Ebook hướng dẫn giải đề thi môn toán tuyển sinh đại học cao đẳng từ năm 2002 đến 2007 phần 2

Chứng minh rằng với m bất kỳ, đ› thị C„ luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng v20.. Viết phương trình đường tròn C tiếp xúc với trục hoành tại điể

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đỗ th: của hàm số (*) khi mm = ]

2 Chứng minh rằng với m bất kỳ, đ› thị (C„) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng v20

Câu IH (2 điểm )

Vx-l+2-y=l

1 Giải hệ phương trình :

3log, (9x7 )—log, y* =3

2 Gidi phugng trinh : 1+ sin x + cosx + sin2x + cos2x =0

Cau IIL (3 điểm)

I Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2: 0) và B(6; 4) Viết phương

trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách tù tâm của (C) đến điểm B bằng 5

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A,B,C, với A(0; -3; 0) , B(4; 0; 0) , C(O; 3; 0) va B,(4; 0; 4)

a) Tim toa d6 cdc dinh Aj, Cy Vit phugng trình mặt câu có tâm là A và tiếT xúc với mặt phẳng (BCC,,B,,)

b) Gọi M là trung điểm A;B, Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ha:

điểm A, M và song song với BC, Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A¡C; ta

điểm N Tính độ dài đoạn MN

Câu IV (2 điểm)

» Miễn xác định: D=\{-I}

x=-2¬y=-2

(x+ 1?

»_ Giới han và tiệm cận :

lim y=œ=>x=-I là tiệm cận đứng

Bang bién thién

= Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

Tọa độ hai điểm cực trị là : A(-2; m - 3), B(0: m+])

Khoảng cách giữa hai điểm cực rrị là:

= (sinx+cosx) +(2sin xcos++2cos” x) =0

° (sinx+cosx) +2cos x(sin x + cosx) = 0

©(sinx+cosx)(I+2cosx) =0

l 7

Sinx =—COS+x tgx = -Ì een eke

Vậy nghiệm của phương trình là: x=-T+it v x= + +k2m (keZ)

Câu II

1 Viết phương trình đường tròn (C)

Goi I(a; b), R lần lượt là tâm và bán kính của (C)

(C) tiếp xúc với trục Ox tại A nên ta có a=2 và # =|2|

© Tim toa độ các đỉnh A,.C)

ABB,A, là hình chữ nhật nên ta có : AA) = 8B, = 4, (0;~3;4)

© Chọn 4 nam vài nữ cho tỉnh thứ nhất : Có C¡}.C; =1485 cách

© Chon 4 nam vài nữ cho tỉnh thứ hai : Có Cÿ.C; =140 cách

® Chọn 4 nam vài nữ cho tỉnh thứ ba : Có | cach

Vậy có tất cả : 1485x 140xI =207.900 (cách)

182

Câu V Chitng minh bat dang thite

BE Số 30

ĐỀ THỊ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO BANG, KHOI D, NAM 2095 Câu Ï (2 điểm)

Goi (Cp) Ia đồ thị của hàm số Ty: (*) (ma tham sé)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị của hàm số (*) khi m = 2

2 Gọi M là điểm thuộc (C„) có hoành độ bằng -I Tìm m để tiếp tuyến củ:

(Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x - y =0

Cau Il (2 điểm) Giải các phương trình sau:

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C(2;0) và clip Œ):—+T =1

Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng vớ

nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng đ,.đ; lẩn lượt tại các điểm A

B Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ)

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = I Chứng minh rằng :

Vltx ty, Vity tế, VÌ tx V 3/3 Khi nào đẳng thức xảy ra?

Phương trình tiếp tuyến A tại điểm M có dạng:

y—ye =y'(%y)(x~— xạ) Sy+E =(m+1)(x+1) sey=(m+1)x+2.(m+2)

A song song với đường thẳng 5x- y=0 hay y=5x

<> 1-2sin? xcos? x + isin -*) + sins] =0

ol -5sin? 2x+ 20in2x ~cos4z) =0

AABC déu CA =CB = AB CA = AB?

© Chứng mình rằng dị và d, song song với nhau

d, qua diém M(1;-2;-1) và có vectơ chỉ phương là a=(3;-1;2)

d; qua điểm W(12:0;10) và có vectơ chỉ phương là b =(3;-1;2)

e Viét phuong trinh mat phdng (P) chita dị và d;

(P) chứa đ, nên có phương trình:

m(x+y~z—2)+n(x+3y—12) =0 (m? +n +0)

<> (m+n)x+(m+3n)y-mz-2m-12n=0

d, <(P)=> Me(P)< 2m+17n=0: chon m=17,n=-2

=(P):15x+11y~17z~10=0

b) Tính diện tích tam giác OAB

Đặt A(+i:yy;z4), B(xa:Y;:z¿) Ta có: A,B e(Oxz)=— yị = yạ =0

Mặt khác: Aed, At = 2 35 oy 4-3 =-5 => A(-5;0;-5)

Be@ai? 2 x -12=0 <>"? © => B(12:0:10) z =10 =>[ OA, OB |=(0:-10:0)

Diện tích AOAB 1A: S -5 [04.08] =5

ĐỀ SỐ 31

ĐỀ THAM KHẢO SỐ 1, NĂM 2005

Câu I (2 điểm)

Gọi (C,,) 1a dé thi của hàm số : y=-—+Ì +(2m H)+? —m~—1 (1) (m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi zm = !

2 Tìm m để đồ thị (C„) tiếp xúc với đường thẳng y= 2mx~ m—

Câu II (2 điểm)

Câu IH (3 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn

(C):x”+y”-4x—-6y~12=0 ,

Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng đ:2x—-y+3=0 sao cho Mĩ =2R,

trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C)

2 Trong không gian với hé toa d6 Oxyz cho lăng tru đứng OAB.0,A,B,

với A(2:0;0), 8(0:4;0),Ø, (0;0;4)

a) Tìm tọa độ các điểm A,,B, Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm

O,A,B,O, -

b) Gọi M là trung điểm của AB Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O¡A

và cắt OA, AA, lần lượt tại N, K Tính độ dài đoạn KN

Câu IV (2 điểm)

InẺ 7 ds 9 xvinx +1

2 Tìm ke{0,I,2, ,2005} sao cho Cjqos đạt giá trị lớn nhất (C* 1a sé 16 hợp chập k của n phan ti)

©>cosx + cos” xtsin? x= 2sinx(1+cosx) <> cosx+1=2sin x(cosx+1)

© 2sinx=1 esinx=4 eoxaZ hn v x22 shoe (keZ)

Vậy nghiệm của phương trình là: x = s +k2zvx= 2 +k2z (keZ)

2 © Tìm tọa độ các điểm A,,B,

Vi AA, L (Oxy) = A¡@; 0: 4); BB¿ L (Oxy) > B,(0; 4; 4)

©_ Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O A,B.O,

Giả sử phương trình mặt câu (S) cần tìm có dạng:

x +y? +22 — 2ax —2by -2cz+d =0

2 Tim k sao cho Caụy; đạt giá trị lớn nhất

Xét dãy số : C2u;.C2uys.C3uus - Cis Cin0s> Chis C3008

Số C#„« lớn nhất <3 | Choos 2 Cams k1(2005 =k)! ~ (k =1)!(2006 -&)!

6 Coos Han ahi Cây; > Chị ke dL eS 2005! 2005!

fae = 2x+Vx4+1524Jxe41 - 72xtedl _ 12+2x+I <0

=>xe[—l;I] bất phương trình (1) luôn luôn đúng

=-I<x<I là nghiệm của hất phương trình (1)

Ta cần định m để bất phương trình (2) có nghiệm x [1:1] (2)©(x-2)m<x?~2x+3

2 Giải phương trình: sin2x + cos2x + 3sin x— cos x — 2 = 0

Câu IH (3 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(0;5),B(2;3) Viết

phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R bằng vio

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương 4BCD.A,B,C.D,

với A(0;0;0), B(2:0;0),D, (0;2:2)

a) Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phudng ABCD.A,B,C,D, Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng hai mặt phẳng

(4B,D,)và (4A⁄Ø,) vuông góc với nhau

b) Chứng mính rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC, (W# 4) tới hai mặt phẳng (4B,D,) và (4MB, không phụ thuộc vào vị trí của điểm N

Câu IV (2 điểm)

1 Tính tích phân : J = (2x -1)cos? xdx

2 Tìm số nguyên n lớn hơn | thoa man ding thife: 2P, +6A2 - P,A? =12

( P, 1a s6 hoán vị của n phần tử và 4ƒ là số chỉnh hợp chập k của n phân tử)

Tw dé thi (C), ta suy ra đỗ thị (C') như sau :

e _ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x > —l

(bên phải tiệm cận đứng), ta được ( C¡ )

e_ Đối xứng phẩn còn lại của đồ thị (C) qua trục Ox, ta được (C; )

Số nghiệm của phương trình (L) là số

giao điểm của đồ thị (C°) và đường

thẳng y=m

Yêu cầu hài toán @>ởj và (C') có ` “vy-m

Dua vào đồ thị (C’), ta có giá trị cần

Ta có : sin2x + cos2x + 3sin x ~ cosx— 2 = 0

©Gin2x~ cosx)+ (cos2x + 3sin x— 2) = 0

©(2sin xeosx— cosx)~(2sin? x-3sinx+1)=0

Câu II

1 Viết phương trình đường tròn

Gọi (C) là đường tròn cẩn tìm và I(a: b) là tâm của (C)

IA? = IB? 7 4(5—h) =(2-a)? +(3-67

Tac6: IA=IB=R=V10 4" sốt TỔ ĐỈ SE ah Hien 8)

b) Chitng minh (AB,D,) 1 (AMB,)

l Mp(AB,D,) có cặp vectơ chỉ phương là: AB, = (2;0;2), AD, =(0;2; 2)

=Mp(AB,D,) có vectơ pháp tuyến là zn = 228.45] =Cl:-bl)

Mp(AMB,) có cặp vectơ chỉ phương là: AM= (2:1;0), AB, =(2;0;2)

=>Mp(AMB,) có vectơ pháp tuyến là ”, = z|2M.45] =(1;-2;-1)

Câu II (2 điểm)

1 Giải phương trình: 2sinxcos2x + sin2xeos2x = sin4xcos.v

2y 2

2 Giải hệ phương trình: 4Ý “Ỷ=# ** 2 " 2x! =x-y

Câu IIL (3 diém)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông ở A Biết

A(-1:4), 8(I:-4) đường thẳng BC đi qua điểm w[2z) Tìm tọa độ đỉnh C

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm 4(2;0;0) 8(2;2:0),

5(0;0;m)

a) Khi m=2, tìm tọa độ điểm C đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng

(SAB)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng SA Chứng minh

rằng với mọi >0 diện tích tam giác OBH nhỏ hơn 4

Câu IV (2 điểm)

hai số hạng đầu tiên bằng 24 Tính tổng các hệ số của các lũy thừa bậc

nguyên dương của x và chứng tỏ rằng tổng này là số chính phương

Câu V (! điểm)

Cho phương trình x sÍm -š)## +4+2~mŠ =0,

Chứng minh rằng với mọi z >0 phương trình luôn luôn có nghiệm

Dat d:x-3y+3=0 eoyagetl

Gọi A là tiếp tuyến cần tim \

© Hệ phương trình sau có nghiệm VY) ! -

(1)

x=-2 =b=-~l2

=

6) x=0> b=4

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y=-3x-l2; y=-3x+4

Cau Il

1 Giải phương trình

Ta có : 2sin xcos2x + sin2xeos2x = sin 4xcosx

© cos2x(2sin x + sin2x) = 2sin2xcos2xcosx

= 2sin xcos2x(I + cos x) = 4sin xcos” xcos2x

Vay nghiệm của phương trình là :

x=kz v xe tệ vans +k2y (keZ)

(SAB) nhan SA, SB làm cặp vectơ chỉ phương

=(S4B) có vectơ pháp tuyến n= E3 =4(I;0;1)

#=f Tham số t ứng với giao điểm 7= Ar¬(S4B) là nghiệm của phương trình :

b) Chứng mình rằng với mọi m >0 điện tích tam giác OBH nhỏ hơn 4

Đường thẳng SA nhận SA =(2:0:-m) làm vcctơ chỉ phương có phương trình

Dién tich AOBH 1A: S= 5 [07-8] -

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : m° +mˆ2+8>2.ma|m? +8 - *®

= AOBH vuông tại H

Theo bat đẳng thức Cauchy, ta c6 : 8= OB? = OH? + HB? >2.0H.HB

Số hạng chứa x mũ nguyên dương thỏa : ø -2k >0<© 23-2k >0

ok <2 =>k c{0,k2, ! } = Có I2 số hạng chứa x mũ nguyên dương

Tổng 12 hệ số đó là: § = Cũ +Cạy + Cả + C2y + Cạy + Cy

Từ bảng biến thiên, ta thấy: ƒ(2) = g(m) < ¬ <0,Vm>0

=Phương trình (2) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt /¡./; thỏa : 4 <2<1;

=>Phương trình41) luôn luôn có nghiệm với mọi m >0 (đpcm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị (C) của hàm số (*)

2 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C) Chứng minh rằng không có tiếp

tuyến nào của (C) đi qua điểm I

Câu II (2 điểm)

1 Giải bất phương trinh : V8x? -6x+1-4x+1<0

2 Giải phương trình te( = + ‘ -3/g?x = eee!

Cau Ill vả điểm) -

1 Trong mặt phẳng với hé toa ưng hai đường tròn :

(G):x?+ y? =9 và (C¿):x?+ y? -2x-2y-23=0

Viết phương trình trục đẳng phương d của hai đường tròn (C¡).(C;) Chứng

minh rằng nếu điểm K thuộc d thì khoảng cách từ K đến tâm của (C¡) nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của.(C) )

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A/(5;2;-3) và mặt phẳng

(P):2x+2y—z+I=0

a) Goi M, 1a hinh chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P) Xác định

tọa độ điểm M, và tính độ dài đoạn M,M

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và chứa đường thẳng

gol pel z=5

Câu IV (2 điểm)

1 Tính tích phân 7= [# J( +f cos.x}dx ‘

2 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số

gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1, 5 ?

Câu V (1 điểm)

Chứng minh rằng nếu 0< y<x<I thì xw- yVx st Khi nào đẳng thức xảy

ra ?

2 Chứng mình rằng không có tiếp tuyến

nào của (C) đi qua điểm Ï

1 ® Viết phương trình trục đẳng phương d của hai đường tròn (C\)(Cạ)

Đường tròn (C¡) có tâm O(0; 0), bán kính # = 3

Đường tròn (C; )Z có tam I(1; 1), ban kinh Ry =5

Phương trình trục đẳng phương (d) của hai đường tròn (C,).(C;) là :

a) Xác định tọa độ điểm \1, va tinh dé dei doan M\M

(P) có vectd pháp tuyén n =(2:2:-1)

x=5+2I

Phương trình tham số MM; qua M và vuông góc với (P) la: 4 y=2+2r

z=-3-t Tham số t ứng với giao điểm A4 =A#,©(P) là nghiệm của phương trình

2(5 + 2U + 22 + 20 - (=3- +1 =0 ©t=-2 = M (I:—2:—1)

Độ đài đoạn MA, là: M,AM= j(5— P+(2+2)) +(~3+ 1)? =6

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và chứa đường thẳng

A đi qua A(I: 1: S5) và có vcctơ chỉ phương ứ = (2;l;—6)

Ta có : AM = (4:l;—8)

(Q) đi qua M và chứa A nên (Q) nhận AM, a làm cặp vectơ chỉ phương

= (Q) có vectd pháp tuyến n= [Ma] =2(1:4:1)

(Q) chứa A nên phương trình mp(Q) có dạng:

m(x~2y+]) + n(6y+z~11)=0 (m? twee 0)

Khi d6: f(t) =-0? +-—=-|1-—]| <0 id6: f(t) t= ( ;) =/()=0«< t)=0@rs-oys— eater

Từ hai trường hợp trên, suy ra bất đẳng thức đã cho được chứng minh -

BE $0 35

DE THAM KHAO SO 5, NAM 2005

Cau I (2 diém)

x +x4l x+l

2 Viết phương trình đi qua điểm AZ(-1;0) và tiếp xúc với đỗ thị (C)

Câu II (2 điểm)

1 Giải hệ phương trình : ee -xxy=l

3x+2y=4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị (C) của hàm số y=

2 Giải phương trình : 2 5cos'(x~5 Ì-3eosx=snx =0

Câu HI (3 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn :

a) Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình

chữ nhật Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S

b) Tìm tọa độ điểm 4, đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC

Câu IV (2 điểm)

x+2

1 Tinh tích phân J = Se

2 Tìm hệ số của x” trong khai triển thành đa thức của (2-3x)” „ trong đó n là

số nguyên dương thỏa mãn C¿„;¡ +Cÿ„„¡ +C2„¿¡ + + C2 =1024.*

2 Viết phương trình tiếp tuyến di qua diém M(-1;0)

Phương trình đường thẳng A qua điểm M y

với hệ số góc k có dạng: y = k(x + l)

A tiếp xúc với (C) © Hệ sau có nghiệm :

° 25 cos`t~ “ Ê (cosr sim) - 2 (m +cost)=0

<> 2cos*t+sint-2cost=0 © 2cosf(cos” r~ 1) +sint=0

>~2cosfsin” + sint =0 <> (1-sin2r)sint =0

(*) sin? x-sinx=0 ©sinz(I~sin? )=0

©sinxcos? x=0 > x= 5 +&Zz (k7) là nghiệm của phương trình

e Xét cosx #0: chia hai vế của phương trình cho cos” x, ta được:

(1+tgx)° —3(1 +147) —1gt(1+197x) =0 Sigr=l coxa tthe (keZ)

Gọi 7¡(a;b), R, lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C¡)

© (C,) tiếp xúc với hai trục Ox, Oy «> |a| =|b|= Rị

© (C,) tiếp xúc ngoài với (C) © Rị+ R= 1

©(R +R)) =2 ©(R +2)° =(6—a)”+(2—-ð)” Œ)

a=b

Ta có: |a| =|b| lí -š

Tường hợp 1: a=b,Rị =|a|

(*)<>(la|+2) =(6=ø)” +(2=a)” a2 =4|a|~16a+36=0- (1)

- Xét 430: () dể ~20a+36=0 es| “ si bọn man

- Xéta<0:(I)csa?—12a+36=0 a=6 (oại)

Trường hợp 2: a=-b, Rị =|al

(*) <> (lal +2) =(6-a)" +(2 +a)" <> a? -4|a|-8a+36=0 (2)

- Xéta>0: (2) a? -12a4+36=0 a=6= 1, (6;-6), R, =6

- Xéta<0: (2) sa” ~4a+36 =0: vô nghiệm

!ậy có ba đường tròn cần tìm là: (x— 18)? + (y— I8)? = 324;

(x-21! +(y-2)? =4; (x-6)? +(y +6)? = 36

„ @)

© Tim toa dé điểm B e (Oxy) để tử giác OABC là hình chữ nhật

Đặt Ø(x;y;0) (Oxy), ta có: 48 =(x—2;y;0), ÓC =(0;4;0)

Tứ giác OABC là hình chữ nhật nên ta có:

— == llệ=2

AB=OC of => B(2; 4; 0) y=4

e_ Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S

Gọi (S) là mặt cầu cần tìm và 7, lần lượt là tâm và bán kính của (S)

Ta có: SOB = CB =900 nên I là trung điểm của SB = I(I; 2; 2) và

R= z5 =2 V4+16+16 =3

Vậy phương trình mat cdu (S) la: (x-1)? + (y—2)? + (4-2)? =9

\) Tim toa độ điểm A, đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC