Thực tế, năng suất mỗi ngày là x 5+ sản phẩm.. Theo giả thiết, thời gian thực tế ít hơn dự kiến 02 ngày nên ta có phương trình... Do đó, tứ giác MNPQ nội tiếp một đường tròn Tổng hai góc
Trang 1TRUNG TÂM TỰ HỌC TOPPER ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI VÀO 10 THPT – 2014 – HÀ NỘI
Môn: Toán
ĐÁP ÁN THAM KHẢO Đáp án – thang điểm gồm 04 trang
1
(2,0
điểm)
1) (1,0 điểm)
Ta có x=9⇒ x =3
Do đó, A x 1 3 1 2
3 1
x 1
−
−
2) (1,0 điểm)
a) Ta có P x 2 1 x 1
x 2 x x 2 x 1
( )
x 1
=
−
−
b) Ta có 2( x 1)
x
+
x
+
⇔ + − = (vì x>0, x≠1)
1
2
=
= −
1
4
Vậy với x 1
4
= thì 2P=2 x+5
2
(2,0
điểm)
Gọi năng suất làm việc trong mỗi ngày là x (sản phẩm/ngày)
Ta có x>0, x∈ℕ
Theo tiến độ ban đầu, thời gian để phân xưởng hoàn thành 1100 sản phẩm là
1100
x (ngày)
Thực tế, năng suất mỗi ngày là x 5+ (sản phẩm)
Do đó, thời gian thực tế cần là 1100
x 5+ (ngày)
Theo giả thiết, thời gian thực tế ít hơn dự kiến 02 ngày nên ta có phương trình
Trang 21100 1100
2
1100 x 5 1100x 2x x 5
2 2x 10x 5500 0
x 55 0
x 50
x 50
= − <
=
Vậy năng suất theo kế hoạch của phân xưởng là 50 sản phẩm mỗi ngày
3
(2,0
điểm)
1) (1,0 điểm)
Đặt
1 u
x y 1 v
y 1
=
+
−
Ta có phương trình ban đầu tương đương 4u v 5
u 2v 1
+ =
u 1
v 1
=
=
1 1
x y 1 1
y 1
=
+
−
y 1 1
x y 1
− =
+ =
x 1
y 2
= −
=
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( ) (x; y = −1; 2 )
2) (1,0 điểm)
a) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là 2
x = − +x 6 2
x x 6 0
x 3
x 2
= −
⇔
=
y 9
y 4
=
⇒ =
Vậy tọa độ hai giao điểm là A(−3; 9) và B 2; 4 ( )
b) Gọi P(−3; 0 , Q 2; 0 ) ( )
Ta có SAOB =SABQP−SAPO−SBQO
APO
= = = (đvdt) và SBQO 1BQ.BO 14.2 4
= = = (đvdt)
Suy ra, SABO 65 27 4 15
= − − = (đvdt)
Trang 34
(3,5
điểm)
1) (1,0 điểm)
Ta có AB là đường kính của đường tròn (O ; R) và M, N thuộc (O ; R) nên o
AMB=ANB=90 (1) Mặt khác MN là đường kính của đường tròn (O ; R) và
A, B thuộc (O ; R) nên o
NAM=MBN=90 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AMNB là hình chữ nhật (Tứ giác có bốn góc vuông) (đpcm)
2) (1,0 điểm)
Ta có BMN NBP 1sdBN
2
NBP BPN+ =90
BMN BPN+ =90
QMN+BPN=180
Do đó, tứ giác MNPQ nội tiếp một đường tròn (Tổng hai góc đối bằng o
180 ) (đpcm)
3) (1,0 điểm)
Ta có OE là đường trung bình của tam giác ABQ
Suy ra, OE // AQ
Mặt khác, ta có o
EOF=QAP=90 Suy ra, OF / /AP
Suy ra, OF là đường trung bình của tam giác ABP
Suy ra, F là trung điểm của BP (đpcm)
4) (0,5 điểm)
Ta có SMNPQ =SQAP−SMAB
AM=x⇒AN= MN −AM = 4R −x
Ta có tam giác AMN vuông tại A nên SAMN 1AM.AN 1x 4R2 x2 (3)
Mặt khác, tam giác ABQ vuông tại B nên ta có
F E
P
Q
M
B O
A
N
Trang 4Tương tự,
2 2
− Suy ra,
Do đó,
4
2 2
2
−
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
2
Suy ra,
4
R
2R −2 =3R
Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi 2 2
Vậy diện tích MNPQ nhỏ nhất khi và chỉ khi MN vuông góc với AB
5
(0,5
điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 (2a bc)16 2a bc 16
Do đó, ta có
4 ab bc ca
⇒
Mặt khác ta có ( ) (2 ) (2 )2
a−b + −b c + c−a ≥0
ab bc c
2
2
a b c ab bc ca
a b c 4
3 ca
≤
+ + +
Thay vào (1) ta có 8Q 4 16
3 ≤4+ +3 3
4
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức Q là 4 đạt được khi a b c 2
3
= = =
−−− Hết −−−