Cơ sở Grobner

Sự phát triển của đại số máy tínhcũng có tác dụng tích cực trở lại trong nghiên cứu toán học lý thuyết.Nhiều kết quả lí thuyết đã được phán đoán hoặc có được phản ví dụnhờ sở dụng máy tí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Phạm Thị Thùy

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Th.s Nguyễn Huy Hưng

Hà Nội – Năm 2016

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trongkhoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số, những người đã tận tình dạy

dỗ, giúp đỡ em trong quá trình học tập cũng như làm khóa luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.sNguyễn Huy Hưng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng gópnhiều ý kiến quý báu cho em trong thời gian em thực hiện khóa luậnnày

Hà nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Phạm Thị Thùy

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáoNguyễn Huy Hưng, cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá trìnhnghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một

số tác giả ( đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quảnghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác Nếusai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Phạm Thị Thùy

Mục lục

1.1 Vành đa thức nhiều biến 4

1.1.1 Đa thức và bậc đa thức 4

1.1.2 Định lý Hilbert về cơ sở 9

1.2 Iđêan đơn thức 10

1.3 Thứ tự từ 13

1.3.1 Thứ tự, giả thứ tự 13

1.3.2 Thứ tự từ 15

1.3.3 Một số thứ tự từ 16

2 Cơ sở Gr¨obner 19 2.1 Iđêan khởi đầu và cơ sở Gr¨obner 19

2.1.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu 19

2.1.2 Iđêan khởi đầu 22

2.1.3 Định nghĩa cơ sở Gr¨obner 24

2.2 Thuật toán chia 30 2.2.1 Phép chia với dư trong vành đa thức một biến 30 2.2.2 Phép chia với dư trong vành đa thức nhiều biến 34

2.3 Thuật toán Buchberger 402.3.1 Tiêu chuẩn Buchberger 402.3.2 Thuật toán Buchberger 46

Lời mở đầu

Tính toán hình thức, hay còn gọi là Đại số máy tính, xuất hiệnkhoảng bốn chục năm nay và gần đây trở thành chuyên ngành độclập Với sự ra đời của Đại số máy tính người ta có thể giải phươngtrình với hệ số bằng chữ, tính tích phân bất định, điều mà trước đómáy tính chỉ thực hiện được với phương trình có hệ số bằng số, tínhtích phân xác định Đây là một chuyên ngành kết hợp chặt chẽ giữatoán học và khoa học máy tính Nó được ra đời dưới ảnh hưởng của

sự phát triển và phổ cập máy tính cá nhân Sự phát triển này đòi hỏiphải xây dựng các lí thuyết toán học làm cơ sở cho việc thiết lập thuậttoán và các phần mềm toán học Sự phát triển của đại số máy tínhcũng có tác dụng tích cực trở lại trong nghiên cứu toán học lý thuyết.Nhiều kết quả lí thuyết đã được phán đoán hoặc có được phản ví dụnhờ sở dụng máy tính

Trong Đại số giao hoán, khi nghiên cứu vành đa thức một biến

K [x] (với K là một trường), ta đã biết mọi iđêan đa thức I đều sinhbởi một đa thức g nào đó là ta gọi nó là phần tử sinh của I, vì vậy với

f ∈K [x] bất kì, ta thực hiện phép chia đa thức f cho đa thức g theothuật toán Euclid để tìm đa thức dư r, đa thức này xác định duy nhất

và f ∈ I khi và chỉ khi r = 0 Khi ta mở rộng lên vành đa thức nhiềubiến K [x1, ,xn], để xác định một đa thức f ∈ K [x1, , xn] bất kì cóthuộc iđêan đa thức I ⊆ K [x1, ,xn] cho trước nào đó hay không,

ta sẽ đi tìm tập các phần tử sinh{g1, , gn} = G, trong đó các gi ∈ I,

và sau đó thực hiện phép chia đa thức f cho tập các đa thức G Tuy

nhiên liệu rằng có thực hiện được phép chia đa thức f cho tập G đểtìm đa thức dư r hay không? Và đa thức này vẫn còn xác định duynhất? Thuật toán chia khi đó thay đổi như thế nào so với thuật toánEuclid? Liệu rằng f ∈ I khi và chỉ khi r = 0? Cơ sở Gr¨obner trongĐại số máy tính đã cho phép giải đáp được tất cả những thắc mắctrên.

Lý thuyết cơ sở Gr¨obner được nhà toán học người Áo Bruno berger đưa ra trong luận án tiến sĩ của mình vào năm 1965, dưới sựdẫn dắt của người thầy là Wolfgang Gr¨obner Điểm chốt khởi đầu cho

Buch-sự hình thành lí thuyết của Buchberger chính là việc mở rộng thuậttoán chia hai đa thức một biến sang trường hợp các đa thức nhiềubiến

Do vai trò quan trọng của lý thuyết cơ sở Groebner trong sự pháttriển của Đại số cùng với sự động viên, giúp đỡ của các thầy cô khoaToán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Đại số, em đã chọn đề tài “Cơ

sở Gr¨obner”

Nội dung của đề tài trình bày về những khái niệm cơ sở của lýthuyết cơ sở Gr¨obner Xây dựng quan hệ thứ tự từ trên tập các đơnthức nhiều biến, từ đó chúng ta thấy được và làm rõ cách thức mởrộng thuật toán chia đa thức một biến ở trung học cơ sở sang trườnghợp đa thức nhiều biến

Đề tài được trình bày trong hai chương

Chương 1 Các kiến thức cơ sở

Chương này dành cho việc trình bày lí thuyết bổ trợ liên quan vềvành đa thức nhiều biến, iđêan đơn thức và khái niệm thứ tự từ, xuất

phát điểm để xây dựng cơ sở Gr¨obner

Chương 2 Cơ sở Gr¨obnerNội dung chủ yếu của chương này là đưa ra khái niệm iđêan khởiđầu, từ khởi đầu cũng như định nghĩa và một số tính chất cơ bản của

cơ sở Gr¨obner Tiếp đó, em trình bày việc mở rộng thuật toán chia với

dư trong vành đa thức nhiều biến Cuối cùng đề cập đến thuật toánBuchberger

Do trình độ chuyên môn và kinh nghiệm còn hạn chế nên khóa luậnnày không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự cảmthông và những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạnsinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2016Tác giả khóa luận

Phạm Thị Thùy

n , trong đó ( a1, , an) ∈ Nn được gọi là

bộ phận số mũ của đơn thức Nếu a1 = = an = 0, thì đơn thức kíhiệu là 1 Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa như sau

Do đó, nếu đồng nhất x1 với đơn thức x11x02 x0n, , xn với đơn thức

x01 x0n−1x1n thì đơn thức là tích của các biến

Từ là biểu thức có dạng αxa1

1 xan

n , trong đó α ∈ R gọi là hệ sốcủa từ Thông thường phần tử của vành cơ sở R được gọi là phần tử

vô hướng Hai từ khác không αxa1

1 xan

n và βxa1

1 xan

n là đồng dạng vớinhau Như vậy, ta có thể xem đơn thức là từ với hệ số là 1, và phần

tử vô hướng α là từ α

Ta kí hiệu x := (x1, , xn), a = (a1, , an) ∈ Nn và xa := xa1

1 xan

n

Đa thức n biến x1, , xn trên vành R là một tổng hình thức của cáctừ

f (x) = P

a∈N n

αaxatrong đó chỉ có một số hữu hạn hệ số αa 6= 0 Từ αaxa với αa 6= 0được gọi là từ của đa thức f(x) và xa là đơn thức của f(x)

Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau

( Pa∈N n

( Pa∈N n

γa = Pb,c∈N n ;b+c=a

αbβc

Ta thấy γa 6= 0 chỉ khi tồn tại b và c sao cho αb 6= 0 và βc 6= 0 để

a = b + c 6= 0 Do vậy chỉ có một số hữu hạn hệ số γa khác không, vàphép nhân đa thức ở trên hoàn toàn xác định

Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên, tập tất

cả các đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị là đơnthức 1 Tập này được kí hiệu là R [x1, , xn] hay R [x]

Định nghĩa 1.1 Vành R [x1, , xn] xây dựng như trên được gọi làvành đa thức n biến trên vành R

Chú ý

• Khi n = 1, ta có vành đa thức một biến thông thường

• Cho 0 ≤ m ≤ n Bằng cách xem mỗi từ αxa1

Với quan điểm này có thể xây dựng vành nhiều biến(vô hạn biến

R [xi; i ∈ I]) từ vành một biến theo qui nạp Tuy nhiên, mỗi đathức của vành này vẫn là một đa thức hữu hạn biến

• Khi tập các biến đã được xác định, ta chỉ kí hiệu đa thức đơngiản là f, g, thay cho f(x), g(x),

Định nghĩa 1.2 Bậc tổng thể của đa thức f (x) = P

a∈N n

αaxa là sốdeg f (x) = max {a1 + + an| αa 6= 0}

Đối với đa thức một biến, bậc tổng thể chính là bậc thông thường.Đôi khi, bậc tổng thể của đa thức nhiều biến cũng được gọi tắt là bậc,nếu không có sự hiểu nhầm nào xảy ra

Mệnh đề 1.1 Nếu R là miền nguyên thì vành đa thức R [x] cũng làmiền nguyên

Chứng minh Bằng qui nạp theo số biến, chỉ cần chứng minh điềukhẳng dịnh cho vành một biến R [x] Giả sử

f (x) = apxp+ + a1x + a0 và g(x) = bqxq + + b1x + b0

là hai đa thức khác 0, trong đó p, q ≥ 0 Có thể giả thiết ap 6= 0 và

bq 6= 0 Khi đó

f (x) g (x) = apbqxp+q+ các từ bậc nhỏ hơn p + q.

Vì R là miền nguyên, nên apbq 6= 0 Vì các từ còn lại có bậc nhỏ hơn

p + q nên f (x)g(x) 6= 0

Cho f (x) ∈ R [x] Với mỗi i ≤ deg f (x), ta kí hiệu fi là tổng tất

cả các từ có bậc tổng thể là i trong biểu diễn chính tắc của f(x) fiđược gọi là thành phần thuần nhất thứ i của f(x) Khi đó

f (x) = fp+ + f0,trong đó p = deg f (x) và fp 6= 0

Mệnh đề 1.2 Nếu R là miền nguyên, thì với mọi đa thức f (x), g(x)

f (x) = fp+ + f0 và g (x) = gq+ + g0,trong đó fp 6= 0 và gq 6= 0 Khi đó, ta có

f (x) g (x) = fpgq + (fpgq−1 + fp−1gq) +

Vì R là miền nguyên nên theo mệnh đề 1.1 , ta có fpgq 6= 0 Dodeg fpgq = p + q và các số hạng còn lại trong tổng trên có bậc tổngthể nhỏ hơn hoặc bằng p + q − 1 nên deg (f (x) g (x)) = p + q

Hệ quả 1.1 Vành đa thức K [x] trên trường K là miền nguyên vàbậc tổng thể của đa thức thỏa mãn mệnh đề trên

Định lý 1.1 (Định lý Hilbert về cơ sở) Cho R là vành Noether và x

là tập n biến Khi đó, vành R [x] cũng là vành Noether

Hệ quả 1.2 Mọi iđêan của vành đa thức K [x] trên trường K là hữuhạn sinh

hixa(i),trong đó h (i) ∈ K [x] và a (i) ∈ A

Xem hi như tổng hữu hạn của các từ và khai triển vế phải của đẳngthức trên ta thấy mỗi từ của nó phải chia hết cho xa(i) nào đó Saukhi giản ước, sẽ còn lại một từ trong số đó và từ đó phải bằng xb Vậy xb phải chia hết cho xa(i) nào đó

Chú ý rằng xb chia hết cho xa khi xb = xa.xc với c ∈ Nn nào đó

Từ đó, ta có đẳng thức b = a + c Khi đó tập

a + Nn = {a + c : c ∈ Nn}bao gồm số mũ của tất cả các đơn thức chia hết cho xa Từ chú ý này

và Bổ đề 1.1 cho ta hình ảnh mô tả các đơn thức trong một iđêan đơnthức cho trước Chẳng hạn, nếu I = x2y4, x4y3, x5y2
, khi đó số mũcủa các đơn thức trong I tạo thành tập

(2, 4) + N2
∪ (4, 3) + N2
∪ (5, 2) + N2

Ta có thể hình dung tập này như hợp các điểm nguyên trong các khốivuông có 3 đỉnh là (2,4) , (4,3) , (5,2) trong mặt phẳng.

Bổ đề 1.2 Cho I là iđêan đơn thức và f ∈ K [x] Các điều kiện sau

là tương đương

(a) f ∈ I

(b) Mọi từ của f thuộc I

(c) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I

Chứng minh Rõ ràng có (c) ⇒ (b) ⇒ (a) Để chứng minh (a) ⇒ (c)

ta cũng có nhận xét giống bổ đề trên, mỗi từ của f phải chia hết cho

xa với a ∈ A nào đó Mà mọi đơn thức chia hết cho xa lại thuộc I Do

đó, mỗi từ của f là tích của một đơn thức thuộc I và một phần tử từ

K, tức f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I

Hệ quả 1.3 Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức bằng nhaunếu chúng chứa cùng một tập đơn thức

Bổ đề 1.3 Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I, các

từ của f đều thuộc I

Chứng minh Điều kiện cần suy ra từ Bổ đề 1.2 Từ giả thiết suy ratập tất cả các đơn thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I Do đóđiều kiện đủ được chứng minh

Bổ đề 1.4 ( Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I = (xa; a ∈ A) baogiờ cũng viết được dưới dạng I = xa(1), , xa(s)
, trong đó a (1) , , a (s) ∈

A Nói riêng I là hữu hạn sinh

Từ Bổ đề 1.1 và Bổ đề Dickson suy ra mỗi iđêan đơn thức I chỉ cómột tập sinh tối tiểu gồm các đơn thức Tập sinh này được gọi là tập

sinh đơn thức tối tiểu của I Mỗi đơn thức trong tập sinh này được gọi

là đơn thức sinh của I Sau đây, thuật toán tìm tập sinh đơn thức tốitiểu {u1, , us} của iđêan đơn thức I khi cho biết một tập sinh hữuhạn đơn thức {m1, , mr} của nó

Thuật toán 1 Thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểuTìm SINHĐTTT (m1, , mr) := {u1, , us}

IF mj|mi T HEN

i := i + 1; j := i + 1ELSE

WHILE mi|mj DO

k := j; r := r − 1WHILE k ≤ r DO

mk := mk+1, k := k + 1

j := j + 1

s := s + 1; us := mi; i := i + 1

1.3 Thứ tự từ

1.3.1 Thứ tự, giả thứ tự

Cho tập X là một tập khác rỗng Quan hệ (hai ngôi) trên tập X làmột tập con R của tích Đề các X×X Kí hiệu là xRy, (x,y) ∈R.Định nghĩa 1.5 Quan hệ R trên tập X được gọi là một thứ tự ( bộphận), nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây đối với mọi x, y, z ∈ X(i) xRx (tính chất phản xạ)

(ii) Nếu xRy và yRz thì xRz (tính chất bắc cầu)(iii) Nếu xRy và yRx thì x = y (tính chất phản đối xứng)Thông thường thứ tự bộ phận được kí hiệu bởi ≤, ≥, ,  Khi

đó x ≤ y cũng được nói là " x nhỏ hơn hoặc bằng y"

Nhận xét

Nếu R là một thứ tự bộ phận thì quan hệ ngược

R−1 = {(x, y) | (y, x) ∈ R}

cũng gọi là thứ tự bộ phận và gọi là thứ tự ngược của R Nếu dùng

≤,  để kí hiệu thứ tự thì ≥,  tương ứng sẽ chỉ các thứ tự ngượccủa chúng

Ta cũng sẽ dùng kí hiệu x < y để chỉ quan hệ x ≤ y và x 6= y Kíhiệu x > y là thứ tự ngược của thứ tự đó

Khi trên tập X có một thứ tự bộ phận ≤ , ta nói X là tập đượcsắp (bộ phận) Nếu x, y ∈ X mà x ≤ y hoặc y ≤ x thì ta nói x, y so

sánh được với nhau Trong trường hợp ngược lại, x, y không so sánhđược với nhau.

Quan hệ thứ tự ≤ trên X được gọi là thứ tự toàn phần nếu mọicặp phần tử của X đều so sánh được với nhau Khi đó, ta nói tập X

Định nghĩa 1.6 Cho (X,≤) là tập được sắp thứ tự ≤,A ⊆ X

(i) Phần tử a ∈ A được gọi là phần tử tối tiểu (tương ứng tối đại )nếu với mọi b ∈ A mà b ≤ a (tương ứng a ≤ b) thì a = b

(ii) Phần tử a ∈ A là phần tử nhỏ nhất (tương ứng lớn nhất ) nếuvới mọi b ∈ A ta có a ≤ b ( tương ứng b ≤ a )

(iii) Phần tử a ∈ X là chặn trên (tương ứng chặn dưới ) của A nếuvới mọi b ∈ A ta có a ≤ b (tương ứng b ≤ a)

(iv) Tập X được gọi là tập sắp tốt nếu nó được sắp hoàn toàn và mọitập con khác rỗng của nó có phần tử nhỏ nhất

Bổ đề 1.5 (Bổ đề Zorn) Nếu X là tập được sắp ( bộ phận) sao chomọi tập con khác rỗng được sắp hoàn toàn của nó bị chặn trong X, thì

Chứng minh Nếu ≤ không là thứ tự tốt thì tồn tại tập con A ⊆ Mkhông có phần tử nhỏ nhất Lấy m1 là phần tử bất kì thuộc A Vì Akhông có phần tử nhỏ nhất nên tìm được m2 < m1 trong A.Tiếp tụcquá trình như vậy ta sẽ tìm được một dãy vô hạn các đơn thức thực

Bổ đề 1.7 Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt Ngược lại, mọi thứ tự tốt trên

M thõa mãn điều kiện (b) của Định nghĩa 1.7 là thứ tự từ

Chứng minh Cho ≤ là thứ tự từ Giả sử ∅ 6= A ⊆ M Gọi I ⊆ K [x]

là iđêan đơn thức sinh bởi A Theo Bổ đề Dickson, tồn tại một số hữuhạn phần tử m1, ,mn ∈ A sao cho I = (m1, , mn) Vì ≤ là thứ tựtoàn phần nên có thể giả thiết m1 ≤ mi với mọi i ≤ n Ta chứng tỏ

m1 là phần tử bé nhất của A Thật vậy, với mọi m ∈ A, vì I = (m1, , mn) nên theo bổ đề về tính chia hết của iđêan đơn thức, ta tìmđược i ≤ n sao cho m = m’ mi, với m’ là đơn thức nào đó Vì 1 ≤m’ nên theo Định nghĩa 1.7(b) m1 ≤ mi ≤ m Vậy m1 là phần tử nhỏnhất của A, và ≤ là thứ tự tốt

Ngược lại, cho ≤ là thứ tự tốt Giả sử tồn tại đơn thức m sao cho

1.3.3 Một số thứ tự từ

Cho ≤ là một thứ tự từ Sau khi đổi chỉ số các biến luôn có thể giảthiết

x1 > x2 > > xn

Sau đây là một số thứ tự từ quan trọng

Định nghĩa 1.8 Thứ tự từ điển là thứ tự ≤lex xác định như sau:

1 xαn

n ) = deg(xβ1

1 xβn

n ) và thành phần đầu tiên khác không kể

từ bên trái của véctơ (α1 − β1, , αn − βn) là một số âm Nói cáchkhác, xα1

1 xαn

n ) = deg(xβ1

1 xβn

n ) và thành phần đầu tiên khác không

kể từ bên phải của véctơ (α1 − β1, , αn − βn) là một số dương Nóicách khác, xα1

1 xαn

n <rlex xβ1

1 xβn

n nếu α1 + + αn < β1 + + βnhoặc α1 + + αn = β1 + + βn và tồn tại 1 ≤ i ≤ n sao cho

αn = βn, , αi+1 = βi+1, nhưng αi > βi

Ví dụ

• Trong cả ba thứ tự trên ta luôn có x1 > x2 > > xn

• Cho các đơn thức: x2y8, x5yz4, xyz3, xy4 Sắp xếp các biến z > y

> x:

- Đối với thứ tự từ điển: z4yx5 > z3yx > y8x2 > y4x

- Đối với thứ tự từ điển phân bậc: z4yx5 > y8x2 > z3yx > y4x

- Đối với thứ tự từ điển ngược: y8x2 > z4yx5 > z3yx > y4x

• Cho đa thức: f (x, y, z) = 2x + 3y + z + x2 − z2 + x3 Viết lại

đa thức thành tổng của các từ giảm dần theo các thứ tự từ: thứ

tự từ điển, thứ tự từ điển phân bậc, thứ tự từ điển ngược đối vớicách sắp xếp biến x > y > z:

- Đối với thứ tự từ điển: f (x, y, z) = x3 + x2 + 2x + 3y − z2 + z

- Đối với thứ tự từ điển phân bậc: f (x, y, z) = x3+ x2− z2+ 2x +3y + z

- Đối với thứ tự từ điển ngược: f (x, y, z) = x3+x2−z2+2x+3y+z

Chương 2

2.1 Iđêan khởi đầu và cơ sở Gr¨ obner

Kí hiệu R = K [x] = K [x1, , xn] và M là tập đơn thức của nó

2.1.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu

Định nghĩa 2.1 Cho ≤ là một thứ tự từ và f ∈ K [x] Từ khởi đầucủa f, kí hiệu là in≤(f ), là từ lớn nhất của đa thức f đối với thứ tự từ

≤

Nếu in≤(f ) = αxa, 0 6= α ∈ K, thì lc≤(f ) := α được gọi là hệ sốđầu và lm≤(f ) := xa là đơn thức đầu của f đối với thứ tự từ ≤.Nếu thứ tự từ ≤ đã được ngầm hiểu, ta sẽ viết in(f) (tương ứnglc(f), lm(f)) thay cho in≤(f ) ( tương ứng lc≤(f ), lm≤(f ))

biểu diễn chính tắc của đa thức f ta viết các từ theo thứ tự giảmdần, thì in(f) sẽ xuất hiện đầu tiên.

Ví dụ: Cho f = x3y2z + 5xyz − 3x4+ 7yz3 − 2y6+ z4 Viết theo thứ

tự giảm dần với x > y > z, ta có

in≤lex(f ) = −3x4; lc≤lex(f ) = −3; lm≤lex(f ) = x4

in≤glex(f ) = x3y2z; lc≤glex(f ) = 1; lm≤glex(f ) = x3y2z

in≤rlex(f ) = −2y6; lc≤rlex(f ) = −2; lm≤rlex(f ) = y6

Bổ đề 2.1 Cho f, g ∈ R và m ∈ M Khi đó

(i) in (f g) = in (f ) in (g) (ii) in (mf ) = m in (f )

(iii) lm (f + g) ≤ max {lm (f ) , lm (g)} Dấu < xảy ra khi và chỉ khi

in (f ) = −in (g)

Chứng minh Giả sử

f = in(f ) +P mi; mi < in(f ),và

g = in(g) + P nj; nj < in(g),trong đó mi và nj là các từ có thể bằng 0 Khi đó

(i) Với mọi i, j

in (f ) in (g) 6= 0, in (f ) nj < in (f ) in (g)

(iii) Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử in (f ) ≥ in (g)

• Nếu in (f ) > in (g) thì ta có

f + g = in (f ) + in (g) +P mi+P nj

Ta có in (f ) > in (g) > nj nên in(f ) > nj Theo định nghĩa

từ khởi đầu, ta có: in(f) > mi Vậy in(f) là từ lớn nhất trongtổng f +g và không giản ước được với bất kì từ nào khác,nên lm (f + g) = lm (f ) = max {lm (f ) , lm (g)}

• Nếu lm (f ) = lm (g) và lc (f ) 6= −lc (g) thì

f + g = (lc (f ) + lc (g)) lm (f ) +P mi+P nj

Do lc (f ) + lc (g) 6= 0 và lm (f ) > mi, lm (f ) = lm (g) > njnên lại có

lm (f + g) = lm (f ) = max {lm (f ) , lm (g)}

• Nếu in (f ) = −in (g) thì ta có

f + g =P mi +P nj