b Tại điểm có hoành độ bằng -3... Bài toán 5: Đạo hàm của hàm số lượng giác... ĐẠO HÀM 11A1Bước 2: Xác định điều kiện bất phương trình rồi thay f ' x và g' xnếu có vào điều kiện tìm nghi
Trang 1ĐẠO HÀM 11A1
Chủ Đề:I – ĐẠO HÀM
1.Tóm tắt lý thuyết
Đạo hàm của f (x) tại x0, kí hiệu f ' (x0) hay y' (x0)
0
0 0
0 0 0
lim ) ( ) (
lim ) (
x f x f x
x f x x f x
f
x x
có dạng.
) )(
'
y
Đạo hàm của hằng số:
(C)’= 0
Đạo hàm của x:
x ' 1
' 1
n
x
2
1 ) ( '
2
'
1 1
x
x
Đạo hàm của hàm hợp:
ku ' k u '
u n ' n.u n 1 u'
2
1
u u
u
' 2
'
1 1
u u
u
Đạo hàm của Tổng, Hiệu, Tích, Thương:
uv w' u' v' w'
) 0 ) ( (
2
' ' '
' ' '
x v v v
u v v u v u
u v v u uv
Giới hạn của
x
x
sin 1 sin lim
x
x
Đạo hàm của hàm số lượng giác:
sinx' cosx
sinu' u' cosu
(sinn u) ' nsinn 1u.sinu'
cosx' sinx cosu' u' sinu
(cos )' cos 1 (cos )'
u u n
x
x ' 2
cos
1
u
u
' '
cos tan (tan )' tan 1 (tan )'
u u n
x
sin
1
u
u
2
' '
sin cot (cotn u)' ncotn 1u.(cotu)'
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u'x và hàm số y f (u)có đạo hàm tại u là y'uthì hàm hợp y f(g(x))có đạo hàm tại x là:
2 Các bài toán cơ bản:
Bài toán 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:
' ' '
' ' '
v u v u
v u v u
x u
y' ' '
Trang 2ĐẠO HÀM 11A1
Bước 1: Gọi x là gia số của x tại x0, tính
yf(x0 x) f(x0 )
Bước 2: Lập tỉ số
x
y
Bước 3:Tìm
x
y
lim 0
a) y = x2 + x tại x0 1
b) y =
1
1
x
x
tại x0 0
Lời giải
a) y = x2 + x tại x0 1
Gọi x là gia số của x tại x0 1
Ta có yf(x0 x) f(x0)
f( 1 x) f( 1 ) ( 1 x) 2 ( 1 x) 2 1 2 x x2 1 x 2 x2 3 x
3 )
1
(
'
3 ) 3 ( lim ) 3 ( lim
3 lim
lim
0 0
2 0 0
f
x x
x x x
x x
x
y
x x
x x
b) y =
1
1
x
x
tại x0 0
Gọi x là gia số của x tại x0 0
Ta có yf(x0 x) f(x0)
1
1 )
1 ( 1 ) 0 (
1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (
x
x x
x x
x f
x f
2 ) 0 ( '
2 1
2 lim ) 1 (
2 lim 1
1
2 lim lim
0 0
0 0
f
x x
x
x x
x
x x
y
x x
x x
Nhận xét: Để tính hàm số y = f (x) trên khoảng (a;b) và x 0 (a;b) bằng định nghĩa ta chỉ cần tính
yf(x0 x) f(x0) sau đó lập tỉ số
x
y
rồi tìm giới hạn của
x
y
khi x tiến dần về 0
Bài toán 2: Chứng minh hàm số không hoặc có đạo hàm tại x0
Tìm giới hạn
0
0 0
) ( ) ( lim
x x
x f x f
0
0 0
) ( ) ( lim
x x
x f x f
0
0 0
) ( ) ( lim
x x
x f x f
0
0 0
) ( ) ( lim
x x
x f x f
0
0 0
) ( ) ( lim
x x
x f x f
0
0 0
) ( ) ( lim
x x
x f x f
0
0 0
) ( ) ( lim
x x
x f x f
0
0 0
) ( ) ( lim
x x
x f x f
thì hàm số y f (x) không có đạo hàm tại x0
0 ,
) 1 (
0 ,
) 1 ( )
2
x x
x x
x
Lời giải
2
Trang 3x x x
x
2
1 2 ) ( 2 ) 2
'
ĐẠO HÀM 11A1
Ta có f( 0 )= 1
0
0 0
) ( ) (
lim
x x
x f x
f
0
) 0 ( ) ( lim
0
2 0
2 0
2 0
x x
x x x
x x x
x x
f x f
x x
x x
x
0
) ( ) ( lim ) ( )
(
lim
0 0
2 0
2 0
0 0
0
x
x x x
x x x
x x
o f x f x
x
x f x
f
x x
x x
x x
Vì
0
) 0 ( )
(
lim
f x
f
0
) 0 ( ) ( lim
f x f
Nhận xét: Hàm số y f (x) có đạo hàm tại x0khi và chỉ khi ( ) ( ) ' ( 0)
0
' 0
f
Bài toán 3: Tính đạo hàm của hàm số y f (x)
của hàm số y f (x) và hàm số lượng giác
Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số y = x
a) y 2x4 ; b) y 2 x ; c)
x
y2
Lời giải a) y 2x4 c)
x
y 2
b)
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm hợp
a) y ( 2x4 4x 3 ) 1994 ; b) 2 2 2 1
x
2
5 2 2
y
Lời giải:
) 3 4 2
) 4 8 ( ) 3 4 2
(
1994
) 3 4 2 ( ) 3 4 2
(
1994
3 1993 4
' 4
1993 4
'
x x
x
x x x
x
y
) 1 2
4 )
1 2 2
) 1 2 ( 2
2 2
' 2 '
x
x x
x y
c) 25
x
y d) 3
2
5 2 2
y
3 ' 4 '
4
' ( 2x ) 2 (x ) 8x
2
'
x x
x
Trang 4 10 6
4 2
5
5 '
5
2 )' ( 2 1
2
x x
x x
x x
ĐẠO HÀM 11A1
2
2 2
2 15
2 2
) 2 ( 2 2
2 15
2 2
2 2
3
2 2
2 2
3
2 2
2 4 2 2 5
2
' 2 4
2 2 5
' 2 '
5 2 2 5
' 2 5
2 2 5
' 3 2 5
'
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
y
Dạng 3: Tính đạo hàm của Tổng, Hiệu, Tích, Thương.
x x
4
3 2
x
x
y d) ( 9 2 )( 3 2 3 1 )
y
Lời giải:
a) 2 5 1 3
x x
y
2 4
'
' ' 5 '
10 1 10
3 1 2
3 1
2
'
x
x x
x x
x x
x
y' x5 5x3 2x2 1' x5 ' 5 x3 ' 2x2' ( 1 ) ' 5x4 15x2 4x
c)
4
3
2
x
x
y
' '
) 4 (
11 )
4 (
3 2 8 2 )
4 (
) 3 2 ( ) 4 ( 2 )
4 (
) 3 2 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 3 2 ( 4
3 2
x x
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x y
y
) 2 9 )(
3 6 ( ) 1 3 3
(
2
) 2 9 ( ) 1 3 3 ( ) 1 3 3 ( ) 2 9 ( ) 1 3 2 3 )(
2
9
(
2
' 2
2 ' '
'
x x
x x
x x
x x
x x x
x x y
29 66 18
6 27 12
54 2 6
6
2
2 2
x x
x x
x x
x
Nhận xét: Để tìm đạo hàm của hàm số y f (x) ta chỉ cần xác định dạng của hàm số rồi áp dụng các công thức và phép toán của đạo hạm để tính đạo hàm của hàm số
Bài toán 4: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y f (x)
Dạng 1: Cho hàm số y f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0)
Bước1: Xác định tọa độ x0; y0
Bước 2: Tính đạo hàm của f ' (x) tại x0
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0), có dạng:
) )(
'
y
3
1 3 2
x x
y có đồ thị (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm (1 ; -1).
b) Tại điểm có hoành độ bằng -3.
Lời giải:
a) Tại điểm (1;-1) b) Tại điểm có hoành độ bằng -3
Gọi x0 và y0 là tọa độ tiếp điểm, khi đó ta có
4
Trang 5ĐẠO HÀM 11A1
Ta có x0 1 và y0 1 Ta có x0 3 y0 2
x x
x
f' ( ) 2 2
' ( 1 ) 3
f
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (1 ; -1), có dạng Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-3 ; 2), có dạng
4
3
) 1 (
3
1
) )(
( 0 0
'
0
x
y
x
y
x x x
f
y
y
Dạng 2: Cho hàm số y f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k.
Bước 1:Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm, khi đó ta có f' (x0) k
Bước 2: Giải f' (x0) k
để tìm x0sau đó thế x0vào hàm số y f (x) để tìm y0
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C), có dạng :
) )(
'
y
2
1 3
Lời giải:
Biết hệ số góc tiếp tuyến k = 2
Ta có f'(x) x2 x
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm
1
2
0
0
x x
* Với
3
5
0 y
x * Với
6
1
0 y
x
' ( 2 ) 2
f
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (2 ;
3
5
), có dạng: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-1 ;
6
1
), có
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại hệ số góc tiếp tuyến bằng 3 là
3
7
2
x
6
13
2
x y
Nhận xét: Để viết phương trình tiếp tuyến (C) của hàm số y f (x) ta cần phải biết tọa độx0 và y0 hay hệ
số tiếp tuyến k để tìmx0và y0, sau đó tính đạo hàm của hàm số y f (x) tại x0 rồi áp dụng vào phương trình tiếp tuyến
Bài toán 5: Đạo hàm của hàm số lượng giác.
Dạng 1: Đạo hàm của hàm số y sinx,ycosx,y tanx và y cotx
a) y sin x cosx : b) y tan x cotx c)
x x
x x
y
cos sin
cos sin
Lời giải:
a) y sin x cosx b) y tan x cotx
5
0 2 2
2 )
0 0
2 0 0
'
x f
11 3
) 3 ( 3 2
) )(
( 0 0
' 0
x y
x y
x x x f y y
3
7 2
) 2 ( 2 3 5
) )(
' 0
x y
x y
x x x f y y
6
13 2
) 1 ( 2 6 1
) )(
' 0
x y
x y
x x x f y y
x x
y
x x
y
) (cos )
(sin
) cos (sin
' '
'
' '
Trang 6ĐẠO HÀM 11A1
x x
y
x x
y
x x
y
2 2
'
' '
'
' '
sin
1 cos
1
) (cot ) (tan
) cot (tan
c)
x x
x x
y
cos sin
cos sin
2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
' '
' '
) cos
(sin
2
) cos (sin
) cos sin 2 1 ( ) sin cos
2
1
(
) cos (sin
) cos cos
sin 2 (sin ) sin sin cos 2 (cos )
cos (sin
) cos (sin
) sin
(cos
) cos (sin
) cos )(sin
cos (sin
) cos sin
)(
sin (cos )
cos (sin
) cos )(sin
sin (cos ) cos )(sin
sin
(cos
) cos (sin
) cos (sin
cos) (sin
) cos (sin
) cos (sin
cos
sin
cos
sin
x x
x x
x x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
y
Dạng 2: Đạo hàm của hàm hợp:
x
y ; b) y 3 tan 2 2x cot 2 2x
c)y x2 1 cot 2x d)
x
x
sin
cos
Lời giải:
a) sin 12
x
' 2 ' 2
cos 2 1 cos 1 1
sin
x x x x
x
b) y 3 tan 2 2x cot 2 2x
x
x x
x x
x x
x
x
x x
x
x x x
x x
x x
x y
2 sin
2 cot 4 2 cos
2 tan 12 2 sin
1 2 cot 4 2 cos
1
2
tan
12
2 sin
) 2 ( 2 cot 2 2 cos
) 2 ( 2 tan 6 ) 2 (cot 2 cot 2 ) 2 (tan 2 tan 6 ) 2 cot 2
tan
3
(
2 2
2 2
2
' 2
' '
' '
2 2
'
c)y x2 1 cot 2x
x
x x
x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
y
2 sin
1 2
1
2
cot
1 2
sin
) 2 ( 2 cot 1 2
) 1 ( 1 2
cot 2
cot 1 2
cot 1
2 2 2
2 2
' 2
' 2 2
' '
2 '
2
'
d)
x
x
sin
cos
x
x x x
x
x x
x x
x x
x x x
x x
x
2 2 4
2 3
' 2
3 2
3
' 3 3
' '
3
'
sin
cos sin 3 sin )
(sin
cos ) (sin sin 3 sin sin )
(sin
cos ) (sin sin
) (cos sin
Bài toán 6: Giải bất phương trình
6
) 1 cos (sin 2 2
x
Trang 7ĐẠO HÀM 11A1
Bước 2: Xác định điều kiện bất phương trình rồi thay f ' (x) và g' (x)(nếu có) vào điều kiện tìm nghiệm x0
Bước 3: Lập bảng xét dấu rồi kết luận tập nghiệm của bất phương trình.
a) ' ( )
x
f < 0 ,với f x x x 6x
2
5 3
1 )
b) ' ( ) 0
x
g ,với
2
9 3 )
(
2
x
x x x g
c) f ' (x)< g ' x( ) ,với ;
2
1 )
(x x3 x2
2
1 3
2 ) ( 3 2
Lời giải:
a) f ' (x)< 0 ,với f x x x 6x
2
5 3
1 )
x
2
9 3 )
x
x x x g
Ta có ' ( ) 2 5 6
x x x
f Ta có 2
2 '
) 2 (
3 4 )
(
x
x x x g
Mà f ' (x)< 0 Mà ' ( ) 0
x g
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=(2 ; 3)
1 ; 3\ 2 2
3 1
0 2
0 3 4
2
x x x x
x x
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=[1 ; 3]\2
c) ' ( )
x
2
1 )
x x x
2
1 3
2 )
Ta có f' (x) 3x2 2x
, ' ( ) 2 2 2
x x x
g
Mà f ' (x)< g ' x( )
1 2 0 2 0
2 2
2 3 2 2
2
3 2 2 2 2 2
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S=(-2 ; 1)
Nhận xét: Tùy thuộc vào đề bài ta tính được đạo hàm của f (x)và g (x)(nếu có) sau đó đem thế vào điều kiện
có được từ đề bài để tìm nghiệm của bất phương trình.
3.Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x
y
3
2 3
y
c)
2
cos 1
sin
x
x
1
1 cos 2
x
x y
Bài 2: Cho hàm số
x
x y
1
1 3
có đồ thi là (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), tại điểm A(2 ; -7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), tại giao điểm của (C) với trục hoành.
x
3 ) (x mx3 x2 mx
3 2
0 6 5
2
x x x