Gọi cỏc giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F.. Gọi O là giao điểm của AC và BD.. b Gọi I là giao điểm của HO và MN.. Gọi K là giao điểm của AN và DM.. Sở giáo dục đào tạo than
Trang 1TR ường THCS Lờ Quý Đụn Bỉm Sơn
Đề kiểm tra chất lượng đội tuyển toỏn 8( lần 1 )
( thời gian : 120’)
Cõu 1: Cho biểu thức : ( )( ) ( )( ) ( x)( y)
y x x
y x
y y
y x
x B
− +
− + +
−
− +
=
1 1 1
1
2 2 2
2
a) Rỳt gọn B
b) Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x,y) sao cho B = -3
Cõu 2: a) Tỡm số dư trong phộp chia (x +2) (x +4) ( x+6) (x+8) +2010cho đa thức :
x2 +10x +21
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ phõn số: 4 3 22
n n
n n
+ + + là phõn số tối
giản
Cõu 3: Cho ax by cz+ + = 0 Rỳt gọn biểu thức:
bc y z ca z x ab x y
A
ax by cz
=
+ +
Cõu 4: a) Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y thoả món: 2
2x 1
y
+ = b) Giải phương trỡnh: 2
2 (8x x− 1) (4x− = 1) 9
Cõu 5: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD) Cỏc điểm M, N thuộc cỏc cạnh AD, BC sao
cho AM CN
MD = NB Gọi cỏc giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F Qua M kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở H Gọi O là giao điểm của AC và BD
a) Chứng minh rằng: HN // BD
b) Gọi I là giao điểm của HO và MN Chứng minh rằng: IE = IF, ME = NF
Cõu 6 : Cho hỡnh vuụng ABCD Trờn cạnh AB,CD Lấy M, N sao cho : AM =CN= AB/3
Gọi K là giao điểm của AN và DM Chứng minh rằng trực tõm tam giỏc ADK thuộc BC
Cõu 7: a) Cho x, y, z là ba số nguyờn dương nguyờn tố cựng nhau thoả món 1 1x+ =y 1z Hỏi
x y+ cú là số chớnh phương khụng ? Vỡ sao ?
b) Cho x, y, z là cỏc số dương thoả món: z≥ 60;x y z+ + = 100 Tỡm giỏ trị lớn nhất
của A xyz =
Ghi chỳ: Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Sở giáo dục đào tạo thanh hoá
Trang 2Phòng giáo dục Bỉm sơn
TRường THCS Lờ Quý Đụn Bỉm Sơn
Đề xuất đề thi học sinh giỏi cấp thị xó Năm học : 2010 - 2011
( Thời gian : 150’)
Gv ra đờ : Mai Thị Huyền
Cõu 1: (4 điểm) Cho biểu thức : P = + [ + − ] + + +
−
− +
+ + +
+
) 1 ( 2
3 1
5 : 2 ) 1 ( ) 1 (
10 2
1
) 2 ( 3
2 2
2 2
x x x
x x x
a) Rỳt gọn B
b)Tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn của x để P cú giỏ trị là bội của 4
Cõu 2: (4 điểm)
a) Phân tích thành nhân tử : ( x+y+z )3 – x3 – y3 – z3
b) Chứng minh : ( a+b+c)3- ( a+b-c)3 – ( b+c-a)3 – ( c+a – b)3
Chia hết cho 24 với mọi a,b,c
Cõu 3: (4 điểm)
a) Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y thoả món: 2
y
+ = b) Giải phương trỡnh: 2
2 (8x x− 1) (4x− = 1) 9
Cõu 4: (4 điểm) Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD) Cỏc điểm M, N thuộc cỏc cạnh AD,
BC sao cho AM CN
MD = NB Gọi cỏc giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F Qua M
kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở H Gọi O là giao điểm của AC và BD
a)Chứng minh rằng: HN // BD
b)Gọi I là giao điểm của HO và MN Chứng minh rằng: IE = IF, ME = NF
Cõu 5: (2điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD Trờn cạnh AB,CD Lấy M, N sao cho :
AM =CN=
3
AB
Gọi K là giao điểm của AN và DM Chứng minh rằng trực tõm tam giỏc ADK thuộc BC
Cõu 6: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng :
+ +
≥ +
+ +
+
ab c
b ab
ca c
a b
a
2
1
2 2 2
2 2
2
b) Cho x, y, z là cỏc số dương thoả món: z≥ 60;x y z+ + = 100 Tỡm giỏ trị lớn nhất
của A xyz =
Sở giáo dục đào tạo thanh hoá
Phòng giáo dục Bỉm sơn
TRường THCS Lờ Quý Đụn Bỉm Sơn
Trang 3Đáp án và biểu điểm
Cõu 1
(4đ) a)(2đ) P=
) 1 (
2 )
1 )(
1 )(
1 ( 2
) 1 )(
1 ( 3 ) 1 )(
1 ( 3 ) 1 ( 10 : ) 1 )(
1 (
10 2
) 1 )(
1 (
) 2 ( 3
2
2 2
2 2
2
+ +
− +
− +
−
+ +
−
− +
+ +
+
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
x
x
) 1 )(
1 (
4 2 2
2
2
+ +
− +
x x
x x
6 6 10 10
) 1 )(
1 )(
1 ( 2
2 2
2
−
−
−
+ +
−
x x
x x x
) 1 (
2
−
x
=
) 4 ( 4
) 2 (
8
2
2
−
− +
x
x x
= 42((x x++22)()(x x−−21)) = 2(x x−−21)
0,5đ 0,5đ 0.5đ 0,5đ
b) ( 2đ) Đk : x≠ 1 ,x≠ − 1 x≠ 2 ,x≠ − 2
P=
2
2 2 2
) 1 ( 2
− +
=
−
−
x x
x
Vỡ x nguyờn để P cú gớ trị nguyờn thỡ : ∈ => − ∈
2
x Z
Mà ư(2)= {− 1 ; 1 ; − 2 ; 2 }
+ x-2 = -1 => x = 1 khụng thoả món Đk xỏc định
+ x-2 = 1 => x= 3 thoả món ĐKXĐ Khi đú p =4 là bội của 4
+ x-2= -2 => x = 0 => p = 1 khụng là bội của 4
+ x-2 = 2= > x=4 => p= 3 khụng là bội của 4
Vởy x = 3 thoả mãn đề bài
0,25đ 0,5đ 0,5đ
0,75đ
cõu 2
(4đ)
a)( 2đ ) ( x + y + z )3 = (x+ y )3 + 3( x+ y )z ( x+y +z) + z3
= x3+ y3 + 3 ( x +y )xy + 3( x+ y )z ( x+y +z) +z3
= x3+ y3 + z3 + 3 ( x+y ) ( y+z) ( x +z)
=> ( x + y + z )3 - x3- y3 -z3 = 3 ( x+y ) ( y+z) ( x +z)
b)(2đ) Đặt a+ b –c =x , b+ c –a = y , c+a – b = z ta có : x+ y +z = a+ b
+c
x+y = 2b , x +z = 2a , y +z = 2c
Theo câu a) ta có : ( a +b +c)3 - ( a+b –c)3- ( b+c-a)3 –( c+a –b)3 =
( x + y + z )3 - x3- y3 -z3 = 3( x+y ) ( y+z) ( x +z)
= 3 2a 2b 2c = 24 abc 24
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ
0.75đ 0.5đ 0,25đ Cõu 3
(3đ) a) (1,5đ) Ta cú:
0,5đ 0.5đ
Trang 4
2
1 2
1 2
m
m n n m n n
y
m n y
−
+ =
⇒ − = > ⇒ − = − =
⇒ ⇒
0,5đ
b) (1.5đ) 2 (8x x− 1) (4 2 x− = ⇔ 1) 9 8 (8x x− 1) (8 2 x− = 2) 72
Đặt 8x – 1 = y ta có:
( 1) (2 1) 72 2 9
1 2 3
1 4
x y
x
=
⇔ = ± ⇔
= −
0,5đ 0.5®
0,5đ
4
(4đ)
I
H
F E
O
M
N
G
a) (2đ) Theo định lí Ta-let ta có: DH DM BN HN / /BD
HC = MA = NC ⇒ (theo định lí
b)(2đ) Gọi G là giao điểm của HM và BD, Q là giao điểm của HN và AC Ta
có: MG AO BO NQ GQ MN/ /
GH =OC =OD=QH ⇒
Gọi K là giao điểm của HO và GQ
Do OGHQ là hình bình hành nên GK = KQ
Do đó: IE = IF, IM = IN, ME = NF
1đ
1đ
Trang 5(3đ)
Cõu 6
(2 đ )
Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1
3BC = 1
AM = NC =1
3AB (gt)
AM = BE = CN
Chỉ ra ∆ABE = ∆DAM (c.g.c) BAE = ADM
BAE + EAD = ADM + DAE = DAB = 900
DM ⊥ AE (1)
Chứng minh tơng tự ta cũng có DE ⊥ AN (2)
Do AB // CD, áp dụng hệ quả của định lí Talet
2
AK AM
KN = DN =
Mà 1
2
BE
EC =
KE // AB (định lí Talet đảo)
Mà AB ⊥ AD EK ⊥ AD (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra trực tâm của ∆AKD là điểm E thuộc BC
0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ a) 1điểm Áp dụng bất đắng thức cô si cho 2 ssố không âm ta có :
a bc
c b c a b a
bc bc
c b c a b
a
4
2
2
+
≥
+ + +
a b c c a b
a
) 1 1 ( 4
1
2
b c a c b ab
) 1 1 ( 4
1
2
c b a bc
ac
) 1 1 ( 4
1
2
0.25đ 0.25đ
0,25đ
2
BE AK
EC = KN =
Trang 6Tõ (1) , (2) , (3) ta cã : +
+a c b a
bc
2
+b c ab
ac
2
2 ac2 bc2
ab
1 1 1 ( 2
1
c b
a+ +
≥
b) (1điÓm) Ta có
60
4
yz y z
x y z
A xyz x y z
≥ + + = ⇒ <
+ + −
(áp dụng bất đẳng thức Côsi)
Dấu “=” xảy ra khi
60
z
x y
=
= + + − =
20
z
x y
=
⇔ = =
0.25®
0,25® 0,25® 0,25®
0,25đ