Hướng dẫn giải đề thi môn toán tuyển sinh ĐHCĐ từ năm 2002 đến 2007 nguyễn văn nho

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm sé 1.. Tính diện tích hình phẳng Phương trình hoành độ giao điểm của y hai đường cong:... Tính khoảng cách từ điểm

NGUYÊN VĂN NHO (Chủ biên) NGUYÊN VĂN THỔ

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THỊ

MON TOAN

TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG

TỪ NĂM HỌC 2002 ĐẾN NĂM 2007

Nguyễn Văn Nho ( Chủ biên)

TUYEN SINH DAI HOC - CAO BANG

TU NAM HỌC 2002 DEN NAM 2007

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUOC GIA HÀ NỘI

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HA NOI

16 Hang Chuối - Hơi Bà Trưng - Hà Nội

Điện thoại : (04) 9 724852 - (04) 9 724770 - Fax: (04) 9 714899

Chịu trách nhiệm xuất bản

Giám đốc: — PHÙNG QUỐC BẢO Tổng biên tập : NGUYÊN BÁ THÀNH

Biên tập Hải Đăng

—

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ THỊ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG, KHỐI A, 2002

Câu Ì (Đại học +25 điểm, Cuo đẳng + 3,0 điểm)

Cho Làm số y=—xỶ + 3v +3(I -mẺ } +m° —m? (1) (m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = I

2 Tink để phương trình: —x' + 3x? +k* —3k? =0 c6 3 nghiệm phân biệt

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm sé (1)

Câu II (Đại học : 1,5 điểm, Cao đẳng : 2,0 điểm)

Cho rhương trình :

log} x + Vlog} x+1-2m-1=0 (2) (m là tham số)

1 Giii phương trình (2) khi m = 2

2 Tìn m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [I ; 3 6 ]

Câu II (Đại học : 2,0 điểm, Cao đẳng : 2,0 điểm)

1 Tìn nghiệm thuộc khoảng (0:2 Z ) của phương trình :

( cos3x + sin3x

5| sinx+————————

1 Ch› hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi

Msà N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a diện tícì tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng

Câu \ (Đại hoc : 2,0 điểm)

1 Trøg mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, xét tam giác A8C vuông tại

A, hương trình đường thẳng BC là V3xz- y~ 3 =0, các đỉnh A và B thuộc

3

trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác 48C

2 Cho khai triển nhị thức :

etn)" ay wayne = ctf ory"

22 a -e[i ? vail [23 aac 2 |)

=x =

+c []

(n là số nguyên dương)

Biết rằng trong khai triển đó Cỷ = 5C] và số hạng thứ tư bằng 20n Tìm n va x

Ghi chú : Thí sinh chỉ thi cao đẳng không làm Câu V

GIẢI Câu I

Số nghiệm của phương trình (*)

là số giao điểm của đồ thị (C) với

A'= mẺ =(mẺ -1)=1 >0,Vm => Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

Lấy y chia y', ta được : y =3(x~m)y* 2x+m~— m?

Gọi A(xị; yị),B(x;; v; ) là các điểm cực trị của đỗ thị hàm số thì x,,x; là

nghiệm của của (*)

2 Tìm m để phương trình có nghiệm

Ta có : I<xz<3# ©0<logyx< V3

1 slog? x<3 1< Vlog? v+1<2 œI<r<2

Khi dé: (*)eor? +1-2=2m, +e{[l:2]

Điều kiện : I+sin2x #0

Ta có : cos3x + sin3x= 4cos” x~ 3cosx + 3sin x— 4sin x

= 4(eos° x-sin? x)- 3(cosx ~ sinx)

=(cosx-sin x)[ 4(1+ sin xcosx)-3]

=(cosx—sin.x)(1+2sin2x)

TA lu €os3x + sin3x

Do đó : 5 sitet ng

2x =cos2x+3 1+2

So với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình : x= 3 vx= >"

2 Tinh dign tich hình phẳng

A, qua điểm A(0; -2; 0) và có vectơ chỉ phương ø = (2; 3; 4)

A, qua điểm B(I;2;1) và có vectơ chỉ phương 6 =(1; l;2)

Goi 7 IA vects pháp tuyến của (P), ta có :

acd:

MH- (1-1) tÍt+1} ¢ (20-3) =J8Í£ 12011) = 66-1} +5 >v5

2> mimAH = j5, đạt được khi t= /

'ây điển cần tim la H (2; 4:3)

ĐỀ SỐ 2

DE THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐĂNG, KHỐI B, 2002

7âu L (Đại học: 2,0 điểm ; Cao đẳng : 2,Š điểm)

"ho hầm số y = mà” + (ar ~9)xŸ +10 (1) (m là tham số)

„ Khảo sát su biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = I

+ Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị

Yau IL (Dai hoc: 3,0 điểm ; Cao đẳng - 3,0 điểm)

„ Giải phương trình : sin? 3x —cos? 4x =sin? Sx — cos? 6x

+ Giải bất phương trình : tog, [ tog, (9" -?2)|<1

Yx-yayx-y

x+ yayxryr2

7âu II (Đại học: 1,0 điểm ; Cav dang : 1,5 diém)

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :

„ Giải hệ phương trình :

2

x

4y2°

au IV (Dai hoc:3.0 điểm ; Cao đẳng: 3,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật

va y=

ABCD có tâm (4:0) phương trình đường thẳng AB là x—2y+2=0 va

AB =2AD Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm

1 Cho hình lập phương A8CD.A,B,C,DỊ có cạnh bằng a

a) Tinh theo a khoảng cách giữa hai đường thing A,B va B,D

b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạch B,B, CD, A,D, Tinh góc giữa hai đường thẳng MP và C,N

Dau V (Đại học: 1,0 điểm)

Tho đa giác déu A\A, A,,(n 22, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O) Biết

ằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A¡.4; ,4;„ nhiều gấp 20 lần

ố hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A¡,4; 4;„ Tìm n

hi chú : 7hí sinh chỉ thí cao đẳng không làm Câu TV 2.b) và Câu V

â Miễn xỏc định:D=R

đô y'=4x)-l6x

x=-2>y=-6 y'=00|x=0>y=10

x=2>y=-6

se Giới hạn: lim y=+, lim y=+0 .o—n sở

â Bang biến thiờn:

'êu cầu»ài toán ©> phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

© thương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

;âu H Giải phương trình

a có: sn” 3x—cos” 4x =sin” 5x ~ cos” 6x

> (i -cos6s)-(I +cos8x) -s ~cos10x}~ ll +cosl2x)

> cos8 + cos6x =cosl2x+coslOx <> 2cos7xcos x =2cos!lxcosx

> (cos ilx-cos7x)cosx =0 > -2sin9xsin2xcosx =0

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là :

Câu III Tính diện tích hình phẳng

Phương trình hoành độ giao điểm của y

hai đường cong:

lựa vào lô thị ta có diện tích cần tim:

3oi H I: hình chiếu vuông góc của 1 lên AB

hì H là rung điểm của cạnh AB

TH IAB=—>IH:2x+y+C =0 A H B leH @C=-1 => /H:2x+y-1=0

Tọa độ ủa H thỏa hệ :

Khi đó: AB = 25 <> AB? = 20 <> (4-41)° + (2-21)? =20 e2 (r1) =1

5 (inal

=| 2 (ot) s1a0 = A(-2:0) B(2:2) Đ=

1 là trung điểm của AC và BD nên ta có :

Phương trình đường tròn (C) có dạng: (: -5) +y= 2

Hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đường tròn (C) nén tọa độ của A, B là gia:

điểm của đường thẳng AB và đường tròn (C)

Toa độ của A, B thỏa hệ:

up aya = {fp co“ bo

Do x, <0 => A(-2;0), B(2;2)

11a trung điểm của AC và BD nên ta có : C(3;0), D(-h-2)

2 a) Tính khoảng cách giữa A,B và B,D z

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có:

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),C(a; a; 0),D(0; a; 0)

A, (0; 0; a), B, (a; 0; 4),C, (a; a; a), D, (0; a; a)

Khoảng cách giữa giữa hai đường thẳng A,B và B,D :

3

a — 8 Vat +4a* +a4 V6"

b) Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C,N

M,N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh 8,8 ,CD, A,Ð, nên ta có :

Gọi đường chéo của đa giác đều đi qua tâm của (O) là đường chéo lớn

Số đường chéo lớn của đa giác đều 2n đỉnh là n

Hai đường chéo lớn của đa giác đều tạo thành một hình chữ nhật

Do đó, số hình chữ nhật được tạo thành từ 2n đỉnh của đa giác đều là Noh

Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đều là: C‡„

Theo giả thiết, ta có : Cj, = 20C7

1, Khao sat sy bién thién va vé 46 thi (2) cla hàm số (1) tương ứng với m = -I

2 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ

3 Tìm m để đồ thị (1) của hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x

Câu H (Đại học: 2,0 điểm ; Cao đẳng : 3 điểm)

1 Giải bất phương trình : (x” ~ 3a)N2a” - 3x =2 >0

Tìm thuộc đoạn [0:14] nghiệm đúng phương trình :

cos3x—4cos2x +3cosx-4=0

Câu IV (Đại học: 2 điểm ; Cao đẳng : 2 điểm)

1 Cho hình tứ điện ABCD có cạnh AD vuông góc với mát phẳng (ABC);

AC = AD =4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới

Xác định m để đường thẳng d„ song song với mặt phẳng (P)

Câu V (Đại học: 2 điểm)

1 Tìm số nguyên đương n sao cho :C)' +2C} + 4C? + +2"C7 = 243,

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxy, cho clip (E) có

+ về

hương trình : —+=~—=1,

Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao

cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E) Xác định tọa độ của M,N để đoạn

MN có độ dài nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

Ghi chú: Thí sinh chi thi cao ding không làm câu V

18

(1)©>(x~U =0 : vô nghiệm với mọi xzl = m=2~x không thỏa

© Với m=x :(1) luôn luôn đúng với mọi x #l

=> m #1 théa yéu cau bài toán

1 Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC D,

AADH vudng tai A, tac: = + oh ey 25

AK? AD? AH? 16 144 12

= aK = V8 (om mì)

Cách khác:

Ta có : AB? + AC? =16+9=25= 8C? = AABC vuông tai A => 4B L 4C

Chọn hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxyz như hình vẽ, ta có:

đu II(P) Sä Lñ 6 đã =0 ca 2|S2mŠ + m + + Âm + 4m + =Ú c3 mm = = ; Wớlun=-.lungeodu:lf=t

ĐỀ SỐ 4

ĐỀ THAM KHẢO SỐ 1, NĂM 2002

Cho ham s¢

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị của hàm số (1) khi z = 8

2 Xác định m sao cho dé thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân

biệt

Câu II (2 điểm)

1 Giải bất phương trình : log, (4° +4)2 log, (2°"1 -3.2*)

2 Xác định m để phương trình : 2(sin* x+cos* x) +cos4x + 2sin 2x —m = 0

4 mx? +m—-1 (1) (m 1a tham sd)

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [Z]

Câu HII (2 điểm)

1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt sẽ,

phẳng (SBC) theo a, biết rằng $4 = “

xì

2 Tính tích phân 7= [ede

ox? +1

Câu IV (2 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxy, cho hai đường tròn

(C)):2? + y? -10x=0, (C;):x” + yŸ +4x~2y~20=0

1 Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C¡).(C¿) và có tâm

nằm trên đường thẳng x+6y—6=0

2 Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C¡) va (C2)

Câu V (2 điểm)

1 Giải phương trình: Vv+4+vx=4=2x~12+2ýx? ~l16

2 Đội học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12,

6 học sinh khối I1 và $ học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học

sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn Câu VI

Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miễn trong của tam giác ABC có ba

góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:

» Đổ thị: hình bên ˆ

2 Xác định m

Đặt (Cạ„):y=x” — mĩ? + m —]

Phương trình hoành độ giao

điểm của (C)„) và trục Ox:

Yêu cầu bài toán © phương trình (1)

tó 4 nghiệm phân biệt ©> phương trình

(2) có 2 nghiệm dương phân biệt

2 Xác định m để phương trình có nghiệm x e [oz]

Ta có : 2(sin* x +cos' x]+ cos4x + 2sin 2x ~ m =0

2 2(1-2sin’” xcos? x} + eos4x + 2sin 2x-m=0

eosin 2x) +1~2sin? 25+ 2sin2x—m=0

<> -3sin? 2x+2sin2x+3-m=0 (1)

Đặt f= sin2x Ta có : xe|s5|>re[m]: (2)=-3? +2r+3=m

Xét hàm số : y=-3/? +2!+3,[0;1]

y'=-6t+2 y=0Ðf=5

1 Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC)

Gọi H là trung điểm của BC, ta có :

BC 1 AH (do AABC đều)

AABC 1a tam gidc déu canha nén AH = fi

ASAH vuông tại A, ta có :

=>C6 hai giao diém 1a A(1:-3) B(2:4)

3ọi (C) là đường tròn cần tìm và 1, R lẫn lượt là tâm và bán kính của (C)

fac: Led:x+6y—6=0=>1(6-61; 1)

C) qua A,B <> /4=/B=R => 14 = 1B"

© (61-5) +(3+1) =(60 -4) +(4-}

©r=-I=1(12:-1) R=5/5

*hương trình đường tròn (C) có dang:(x =12}” +(y+ 1)” =125

} Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C,) và (C; )

(C,) va(C,) có tâm và bán kính lần lượt là: (5:0) =5; Ly (-2:1), Ry =5

Ta có: ƒJạ =(—7:1) => ly =5 2 =0= Rị — Ñy < fự; < Rị + Rạ =10

=(C,),(C,) cắt nhau =Có hai tiếp tuyến chung

3ọi A là tiếp tuyến chung của (C,).(C;)

3o Ñ =# =5 nên A///7; =A nhận ly làm vectơ chỉ phương

?hương trình đường thang A c6 dang: x+7y+C =0

A tiếp xúc với (C¡).(C;) > d(1,,A)= R,

§-x>0 4<x<8

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 5

2 Số cách chọn 8 học sinh trong đội đi dự trại hè

Chon 8 học sinh tùy ý từ 18 em trong đội tuyển : Có ch cách

Ta xét các trường hợp không thỏa yêu cầu bài toán:

© _ Chọn 8học sinh khối 10 và khối 11 : Có Củ cách

© _ Chọn 8học sinh khối 10 và khối 12: Có Ch, cach

© _ Chọn 8học sinh khối I1 và khối 12: Có Ch, cach

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là:

ĐỀ SỐ 5

ĐỀ THAM KHẢO SỐ 2, NĂM 2002

Câu I (Đại học : 2,0 điểm)

1 Tìm số n nguyên dương thỏa mãn bất phương trình : A} + 2C?” <0n, trong

đó 4‡ và C⁄ lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử

3: % 1

2 Giải phương trình : 782 (x+3)+ “tog, (x-1)" =log, (4x)

Câu II (Đại học : 2,5 điểm)

Cho hàm số : „ i (1) (mà tham số)

1 Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn [- 1; 0]

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ dé thị hàm số (1) khim = 1

3 Tim a để phương tình sau có nghiệm:

gil? (asaya? +2a+1=0

Câu III (Đại học : 1,5 điểm)

1 Giải phương trình : S008 = ˆodtg2y - —L_ 8

2 Xéttam giác ABC có độ dài các cạnh AB =c ; BC =a;:CA =b

Tính diện tích tam giác ABC, biết rằng : bsinC(b.cos€ + c.cos 8) = 20

Câu IV (Đại học : 3,0 điểm)

1 Cho tứ điện OABC có ba cạnh OA : OB và ÓC đôi một vuông góc Gọi

œ,ÿ, y lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC),

(OCA) và (OAB) Chứng minh rằng :C€OSŒ + COS[]}+ COSY < v3 z

2 Trong không gian với hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng

(P):x-y+z+3=0 và hai điểm A(-1; -3; =2),B(-5; 7; 12)

a) Tìm tọa độ điểm A' là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)

b) Giả sử M là một điểm chạy trên mặt phẳng (P), tìm giá trị nhỏ nhất của

Ta có: Foes (x43) flows (3 ~ 1) =1og (4x)

<= log, (x +3) + log, x= I= log, (4x)

© Gidi han va tiệm cận :

lim y=œ=>x =2 là tiệm cận đứng,

Ssin2x 2 8sin2x = 8(sin* x+cos* x)=20cos2x~5

a(t ~2sin? xcos” +) = Wcos2x-5 <9 8—4sin? 2x = 20cos2x —Š

° 8-4(I ~cos? 2x) = 20cos2x-5 <= 4cos? 2x —20cos2x-9=0

© 2Rsin BsinC(2Rsin BcosC + 2R sinCcosB) = 20

<> 4R’ sin BsinC(sin BcosC + sinCcosB) = 20

©4RŸ sin BsinCsin(B +C) = 20 <> R?sinAsinBsinC =5

È =5 ca SP 19 eS 5=10 4R

Câu IV

1 Chứng minh

Chọn hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxyz như hình vẽ

Giả sử Ø4=a, OB=b, ÓC =e (a,b,e >0)

ta có : O(0;0;0), 4(a;0;0) 8(0;ö;0),C(0;0;c) “

Phương trình mặt phẳng (ABC) có dang :

a be

Các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) va

(ABC) có vectơ pháp tuyến lần lượt là

Goj A là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) thì A nhận n làm vectơ chỉ

phương Phương trình đường thẳng A có dạng :

x=-l+t A:4y=-3-t

Điển A' đối xứng với A qua (P) nên [ là trung điểm AA':

= AB nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P)

Giaođiểm của A'B với mặt phẳng (P) là điểm M cần tim

Thậtvậy: Xét điểm A⁄„ thuộc (P), ta có :

MụA+ MụB = MụA'+ MụB > A"B (cố định)

Matthaic: 4'B = MA'+ MB = MA+ MB

Suy n: MụA +MạB>MA +MB

Đườn thẳng A'B qua điểm A` và nhận

A'B=2(-1: 4: 8) làm vectơ chỉ phương

Khi đó : min(MA + MB) = A'B = V4 + 64+ 256 =18

Câu VY Tính tích phân

BE S06

DE THAM KHAO SO 3, NAM 2002

Câu I (Dai hoc: 3,0 điểm; Cao đẳng: 3.5 điểm)

Cho hàm số: y aoe +mx? —2x _= (1) (m1 tham số)

1 Chome Ì,

2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song

song với đường thẳng d: y=4x+2

1 Giải hệ phương trình :

2 Giải phương trình : tgỶx+l= :

cos xX

Câu IH (Đại học: 2,0 diém; Cao dang: 3,0 diém)

1 Cho hinh ¢ up S.ABCD cé day ABCD là hình vuông cạch a, SA vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Gọi E là trung điểm của cạnh CD Tính

theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE

2 Trong không gian với hệ tọa độ Đểcac vuông góc Oxyz cho đường thẳng

-{2x+y+z4+1=0

i, +y+z+2=0 và mặt phẳng (P): 4x-2y+z-1=0

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng A trên mặt phẳng (P)

Câu IV (Đại học: 2,0 điểm; Cao đẳng: 1.0 điểm)

Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức : §= a 2

x 4y Chỉ chú: 7 sinh chi thi Cao đẳng không làm Câu IV.2) và Câu V

e Đổ thị: hình bên

b)_ Viết phương trình tiếp tuyến

Gọi A là tiếp tuyến cần tìm

A17 d nên có phương trình:

Khi đó : (I)c»y?~4y+3=0 e2|Ÿ~^* y=3=x=9

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

sin’ x +cos* x =(2-sin? 2x)sin3x

©1~2sin? xcos? x =(2-sin? 2x)sin3x

el ~asin 2x =(2-sin? 2x)sin3x

e 3(2=sin? 2x) = (2-sin? 2x)sin3x