KỸ THUẬT TÌM ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (HAY)

KỸ THUẬT TÌM ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (HAY) ============================================== KỸ THUẬT TÌM ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (HAY) ============================================== KỸ THUẬT TÌM ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (HAY) ============================================== KỸ THUẬT TÌM ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (HAY) ==============================================

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

BUNYAKOVSKI

A MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

 Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể

sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn

 Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng Nó giúp ta

kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này

 Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra

đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến

 Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt

được tại vị trí biên

 Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các

bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể

a1 2    1 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a2  a n

II MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

12

12

1

d c b a

b a d

c

d b a

b d

c

c b a a

d c

d b a

b d

c

c b a

a d

c b a

bd ac

c a Chứng minh rằng:

2

11

21

2

12

1

c a

c b

c

b

c b a

c a

c a b c

b

c b a

c a

c a b

c ab

c b c c a

c

a c cb c ab

Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

   

3 3

111

11

11

131

11

13

11

11

11

131

1

.1

.11

1.1

1.1

11

11

1

3 3

b a

a

c

c b

b a

a c

b a

c

c b

b a

a c

b a

c b a

abc

   

3 3

111

ab a

b b

ab a

b b

2 2

2

2.42

4.44

.4

1 1

ab

abc c

3

ca bc ab c b



      3  3 

1 3

1 1

a ab

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2 2 2

2 2

a a

b ab b

a ab a

b b

2 2

2

2 2

2

a

b b

a a

b ab b

a ab

(đpcm)

Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc 10 Tìm GTLN của: 2 3 5

c b a

Giải:

Ta có:

337500 5

3 2 1

5

3

2

1 5

3

2

5

3

2

10 5 5 5 5 5 3 3 3 2 2 10

5 3 2 5 3 2 5

3 2 10

5 3 2

10

5 3 2

b a c

b a

c b a c

c c c c b b b a a c b a

21

105

3210

532

c b

a c

b a c b a c

b a

c b a

Giải:

Vì a,b0 nên  0 , 

a

b b

a

1 1

1 1 1

a a

a

1

2

2 2

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

21

112

1

111

111

2

2 2

2 2

2 2 2

a a

a a

12

13

311

3

931

19

1

3

2 2

2 2 2 4 2 4

a a a

a a a

a

(đpcm)

1 1

2 2

1 1

2

1

1 1 1

1

1 1 1

1

2 2 1

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

a a

a

a

a a

a

a a a

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :   22 a 0

a a A

1 3 2

2 2

1 2

2 3 2

2 2

1 2 2

a a a

a

a a a a

a b b a b b a b

1

1

2

1.2

1

4

12

12

1

12

12

11

b b

b a

b b b a

b b

b a b

b a a

a c c b b a c b a

2

22

2



abc ab bc ca, a,b,c0

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: a b c

c

ab b

ca a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a bc

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a

bc c

ab b

.

2

1 2

1 2

1

Bài 2: Cho ba số thực abc 0 CMR:

c

a b

c a

b a

c c

b b

c a

b c

a b

c a

b b

a a

c a

c c

b c

b b a

b

a a

c a

c c

b c

b b

a a

c c

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

12

12

b a b

a c a

c b

Giải:

3 3

2

2 2

2

2 2

2 2

b a

c b a c b a c b a

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a bc

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a

bc

c

ab b

ca a

bc c

ab b

ca a

bc c

b a b

a c a

a c a c b

Bài 4: Cho

2 ,

, ,

c p c b p b a p

a p c p c p b p b p a p

a p c p c p b p b p a p c

p b p a

p

8

1 2

2 2

2 2 2

2

2

2

,,

1 1 1 2 1 1

a p c p c p b p b p a p

a p c p c

p b p b

p a p

a p c p c

p b p b

p a p c

p b p a

p

1 1 1 2

2

1 2

1 2

1

1 1

1

1 1

2

1 1

1 2

1 1

1 2

1 1 1

x x

x x x

Với n 3 và x1,x2,x3 0 thì

  1 1 1 9

3 2 1 3 2

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:       6

c

b a b

a c a

c b

11

c

b a c b

a c b a

c b a

c

b a b

a c a

c b c

b a b

a c a

b c b a

311

12

1

311

1

3

31

11

b a a c c b c b a

b a

b a c a c

a c b c b

c b a

b a

c a

c

b c

b

a b

a

c a c

b c

2

c b a a c

b c b

a b a

b b c b

a a b a

c c a c

b c b

a b

2 2

2 2

a b c

a c

b b

c b

a a

b a

a b c

a c

b a c b c b

a c b a b a

c b a



























































  a b c a c b c b a b a c c b a                   1 

              a c b c b a b a c c b a Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì: 2 3       a b c a c b c b a Do đó   2 1 2 3 2 2 2 c b a c b a a c b c b a b a c                   (đpcm) Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc 1 Chứng minh bất đẳng thức sau:

9 2 1 2 1 2 1 2 2 2       bc b ca c ab a Giải: Do abc 1 ta có:             9 2 1 2 1 2 1 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2













































































































ab c

ca b

bc a

ab c

ac b

bc a

ab c

ca b

bc a

ac bc ab c

b a

ab c

ca b

bc a

c b a ab c

ca b

bc a

2 Kỹ thuật đổi biến số

Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn

Bài 1: Cho ABC,ABc,BC a,CAb. CMR:

bcacababcabc(1) Giải:

Đặt:





























































2 2 2

y x c

x z b

z y a

z c b a

y b a c

x a c b

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:

2 2 2 y z x y y z z x x     Do trong tam giác, tổng độ dài của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên :

x,y,z 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: xy yz zx  xy. yz zx xyz 2 2 2 Hay bcacababcabc (đpcm) Bài 2: Cho ABC,ABc,BC a,CAb CMR: 3          a b c c b a c b a c b a (1) Giải: Đặt:

                                 2 2 2 0 0 0 y x c x z b z y a z c b a y b a c x a c b

Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:

z y x y x z x z y 2 2 2      Ta có:

3 2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2                                  z y y z z x x z y x x y z y y z z x x z y x x y z y x y x z x z y Hay  3















c b

a c

b a

c b a

(đpcm)

Bài 3: Cho ABC,ABc,BC a,CAb CMR:

c b a c b a

c b a c

b a c b

















2 2

2

(1) Giải:

Đặt:

                                 2 2 2 0 0 0 y x c x z b z y a z c b a y b a c x a c b

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:      

z y x z y x y x z x z y        4 4 4 2 2 2 Ta có:

      y x z x yz z xy z xy y zx y zx x yz x yz z xy z xy y zx y zx x yz z xy y zx x yz z y x y x z x z y                                      

2 1 2 1 2 1 4 4 4 2 2 2 H ay a b c c b a c b a c b a c b a            2 2 2 (đpcm) Bài 4: Cho 2 , , , ,AB c BC a CA b p a b c ABC        CMR:       p ap bp c p c p b p a p 2   2   2     1 1 1 (1)

Giải: Ta có: 0

2    a b c a p Tương tự:

0 0     c p b p Đặt: p b y p x y z x a p              0 0

xyz z y x z y x      2 2 2 1 1 1 Ta có:

xyz z y x zx yz xy x z z y y x x z z y y x z y x                                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Hay

      p ap bp c p c p b p a p 2   2   2     1 1 1 (đpcm) Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: 2 3       a b c a c b c b a (1) Giải: Đặt:

                              2 2 2 z y x c y x z b x z y a z b a y a c x c b

Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành:

2 1 2 2 2          z z y x y y x z x x z y Ta có:

2 3 2 3 2 2 2 2 2 2

2 3 2 1 2 1 2 1 2 2 2                                       z y y z z x x z y x x y z y y z z x x z y x x y z z y x y y x z x x z y Hay

2 3       a b c a c b c b a (đpcm) Bài 6: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa acbc1 CMR:  1  2 1  2 1 2 4     b a c b c a (1)

y x

y x b a

xy y

c b

x c

222

1

2

11

111

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

y x y x

y x y xy x

y x y x y x y x

y x z x x z z

x z y z z y y

z y x A

22

2

2 2

z z x

x z z

y y z

z y y

x x

y y x x

zxy z z x x z z

yzx y y z z y y

xyz x x

y y x x

xy z

x x z z

zx y

z z y y

yz x

A

2

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

c b a y y

c b a x

x

y y x x c

x x z z b

z z y y a

2 4

9 1

4 2 9 1

4 2 9 1

2 2 2

Khi đó

 6 12 3 29

2

3 3.469

2

4692

24

424

292

a a

c b

c c

a a b

c

b b

a a

c b

c c

a a b

c

c b a b

c b a a

c b a A

Dấu “=” xảy ra abc 1

Vậy GTNN của A là 2

3 Kỹ thuật chọn điểm rơi

Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra

Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:

 Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm

 Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên

3.1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên

Xét các bài toán sau:

Bài toán 1: Cho số thực a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 1

a a

A 

Sai lầm thường gặp là:  12 1 2

a

a a a

2.314

31.4

24

314

a

a a a A

Dấu “=” xảy ra 1 hay 2

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức

Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN

khi a 2 Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a 2” Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số avà 1

a vì không thỏa quy tắc dấu “=” Vì vậy ta phải tách a hoặc 1

a để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa quy tắc dấu “=” Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số 

2

11

4

3 4



 và ta có lời giải như trên

Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số 

Bài toán 2: Cho số thực a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của 12

a a

4

11

22

Sai lầm thường gặp là:

4

98

2.72.2

18

72

18

71.8

28

71

a

a a

a a

Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là

12

2.64

38

61.8

.8.38

6188

a

a a A

Dấu “=” xảy ra a 2

Vậy GTNN của A là

4

9

Bài 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của 1

ab ab

4

14

141

Giải:

Ta có:

4 1 4

1 2

4

174

1.15815

116215

1

ab ab ab

ab ab A

Dấu “=” xảy ra

2

1 4



 ab a b

Vậy GTNN của A là

4

17

Bài 2: Cho số thực a 6 Tìm GTNN của 2 18

a a

A 

Phân tích:

Ta có

a a

a a a

2

36

99

366

Giải:

Ta có:

3924

36.2329

24

239

9.24

324

239924

2 3

2 2

a a

a a

a A

Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2b 3c 20 Tìm GTNN của

4

2

9 3

c b a c b a

Phân tích:

Dự đoán GTNN của A đạt được khi a 2b 3c 20 ,tại điểm rơi a 2 ,b 3 ,c 4

Sơ đồ điểm rơi:

3

42

32

2

33

2

2

33

2

329

4 1 4

14

Giải:

135233

4

324

.4

22

9.22

3.4

32

4

324

442

92

343

c b

b a

a

c b a c

c b

b a

a A

111

bc ab c

b a

9 3 2 6

9

2

1 2 24

18 3 2 24 18

c

a

ab

b a ab

b a

3

4 8 12

6

9 4 8 12 6

9

4

3 2 8

16 3 2 8 16

b c

a

bc

c b bc

c b

4

13 8 24

13 48

13 2 24

13 48

13 2 24

13 48

13

3

13 12 24

13 18

13 2 24

13 18

13 2 24

13 18

b

b a b

1 1 1

bc ab c

b

3.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm

Xét bài toán sau:

Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của

b a b a

A  11

Sai lầm thường gặp là:    1144 1.1 4

b a b a b a b a A

Vậy GTNN của A là 4

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4    1  1 a b 1

b a b

Sơ đồ điểm rơi:

4

12

2

12

11

21

b a b

a b a b a A

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

Sơ đồ điểm rơi:

4

12

2

12

111

21

c b a c

b a

Giải:

2

132

912

3

1

1

1.4.4.46

333111444

c b a c b a c b a A

Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

Sơ đồ điểm rơi:

2 8

4

12111

41

21

2 2 2

b a

Giải:

4

272.4

949

3

1.4

94

91.949

1114

38

1.8

1.8

1.8

1.8

1.8

1 9

4

34

34

38

18

18

18

18

181

3

9 2 2 2

2 2 2

c b a c

b a c b a c b a

c b a c b a c b a c b a A

Bài 3: Cho 2 số thực dương a, b Tìm GTNN của

b a

ab ab

b a A

1 2

2 2

a

a ab

b a b

314

2.3

4

24

a

ab ab

b a ab

b a b

a

ab ab

b a A

Dấu “=” xảy ra a

Vậy GTNN của A là

2

5

Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c Tìm GTNN của

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại

a c a

c b

b a

c a c

b c b

a c

b a

a b

a b

c a

c a

b c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b c b a

c

b a b

a c a

c b c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b c b

a A

4

34

.4

4 6

4

34

44

6

2

152

93 6.4

a b

a b

c a

c a b

Dấu “=” xảy ra abc

Vậy GTNN của A là

2

15

Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của :

ab b

a

A

2

11

Sơ đồ điểm rơi:

22

21

a

Giải:

22

1

22

12

2

11

2 2

2 2

2 2

a ab

b a ab

b a A

Dấu “=” xảy ra

2

11

2

2 2

ab b

a

Vậy GTNN của A là 4

Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của

ab b

a

A

2

1 1

Sơ đồ điểm rơi:

3

22

21

3

21

a

Giải:

 

a b ab ab ab

ab b

a

ab ab

b a

ab ab b

a A

3

14

1

43

1

2

61

1

2

3

16

1

12

3

16

11

1

2 2

2

2 2

2 2

Do 2

31

241

2 2

2

b a ab b

a b

a b

a

4 1

2

4

2 2

b a b

4 1 1

b a

ab b

a

Vậy GTNN của A là 8

Bài 7: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của

ab ab b a

Sơ đồ điểm rơi:

41

21

a

1 4 1 4 4

1 4 2

a

Giải:

 

a b ab ab

ab b

a

ab ab

ab ab

b a

ab ab

ab ab b

a A

4

1244

122

2

1

2

4

14

1.422

12

4

14

14

2

11

2 2

2

2 2

2 2

Do 2

4

12

2 2

b a ab b

a b

a

 

7215

Dấu “=” xảy ra

21

1

4

14

2

2 2

b a

ab ab

ab b

a

Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab 1 Tìm GTNN của

2 2

3 3

1 1 1

ab b a b a

Sơ đồ điểm rơi:

411

21

21

2 2

3 3

2 2

1 5

2

1 2

1 2

1 2

1

1 5

2

1 2

1 2

1 2

1 1

2 2

2 2

3 3

5

2 2

2 2

3 3

2 2

2 2

3 3

ab b a ab b a b a

ab b a ab b a b a

ab b a ab b a b a A



 

20 4

1 1 25

2

Do 4

) (

25

2 3

Dấu “=” xảy ra

211

2

12

11

2 2

3 3

b a

ab b a b a

Bài 9: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa 1114

z y

z y x z y x z y x

P

2

12

12

y x x z y x

111116

11

1

1.14

1 4

11

2

1

4 4

12

12

1

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

144416

12

12

12

y x z y x z y x P

Dấu “=” xảy ra

4

33

411

z y x Vậy GTLN của P là 1

4 Kỹ thuật nhân thêm hệ số

27

8 2

1 3

2 2 2

1 2 2 2

1 2 2 2

a.a a

a A

-Dấu “=” xảy ra

3

2 2

136 3

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa

132312266

3231226

b

a b

a b a

c b

a

Tìm GTLN của:

abc

c ab b

ca a

bc A

4 3

12 6

336.93.3.69

6

222

22.22.22

2

3 3

3 3

b

ca b

ca

abc a

bc a

bc a

3 3

4 3

93

128

528

193

122

1126

ca a

412

36

22

c b a c

b a

Vậy GTLN của A là 3

93

128

5



Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc 1 Tìm GTLN của:

a c c b b a

3 1

a c

c b

b a c

b a

2

3

2

23

2

3

2

23

2

3

2

2

33

2.2

c

c b c

b

b a b

a b

a

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

62

3

2.32

.2

3 2 3 2 3 2

c b b a

Vậy GTLN của A là 6

Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật nhân thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn

điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp

Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc 3 Chứng minh rằng:

3 3

3 3

3 3 2 2

32

32

a c

c b

b a c

b a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(3) (2)

(1)

9

3

26

2

9

3

26

2

93

26

3

3329

13.3.29

12

3 3

3 3

3 3

3 3 3

a c a

c

c b c

b

b a b

a b

a b

3 3

339

3

31822

2

b

a c

b a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(3) (2)

(1)

32

74

32

74

32

72

34

.3

1343

14

2 2

2 2

2 2

2 2

c c

b b

a a

a a

21 4

4 4

2 2 2 2

2

c b

2 2

2 2

2 2 2 2

c b a c b a

c b a c

2 3

21 4

4 4

2 2

Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức 2 2 2

c b

a   và abc gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc 2 2 2

c b

a   Nhưng ta cần áp dụng

cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào bậc của các biến số a, b, c trong

các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho 2 2

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: 2

a và

91

ta có: