra đường tròn là nghiệm của bài toán đẳng chu trongmặt phẳng Euclid

Năm 1870, K Weierstrass đã đưa ra một chứng minh đầy đủ cho bài toán đẳngchu Chứng minh của Weierstrass có phần khó vì nó là hệ quả của lý thuyết cácphép tính biến phân, bài toán cực tiểu (cực đại) một tích phân nào đó Về sau nhiềuchứng minh đã được đưa ra Có lẽ chứng minh đơn giản nhất là của E Schmidt vàonăm 1936

Về sau, bài toán đẳng chu được mở rộng trên không gian nhiều chiều; bài toán đẳng