Thực hiện các phép tính Tìm các căn số phứcTìm môđun và argument của các số phức Tìm các số thực x, y .Chuyển sang dạng lượng giác rồi tính các số phức ..............................................................................................................................
Trang 1Bài tập chương I
Bài 1 Thực hiện các phép tính sau
a) (3 5i 4 i− ) ( + ) b) (2 3i 3 7i+ ) ( + )
c) 3 i
4 5i
−
2 7i+ e) 1 i
1 i
−
1 i 3−
Bài 2 Tìm các căn số phức sau
Bài 3 Tìm môđun và argument của các số phức sau
3 i
+ + c) − +3 i 3 d) (1 i 1 i 3− ) ( + )
e) ( )2
1 i 3
1 i
+
− − Bài 4 Tìm các số thực x, y sao cho
a) (1 2i x+ ) (+ −3 5i y 1 3i) = − b) (3 i x− ) (+ −1 2i y 1 4i) = +
c) (2 3i x− ) (+ +1 3i y 4 5i) = + d) (2 3i x+ ) (+ 3i 1 y 7 4i− ) = +
Bài 5 Chuyển sang dạng lượng giác rồi tính các số phức sau
a) ( )7
c) ( )2009
1 i− 3 i+
Bài 6 Chứng minh rằng
a) ( )8n n
1 i+ = −1 4
Bài 7 Giải các phương trình sau
a) x4+6x3+9x2+100 0= b) x4+2x2−24x 72 0+ =
c) z2+ + =z 1 0 d) z2+2i.z 5 0− =
e) z4−3i.z2+ =4 0 f) z2− +(1 i z 6 3i 0) + + =
Bài 8 Cho số phức a cos +isin= ϕ ϕ Tính số phức z 1 a
1 a
−
= + Bài 9 Cho đa thức f (t) t= −4 4 1 i t( + ) 3+12it2−8i 1 i t 5( + ) −
Trang 2a) Tính f (1) và f (i)
b) Giải phương trình f (t) 0=
Bài 10 Cho phương trình n n 1
a x a x − a x a 0
−
+ + + + = , với ak∈R k 1, n( = ) Biết
α là một nghiệm của phương trình Chứng minh rằng α cũng là nghiệm của phương trình Từ đó suy ra mọi phương trình bậc lẻ hệ số thực đều có ít nhất một nghiệm thực
Bài 11 Chứng minh rằng nếu z 1 2sin
z
+ = α thì 4k
4k
1
z
Bài 12 Chứng minh rằng nếu z 1 2sin
z
+ = α thì n
n
1
z + = α.
Bài 13 Tìm các số phức z sao cho z7 và 12
z là hai số phức liên hợp của nhau Bài 14 Giải phương trình: z2 −(1+i)z+6+3i =0
Bài 15 a) Giải phương trình: x6 +x5+x4 +x3 +x2 + x+1=0
b) Gọi các nghiệm của phương trình trên là ε1,ε2, ,ε6 Hãy tính tổng:
5 6
5
1
1+ε + +ε
=
S (ĐS: 0) Bài 16 Cho số phức z = x +iy thoả mãn: (x+1)2 +(y−2)2 =0 Hãy tìm max(argz) và min(argz) ?
Bài 17 Tìm điều kiện cần và đủ để 3 số phức z1,z2,z3 thẳng hàng.
Bài 18 Xác định biên của các miền sau
a) D={z : Re z 0, 0 Im z 1> < < }
b) D={z : z 1 1− > }
c) D={z : z 1 0− > }
d) D z : z 0, z 1, n N
n
Bài 19 Xác định biên của các miền sau
a) Im z Re z >
b) Im z> z
c) z.z Re z>
Bài 20 Tìm phần thực và phần ảo của các hàm số sau
a) f (z) iz 2z= + 2 b) f (z) 2i z iz= − + 2
c) f (z) z i
i z
+
=
2
z z 1
f (z)
iz z
+ +
= +
Trang 3Bài 21 Tìm f (z) biết phần thực và phần ảo của nó là
a) u x; y( ) = +x y ; v x; y( )= −x y
b) u x; y( ) =x2− −y2 2y 1 ; v x; y− ( ) =2xy 2x+
c) u x; y( ) 1 ; v x; y( ) 1
Bài 22 Tìm ảnh của họ đường cong sau đây qua hàm số w f(z) 1
z
a) Họ đường tròn x2 +y2 =ax
b) Họ đường tròn x2 +y2 =by
c) Chùm đường thẳng song song y x b= +
d) Chùm đường thẳng đi qua điểm z z= 0
Bài 23 Cho hàm số w f(z) 1
z
= = Hãy tìm a) Ảnh của đường thẳng x c=
b) Ảnh của đường tròn z 1 1− =
c) Tạo ảnh của đường thẳng u c=
Bài 24 Cho biết 2 đỉnh liên tiếp z1, z2 của đa giác đều n cạnh Tìm đỉnh z kề với3
đỉnh z ?2
Bài 25 Chứng minh rằng với mọi z1, z2ta luôn có bất đẳng thức:
2 1 2
1 z z z
Bài 26 Giải phương trình z4(1−i 3)506 =( 3+i)1329
Bài 27 Xác định biên của các miền sau
a) Im z Re z>
b) Im z> z
c) z.z Re z >
Bài 28 Tìm phần thực, phần ảo của số phức z=(−1−i)20(− 3+i)15
Bài 29 Giải phương trình: z2 −(1+i 3)z−1+i 3 =0
Bài 30 a) Giải phương trình x2 +x 3+1=0 (1)
b) Gọi các nghiệm của phương trình (1) là α và α Cho đa thức:
1 ) 2 3 ( ) 3 1 ( 2 )
2 3 ( )
(x = x4 + − x3 + − x2 + − x+
P
Hãy tính P(α)? từ đó tìm các nghiệm còn lại của phương trình P(x) =0.
Bài 31 CMR nếu z1+z2 +z3 =0 và z1 = z2 = z3 =1, thì 3 điểm z1,z2,z3 lập
thành một tam giác đều nội tiếp hình tròn đơn vị
Trang 4Bài 32 Cho hàm số
z z
w= + 1 Hãy tìm ảnh của đường tròn z = R?
Bài 33 Dựa vào công thức Moavơrơ, hãy biểu diễn tan5x theo tan x
Bài 34 Cho phương trình f(x) =4x4 −24x3 +57x2 +18x−45 =0
a) Tính f(3+i 6)
b) Giải phương trình f(x) =0
Bài 35 Tìm số phức z thoả mãn: z4 = z+z
Bài 36 Tìm ảnh của miền {0< x<1} qua hàm số
z
z
w= −1
Bài 37 Giải phương trình (z+i)4 −(z−i)4 =0
Bài 38 Cho a là số thực dương và tập
z z C z
nhất và giá trị lớn nhất của z khi z∈M
Bài 39 Cho hàm số
i
z i z z f
+
+
=
1 ) ( Tìm phần thực, phần ảo của f(z) Chứng tỏ rằng ảnh của một đường tròn qua hàm f là một đoạn thẳng?
Bài 40 Tìm tất cả các số phức z sao cho: 4z2 +8|z|2=8
Bài 41 Tìm số phức z ≠0 sao cho
z
z+1 là số thực?
Bài 42 Cho z1 =1+i,z2 =−1−i Tìm z sao cho tam giác 3 z1z2z3 đều?
Bài 43 Tìm z sao cho
= +
=
1
1
z
z z z z