Công thức lượng giác 1... Công thức biến đổi tích thành tổng Bài 1.. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:... Cho tam giác ABC.
Trang 11 Hệ thức cơ bản:
sin α+ cos α =1; tan cotα α = 1; 1 tan2 12 ; 1 cot2 12
2 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
cos( ) cos−α = α sin(π α− ) sin= α sin cos
2
− =
sin( )−α = −sinα cos(π α− ) = −cosα cos sin
2
− =
tan( )−α = −tanα tan(π α− )= −tanα tan cot
2
− =
cot( )−α = −cotα cot(π α− )= −cotα cot tan
2
− =
Góc hơn kém π Góc hơn kém
2 π
sin(π α+ ) = −sinα sin cos
2
+ =
cos(π α+ )= −cosα cos sin
2
+ = −
tan(π α+ ) tan= α tan cot
2
+ = −
cot(π α+ ) cot= α cot tan
2
+ = −
II Công thức lượng giác
1 Công thức cộng
sin(a b+ ) sin cos= a b +sin cosb a
sin(a b− ) sin cos= a b−sin cosb a
cos(a b+ ) cos cos= a b −sin sina b
cos(a b− ) cos cos= a b+sin sina b
tan tan tan( )
1 tan tan
a b
+
− tan tan tan( )
1 tan tan
a b
−
+
+ = + − = −
Hệ quả: tan 1 tan , tan 1 tan
Trang 22 Công thức nhân đôi
sin 2α =2sin cosα α cos2α =cos2α −sin2α =2 cos2α− = −1 1 2sin2α
2cot
1 tan
α α
−
−
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2 2 2
1 cos2 sin
2
1 cos2 cos
2
1 cos2 tan
1 cos2
α α
α α
α α
α
−
= +
=
−
= +
3 3
3 2
sin3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos
3tan tan tan3
1 3tan
α
α
−
=
−
3 Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2 cos cos
cos cos 2sin sin
sin sin 2sin cos
sin sin 2 cos sin
sin( ) tan tan
cos cos
a b
+
sin( ) tan tan
cos cos
a b
−
sin( ) cot cot
sin sin
a b
+
b a
sin( ) cot cot
sin sin
−
α+ α = α + ÷= α− ÷
α− α = α− ÷= − α+ ÷
4 Công thức biến đổi tích thành tổng
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
a) cosa 4, 2700 a 3600
5
13 2
= < <
c) tan 2,
2
π
2
π
α = π α< <
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
Trang 3a) A a a khi a a
cot tan sin 3, 0
π +
25 7
2
8tan 3cot 1 sin 1, 90 180
8 3
sin 2sin cos 2 cos cot 3
2sin 3sin cos 4 cos
23 47
−
sin 5cos tan 2
sin 2 cos
+
55 6
3
8cos 2sin cos tan 2
2 cos sin
3 2
−
+
19 13 h) H a a khi a
sin cos tan 5
cos sin
+
3 2
−
Bài 3. Cho sina cosa 5
4 + = Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A=sin cosa a b) B=sina−cosa c) C=sin3a−cos3a
Bài 4.
a) Cho sinx cosx 1
5
+ = Tính sin , cos , tan , cot x x x x
b) Cho tanx+cotx=4 Tính sin , cos , tan , cot x x x x
Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A cos x cos(2 x) cos(3 x)
2
b) B 2 cosx 3cos( x) 5sin 7 x cot 3 x
c) C 2sin x sin(5 x) sin 3 x cos x
d) D cos(5 x) sin 3 x tan 3 x cot(3 x)
Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A
sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 )
cot 572 tan( 212 )
b) C=cos200+cos400+cos600+ + cos1600+cos1800 ĐS: C= −1
c) D=cos 102 0+cos 202 0+cos 302 0+ + cos 1802 0 ĐS: D 9=
d) E=sin 200+sin 400+sin600+ + sin3400+sin3600 ĐS: E 0=
e) 2sin(7900+ +x) cos(12600− +x) tan(6300+x).tan(12600−x) ĐS: F= +1 cosx
Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4x−cos4x = −1 2 cos2x b) sin4x+cos4x = −1 2 cos sin2x 2x
c) sin6x+cos6x = −1 3sin cos2x 2x d) sin8x+cos8x = −1 4sin cos2x 2x+2sin cos4x 4x
e) cot2x−cos2x =cos cot2x 2x h) sin tan2x x+cos cot2x x+2sin cosx x = tanx+cotx
g)1 sin+ x+cosx+tanx = +(1 cos )(1 tan )x + x f)tan2x−sin2x = tan sin2x 2x
Trang 4i) x x x
sin cos 1 2 cos
1 cos sin cos 1
x
2
2 2
1 sin 1 tan
1 sin
−
Bài 8. Chứng minh các đẳng thức sau:
tan tan tan tan
cot cot
+
=
2 2
sin cos cos sin 1 cot
+
sin cos
1 cot 1 tan
2
2
sin sin cos sin cos sin cos tan 1
+
2 2
1 cos 1 (1 cos ) 2 cot
tan .1 cot 1 tan
1 tan cot tan cot
2
2
1 sin 1 sin 4 tan
1 sin 1 sin
tan tan sin sin tan tan sin sin
6
sin tan tan
cos cot
sin cos
Bài 9. Rút gọn các biểu thức sau:
a) (1 sin )cot− 2x 2x+ −1 cot2x b) (tanx+cot )x 2−(tanx−cot )x 2
cos cos cot
sin sin tan
+
( sin − cos ) +( cos + sin )
sin tan
cos cot
−
sin cos cos cos sin sin
g) sin (1 cot ) cos (1 tan )2x + x + 2x + x h) cosx tan2x sin ;2x x ;3
2 2
π π
Bài 10.Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a) 3(sin4x+cos ) 2(sin4x − 6x+cos )6x ĐS: 1
b) 3(sin8x−cos ) 4(cos8x + 6x−2sin ) 6sin6x + 4x ĐS: 1
c) (sin4x+cos4x−1)(tan2x+cot2x+2) ĐS: –2
d) cos cot2x 2x+3cos2x−cot2x+2sin2x ĐS: 2
Bài 11. Cho tam giác ABC Chứng minh:
a) sinB=sin(A C+ ) b) cos(A B+ )= −cosC c) sin A B cosC
+ = d) cos(B C− )= −cos(A+2 )C e) cos(A B C+ − )= −cos2C
f)cos 3A B C sin 2A
2
− + + = − g) sin A B 3C cosC
2
Bài 12.Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) tan khi sin 3,
b) cos khisin 12 3, 2
−
c) cos(a b).cos(a b khi) cosa 1, cosb 1
144
−
Bài 13.Cho tam giác ABC Chứng minh:
Trang 5a) sinC=sin cosA B+sin cosB A b) C A B A B
sin tan tan ( , 90 )
c) tanA+tanB+tanC=tan tan tan ( , ,A B C A B C≠90 )0
d) cot cotA B+cot cotB C+cot cotC A=1 e) tan tanA B tan tanB C tan tanC A 1
f) cot A cotB cotC cot cot cotA B C
2 + 2 + 2 = 2 2 2 g)
o
sin cos sin cos
h) cos cos cosA B C sin sin cosA B C sin cos sinA B C cos sin sinA B C
i) sin2 A sin2 B sin2C 1 2sin sin sinA B C
Bài 14. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) cos2 , sin2 , tan 2 khi cos 5 , 3
π
α α α α = − π α< < b) cos2 , sin2 , tan 2α α α khi tanα =2
c) sin , cos khi sin 2 4, 3
α α α = − < <α
Bài 15. Tính giá trị của biểu thức sau:
16
b) D=cos10 cos50 cos700 0 0 ĐS: 3
8 c) E sin 6 sin 42 sin 66 sin 78= o o o o ĐS: 1
16 d) G cos2 cos4 cos8 cos16 cos32
32 e) H sin 5 sin15 sin 25 sin 75 sin85= o o o o o ĐS: 2
512 f) K 96 3 sin cos cos cos cos
h) M sin cos cos
8
Bài 16. Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin cos4 4x 3 1cos4x
4 4
8 8
c) sin cosx 3x cos sinx 3x 1sin 4x
4
− = d) sin6 x cos6 x 1cos (sinx 2x 4)
e) 1 sinx 2sin2 x
4 2
π
x
2
2
2 cot cos
g)
x x
x
1 cos
2
4 2 sin
2
π π
π
x
1 sin 2 tan
π
+ = +
Trang 6i) x x
x
cos cot
π
tan 2 tan tan tan3
1 tan tan 2
−
=
− l) tanx = cotx−2 cotx m) x x
x
2 cot tan
sin 2
Bài 17.Rút gọn các biểu thức sau:
cos7 cos8 cos9 cos10
sin 7 sin8 sin9 sin10
=
B
sin2 2sin3 sin 4 sin3 2sin 4 sin 5
=
1 cos cos2 cos3
cos 2 cos 1
=
D
sin 4 sin 5 sin 6 cos4 cos5 cos6
=
Bài 18.Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cotx−tanx−2 tan 2x = 4 cot 4x b) x x
2
1 2sin 2 1 tan2
1 sin 4 1 tan 2
2 6
x
1 sin 2 cos2 tan 4
cos4 sin 2 cos2
−
+ e) tan 6x−tan 4x−tan 2x = tan 2 tan 4 tan 6x x x
x
sin 7 1 2 cos2 2 cos4 2 cos6
sin = + + + g) cos5 cos3x x+sin7 sinx x=cos2 cos4x x
Bài 19.Cho tam giác ABC Chứng minh:
a) sinA sinB sinC 4 cos cos cosA B C
+ + = b) cosA cosB cosC 1 4sin sin sinA B C
c)sin 2A+sin 2B+sin 2C = 4sin sin sinA B C d) cos2A+cos2B+cos2C = − −1 4 cos cos cosA B C
e)cos2A+cos2B+cos2C = −1 2 cos cos cosA B Cf) sin2A+sin2B+sin2C = +2 2 cos cos cosA B C
Bài 20.Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
a) bcosB c+ cosC a= cos(B C− ) b) S=2R2sin sin sinA B C
c) S R a2 = ( cosA b+ cosB c+ cos )C d) r 4 sin sin sinR A B C
=
Bài 21. Chứng minh rằng:
sin sin sin
cos cos
+
=
+ thì tam giác ABC vuông tại A.
2 2
tan sin
tan =sin thì tam giác ABC vuông hoặc cân.
C
sin 2 cos
sin = thì tam giác ABC cân.