Phép đối xứng và ứng dụng

Phép đối xứng là một trong những phép biến hình sơ cấp được vậndụng để giải quyết các bài toán dựng hình, chứng minh, tính toán, quĩtích.... Để làm rõ các vấn đề nêu trên, em xin trình b

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội – Năm 2016

Header Page 2 of 161.

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong tổ Hình học, các thầy, cô giáo trong khoa Toán, các thầy, cô giáo trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận này.

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù rất cố gắng nhưng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô

và các bạn để khóa luận của em được hoàn thành hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên Trần Thị Quỳnh Mai

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Quỳnh Mai

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm và tạo điều kiện của các thầy, cô giáo trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu

đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.

Em xin cam đoan rằng khóa luận này là trung thực, là kết quả của em dưới sự giúp

đỡ của thầy PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015

Sinh viên Trần Thị Quỳnh Mai

Header Page 4 of 161.

Mục lục

1.1 Phép biến hình 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Ví dụ 5

1.1.3 Sự xác định 5

1.2 Phép biến hình afin 6

1.2.1 Định nghĩa 6

1.2.2 Tính chất 6

1.2.3 Định lý 7

1.3 Phép biến hình đẳng cự 7

1.3.1 Định nghĩa 7

1.3.2 Tính chất 7

1.3.3 Định lý 8

2 PHÉP ĐỐI XỨNG TRONG En 9 2.1 Phép đối xứng tâm 9

2.1.1 Định nghĩa 9

2.1.2 Tính chất 9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Quỳnh Mai

2.2 Phép đối xứng qua đường thẳng 12

2.2.1 Định nghĩa 12

2.2.2 Tính chất 13

2.3 Phép đối xứng qua siêu phẳng 14

2.3.1 Định nghĩa 14

2.3.2 Tính chất 15

3 SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 17 3.1 Phép đối xứng và bài toán chứng minh 17

3.1.1 Bài toán chứng minh 17

3.1.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán chứng minh 17 3.1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng 18 3.1.4 Một số ví dụ 18

3.2 Phép đối xứng và bài toán tính toán 25

3.2.1 Bài toán tính toán 25

3.2.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán tính toán 25 3.2.3 Một số ví dụ 25

3.3 Phép đối xứng và bài toán dựng hình 32

3.3.1 Bài toán dựng hình 32

3.3.2 Sử dụng phép đối xứng giải bài toán dựng hình 34 3.3.3 Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép đối xứng 34 3.3.4 Một số ví dụ 35

3.4 Phép đối xứng và bài toán quỹ tích 43

3.4.1 Bài toán quỹ tích 43 3.4.2 Sử dụng phép đối xứng để giải bài toán quỹ tích 44

Header Page 6 of 161.

3.4.3 Sáng tạo bài toán tìm quỹ tích nhờ phép đối xứng 443.4.4 Một số ví dụ 45

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Quỳnh Mai

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, hình học là một trong những môn họckhó đối với học sinh bởi vì tính chặt chẽ, logic và tính trừu tượng củahình học, đặc biệt là các phép biến hình Vấn đề này học sinh đượctiếp xúc ít và khi tiếp cận tới nó, học sinh thường lúng túng và bỡ ngỡ.Nhưng phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học và

nó là một công cụ hữu ích để giải các bài toán hình học

Phép đối xứng là một trong những phép biến hình sơ cấp được vậndụng để giải quyết các bài toán dựng hình, chứng minh, tính toán, quĩtích Để làm rõ các vấn đề nêu trên, em xin trình bày trong khóa luậnnày một số kiến thức cơ bản về phép đối xứng và ứng dụng giải toántrong hình học với đề tài: " Phép đối xứng và ứng dụng" Vì thời gian

có hạn nên em xin trình bày những kiến thức cơ bản về phép đối xứngtâm, phép đối xứng qua đường thẳng và phép đối xứng qua siêu phẳng

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày cơ sở lý thuyết về phép đối xứng

Đề xuất phương pháp vận dụng phép đối xứng để giải quyết một sốbài toán hình học

Header Page 8 of 161.

Xây dựng hệ thống bài tập và ví dụ minh họa.

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến phép đối xứng.Nghiên cứu, sử dụng các lí luận, các công cụ toán học, tài liệu thamkhảo

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 3 phần:

Mở đầuNội dung gồm 3 chương:

Chương 1.Kiến thức chuẩn bị

Chương 2.Phép đối xứng trong En.Chương 3.Sử dụng phép đối xứng giải các bài toán hình học

Kết luận

- Nếu M, N là hai điểm bất kỳ của En thì f (M), f (N) là hai điểmphân biệt của En

- Với mỗi điểm M0 thuộc En bao giờ cũng có một điểm M thuộc En

sao cho f (M) = M0

Điểm f (M) được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f Ngượclại điểm M gọi là tạo ảnh của điểm f (M) qua phép biến hình f nói trên

Header Page 10 of 161.

Người ta còn nói phép biến hình f biến điểm M thành điểm f (M) và ta

có f (M) = M0

Nếu H là một hình nào đó của En thì ta có thể xác định tập hợp

f (H) = {f (M)/M ∈ H} Khi đó f (H) gọi là ảnh của hình H qua phépbiến hình f và hình H được gọi là tạo ảnh của f (H) qua phép biến hìnhđó

Định nghĩa 1.2 Cho phép biến hình f :En →En Ta có các khái niệmsau:

a Điểm M thuộc En được gọi là điểm bất động (hoặc là điểm kép)đối với phép biến hình f nếu f (M) = M Như vậy M là điểm bất độngđối với phép biến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua f

b Hình H ⊂ En được gọi là hình bất biến đối với phép biến hình fnếu f (H) = H

c Hình H ⊂ En được gọi là hình bất động đối với phép biến hình fnếu mọi điểm của H đều là điểm bất động đối với f

Định nghĩa 1.3 Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm Mthành điểm M0 Ta có f (M) = M0 Khi đó phép biến hình biến điểm M0

thành điểm M gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f đãcho

Ví dụ: Phép tịnh tiến T− →v theo vecto −→v có phép biến hình đảo ngược

là phép tịnh tiến T−1

−

→v Định nghĩa 1.4 Phép biến hình f: En →En mà f ◦ f = idEn được gọi

là phép biến hình đối hợp

Ví dụ: Phép đối xứng tâm (phép đối xứng tâm O trong En là phépbiến hình biến điểm M thành điểm M0 sao −−→OM0 = −−−→OM )

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Quỳnh Mai

Các điểm thuộc 4 đều là điểm bất động của phép D4

Ví dụ 1.1.2 Trong En, cho điểm O cố định Phép biến hình biến mỗiđiểm M 6= O thành điểm M0 đối xứng với M qua O được gọi là phép đốixứng tâm O Điểm O gọi là tâm của phép đối xứng đó và là điểm bấtđộng duy nhất của phép đối xứng tâm O Phép đối xứng tâm O được kýhiệu là Do

Ví dụ 1.1.3 Trong En, phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc En đềuthành chính điểm M được gọi là phép đồng nhất Ta thường ký hiệu e làphép đồng nhất Như vậy ta có e : En →En và e(M) = M với mọi điểm

M thuộc En Đối với phép đồng nhất e: En →En mọi điểm đều là điểmbất động

Header Page 12 of 161.

- Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ (x, y)của điểm M với tọa độ (x0, y0) của điểm M0 = f (M) đối với hệ tọa độOxy cho trước nào đó Thí dụ như phép biến hình f được cho bởi hệ

1.2.2 Tính chất

Tính chất 1.2.1 Phép afin biến mặt phẳng thành mặt phẳng

Tính chất 1.2.2 Phép afin bảo tồn tính song song của hai đường thẳng.Tính chất 1.2.3 Phép afin biến vecto thành tổng các vecto

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Quỳnh Mai

Tính chất 1.2.4 Phép afin bảo tồn tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng.1.2.3 Định lý

Định lý 1.1 Một phép biến hình f của không gian được gọi là một phépafin khi và chỉ khi nó biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng

và biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng

f là phép biến hình đẳng cự nếu d(M, N) = d(f (M), f (N)) ∀M, N ∈ En

trong đó d(M, N) là khoảng cách của hai điểm M, N

1.3.2 Tính chất

Tính chất 1.3.1 Phép biến hình đẳng cự là phép biến hình afin

Tính chất 1.3.2 Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc.Tính chất 1.3.3 Phép biến hình đẳng cự biến đường thẳng thành đườngthẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

Header Page 14 of 161.

Tính chất 1.3.4 Phép biến hình đẳng cự biến một siêu cầu của En

thành một siêu cầu có cùng bán kính

1.3.3 Định lý

Định lý 1.2 Tập hợp các phép biến hình của En lập thành một nhómvới phép toán lấy tích ánh xạ và được ký hiệu là Isom (En)

Chứng minhThật vậy: Tích các ánh xạ có tính chất kết hợp, ánh xạ ngược của mộtphép biến hình cũng là một phép biến hình của mặt phẳng và cuối cùngánh xạ đồng nhất đóng vai trò đơn vị của nhóm nhân này

2.1.2 Tính chất

Tính chất 2.1.1 Phép đối xứng tâm là phép biến hình đẳng cự nên nó

có đầy đủ các tính chất của phép đẳng cự, đối hợp, có điểm bất động duynhất là O

Chứng minh

Header Page 16 of 161.

Gọi M0 = Do(M) suy ra Do(Do(M)) = Do(M0) = M = id(M).

Suy ra phép đối xứng tâm là phép biến hình đối hợp

Do(O) = O nên O là điểm bất động của Do

Giả sử M là điểm bất động của Do suy ra Do(M) = M ⇒ −−→OM = −−−→OM.Suy ra M ≡ O

Vậy O là điểm bất động duy nhất của Do

Tính chất 2.1.2 Nếu A0 và B0 là ảnh của hai điểm A và B trong phép

Do thì −−→A0B0 = −−→AB

Chứng minhTheo định nghĩa ta có −−→OA0 = −−→OA và −−→OB0 = −−−→OB Suy ra:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Quỳnh Mai

Tính chất 2.1.3 Phép đối xứng tâm O là phép biến đổi 1-1

Chứng minhThật vậy, nếu điểm A0 là ảnh của các điểm A và B trong phép đối xứng

Do thì ta có −−→OA0 = −−→OA và −−→OA0 = −−−→OB

Suy ra −→OA = −−−→OB nên A ≡ B

Tính chất này cho ta thấy phép đối xứng tâm O có phép biến đổi ngược

và phép biến đổi ngược chính là Do

Tính chất 2.1.4 Phép đối xứng tâm O biến ba điểm thẳng hàng thành

ba điểm thẳng hàng

Chứng minhGiả sử A0, B0, C0 là ảnh của các điểm A, B, C trong phép đối xứng tâmO

Theo tính chất 2, ta có −−→A0B0 = −−→AB và −−→B0C0 = −−−BC→

Vì A, B, C thẳng hàng nên −→AB cùng phương với −−BC→ suy ra tồn tại k saocho −→AB = k−−→BC Suy ra −−→A0B0 = k−−→B0C0 nên −−→A0B0 cùng phương với −−→B0C0.Điều đó chứng tỏ A0, B0, C0 thẳng hàng

Tính chất 2.1.5 Phép đối xứng tâm biến mọi đường thẳng, mặt phẳngqua O thành chính nó, biến một vecto thành vecto đối của nó

Chứng minhGọi d là đường thẳng qua O Lấy điểm M ∈ d, khi đó ta có:

Do(M) = M0 , Do(O) = O ⇒ Do(d) = d0 và d0 là đường thẳng qua M0

và O

Do M0 ∈ d nên d0 ≡ d Gọi (P ) là mặt phẳng qua O Xét hai đườngthẳng d và d0 nằm trong (P ) và cắt nhau tại O Khi đó Do biến d thành

Header Page 18 of 161.

d, biến d0 thành d0 nên (P ) cũng biến thành (P ) qua Do.

⇒−−−→M0N0 = −−−→MN Suy ra d cùng phương với d0

Do Do bảo toàn phương của đường thẳng nên nó bảo toàn phương củamặt phẳng

2.2 Phép đối xứng qua đường thẳng

2.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.2 Cho một đường thẳng 4 Một phép biến hình biếnđiểm X ∈ 4 thành điểm X và biến điểm M /∈ 4 thành điểm M0 saocho 4 là đường trung trực của đoạn thẳng MM0 được gọi là phép đốixứng qua 4 và được ký hiệu là S(4) Đường thẳng 4 được gọi là trục đốixứng và là đường thẳng bất động của phép biến hình

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Quỳnh Mai

Định nghĩa 2.3 Cho trước một hình H Tập hợp ảnh của mọi điểmthuộc H trong phép biến đổi S(4) lập thành một hình H0 được gọi là hìnhđối xứng với H qua 4 Nếu H ≡ H0 thì ta nói H là hình có trục đốixứng

2.2.2 Tính chất

Tính chất 2.2.1 Phép biến hình S(4) có duy nhất một đường thẳng bấtđộng

Chứng minhThật vậy, nếu 40 là một đường thẳng bất động thứ hai của S4) thì vớiđiểm X bất kỳ thuộc 40 ảnh của X trong phép biến hình đó là X Nhưvậy 4 là đường trung trực của đoạn thẳng XX, nghĩa là X thuộc 4.Điều đó chứng tỏ 40 và 4 trùng nhau

Tính chất 2.2.2 Phép biến hình S(4) là 1-1 và có biến đổi ngược Đóchính là S(4)

Chứng minhThật vậy, nếu M và M1 là các tạo ảnh của điểm M0 trong phép biếnđổi S(4), thì 4 là đường trung trực của hai đoạn thẳng MM0 và M1M,tức là M, M0, M1 thẳng hàng Hai điểm M1 và M cùng phía đối với 4.Gọi H là giao điểm của 4 với MM0 thì HM = HM0 = HM1 Điều đóchứng tỏ M và M1 trùng nhau

Tính chất này cho ta thấy nếu M0 là ảnh của M trong phép biến đổi S4thì M là ảnh của M0 trong phép biến đổi đó

Tính chất 2.2.3 Nếu A0, B0 là ảnh của hai điểm phân biệt A, B trongphép biến đổi S4 thì −−→A0B0 = −→AB

Header Page 20 of 161.

Theo tính chất của phép đối xứng tâm ta suy ra A0B0 = AB.

Tính chất 2.2.4 Phép biến đổi S(4) biến 3 điểm thẳng hàng thành 3điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự của chúng

Chứng minhThật vậy, phép biến đổi S(4) là một phép dời hình, do đó ảnh của 3điểm thẳng hàng trong phép biến đổi đó thẳng hàng và giữ nguyên thứ

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Quỳnh Mai

• MM’ cắt α tại O là trung điểm của nógọi là phép đối xứng qua siêu phẳng α, phép đối xứng này kí hiệu

là Dα.Siêu phẳng α được gọi là siêu phẳng đối xứng của phép đối xứng.2.3.2 Tính chất

Tính chất 2.3.1 Phép đối xứng qua siêu phẳng là một phép biến hìnhđẳng cự nên nó có đầy đủ tính chất của phép đẳng cự

Chứng minhGọi M, N là hai điểm bất kỳ trong En Xét phép đối xứng qua siêu phẳngα

Tính chất 2.3.2 Dα là phép đối hợp.

Chứng minhGọi M0 = Dα(M) ta có Dα(Dα(M)) = Dα(M0) = M = id(M)

⇒ Dα là phép đối hợp

Tính chất 2.3.3 α là quỹ tích điểm bất động của Dα

Chương 3

SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

3.1 Phép đối xứng và bài toán chứng minh

3.1.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các loại bài toán hìnhhọc khác: các bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích.3.1.2 Sử dụng phép đối xứng trong bài toán chứng minhNếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã chotrong giả thiết A với các điểm hay các đường trong kết luận B thôngqua phép đối xứng thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng ta nhậnđược các kết quả về tính đồng quy, thẳng hàng, quan hệ song song, quan

hệ vuông góc, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các tamgiác, các đường tròn bằng nhau Từ đó ta sẽ dễ dàng giải quyết đượccác bài toán chứng minh

Header Page 24 of 161.

3.1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứngNếu mệnh đề A ⇒ B đã được khẳng định nhờ sử dụng phép đốixứng thì ta có thể sử dụng phép đối xứng xét mệnh đề đảo B ⇒ A, xétcác trường hợp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa của mệnh đềnày ta sẽ được bài toán mới.

3.1.4 Một số ví dụ

Dưới đây là một số ví dụ áp dụng

Ví dụ 3.1.1 Cho hình chóp S.ABC đều Gọi A’, B’, C’ lần lượt làtrung điểm các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng tứ diện S.ABA’ vàS.BCB’ bằng nhau

Bài giảiXét phép đối xứng qua hai mặt phẳng (SAA’) và (SCC’)

Hình 3.1:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Quỳnh Mai

Bài giảiGọi tứ diện đã cho là ABCD và I, J, G lần lượt là trung điểm của

AB, CD, IJ ⇒ G là trọng tâm của tứ diện ABCD

Gọi (O) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Header Page 26 of 161.

Hình 3.2:

Xét phép đối xứng qua tâm G ta có:

DG :O 7→ O0

I 7→ J

Suy ra IOJO0 là hình bình hành nên IO0 song song OJ (1)

Do O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nên có OA = OB = OC = OD.Suy ra 4DOC cân tại O ⇒ IO0⊥CD (2)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Quỳnh Mai

Ví dụ 3.1.3 Cho 4ABC với trực tâm H Chứng minh rằng các điểmđối xứng của H qua các cạnh của tam giác nằm trên đường tròn ngoạitiếp 4ABC, các đường tròn ngoại tiếp các 4BCH ,4CAH , 4ABH ,4ABCđều bằng nhau

Bài giảiChứng minh các điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác nằmtrên đường tròn ngoại tiếp 4ABC

Hình 3.3:

Gọi HA = DBC(H) , HB = DAC(H) , HC = DAB(H)

Gọi O là đường tròn ngoại tiếp 4ABC

I = AB ∩ CH, J = AH ∩ BC, K = BH ∩ AC

Ta có tứ giác AIHK nội tiếp nên bA + [KHI = 180◦

Lại có: [KHI = \BHC ( hai góc đối đỉnh )

Mặt khác, theo tính chất bảo toàn góc của DBC ta có \BHC = \BHAC

Từ đó suy ra : bA + \BHAC = 180◦

⇒ tứ giác ABHAC nội tiếp

Header Page 28 of 161.

Mà A, B, C ∈ (O) nên HA ∈ (O).

Chứng minh tương tự ta được HB, HC ∈ (O)

Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các 4ABH, 4BCH, 4CAH, 4ABCđều bằng nhau

Ta có: DBC : H 7→ HA 4BHC 7→ 4BHAC qua DBC

Suy ra (BHC) = (BHAC) ≡ (O) Suy ra (BHC) = (O)

Tương tự ta có: DAB : 4AHB 7→ 4AHCB

DAC : 4AHC 7→ AHBC

Do đó (AHB) = (O), (AHC) = (O)

Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3.1.4 Cho hình bình hành ABCD và đường tròn (C) bàng tiếp4ABD, tiếp với phần tử kép dài của AB và AD tương ứng tại các điểm

M và N Đoạn thẳng cắt BC và DC tương ứng tại các điểm P và Q.Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp 4BCD tiếp xúc với các cạnh BC

và DC tại P và Q

Bài giảiGọi (O) là đường tròn nội tiếp 4ABD lần lượt tiếp xúc với AB tại M0,với AD tại H

K là tiếp điểm của (C) với BD, I là trung điểm của BD

Ta có: MM’ = NN’

NM’ = BH + BK = 2BH + BK

NN’ = DK + DH = 2DK + HK

⇒ BH = DK