Khoá luận tốt nghiệp phép đối xứng và ứng dụng

Như vậy M là điểm bất động đối với phép biến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua f.. Hình H c E" được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu mọi điểm của H đều ỉà điể

Lời cảm ơn

Em xin chân th à n h cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo tro n g tổ H ình học, các thầy, cô giáo tro n g khoa Toán, các thầy, cô giáo trư ờ n g Đ H SP H à Nội 2 và các b ạn sinh viên Đ ặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của m ình tới P G S T S N guyễn

N ăng Tâm đ ã tậ n tìn h giúp đỡ em tro n g su ốt q u á trìn h ho àn th à n h khóa lu ận này.

Do lần đ ầu làm quen với công tá c nghiên cứu khoa học, hơn nữ a do th ờ i gian và

n ăn g lực của b ản th â n còn h ạn chế, m ặc dù r ấ t cố gắng như ng chắc chắn không trá n h khỏi nhữ ng th iếu sót Em kính m ong n h ận được sự đóng góp ý kiến của các th ầ y cô

và các b ạn để khóa luận của em được hoàn th à n h hơn.

Em xin chân th à n h cảm ơn!

Hà Nội, ngày Oị tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Trần T h ị Q u ỳ n h M ai

Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai

Lời cam đ oan

K hóa luận này là kết q uả của b ản th â n em q u a quá trìn h học tậ p và nghiên cứu

B ên cạnh đó em được sự qu an tâ m và tạ o điều kiện của các thầy, cô giáo tro n g khoa Toán Trường Đ H SP H à Nội 2, đặc biệt sự hướng d ẫn tậ n tìn h của P G S T S N guyễn

N ăng Tâm

Trong khi nghiên cứu ho àn th à n h khóa lu ận này em có th a m khảo m ộ t số tà i liệu

đ ã ghi tro n g p h ầ n tà i liệu th a m khảo.

Em xin cam đoan rằn g khóa lu ận này là tru n g th ự c, là kết quả của em dưới sự giúp

đỡ của th ầ y P G S T S N guyễn N ăng Tâm

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Trần T h ị Q u ỳ n h M ai

Lời m ở đ ầ u 1

1.1 P hép biến h ì n h 3

1.1.1 Đ ịnh nghĩa 3

1.1.2 V í dụ 5

1.1.3 Sự xác đ ị n h 5

1.2 P hép biến hình a f í n 6

1.2.1 Đ ịnh nghĩa 6

1.2.2 T ín h c h ấ t 6

1.2.3 Đ ịnh lý 7

1.3 P hép biến hình đẳng cự 7

1.3.1 Đ ịnh nghĩa 7

1.3.2 T ín h c h ấ t 7

1.3.3 Đ ịnh lý 8

2 P H É P Đ Ố I X Ứ N G T R O N G E" 9 2.1 P h ép đối xứng t â m 9

2.1.1 Đ ịnh nghĩa 9

2.1.2 T ín h c h ấ t 9

2.2 P hép đối xứng qua đường t h ẳ n g 12

2.2.1 Đ ịnh nghĩa 12

2.2.2 T ín h c h ấ t 13

2.3 P hép đối xứng qua siêu p h ẳ n g 14

2.3.1 Đ ịnh nghĩa 14

2.3.2 T ín h c h ấ t 15

3 S Ử D Ụ N G P H É P Đ Ố I X Ứ N G Đ E g i ả i c á c b à i t o á n H Ì N H H Ọ C 17 3.1 P hép đối xứng và bài to á n chứng m i n h 17

3.1.1 Bài to á n chứng m i n h 17

3.1.2 Sử dụng phép đối xứng tro n g bài to á n chứng m inh 17 3.1.3 K hai th á c bài to á n chứng m inh nhờ phép đối xứng 18 3.1.4 M ột số ví d ụ 18

3.2 P hép đối xứng và bài to á n tín h to á n 25

3.2.1 Bài to á n tín h t o á n 25

3.2.2 Sử dụng phép đối xứng tro n g bài to á n tín h to á n 25 3.2.3 M ột số ví d ụ 25

3.3 P hép đối xứng và bài to á n dựng h ì n h 32

3.3.1 Bài to á n dựng h ì n h 32

3.3.2 Sử dụng phép đối xứng giải bài to á n dựng hình 34 3.3.3 K hai th á c bài to á n dựng hình nhờ phép đối xứng 34 3.3.4 M ột số ví dụ 35

3.4 P hép đối xứng và bài to á n quỹ t í c h 43

3.4.1 Bài to á n quỹ t í c h 43

3.4.2 Sử dụng phép đối xứng để giải bài to á n quỹ tích 44

3.4.3 Sáng tạ o bài to á n tìm quỹ tích nhờ phép đối xứng 44

3.4.4 M ột số ví d ụ 45

Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai

Lời m ở đ ầu

1 L ý d o c h ọ n đ ề tà i

Trong n h à trường phổ thông, hình học là m ột tro n g những m ôn học

khó đối với học sinh bởi vì tín h chặt chẽ, logic và tín h trừ u tượng của

hình học, đặc biệt là các phép biến hình, v ấ n đề này học sinh được

tiếp xúc ít và khi tiếp cận tới nó, học sinh thường lúng tú n g và bỡ ngỡ

Nhưng phép biến hình sơ cấp là m ột p h ần quan trọ n g của hình học và

nó là m ột công cụ hữu ích để giải các bài to á n hình học

P hép đối xứng là m ột tro n g những phép biến hình sơ cấp được vận

dụng để giải quyết các bài to á n dựng hình, chứng m inh, tín h toán, quĩ

tích Để làm rõ các vấn đề nêu trên , em xin trìn h bày tro n g khóa luận

này m ột số kiến thứ c cơ b ản về phép đối xứng và ứng dụng giải to á n

tro n g hình học với đề tài: " P hép đối xứng và ứng dụng" Vì thời gian

có hạn nên em xin trìn h bày những kiến thứ c cơ bản về phép đối xứng

tâm , phép đối xứng qua đường th ẳ n g và phép đối xứng qua siêu phẳng

2 M ụ c đ ích n g h iê n cứ u

T ìm hiểu sâu hơn về phép biến hình, đặc biệt là phép đối xứng

Làm rõ tín h ưu việt của phép đối xứng tro n g giải to á n hình học

3 Đ ố i tư ợ n g n g h iê n cứ u

P hép đối xứng

4 N h iệ m v ụ n g h iê n cứ u

T rình bày cơ sở lý th u y ết về phép đối xứng

Đề x u ấ t phương p háp vận dụng phép đối xứng để giải quyết m ột số

bài to á n hình học

Xây dựng hệ thống bài tậ p và ví dụ m inh họa.

5 P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứ u

Đọc sách, nghiên cứu các tà i liệu có liên quan đến phép đối xứng

Nghiên cứu, sử dụng các lí luận, các công cụ to á n học, tà i liệu th a m

khảo

6 C ấ u tr ú c k h ó a lu ậ n

K hóa luận gồm 3 phần:

Mở đầu

Nội dung gồm 3 chương:

Chương l.K iế n thứ c chuẩn bị

Chương 2.P hép đối xứng tro n g E n

Chương 3.Sử dụng phép đối xứng giải các bài to á n hình học

K ết luận

Chương 1

KIẾN THỨC C H U Ẩ N BỊ

Trong Chương này chúng ta sẽ trìn h bày m ột số kiến thứ c chuẩn bị

cho chương sau, những kiến thứ c này chủ yếu lấy từ tà i liệu th a m khảo

- Nếu M ,N là hai điểm bất kỳ của E n thì f ( M ) , f ( N) là hai điểm phân biệt của E n

- Với mỗi điểm M ' thuộc E n bao giờ cũng có một điểm M thuộc E n

sao cho f ( M ) = M '

Điểm f ( M ) được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f Ngược lại điểm M gọi là tạo ảnh của điểm f ( M ) qua phép biến hình f nói trên.

Người ta còn nói phép biến hình f biến điểm M thành điểm f ( M ) và ta

có f ( M ) = M '.

Nếu H là một hình nào đó của E71 thì ta có thể xác định tập hợp

f ( H ) = £ H } Khi đó f ( H ) gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình f và hình H được gọi là tạo ảnh của f ( H ) qua phép biến hình đó.

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 Cho phép biến hình f ;En —»• En Ta có các khái niệm sau:

a Điểm M thuộc En được gọi ỉà điểm bất động (hoặc ỉà điểm kép) đối với phép biến hình f nếu f ( M ) = M Như vậy M là điểm bất động đối với phép biến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua f

b Hình H c E" được gọi là hình bất biến đối với phép biến hình / nếu f ( H ) = H.

c Hình H c E" được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu mọi điểm của H đều ỉà điểm bất động đối với f

Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm M ' Ta có f ( M ) = M ' Khi đó phép biến hình biến điểm M ' thành điểm M gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f đã cho.

Ví dụ: P hép tịn h tiến Tijỳ theo vecto ~ử có phép biến hình đảo ngược

Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai

Cấc điểm thuộc A đều là điểm bất động của phép D a ■

V í d ụ 1 1 2 Trong E n, cho điểm o cố định Phép biến hình biến mỗi điểm M 7^ o thành điểm M ' đối xứng với M qua o được gọi ỉà phép đối xứng tâm o Điểm o gọi là tâm của phép đối xứng đó và là điểm bất động duy nhất của phép đối xứng tâm o Phép đối xứng tâm o được ký hiệu là D0.

V í d ụ 1 1 3 Trong E n; phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc E n đều thành chính điểm M được gọi là phép đồng nhất Ta thường ký hiệu e là phép đồng nhất Như vậy ta có e : E 71 —»• E 71 và e(M) = M với mọi điểm

M thuộc E n Dối với phép đồng nhất e: E n —> E n mọi điểm đều là điểm bất động.

1 1 3 S ự x á c đ ịn h

M uốn xác định m ột phép biến hình / :En —)• E n t a cần nêu rõ quy

tắ c / đó bằng các cách sau đây:

- Q uy tắ c / được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong

m ặ t phẳng như: tìm giao điểm của hai đường th ẳ n g đã được xác định

nào đó, dựng đường th ẳ n g đi qua m ột giao điểm và vuông góc với m ột

đường th ẳ n g cho trước, dựng đường trò n với tâ m và bán kính đã cho

- Q uy tắ c / còn được xác định bởi biểu thứ c liên hệ giữa tọ a độ (x, y) của điểm M với tọ a độ (x ',y') của điểm M ' = f ( M ) đối với hệ tọ a độ

O xy cho trước nào đó T h í dụ như phép biến hình / được cho bởi hệ thứ c :

Ví dụ: Mỗi không gian vecto ơ c lit hữu hạn chiều với cấu trú c afin

chính tắ c là m ột không gian ơ c lit, chẳng hạn như Kn

Đ ịn h n g h ĩa 1.6 Phép biến hình của không gian ơcỉit E n biến đường thẳng thành đường thẳng gọi là phép biến hình afin hay gọi tắt là phép afin.

1 2 2 T ín h ch ấ t

T ín h c h ấ t 1 2 1 Phép afin biến mặt phẳng thành mặt phẳng.

T ín h c h ấ t 1 2 2 Phép afin bảo tồn tính song song của hai đường thẳng

T ín h c h ấ t 1 2 3 Phép afin biến vecto thành tổng các vecto.

Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai

T ín h c h ấ t 1 2 4 Phép afin bảo tồn tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng.

T ín h c h ấ t 1 3 1 Phép biến hình đẳng cự là phép biến hình afin.

T ín h c h ấ t 1 3 2 Phép biến hình đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc.

T ín h c h ấ t 1 3 3 Phép biến hình đẳng cự biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

T í n h c h ấ t 1 3 4 Phép biến hình đẳng cự biến một siêu cầu của E n

thành một siêu cầu có cùng bán kính.

1 3 3 Đ ịn h lý

Đ ịn h lý 1.2 Tập hợp các phép biến hình của E 71 lập thành một nhóm với phép toán lấy tích ánh xạ và được ký hiệu là Isom (E n)

Chứng m inh

T h ậ t vậy: Tích các ánh xạ có tín h chất kết hợp, ánh xạ ngược của m ột

phép biến hình cũng là m ột phép biến hình của m ặt phẳng và cuối cùng

ánh xạ đồng n h ấ t đóng vai trò đơn vị của nhóm n hân này

Chương 2

PH É P ĐỐI XỨ NG TRONG En

Trong Chương này chúng t a sẽ trìn h bày về m ột vài phép đối xứng,

những kiến thứ c này chủ yếu lấy từ tà i liệu th a m khảo

2 1 2 T í n h c h ấ t

T í n h c h ấ t 2 1 1 Phép đối xứng tâm là phép biến hình đẳng cự nên nó

có đầy đủ các tính chất của phép đẳng cự, đối hợp, có điểm bất động duy nhất là 0.

Chứng m inh

Gọi M ' = D 0(M) suy ra D 0(D0(M)) = D0(M') = M = id(M).

Suy ra phép đối xứng tâ m là phép biến hình đối hợp

D 0( 0) = o nên o là điểm b ấ t động của D 0.

G iả sử M là điểm b ấ t động của D0 suy ra D0(M) = M => O M = —OAằ

Suy ra M = o

Vậy o là điểm b ấ t động duy n h ấ t của D0.

T í n h c h ấ t 2 1 2 Nếu A' và B ' là ảnh của hai điểm A và B trong phép

Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai

T í n h c h ấ t 2 1 3 Phép đối xứng tâm o là phép biến đổi 1-1.

Chứng m inh

T h ậ t vậy, nếu điểm A' là ảnh của các điểm A và B tro n g phép đối xứng

D 0 th ì ta có OA' = —OA và OA' = —o è

Suy ra OA = —o è nên A = B.

T ín h chất này cho t a th ấ y phép đối xứng tâ m o có phép biến đổi ngược

và phép biến đổi ngược chính là D 0.

T í n h c h ấ t 2 1 4 Phép đối xứng tâm o biến ba điểm thẳng hàng thành

Do M ' £ d nên d' = d. Gọi (P ) là m ặt phẳng qua o X ét hai đường

th ẳ n g d và d’ nằm tro n g (P ) và cắt n hau tạ i o K hi đó D 0 biến d th à n h

d, biến d' th à n h d’ nên (p ) cũng biến th à n h (P ) qua D 0.

=>• M 'N ' = ~ m Ề Suy ra d cùng phương với d'.

Do D0 bảo to à n phương của đường th ẳ n g nên nó bảo to à n phương của

Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai

Đ ịn h n g h ĩa 2 3 Cho trước một hình H Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H trong phép biến đổi /S(A) lập thành một hình H ' được gọi là hình đối xứng với H qua A Nếu H = H' thì ta nói H là hình có trục đối xứng.

T í n h c h ấ t 2 2 2 Phép biến hình S(A) là 1-1 và có biến đổi ngược Dó chính là 5(A)-

T ín h chất này cho ta th ấ y nếu M ' là ảnh của M tro n g phép biến đổi Sa

th ì M là ảnh của M ' tro n g phép biến đổi đó

T í n h c h ấ t 2 2 3 Nếu A', B ' là ảnh của hai điểm phân biệt A, B trong phép biến đỗi Sa thì A 'B ' = A ồ

Theo tín h chất của phép đối xứng tâ m ta suy ra A 'B ' = A B

T í n h c h ấ t 2 2 4 Phép biến đổi 5(A) biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự của chúng.

Chứng m inh

T h ậ t vậy, phép biến đổi là m ột phép dời hình, do đó ảnh của 3

điểm th ẳ n g hàng tro n g phép biến đổi đó th ẳ n g hàng và giữ nguyên th ứ

Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai

• M M ’ cắt a tại 0 là trung điểm của nó

gọi ỉà phép đối xứng qua siêu phẳng a, phép đối xứng này kí hiệu

Chương 3

SỬ D Ụ N G PH É P ĐỐI XỨ NG ĐE GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

3.1 P h é p đ ố i x ứ n g và b ài to á n ch ứ n g m in h

3 1 1 B à i t o á n c h ứ n g m in h

Bài to á n chứng m inh chứa đựng tro n g t ấ t cả các loại bài to á n hình

học khác: các bài to á n tín h to án , bài to á n dựng hình, bài to á n quỹ tích

3 1 2 S ử d ụ n g p h é p đ ố i x ứ n g t r o n g b à i t o á n c h ứ n g m in h

Nếu t a th iế t lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã cho

tro n g giả th iế t A với các điểm hay các đường tro n g kết luận B thông

qua phép đối xứng th ì nhờ tín h chất đẳng cự của phép đối xứng t a nhận

được các kết quả về tín h đồng quy, th ẳ n g hàng, quan hệ song song, quan

hệ vuông góc, các đoạn th ẳ n g bằng nhau, các góc bằng nhau, các ta m

giác, các đường trò n bằng nhau T ừ đó t a sẽ dễ dàng giải quyết được

các bài to á n chứng m inh

3 1 3 K h a i t h á c b à i t o á n c h ứ n g m in h n h ờ p h é p đ ố i x ứ n g

Nếu m ệnh đề A => B đã được khẳng định nhờ sử dụng phép đối xứng th ì ta có th ể sử dụng phép đối xứng xét m ệnh đề đảo B =>• A, xét các trường hợp đặc biệt hóa, khái q u át hóa, tương tự hóa của m ệnh đề

này t a sẽ được bài to á n mới

Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai

Ta có:

D ( S A A ' ) '-S ^ s

A \- ì A

B ^ c A' I—^ A'

Và:

D ( S C C ) '-S s

Ẩ h } B

C ^ C A' I—y B '

Ta th ấ y D {SAAI) : S A B A ' ^ S A C A 1, D ịscc^ : S.A C A ' S B C B '

Suy ra tứ diện S.A B A ’ và S B C B ’ bằng nhau

V í d ụ 3 1 2 Trong không gian E 3, chứng minh rằng mỗi mặt phẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tứ diện và vuông góc với cạnh đối diện thì giao nhau tại một điểm (điểm đó được gọi là Monge).

Bài giải

Gọi tứ diện đã cho là A B C D và I, J , G lần lượt là tru n g điểm của

A B , C D, I J =>- G là trọ n g tâ m của tứ diện A B C D

Gọi ( 0 ) là m ặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Suy ra 1 0 J 0 ' là hình bình h àn h nên 1 0 ' song song O J (1).

Do o là tâ m m ặ t cầu ngoại tiếp tứ diện nên có OA = O B — o c — OD

Suy ra ADOC cân tạ i o =>■ IO'-LCD (2)

Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai

V í d ụ 3 1 3 Cho AA B C với trực tâm H Chứng minh rằng các điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác nằm trên đường tròn ngoại tiếp AA B C , cấc đường tròn ngoại tiếp các AB C H ,A C A H , AA B H ,

A A B C đ ề u bằng nhau.

Bài giải

Chứng m inh các điểm đối xứng của H qua các cạnh của ta m giác nằm

trê n đường trò n ngoại tiếp AA B C

H ình 3.3:

Gọi Ha = D b c( H) , Hb = Da c( H) , Hc = Da b (H).

Gọi o là đường trò n ngoại tiếp AA B C

I = A B n C H, J = A H n B C, K = B H n AC.

Ta có tứ giác A I H K nội tiếp nên A + K H I = 180°

Lại có: K H I = B H C ( hai góc đối đỉnh )

M ặt khác, theo tín h chất bảo to à n góc của DBC t a có B H C = B H AC

T ừ đó suy ra : A + B H AC = 180°

tứ giác A B H a C nội tiếp