ĐỀ THI hsg CỦA PHẠM HÀ THCS HÀ LAN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009

MễN: TOÁN LỚP 9 THỜI GIAN: 150 PHÚT (Khụng kể phỏt đề)

Họ và tờn: Phạm Thị Hà Đơn vị : Trường THCS Hà Lan

Câu 1: (3 điểm)

Cho biểu thức P =

20 9

1 12

7

1 6

5

1 2

3

1 1

2 2

2 2

2 aa  a a  a a  a a  a

a

a) Tìm ĐKXĐ của P

b) Rút gọn P

c) Tính giá trị của P biết a3 a2  2= 0

Câu 2 (4 điểm)

a) Cho N = 99 9 6 00 0 4

0 10 9

10     



CS

b) cho a,b,c là 3 số hữu tỷ thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 1

Chứng minh ( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )





Câu 3 (4 điểm )

a) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P =

1

1 2

2









x x

x x

với x > 0 b) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 2x3+ xy – 7 = 0

Câu 4 (3 điểm )

Cho tam giác ABC trung tuyến AM Chứng minh rằng nếu cotgB = 3 cotgC

thì AM = AC

Câu5 (4 điểm )

Cho tam giác ABC vuông tại A Từ điểm O trong tam giác ta vẽ ODBC, OECA,

AB

OF  Hãy xác định vị trí của O để OD2 OE 2 OF2nhỏ nhất

Câu 6 (2 điểm ) Gọi A là tích của các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 1003 và B là tích

của các số nguyên liên tiếp từ 2004 đến 2006 Hỏi A+B có chia hết cho 2007 không

Đáp án và h ớng dẫn chấm Câu 1 : (3 điểm )

a) ĐKXĐ : a o; -1; -2; -3; -4; -5 (0,5 điểm)

b) P = ( 1 1) ( 1)(1 2)







 a a a



 a

a +( 3)(1 4) ( 4)(1 5)









 a a a a

=

5

1 1





a

a = ( 5 5)



a

a ( 1,5 điểm) c)Ta có a3 2 2 0 ( 1 )( 2 2 2 ) 0 1 0





















 a = -1

Với a = -1 (thoã mãn ĐKXĐ )  a= -1 giá trị của P là P =

4

5

 (1 điểm )

Câu 2 :(4 điểm)

a) ( 2 điểm)

N = 99 9 6 00 0 4

0 10 9

10     



CS

cS = 99 9 6 1 00 0 4

0 11 9 10















CS

9 10 9

10





 







CS CS

= 99 8 2  44

9

10  



CS

2 9 10

8 9

99   

CS

8

99 9

10  



CS

N 



b)(2 điểm) Ta có 1 =ab +bc +ca  a2 +1=(a+b)(a+c)

Tơng tự b2 + 1= (b+c)(b + a)

c2 + 1 = (a+c)(b+c)

Vậy ((a2  1 )(b2  1 )(c2  1 )  (ab) 2 (bc) 2 (ac) 2  (a2  1 )(b2  1 )(c2  1 )=

(a+b)(b+c)(a+c) là một số hữu tỷ vì a,b,c là số hữu tỷ

Câu 3: (4 điểm)

a) P = 1 -

1

2 2



x x

x

= 1 - 1) 1

(

2





x

2 1 1

2 3

1 1 2

1



















x x x

x x

P P

P    



3

1 3

2

3

1 khi x= 1 (2 điểm) b) 2x3+xy – 7 = 0  7 - 2x3= xy do x >0 ; y > 0 nên xy > 0

 7 - 2x3>0 x3<3,5 mà xZ  x = 1  y = 5

Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là x =1 ;y = 5

Câu 4 :(3 điểm )

Hạ AH  BC ta có cotgB =

AH

BH

; cotgC =

AH CH

Mà cotgB = 3cotgC  BH = 3CH  BC = 4CH

Lại có BC = 2CM  CM = MH

AMC có CM = MH ; AH CM Suy ra

AMC cân tại A  AM = AC

Câu 5 : Vẽ đờng cao AH và OK AH

Ta có OE2 OF2 OA2 AK2

Mật khác OD = KH

nên

2 2

)

2 2 2 2

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi O là trung điểm của AH

A

O

A

VËy Min    

2

2 2 2

OF OE

C©u 6: (2 ®iÓm )

A = 1.2.3…10031003

B = 1004.1005…10032006 = (2007 -1003)(2007 – 1002)…1003(2007 – 1)

=2007.N – 1003.1002…10031

 A + B = 2007N  2007