Ứng dụng của cơ sở grobner để giải hệ phương trình đa thức

Lý thuyết cơ cở Gr¨obner được nghiên cứu lần đầu tiên vào khoảngthập niên 60 của thế kỉ XX, nó nhanh chóng trở thành hạt nhân củangành hạt nhân của ngành Đại số máy tính và là một công c

- Th.S Trần Mạnh Hùng, giảng viên Khoa Khoa học tự nhiên, TrườngĐại học Quảng Bình Thầy đã giành nhiều thời gian quý báu tận tìnhhướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy giáo,

cô giáo trong Khoa Khoa học tự nhiên, tới gia đình, bạn bè đã luôn sátcánh bên tôi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quátrình học tập cũng như trong khi tôi thực hiện và hoàn chỉnh khóa luậnnày

Trong quá trình thực hiện khóa luận, tôi đã rất cố gắng để hoàn thiện

cả về nội dung lẫn hình thức nhưng vẫn không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót Nên tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, côgiáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Trần Thị Viễn

Mục lục

1.1 Vành 8

1.2 Iđêan 11

1.3 Vành đa thức 13

1.4 Cơ sở Gr¨obner 19

1.4.1 Thứ tự từ 19

1.4.2 Iđêan khởi đầu và cơ sở Gr¨obner 22

1.4.3 Thuật toán chia 27

1.4.4 Tiêu chuẩn Buchberger 28

1.4.5 Thuật toán Buchberger 31

2 Ứng dụng của cơ sở Gr¨obner để giải hệ phương trình đa

2.1 Đa thức bất khả quy và phân tích duy nhất 32

2.2 Căn của iđêan 35

2.3 Căn của iđêan chính 36

2.4 Căn của ideal chiều 0 39

2.5 Định lí Hilbert về không điểm 41

2.6 Nghiệm của hệ phương trình đa thức 45

2.7 Cách giải hệ phương trình đa thức 48

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Tính toán hình thức (symbolic computation), hay còn gọi là Đại sốmáy tính (Computer Algebra), xuất hiện khoảng ba chục năm nay vàgần đây trở thành một chuyên ngành độc lập Nhờ sự ra đời của Đại sốmáy tính người ta có thể giải phương trình với hệ số bằng chữ, tính tíchphân bất định, điều mà trước đó máy tính chỉ thực hiện được với hệ

số hằng số, tính tích phân xác định Đây là một chuyên ngành kết hợpchặt chẽ toán học với khoa học máy tính Sự phát triển này đòi hỏi phảixây dựng các lí thuyết toán học làm cơ sở cho việc thiết lập thuật toán

và các phần mềm toán học Khi khả năng tính toán mỗi ngày một tăngcủa máy tính sẽ giúp triển khai tính toán thực sự nhiều thuật toán Sựphát triển của Đại số máy tính có tác dụng tích cực trong nghiên cứutoán học lí thuyết

Lý thuyết cơ cở Gr¨obner được nghiên cứu lần đầu tiên vào khoảngthập niên 60 của thế kỉ XX, nó nhanh chóng trở thành hạt nhân củangành hạt nhân của ngành Đại số máy tính và là một công cụ hữu hiệutrong rất nhiều bài toán cơ bản của Đại số giao hoán và Hình học đại số.Dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Wolfgang Gr¨obner, năm 1965, BrunoBuchberger đã đưa ra thuật toán Buchberger trong luận án tiến sĩ củamình Điểm mấu chốt khởi đầu cho sự hình thành lý thuyết Buchbergerchính là việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức một biến sang trườnghợp các đa thức nhiều biến Cơ sở Gr¨obner về phương diện lý thuyếtcòn được khẳng định bằng việc cung cấp chứng minh cho ba định lý

về Hilbert: Định lý Hilbert về cơ sở, định lý Hilbert về xoắn, định lýHilbert về không điểm.

Trong các ứng dụng gần gũi nhất của lý thuyết cơ sở Gr¨obner tôiquan tâm tới việc giải hệ phương trình đa thức Thực chất việc tìm cơ

sở Gr¨obner của một hệ phương trình đa thức là đưa hệ phương trìnhban đầu về hệ phương trình mới có dạng tam giác Từ đó ta tìm đượcnghiệm của hệ

Với mong muốn giúp những người yêu toán tìm được nhiều hơn cáccông cụ toán học hiện đại, một công cụ giải hệ phương trình đa thức,góp phần soi sáng nội dung liên quan trong chương trình toán học phổthông

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống, logic các kiến thức

về vành, iđêan, trường, vành đa thức, iđêan đơn thức; quan hệ thứ tự,thứ tự từ, khái niệm cơ sở Gr¨obner, thuật toán chia đa thức nhiều biến,tiêu chuẩn Buchberger, thuật toán Buchberger để tìm cơ sở Gr¨obner.Cung cấp cho giáo viên phổ thông, các em học sinh và những ngườiyêu toán một hướng tiếp cận mới, một công cụ giải hệ phương trình đathức, một phương pháp chung cho hầu hết các bài toán này

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu chính của khóa luận là ứng dụng của cơ sởGr¨obner trong hệ phương trình đa thức Bên cạnh đó còn nghiên cứu

về vành, iđêan, trường, vành đa thức, cơ sở Gr¨obner, các kiến thức nàyxem như là sự chuẩn bị cho các kiến thức chính của khóa luận

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu các tài liệu,giáo trình về các vấn đề cần nghiên cứu như: vành, iđêan, vành đa thức,iđêan đơn thức, quan hệ thứ tự, thứ tự từ, khái niệm cơ sở Gr¨obner,thuật toán chia đa thức nhiều biến, thuật toán Buchberger để tìm cơ

sở Gr¨obner, một số thuật toán ứng dụng của cơ sở Gr¨obner trong hệphương trình đa thức

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Gồm ý kiến của các giảng viênhướng dẫn khoa học và các giảng viên khác trong Bộ môn Toán, KhoaKhoa học tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình

5 Tầm quan trọng đối với khoa học và thực tiễn

Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyênngành Toán của Trường Đại học Quảng Bình có mong muốn tiếp tụctìm hiểu về Đại số máy tính Với bản thân, nghiên cứu về lí thuyết cơ

sở Gr¨obner giúp tôi hiểu rõ hơn về lí thuyết này và nắm được ứng dụngcủa nó trong hệ phương trình đa thức Qua đó tôi cũng thấy được sựphát triển của khoa học máy tính ngày nay có tác dụng tích cực trongnghiên cứu toán học lí thuyết

6 Bố cục khóa luận

Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dungkhóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương này là hệ thống gồm một số kiến thức về vành, iđêan, vành

đa thức, đặc biệt các kiến thức về cơ sở Gr¨obner Trình bày những khái

niệm cơ sở của lí thuyết cơ sở Gr¨obner: Khái niệm thứ tự từ, đơn thứcđầu, từ khởi đầu, iđêan khởi đầu, định nghĩa và một số tính chất cơbản của cơ sở Gr¨obner, thuật toán chia đa thức, tiêu chuẩn Buchberger,thuật toán Buchberger.

Chương 2: Ứng dụng của cơ sở Gr¨obner để giải hệ phươngtrình đa thức

Chương này trình bày một cách hệ thống về điều kiện có nghiệm,

số nghiệm của hệ phương trình đa thức và cách giải tổng quát của hệphương trình đa thức

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Chương này nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong Đại số giao hoán

và trình bày những khái niệm cơ sở của lí thuyết cơ sở Gr¨obner: Kháiniệm Iđêan, thứ tự từ, từ khởi đầu, định nghĩa và một số tính chất cơbản của cơ sở Gr¨obner, thuật toán chia đa thức, tiêu chuẩn Buchberger,thuật toán Buchberger

Định nghĩa 1.1.1 Vành là một tập hợp R 6= ∅ được trang bị phéptoán cộng "+":(a, b) 7→ a + b và phép toán nhân "." : (a, b) 7→ a.bthỏa mãn các tính chất sau:

(i) Đối với phép cộng, R là một nhóm giao hoán

(ii) Phép nhân có tính kết hợp, tức là với mọi a, b, c ∈ R :

a.(b.c) = (a.b).c

(iii) Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi

a, b, c ∈ R : a.(b + c) = a.b + a.c và (b + c).a = b.a + c.a

Nhận xét Phần tử không của vành được kí hiệu là 0 Vành có mộtphần tử 0 kí hiệu là 0 Vành R được gọi là vành có đơn vị nếu nó chứaphần tử 1 thỏa mãn a1 = 1a = a với mọi a ∈ R Vành R được gọi làvành giao hoán nếu với mọi a, b ∈ R, ab = ba.

Trong toàn bộ khóa luận này chỉ xét đến vành giao hoán, có đơnvị

Ví dụ

1 Tập các số nguyên Z, số thực R, số phức C cùng với các phép cộng

và phép nhân thông thường lập thành một vành Tập N không phải

là vành

2 Cho R 6= 0 là một vành (giao hoán, có đơn vị) và n ≥ 2 là một số

tự nhiên Tập các ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc Rvới phép cộng và phép nhân ma trận lập thành một vành có đơn vịnhưng không giao hoán

Định nghĩa 1.1.2 Cho R là một vành và a ∈ R Phần tử a được gọilà

(i) ước của không nếu a 6= 0 và tồn tại 0 6= b ∈ R sao cho ab = 0,

(ii) khả nghịch (hoặc đơn vị) nếu tồn tại c ∈ R sao cho ac = 1

Vành R không chứa ước của 0 được gọi là miền nguyên

Ví dụ Vành Z là miền nguyên với hai phần tử đơn vị là 1 và −1.Vành Z×Z không phải là miền nguyên vì chẳng hạn ta có: (a, 0).(0, b) =(0, 0) với (a, b ∈ Z)

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử R là một vành, A là một bộ phận ổn định

của R đối với hai phép toán trong R, có nghĩa là x + y ∈ A và xy ∈ A,với mọi x, y ∈ A A là một vành con của R nếu A cùng với hai phéptoán cảm sinh trên A là một vành.

Định lí 1.1.4 Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành R Cácđiều kiện sau là tương đương:

(i) A là vành con của R

(ii)Với mọi x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A

(iii) Với mọi x, y ∈ A, x − y ∈ A, xy ∈ A

Định nghĩa 1.1.5 Trường là một vành mà mọi phần tử khác 0 đềukhả nghịch

Bổ đề 1.1.6 Cho R là một vành và a, b ∈ R Khi đó

(i) a.0 = 0 Nói riêng 0 không khả nghịch

(ii) Nếu ab 6= 0 thì ab là ước của không khi và chỉ khi a hoặc b là ướccủa không

(iii) ab là phần tử đơn vị khi và chỉ khi a và b là phần tử đơn vị

(iv) Ước của không không bao giờ là đơn vị

(v) Tập tất cả các đơn vị của vành lập thành một nhóm giao hoán đốivới phép nhân

Bổ đề 1.1.7 (i) Nếu R là miền nguyên thì R có luật giản ước với phépnhân, tức là ac = bc và c 6= 0 kéo theo a = b

(ii) Mọi trường là miền nguyên

(iii) Mọi miền nguyên hữu hạn là trường

Định nghĩa 1.1.8 Một tập con S ⊆ R đóng đối với phép cộng vàphép nhân của R được gọi là vành con nếu nó chứa phần tử 1 của R và

bản thân nó cùng với các phép toán cảm sinh lập thành một vành.

Bổ đề 1.1.9 Cho R là vành và S ⊆ R Khi đó S là vành con nếu vàchỉ nếu có các điều kiện sau:

(i) 1 ∈ S

(ii) Nếu a, b ∈ S thì a − b ∈ S

(iii) Nếu a, b ∈ S thì ab ∈ S

Định nghĩa 1.2.1 Cho R là một vành Tập con I 6= ∅ của R được gọi

là iđêan nếu thỏa mãn hai điều kiện:

(i) Với mọi a, b ∈ I, a + b ∈ I

(ii) Với mọi a ∈ I và r ∈ R, ra ∈ I

Nhận xét

• Iđêan của R mà khác R được gọi là iđêan thực sự của R Một iđêancủa R là iđêan thực sự khi và chỉ khi nó không chứa bất kỳ phần

tử khả nghịch nào của R

• Iđêan của R chỉ có một phần tử được gọi là iđêan không và ký hiệu

A được gọi là tập sinh tối tiểu (hay là hệ sinh tối tiểu, cơ sở tối tiểu)của I nếu A là tập sinh của I và không chứa tập sinh khác của I

Ta nói iđêan là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn

Định lí 1.2.4 Giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị và a1, a2, , an ∈

R Bộ phận A của R gồm các phần tử có dạng x1a1+x2a2+ +xnan ∈ R

là iđêan của R sinh ra bởi a1, a2, , an

Định nghĩa 1.2.5 Cho I là iđêan của vành R Vành R/I được gọi làvành thương của vành R theo iđêan I

Bổ đề 1.2.6 Cho R là một vành và ∅ 6= A ⊆ R Khi đó tập hợp

n gọi là đơn thức, trong đó (a1, , an) ∈

Nn được gọi là bộ số mũ của đơn thức

Khi a1 = = an = 0 thì đơn thức được kí hiệu là 1

Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa:

Phép cộng đa thức được định nghĩa:

Ta sẽ đồng nhất đa thức αxa với đa thức

X

b∈N n

βbxb,trong đó βa = α và βb = 0 với mọi b 6= a

Nếu α1xa1, , αpxap là tất cả các từ của f (x) thì có thể xem f (x) làtổng đa thức của các từ này qua phép đồng nhất vừa nêu:

f (x) = α1xa1 + + αpxap, (∗)trong đó a1, , ap ∈ Nn là bộ số mũ khác nhau Biểu diễn này là duynhất và gọi là biểu diễn chính tắc của đa thức f (x)

Phép nhân đa thức được định nghĩa: ( P

a = b + c Do vậy chỉ có một số hữu hạn hệ số γa 6= 0 và phép nhân đa

thức trên hoàn toàn xác định.

Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức có thể kiểm tra tậptất cả các đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị là đơnthức 1 Tập này được kí hiệu là R[x1, , xn] hay R[x]

Định nghĩa 1.3.1 Vành R[x1, , xn] xây dựng như trên được gọi làvành đa thức n biến trên vành R

Chú ý

• Khi n = 1 ta có vành đa thức một biến thông thường Tuy nhiên

đa thức một biến x thường được viết dưới dạng f (x) = anxn+ +

a1x + a0(n ∈ N, a0, , an ∈ R)

• Cho 0 ≤ m ≤ n Bằng cách xem mỗi từ αxa1

1 xan

n trên R như là từ(αxa1

1 xam

m )xam+1

m+1 xan

n trên vành R[x1, , xm], có thể xem R[x1, , xn]như vành đa thức n − m biến xm+1, , xn trên vành R[x1, , xm],tức là

Chú ý

• Bậc tổng thể của đa thức hằng là 0, bậc tổng thể của đa thức 0được quy ước là một số tùy ý

• Nhiều khi ta còn dùng bậc của đa thức đối với một tập con cácbiến, chẳng hạn {x1, , xk}, được định nghĩa như sau:

degx1, ,xkf (x) = max{a1 + + ak} | αa 6= 0},trong đó k < n cố định Nói cách khác, đó là bậc tổng thể của f (x)xét như đa thức của vành K[xk+1, , xn][x1, , xk]

Mệnh đề 1.3.3 Nếu R là miền nguyên, thì với mọi đa thức f (x), g(x) ∈R[x] đều có

deg(f (x)g(x)) = degf (x) + degg(x)và

deg(f (x) + g(x)) ≤ max{degf (x), degg(x)}

Hơn nữa, ta có bất đẳng thức chặt khi

degf (x) = degg(x) và fdegf (x) = −gdegg(x)

Định lí 1.3.4 Cho R là vành giao hoán, có đơn vị là 1 Các điều kiệnsau là tương đương:

(i) Mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại (đối vớiquan hệ bao hàm)

(ii) Mọi dãy tăng các iđêan trong R

Một trong những kết quả đẹp nhất và cơ bản nhất về vành đa thứcnói rằng mọi iđêan của vành đa thức trên trường là hữu hạn sinh Đó

là nội dung định lí nổi tiếng của Hilbert về cơ sở Dưới đây là một dạngtổng quát của nó

Định lí 1.3.5 (Định lí Hilbert về cơ sở) Cho R là vành Noether và x

là tập n biến Khi đó vành R[x] là vành Noether

Hệ quả 1.3.6 Mọi iđêan của vành đa thức K[x] trên trường K là hữuhạn sinh

Định lí 1.3.7 (Định lí chia đa thức một biến) Cho K là một trường

và g(x) là đa thức khác 0 của K[x] Khi đó mọi đa thức f ∈ K[x] cóthể viết dưới dạng f (x) = q(x)g(x) + r(x), trong đó q(x), r(x) ∈ K[x]

và hoặc r(x) = 0 hoặc degr(x) <deg g(x) Hơn nữa q(x) và r(x) đượcxác định duy nhất

Hệ quả 1.3.8 Vành K[x] đa thức trên một trường tùy ý là vành cáciđêan chính, nghĩa là mọi iđêan đều sinh bởi một đa thức

Định nghĩa 1.3.9 Ước chung lớn nhất của các đa thức f1, , fn ∈K[x] là đa thức h sao cho

(i) h chia hết f1, , fn, nghĩa là f1 = q1h, , fn = qnh; q1, , qn ∈ K[x].(ii) Nếu p là đa thức khác chia hết f1, , fn thì p chia hết h

Trong trường hợp đó ta viết h =UCLN(f1, , fn)

Định nghĩa 1.3.10 Các đa thức f1, , fn ∈ K[x] được gọi là nguyên

tố cùng nhau nếu UCLN(f1, , fn) = 1

Mệnh đề 1.3.11 Cho f1, , fn ∈ K[x], n ≥ 2 Khi đó:

(i) UCLN(f1, , fn) tồn tại và duy nhất với sai khác một hằng số khác

0 của K.

(ii) (f1, , fn) =(UCLN(f1, , fn))

(iii) Nếu n ≥ 3 thì UCLN(f1, , fn) =UCLN(UCLN(f1, , fn−1), fn).Định nghĩa 1.3.12 Iđêan I ⊆ R[x] được gọi là iđêan đơn thức nếu nósinh bởi các đơn thức

Một iđêan có dạng I = (xa; a ∈ A), trong đó A ⊆ Nn

Chú ý Trong định nghĩa này không yêu cầu tập A hữu hạn

Bổ đề 1.3.13 Cho I = (xa; a ∈ A) là iđêan đơn thức Đơn thức xb ∈ Ikhi và chỉ khi xb chia hết cho một đơn thức xa với a ∈ A nào đó

Bổ đề 1.3.14 Cho I là iđêan đơn thức và f ∈ K[x] Các điều kiện sau

là tương đương:

(i) f ∈ I

(ii) Mọi từ của f thuộc I

(iii) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I

Hệ quả 1.3.15 Hai iđêan đơn thức trong một vành đơn thức bằngnhau nếu chúng chứa cùng một tập đơn thức

Bổ đề 1.3.16 Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I,các từ của f đều thuộc I

Bổ đề 1.3.17 (Bổ đề Dickson)

Mọi Iđêan đơn thức I = (xa; a ∈ A) bao giờ cũng viết được dưới dạng

I = (xa(1), , xa(s)), trong đó a(1), , a(s) ∈ A Nói riêng I là hữu hạnsinh

1.4 Cơ sở Gr¨obner

1.4.1 Thứ tự từ

Cho X là một tập khác rỗng Quan hệ hai ngôi trên tập X là một tậpcon R của tích Đề các X × X Ta viết xRy thay cho (x, y) ∈ R

Định nghĩa 1.4.1 Quan hệ R trên tập X được gọi là một quan hệ thứ

tự (bộ phận), nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây với mọi x, y, z ∈ X:(i) xRx (tính chất phản xạ)

(ii) Nếu xRy và yRz thì xRz (tính chất bắc cầu)

(iii) Nếu xRy và yRx thì x = y (tính chất phản đối xứng)

Thông thường quan hệ thứ tự bộ phận được kí hiệu bởi ≤, ≥ Khi đó

x ≤ y cũng được nói là "x nhỏ hơn hoặc bằng y"

Nếu R là một quan hệ thứ tự bộ phận thì quan hệ ngược

x, y so sánh được với nhau (trong trường hợp ngược lại thì x, y không

so sánh được với nhau)

Quan hệ thứ tự ≤ ở trên X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần(hoặc thứ tự tuyến tính) nếu mọi cặp phần tử của X đều so sánh đượcvới nhau Khi đó ta nói tập X là tập được sắp hoàn toàn.

Quan hệ chỉ thỏa mãn tính chất phản xạ và bắc cầu trong định nghĩatrên được gọi là quan hệ giả thứ tự (bộ phận, toàn phần)

Định nghĩa 1.4.2 Cho X là một tập được sắp bởi thứ tự ≤ và A ⊆ X.Phần tử a ∈ A được gọi là phần tử tối tiểu (tương ứng tối đại ) nếu vớimọi b ∈ A mà b ≤ a (t.ư a ≤ b) thì a = b, tức là không có phần tử nhỏhơn (t.ư lớn hơn) a ở trong A

Phần tử a ∈ A là phần tử nhỏ nhất (t.ư lớn nhất ) nếu với mọi b ∈ A

Ví dụ.

• Xét R với mối quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thường và S =[0, 1] Khi đó 0 và 1 tương ứng là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất củaA

Tập A = (0, 1) không có phần tử tối tiểu và cũng không có phần

tử tối đại nhưng bị chặn trên và chặn dưới trong R

• Nếu X là một tập được sắp hoàn toàn thì mọi tập con hữu hạn của

0 ≤ i < n sao cho α1 = β1, , αi = βi, nhưng αi+1 < βi+1

Định nghĩa 1.4.5 Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự ≤glex xác địnhnhư sau:

1 xαn

n ) = deg (xβ1

1 xβn

n ) và thành phần đầu tiên khác không

kể từ bên trái của véctơ (α1 − β1, , αn − βn) là một số âm Hay

Định nghĩa 1.4.6 Thứ tự từ điển ngược là thứ tự ≤rlex xác định nhưsau:

1 xαn

n ) = deg (xβ1

1 xβn

n ) và thành phần đầu tiên khác không

kể từ bên phải của véctơ (α1 − β1, , αn − βn) là một số dương Hay

1x3 >lex x1x22 >lex x2 nhưng x2 <rlex x1x22 <rlex x21x3

• x1x2x4 >glex x1x23 nhưng x1x2x3 <rlex x1x23

Ta thấy ba thứ tự trên thực sự khác nhau

1.4.2 Iđêan khởi đầu và cơ sở Gr¨ obner

Kí hiệu R = K[x] = K[x1, , xn] và M là tập đơn thức của nó

Định nghĩa 1.4.7 Cho ≤ là một thứ tự từ và f ∈ R = K[x1, , xn]

Từ khởi đầu của f, kí hiệu là in≤(f ), là từ lớn nhất của đa thức f đốivới thứ tự từ ≤

Nếu in≤(f ) = axα, 0 6= α ∈ K, thì lc≤(f ) = α được gọi là hệ số đầu

và lm≤(f ) = xα là đơn thức đầu của f đối với thứ tự từ ≤

Nếu thứ tự từ ≤ đã được hiểu ngầm, ta sẽ viết in(f ) (t.ư lc(f ), lm(f ))thay cho in≤(f ) (t.ư lc≤(f ), lm≤(f )).

• Đối với thứ tự từ điển mà x > y > z

f = −5x4+ 5x3y2z2+ xyz − 2y6z + 7yz3 + z4 và in≤lex(f ) = −5x4

• Đối với thứ tự từ điển phân bậc mà x > y > z

f = 5x3y2z2− 2y6z − 5x4+ 7yz3+ z4+ xyz và in≤glex(f ) = 5x3y2z2

• Đối với thứ tự từ điển ngược mà x > y > z

f = −2y6z + 5x3y2z2− 5x4+ 7yz3+ z4+ xyz và in≤rlex(f ) = −2y6z

Bổ đề 1.4.8 Cho f, g ∈ R và m ∈ M Khi đó:

(i) in(f g) = in(f )in(g)

(ii) in(mf )= m in(f )

(iii) lm(f + g) ≤ max{lm(f ), lm(g)} Dấu < xảy ra khi và chỉ khiin(f ) = −in(g)

Chú ý Bất đẳng thức ở khẳng định (iii) ở trên cũng thường được viếtdưới dạng:

in(f + g) ≤ max{in(f ), in(g)},

trong đó khi lm(f ) = lm(g) thì max{in(f ), in(g) } được biểu diễn như

α lm(f ) với 0 6= α ∈ K nào đó

Định nghĩa 1.4.9 Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ Iđêankhởi đầu của I, kí hiệu là in≤(I), là iđêan của R sinh bởi các từ đầucủa các phần tử của I, nghĩa là in≤(I) = (in≤(f ) | f ∈ I)

Ta có thể thay in(I) thay cho in≤(f ) nếu ≤ đã rõ

Ta cũng có in(I) =(lm(f ) | f ∈ I), nên in(I) là một iđêan đơn thức

Bổ đề 1.4.10 Cho ≤ là một thứ tự từ và I, J là hai iđêan của R Khiđó:

(i) Tập tất cả các đơn thức trong in(I) là tập {lm(f ) | f ∈ I}

(ii) Nếu I là iđêan đơn thức thì in(I) = I

(iii) Nếu I ⊆ J thì in(I) ⊆ in(J ) Hơn nữa nếu I ⊆ J và in(I) =in(J )thì I = J

(iv) in(I)in(J )⊆ in(IJ )

(v) in(I) + in (J )⊆ in(I + J )

Định nghĩa 1.4.11 Cho ≤ là một thứ tự từ và I là một iđêan của I.Tập hữu hạn các đa thức khác không g1, , gs ∈ I được gọi là một cơ sởGr¨obner của I đối với thứ tự từ ≤, nếu in≤(I) = (in≤(g1), ,in≤(gs))

Tập g1, , gs ∈ I được gọi là một cơ sở Gr¨obner, nếu nó là cơ sở Gr¨obnercủa iđêan sinh bởi chính các phần tử này

Bổ đề 1.4.12 Cho G là một cơ sở Gr¨obner của iđêan I đối với mộtthứ thự từ nào đó Nếu đa thức g ∈ G thỏa mãn, tồn tại đa thức g0 ∈ Gsao cho in(g0)|in(g), thì G\{g} cũng là một cơ sở Gr¨obner của I

Bổ đề 1.4.13 Cho I là một iđêan tùy ý của R Nếu g1, , gn là cơ sởGr¨obner của I đối với một thứ tự từ nào đó, thì g1, , gn là cơ sở củaI.

Nhận xét Việc xác định iđêan khởi đầu tương đương với việc tìm một

cơ sở Gr¨obner của I (đối với một thứ tự nào đó)

Với một cơ sở đã cho của I có thể là cơ sở Gr¨obner đối với thứ tự từnày nhưng không phải cơ sở Gr¨obner đối với thứ tự từ khác

Ví dụ

• Cho I là iđêan của vành K[x] Ta biết rằng trên vành này chỉ cómột thứ tự từ (theo bậc), theo Hệ quả 1.3.8 ta có I = (f ), với

f ∈ K[x] Từ Bổ đề 1.4.8 (i), suy ra in(I) =(in(f ))

• Cho I = (xy3, y5) ⊆ K[x, y] và f1 = xy3, f2 = xy3 − y5 Cho x > y.Khi đó in≤lex(f1) = in≤lex(f2) = xy3, nên {f1, f2} không là cơ sởGr¨obner của I đối với ≤lex, vì in≤lex (I) = I

Ta thấy in≤glex (f1) = in≤rlex(f1) = xy3, in≤glex(f2) =in≤rlex(f2) =

Xét theo thứ tự từ điển phân bậc hoặc từ điển ngược

Khi đó in(f1) = x4, in(f2) = x3y Tuy nhiên x3 = xf2 − yf1 ∈ I vàin(x3) = x3 ∈ (x/ 4, x3y) nên (f1, f2) không là cơ sở Gr¨obner của I

đối với các thứ tự này.

• Cho I = (x + y, y + z) ⊆ K[x, y, z] và xét thứ tự điển với x > y > z

Ta sẽ chứng tỏ x + y, y + z là cơ sở Gr¨obner của I

Thực vậy, mọi phần tử 0 6= f ∈ I có dạng f = g.(x + y) + h.(y + z).Nếu in(f ) không chứa x và y chỉ chứa biến z, tức là f = f (z) Thay

x = z và y = −z vào biểu diễn vừa nêu của f , ta có f = f (z) =g(z, −z, z).0 + h(z, −z, z).0 = 0 (vô lí)

Vậy in(f ) ∈ (x, y) = (in(x + y),in(y + z)) hay x + y, y + z là cơ sởGr¨obner của I đối với thứ tự từ điển

Định nghĩa 1.4.14 Cơ sở Gr¨obner tối tiểu của I đối với một thứ tự

từ đã cho là một cơ sở Gr¨obner G ⊂ I thỏa mãn các tính chất sau:(i) lc(g) = 1 với mọi g ⊂ G

(ii) Với mọi g ∈ G không tồn tại g0 ∈ G để in(g0) |in(g)

Hệ quả 1.4.15 Cho ≤ là một thứ tự từ Khi đó mọi iđêan đều có cơ

sở Gr¨obner tối tiểu và mọi cơ sở Gr¨obner tối tiểu của cùng một iđêanđều có chung số lượng phần tử và chung tập từ khởi đầu

Ví dụ

Ta xét vành K[x] với thứ tự từ điển phân bậc và iđêan I = (x3 −2xy, x2 − 2y2 + z), có một cơ sở Gr¨obner gồm các đa thức f1 = x3 −2xy, f2 = x2y − 2y2 + z, f3 = −x2, f4 = −2xy, f5 = −2y2 + x Đầutiên ta nhân các phần tử sinh với các hằng số thích hợp để được hệ sốđầu bằng 1 Thấy rằng in(f1) = x3 = −xin(f3) Theo bổ đề 1.4.12, ta

có thể loại f1 trong cơ sở Gr¨obner tối tiểu Tương tự, in(f2) = x2y =

−(12)xin(f4), nên ta cũng loại f2 Khi không còn trường hợp mà từ khởi

đầu của một phần tử sinh chia hết từ khởi đầu của phần tử sinh khác.

Do vậy g1 = x2, g2 = xy, g3 = y2 − (12)x, là một cơ sở Gr¨obner tối tiểucủa I đối với thứ tự từ điển phân bậc

Định nghĩa 1.4.16 Cơ sở Gr¨obner rút gọn của iđêan I đối với mộtthứ tự từ đã cho là một cơ sở Gr¨obner G của I thỏa mãn các tính chất:(i) lc(g) = 1 với mọi g ∈ G

(ii) Với mọi g ∈ G và mọi từ m của g không tồn tại g0 ∈ G \ {g} đểin(g0) | m

Nhận xét Mọi cơ sở Gr¨obner rút gọn là cơ sở Gr¨obner tối tiểu

Mệnh đề 1.4.17 Cho I 6= 0 Khi đó đối với mỗi thứ tự từ, I có duynhất một cơ sở Gr¨obner rút gọn

1.4.3 Thuật toán chia

Định lí 1.4.18 (Định lí chia đa thức) Cố định một thứ tự từ ≤ trên

M và cho

F = {f1, , fs} ⊂ R = K[x1, , xn] Khi đó mọi đa thức f ∈ R có thểđược viết dưới dạng f = q1f1 + + qsfs+ r,

trong đó qi, r ∈ R thỏa các điều kiện sau đây:

(i) Hoặc r = 0 hoặc không có từ nào của r chia hết cho một trong các

từ khởi đầu inf1, ,infs Hơn nữa in r ≤in f

(ii) Nếu qi 6= 0 thì in(qifi) ≤in(f ), i = 1, , s

Định nghĩa 1.4.19 Đa thức r ở trên được gọi là đa thức dư hoặc phần

dư của f khi chia cho F và được kí hiệu là r =RemF(f ) Bản thân biểudiễn trên của f được gọi là biểu diễn chính tắc của f theo f1, , fs

Ví dụ.

x3+ x = x.(x2+ 1) + 0.x2+ 0 = 0.(x2+ 1) + x.x2 + x, tức là x3 + x cho

x2 và x2 + 1 có thể cho đa thức dư là x hoặc 0

Chú ý Kết quả thực hiện Thuật toán chia đa thức phụ thuộc vàoviệc sắp xếp thứ tự các phần tử của tập F = {f1, , fs} Đa thứcPHANDU(f ; F ) xác định duy nhất và là một giá trị của RemF(f ).Nói chung RemF(f ) 6= PHANDU(f ; F )

Thuật toán chia đa thức chỉ cho một cách xây dựng đa thức dư, chứkhông khẳng định đó là tất cả đa thức dư có thể có nêu trong định líchia đa thức

Mệnh đề 1.4.20 Giả sử F = {f1, , fs} là một cơ sở Gr¨obner đối vớimột thứ tự từ cho trước Khi đó với mỗi đa thức f ∈ R, đa thức dư rcủa phép chia f cho hệ F (trong định lí chia đa thức) được xác địnhduy nhất

Hệ quả 1.4.21 Giả sử F = {f1, , fs} là một cơ sở Gr¨obner của iđêan

I đối với một thứ tự từ cho trước và đa thức f ∈ R Khi đó f ∈ I khi

và chỉ khi đa thức dư r của phép chia f cho hệ F bằng 0

1.4.4 Tiêu chuẩn Buchberger

Định nghĩa 1.4.22 Cho f, g ∈ K[x] là hai đa thức khác 0

Kí hiệu: mf g = U CLN (lm(f ),lm(g))in(f )

và mgf = U CLN (lm(f ),lm(g))in(g)

S- đa thức của f và g là đa thức

S(f, g) = mgf.f − mf g.g

Bổ đề 1.4.23 (i)S(f, g) = −S(g, f )

(ii) in S(f, g) < BNNN(in(f ), in(g))

Định lí 1.4.24 (Tiêu chuẩn Buchberger) Cho G = {g1, , gs} là

hệ sinh của iđêan I G là cơ sở Gr¨obner của I khi và chỉ khi với mọicặp 1 ≤ i 6= j ≤ s một (hoặc mọi) đa thức dư của S- đa thức S(gi, gj)trong phép chia cho G bằng 0

Định nghĩa 1.4.25 Cố định một thứ tự từ và cho G = {g1, , gs} ⊂K[x] Ta nói đa thức f dẫn về đa thức g modulo G và kí hiệu là f G //g ,

hoặc đơn giản là f → g khi đã rõ G, nếu f có thể viết dưới dạng

f = q1g1 + + qsgs+ g,sao cho nếu qigi 6= 0 thì

in(qigi) ≤ in(f )

Như vậy f → 0 khi và chỉ khi có một giá trị của RemG(f ) bằng 0

Do đó tiêu chuẩn Buchberger có thể phát biểu như sau:

Định lí 1.4.26 Cho G = {g1, , gs} là hệ sinh của iđêan I G là cơ

sở Gr¨obner của I khi và chỉ khi với mọi cặp 1 ≤ i 6= j ≤ s ta cóS(gi, gj)G //0

Chú ý

• Vì S(f, g) = −S(g, f ) nên để thử xem G = {g1, , gs} có phải là cơ

sở Gr¨obner hay không, chỉ cần thử cho các cặp (gi, gj) với i < j